APOSTILA Cálculo Numérico

APOSTIA Cálculo Numérico Prof. Especilist uricio Cris.

Ídices NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS...-. ERROS...-. ERROS ABSOUTOS E REATIVOS...-.. Erro Asoluto...-.. Erro Reltivo ou T de Erro...-. ERROS DE ARREDONDAENTO E TRUNCAENTO...-.. Erro de Arredodmeto...-.. Erro de Trucmeto...-. ARITÉTICA DE PONTO FUTUANTE...-.5 CONVERSÃO DE BASES...-.5. Coversão d Bse β pr Deciml β...-.5. Coversão d Bse Deciml pr β β...-.5. Eercícios: Coversão de Bses...-5.6 OPERAÇÕES DE PONTOS FUTUANTES...-7.6. Represetções...-7.6. Eercícios...-7.6. Eercícios complemetres...-8 ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS... -. INTRODUÇÃO...-. FASE I: ISOAENTO DAS RAÍZES...-. FASE II: REFINAENTO - CRITÉRIOS DE PARADA...-5.. étodo d Bissecção ou étodo d Dicotomi... -5.. étodo do Poto Fio ou étodo d Iterção ier ou étodo ds Aproimções sucessivs... -9.. étodo de Newto, Newto-Rphso ou étodo ds Tgetes... -7.. Comprção etre os métodos... - RESOUÇÃO DE SISTEAS DE EQUAÇÕES INEARES... -. INTRODUÇÃO...-.. Form Algéric de S... -.. Form tricil de S... -.. triz Aumetd ou triz Complet do Sistem... -.. Solução do Sistem... -..5 Clssificção de um Sistem ier... -..6 Clssificção quto o Determite de A... -. ÉTODOS DIRETOS...-.. étodo de Elimição de Guss... -.. Estrtégi de Pivotemeto Completo... -6.. Refimeto de Soluções... -7. ÉTODOS ITERATIVOS...-9.. Testes de prd... -9.. étodo de Guss-Jcoi... -9.. étodo de Guss-Seidel... -.. Comprção etre os métodos... -..5 Critério de Sssefeld... - INTERPOAÇÃO... -7. INTERPOAÇÃO POINOIA...-7.. Eistêci e Uicidde do Poliômio Iterpoldor P... -7.. Form de grge... -8.. Form de Newto... -5. ESTUDO DE ERRO NA INTERPOAÇÃO...-5.. Estimtiv pr o Erro... -5. INTERPOAÇÃO INVERSA: CASOS EXISTENTES...-5.. Ecotrr tl que P... -5.. Iterpolção ivers... -5. FUNÇÕES SPINE E INTERPOAÇÃO...-56 ii

iii.. Fução Splie... -56.. Splie lier iterpolte... -57.. Splie cúic iterpolte... -58 5 AJUSTE DE CURVAS PEO ÉTODO DOS ÍNIOS QUADRADOS... 5-6 5. 5. INTRODUÇÃO...5-6 CASO DISCRETO...5-65 5. 5. CASO CONTÍNUO...5-7 FAÍIA DE FUNÇÕES NÃO INEARES NOS PARÂETROS...5-7 6 INTEGRAÇÃO NUÉRICA... 6-7 6. FÓRUAS DE NEWTON-COTES...6-7 6.. Regr dos Trpézios... 6-7 6.. Regr dos Trpézios repetid... 6-76 6.. Regr / de Simpso... 6-77 6.. Regr / de Simpso repetid... 6-8 7 SOUÇÃO NUÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS... 7-8 7. INTRODUÇÃO...7-8 7. PROBEA DE VAOR INICIA PVI...7-8 7.. Solução uméric de um PVI de primeir ordem... 7-8 7.. étodo de Euler... 7-8 7.. étodos de Ruge-Kutt... 7-87 7.. étodo de Euler Aprimordo étodo de Ruge-Kutt de Segud Ordem... 7-88 7..5 Fórmuls de Ruge-Kutt de Qurt Ordem... 7-89

[FIG. ]: [FIG. ]: Ídices de Figurs ODEAGE E RESOUÇÃO DE PROBEAS...- O GRÁFICO DE UA FUNÇÃO y f E SEUS ZEROS...- [FIG. ]: EXEPO DE UA FUNÇÃO ESTRITAENTE CRESCENTE NU INTERVAO DE ATÉ..- [FIG. ]: O GRÁFICO DE f 9...- [FIG. 5]: OS GRÁFICOS DE g E h 9....- [FIG. 6]: O GRÁFICO DE f ' 9....- [FIG. 7]: GRÁFICO DA FUNÇÃO f l,...- [FIG. 8]: GRÁFICO DA FUNÇÃO f ' l...- [FIG. 9]: OS GRÁFICOS DE g 5log E h,....-5 [FIG. ]: OS GRÁFICOS DE g E h 5e....-5 [FIG. ]: O ÉTODO DA BISSECÇÃO OU DICOTOIA...-6 [FIG. ]: O TANQUE DE COPRIENTO....-7 [FIG. ]: U EXEPO DE UA FUNÇÃO DE PONTO FIXO...-9 [FIG. ]: OS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES y E φ 6...- [FIG. 5]: [FIG. 6]: A SEQÜÊNCIA { } [FIG. 7]: A SEQÜÊNCIA { } [FIG. 8]: A SEQÜÊNCIA { } [FIG. 9]: A SEQÜÊNCIA { } [FIG. ]: [FIG. ]: OS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES y E φ 6 iv....- CONVERGE PARA O ZERO α CONVERGÊNCIA DO TIPO ESCADA...- CONVERGE PARA O ZERO α CONVERGÊNCIA DO TIPO CARACO...- NÃO CONVERGE PARA O ZERO α...- NÃO CONVERGE PARA O ZERO α...- CASOS E QUE B É O EXTREO AIS PRÓXIO DE α...- OS GRÁFICOS DE h e E g....-6 [FIG. ]: INTERPRETAÇÃO GEOÉTRICA DO ÉTODO DE NEWTON...-8 [FIG. ]: OS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES g X E h cos....- [FIG. ]: INTERPOAÇÃO DE f PEO POINÔIO P....-7 [FIG. 5]: INTERPOAÇÃO POR AGRANGE...-5 [FIG. 6]: GRÁFICO DO POINÔIO P INTERPOANDO f...-56 [FIG. 7]: SPINE INEAR INTERPOANDO PONTOS....-57 [FIG. 8]: DOÍNIO DISCRETO...5-6 [FIG. 9]: DOÍNIO CONTÍNUO...5-6 [FIG. ]: O ÉTODO DO ÍNIOS QUADRADOS...5-65 [FIG. ]: DIAGRAA DE DISPERSÃO...5-68 [FIG. ]: REGRA DOS TRAPÉZIO...6-7 [FIG. ]: REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA...6-76 [FIG. ]: REGRA / DE SIPSON...6-78 [FIG. 5]: REGRA / DE SIPSON REPETIDA...6-8 [FIG. 6]: GRÁFICO DA SOUÇÃO NUÉRICA DE U PVI...7-8 [FIG. 7]: GRÁFICO DO ÉTODO DE EUER...7-85

Cálculo Numérico Noções ásics sore erros - Noções ásics sore Erros Feômeos d turez podem ser descritos trvés do uso de modelos mtemáticos. PROBEA ODEAGE ODEO ATEÁTICO [Fig. ]: odelgem e resolução de prolems. RESOUÇÃO SOUÇÃO ODEAGE: é fse de oteção de um modelo mtemático que descreve o comportmeto do prolem que se quer estudr. RESOUÇÃO: é fse de oteção d solução do modelo mtemático trvés d plicção de métodos uméricos.. Erros Pr se oter solução do prolem trvés do modelo mtemático, erros são cometidos s fses: ODEAGE e RESOUÇÃO. Eercício Clculr áre d superfície terrestre usdo formulção A π r. Aproimções ERROS: ODEAGE: RESOUÇÃO: OBS. : Crcterístics do plet Terr. Crcterístics Físics: Diâmetro Equtoril: 756Km; Diâmetro Polr: 7Km; ss: 5,98 Kg; Perímetro de Rotção Siderl: h 56mi seg; Iclição do Equdor Sore Órit: o 7. Crcterístics Oritis: Rio d Órit, isto é, U.A. uidde stroômic: 989757Km; Distâci áim do Sol: 5Km; Distâci íim do Sol: 7Km; Período de Revolução Siderl: 65dis 6h 9mi 9,5seg; Velocidde Oritl édi: 9,79Km/seg.. Erros Asolutos e Reltivos.. Erro Asoluto É o módulo d difereç etre um vlor eto de um úmero e seu vlor proimdo. Eq. EA, ode é o vlor eto e é o vlor proimdo.

Cálculo Numérico Noções ásics sore erros - Gerlmete ão se cohece o vlor eto. Assim, o que se fz é oter um limitte superior mjorte ou um estimtiv pr o módulo do erro soluto. Eq. EA... Erro Reltivo ou T de Erro Erro reltivo de é o módulo do quociete etre o erro soluto ou o vlor proimdo, se ou. EA e o vlor eto Eq. Eercício ER EA ou EA ER. Clculr os erros soluto e reltivo, os ites e.,5 e,9; y 5, e y 5,9.. Erros de Arredodmeto e Trucmeto.. Erro de Arredodmeto Arredodr um úmero cs form que: d i sej últim cs se d i <5; d i sej últim cs se di 5. Eercício d i é descosiderr s css d j,, de tl Arredodr π qurt cs deciml, sedo que π,59655.. Erro de Trucmeto Trucr um úmero cs d i é descosiderr s css i j i d j,,. j Eercício Aproimr π trucdo qurt cs deciml, sedo que π,59655 Eercício 5 Sedo-se que e pode ser escrito como e i e trvés de um trucmeto pós qutro termos d somtóri. i i!, fç proimção de

Cálculo Numérico Noções ásics sore erros -. Aritmétic de Poto Flutute Um úmero é represetdo, itermete, máqui de clculr ou o computdor trvés de um seqüêci de impulsos elétricos que idicm dois estdos: ou, ou sej, os úmeros são represetdos se ou iári. Eq. Ode: i De meir gerl, um úmero é represetdo se β por: d d ± d β β d β t β t ep β. d são úmeros iteiros cotidos o itervlo d <β; i,,, t ; ep represet o epoete de β e ssume vlores etre I ep S ; I, S limite iferior e limite superior, respectivmete, pr vrição do epoete; d d d β β d β t é chmd de mtiss e é prte do úmero que represet β t seus dígitos sigifictivos; t úmero de dígitos do sistem de represetção. Eercício 6 Cosiderdo o sistem de se, β, represete os seguites úmeros, em ritmétic de poto flutute:,5 ;,5. i OBS. : Os úmeros ssim represetdos estão NORAIZADOS, isto é, mtiss é um úmero etre e. Eercício 7 Cosiderdo o sistem iário, β, represete o úmero em ritmétic de poto flutute..5 Coversão de Bses.5. Coversão d Bse pr Deciml Eq.5 Ode: Um úmero se β pode ser escrito, se deciml, como: m i i i <β; i β β i m m mβ m β β β β β β.

Cálculo Numérico Noções ásics sore erros -, m úmeros iteiros, com e m. ep β. Pr coversão, fz-se operção etre mtiss do úmero ormlizdo e se Nos eercícios seguir, fç coversão d se idicd pr deciml, determido o vlor d vriável. Eercício 8. Eercício 9,. Eercício, 5..5. Coversão d Bse Deciml pr Aplic-se um processo pr prte iteir e um outro pr prte frcioári. PARTE INTEIRA N :. N <β N N β.. N β N r β q β r q O O O Eercício Covert 59 pr se. q β r q Até que q <β N q r r r r β

Cálculo Numérico Noções ásics sore erros -5 Eercício Covert 59 pr se. PARTE FRACIONÁRIA F : ultiplic-se F por β e tom-se prte iteir do produto como o primeiro dígito do úmero se β. Repete-se o processo com prte frcioári do produto tomdo su prte iteir. Cotiu-se té que prte frcioári sej igul zero. Nos eercícios seguir, determir o vlor de : Eercício,875. Eercício,6. Eercício 5,5..5. Eercícios: Coversão de Bses Trsforme pr se que se pede determie o vlor de.

Cálculo Numérico Noções ásics sore erros -6 Eercício 6,. Eercício 7 9,867875. Trsforme medid 5 h 8 mi 8 seg pr miutos. DICA: 5:8,8 6 mi. Eercício 8 Trsforme 5,85 hors pr hors, miutos e segudos. DICA: 5,85 6. Eercício 9

Cálculo Numérico Noções ásics sore erros -7.6 Operções de Potos Flututes.6. Represetções Precisão dupl: dor mtiss t ; O zero em poto flutute é em gerl represetdo com o meor epoete ep I possível máqui; Ao coverter um úmero pr determid ritmétic de poto flutute, empreg-se sempre o rredodmeto; Não é possível represetr todos os úmeros reis em determid ritmétic de poto flutute ret furd. OBS. : Um eemplo d ret furd é: Cosidere ritmétic de potos flututes com prâmetros β e t. Tome os úmeros cosecutivos,57 e,58. Eistem ifiitos úmeros reis etre,57 e,58 que ão podem ser represetdos est ritmétic de potos flututes. Por eemplo:,57 ou,577..6. Eercícios Eercício Preecher tel seguir, com se os prâmetros: t, β, I 5, S 5 e 5 ep 5. Número Trucmeto Arredodmeto 6,8,75 98,,5 79,5 OBS. : Deve-se coverter os vlores pr ritmétic de poto flutute com lgrismos sigifictivos. Nos eercícios seguites, clculr o vlor ds epressões utilizdo ritmétic de poto flutute com lgrismos sigifictivos. Eercício,6 9, 5, Eercício,6 9, 5, Eercício,99, Eercício,99, Eercício 5,7 6,6 7

Cálculo Numérico Noções ásics sore erros -8, 7 6, 6 Eercício 6 7 OBS. 5: distriutivs. Eercício 7 5 Em ritmétic de poto flutute ão vlem s proprieddes ssocitivs em Sedo β, t e ep [5,5], clcule: ; i i 5..6. Eercícios complemetres Nos eercícios seguites, coverter os úmeros pr se deciml, determido o vlor d vriável : Eercício 8. Eercício 9. Eercício.. Eercício,.

Cálculo Numérico Noções ásics sore erros -9 Eercício,. Eercício,. Nos eercícios seguites, coverter os úmeros pr se iári, determido o vlor d vriável : Eercício 7. Eercício 5 5.

Cálculo Numérico Noções ásics sore erros - Eercício 6 Determie com 6 dígitos:,7. Eercício 7 Determie com 8 dígitos:,7. ogo:,7, 7,,.

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis -. Itrodução Zeros reis de fuções reis Dd um fução rel f defiid e cotíu em um itervlo erto I, chm-se de zero dest fução em I, todo I, tl que f. Neste cpítulo são presetdos lgus processos itertivos pr clculr de form proimd os zeros reis de um fução rel f dd. Por um processo itertivo etede-se um processo que clcul um seqüêci de proimções,,, d solução desejd. O cálculo de um ov proimção é feito utilizdo proimções teriores. Dizemos que seqüêci,,, coverge pr, se ddo ε>, N úmeros turis, tl que qulquer que sej > N, <ε. Neste cso tem-se que lim, o que tmém poderá ser idicdo por. Nos processos itertivos que serão presetdos, determição dos zeros de um fução rel de vriável rel será feit em dus etps: Fse I: Isolr cd zero que se desej determir d fução f em um itervlo [, ], sedo que cd itervlo deverá coter um e somete um zero d fução f. Fse II: Cálculo dos zeros proimdos utilizdo um método itertivo, com precisão prefid ou ão.. Fse I: Isolmeto ds rízes Teorem Sej f um fução cotíu um itervlo [, ]. Se f f <, etão eiste pelo meos um zero de f etre e. y yf [Fig. ]: O gráfico de um fução y f e seus zeros. OBS. 6: So s hipóteses do teorem, o zero α será defiido e úico em [, ] se derivd f ' eistir e preservr o sil detro do itervlo ], [, isto é se f ' >, ], [ ou f ' <, ], [. Isto sigific dizer que fução f é estritmete crescete ou estritmete decrescete, respectivmete, o itervlo ], [.

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis - y yf [Fig. ]: Eemplo de um fução estritmete crescete um itervlo de té. N pesquis dos zeros reis de fuções reis é muito útil o uso do Teorem Erro! A origem d referêci ão foi ecotrd. que forece codições de eistêci de zeros em um itervlo, em como d OBS 6. que grte uicidde, isto é, grte que o itervlo cosiderdo eiste um e somete um zero d fução f. Outro recurso stte empregdo é: prtir d equção f, oter equção equivlete g h e esoçr os gráficos dests fuções otedo os potos ode s mesms se itersectm, pois f α g αh α. Eercício 8 Isolr os zeros d fução f 9. Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: f y y f - α - - - α α [Fig. ]: O gráfico de f 9.

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis - y g h - α - - - α α [Fig. 5]: Os gráficos de g e h 9. y yf - - - - - [Fig. 6]: O gráfico de f ' 9. Eercício 9 Isolr os zeros d fução f l,. Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: f

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis -,,, -, -, -, -, -,5 -,6 -,7 -,8 -,9 -, y y f,6,8,,, [Fig. 7]: Gráfico d fução f l,. y f [Fig. 8]: Gráfico d fução f ' l. Eercício Isolr os zeros d fução f 5 log,. Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: f

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis -5 y g h α [Fig. 9]: Os gráficos de g 5log e h,. Eercício Isolr os zeros d fução f 5e. Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: f y g h α [Fig. ]: Os gráficos de g e h 5e.. Fse II: Refimeto - Critérios de Prd..étodo d Bissecção ou étodo d Dicotomi Este método é ormlmete utilizdo pr dimiuir o itervlo que cotém o zero d fução, pr plicção de outro método, pois o esforço computciol cresce demsidmete qudo se umet precisão eigid.

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis -6 O processo cosiste em dividir o itervlo que cotém o zero o meio e por plicção do Teorem, plicdo os suitervlos resulttes, determir qul deles cotém o zero.,,, O processo é repetido pr o ovo suitervlo té que se oteh um precisão prefid. Dest form, em cd iterção o zero d fução é proimdo pelo poto médio de cd suitervlo que cotém. y f m m m α [Fig. ]: O método d issecção ou dicotomi. Assim, figur terior tem-se: m, m m, m m m, Dest form, o mior erro que se pode cometer : iterção : é iterção : é iterção : é iterção: é Se o prolem eige que o erro cometido sej iferior um prâmetro ε, determi-se qutidde de iterções ecotrdo o mior iteiro que stisfz iequção: ε que se resolve d seguite meir: ε log log ε log log log ε log log log ε log log ε log Eercício Determir um vlor proimdo pr 5, com erro iferior.

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis -7 Determir 5 é equivlete oter o zero positivo d fução f 5. f f f / 5 6 7 Portto 5 Eercício Um tque de comprimeto tem um secção trsversl o formto de um semicírculo com rio r vej figur. Qudo cheio de águ té um distâci h do topo, o h volume V d águ é: V, 5 π r r rcse h r h. Supodo que ft, r r ft e V, ft, ecotre profudidde d águ o tque com precisão de, ft. h r θ h [Fig. ]: O tque de comprimeto. Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: h f h

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis -8 Pr se cofirmr uicidde deste zero este itervlo, pode-se utilizr OBS. 6:, isto, é, clcul-se derivd f h de f h pr verificr que mesm preserv o sil o itervlo ],[. h f f h f / 5 6 7 Assim, h... Algoritmo do étodo d Bissecção Sej f um fução cotíu em um itervlo [,], com f. f < e riz de f isold em [, ]. Ddos de Etrd: Potos etremos e do itervlo; precisão ou tolerâci ε e o úmero máimo de iterções ITAX. Síd: Solução proimd ou mesgem de "solução ão ecotrd" com precisão desejd o úmero máimo de iterções. PASSO Fç i PASSO FA f Equto i ITAX eecute os pssos de 6 PASSO PASSO Se FX ou Fç e FX f < ε, etão Síd Procedimeto eecutdo com sucesso

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis -9 FI PASSO 5 Fç i i PASSO 6 Se FA FX > etão fç e FA FX PASSO 7 Cso cotrário fç Síd Solução ão ecotrd com precisão eigid FI..étodo do Poto Fio ou étodo d Iterção ier ou étodo ds Aproimções sucessivs Neste método seqüêci de proimções do zero α de um fução f f α é otid trvés de um relção de recorrêci d form: Eq.6 φ,,,, O poto será cosiderdo um proimção iicil do zero α d fução f e φ é um fução que tem α como poto fio, isto é, α φ α. A primeir pergut ser respodid é: dd um fução f com zero α, como ecotrr um fução φ que teh α como poto fio? Isto pode ser feito trvés de um série de mipulções lgérics sore equção f, trsformdo- em um equção equivlete d form φ. Nests trsformções deve-se tomr os devidos cuiddos pr que φ estej defiid em α e pr que α perteç à imgem de φ. Como o zero α é descohecido, é ecessário determir um itervlo I que coteh α e que estej cotido tto o domíio quto imgem de φ. É ecessário que o zero α de f sej úico o itervlo I, cso cotrário ão será possível discerir qul o zero determido. y y φ Poto fio de Zero de f φ α [Fig. ]: Um eemplo de um fução de poto fio.

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis - Eercício Oter lgums fuções de poto fio pr fução f 6. Efetudo diferetes mipulções lgérics sore equção f ou 6, pode-se oter diferetes fuções de poto fio, como por eemplo: No próimo psso lgums dests fuções serão utilizds tettiv de gerr seqüêcis proimdors dos zeros α de f. Eercício 5 Aproimr o mior zero d fução f 6 φ 6, e,5., utilizdo fução Neste cso fórmul de recorrêci φ,,,, será: φ 6, e pode-se costruir seguite tel: φ 6 y y 6 φ α [Fig. ]: Os gráficos ds fuções y e φ 6 6.

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis - Eercício 6 Aproimr o mior zero d fução f 6 φ 6, e,5., utilizdo fução Neste cso fórmul de recorrêci φ,,,, será: φ 6, e pode-se costruir seguite tel: φ 6 6 y y α φ. [Fig. 5]: Os gráficos ds fuções y e φ 6 Assim, os dois eercícios teriores mostrm que depededo d trsformção φ escolhid, relção de recorrêci φ pode ou ão forecer um seqüêci { } covergete. Dest form, como determir priori, quis trsformções forecerão seqüêcis covergetes? As figurs que seguem ilustrm lgus csos ode ocorrem covergêci e lgus csos ode ão ocorrem covergêci.

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis - y y φ α [Fig. 6]: A seqüêci { } coverge pr o zero Covergêci do tipo escd. φ y y α [Fig. 7]: A seqüêci { } coverge pr o zero Covergêci do tipo crcol. y φ y α [Fig. 8]: A seqüêci { } ão coverge pr o zero.

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis - y φ y α [Fig. 9]: A seqüêci { } ão coverge pr o zero. O Teorem que segue estelece codições suficietes pr grtir covergêci do processo itertivo. OBS. 7: Como s codições que o teorem que segue são pes suficietes, dd um fução φ que ão stisfç ests codições, ão se pode grtir que seqüêci gerd,,, diverge.... Covergêci do étodo ds Aproimções Sucessivs Teorem um fução tl que φ α Sej α um zero de um fução f, isold em um itervlo I[,], e sej φ α. Se: i ' φ e φ são fuções cotíus em I; ii m φ < iii I ' I e φ I, pr,,, Etão seqüêci { } coverge pr o zero α. OBS. 8: Pr se resolver um prolem com o método ds proimções sucessivs, utiliz-se o teorem terior d seguite form: iicilmete determi-se um itervlo I ode o zero α de f estej isoldo, e um fução φ que teh α como poto fio. Alisdo φ e φ ', pode-se verificr se s codições i e ii do Teorem estão stisfeits. Ests codições podem ão estr stisfeits pelo fto do itervlo I ter sido superdimesiodo. Neste cso procur-se por um itervlo I stisfzedo s codições do teorem. N demostrção do Teorem, que pode ser vist em HUES, A Flor C., et l. Noções de Cálculo Numérico. São Pulo: cgrw-hill, p. 6, 98, tem-se que s codições i e ii grtem que se I etão α < α. Etretto, isto ão implic que I, é tomr I. Um meir simples pr grtir que [ ] como vlor iicil o etremo de I mis próimo do zero α. N seqüêci, será mostrdo que este cso φ I : Supodo que sej o etremo de I mis próimo de α, temse: α < α α α, logo I. A demostrção é álog pr o cso em que o etremo de I mis próimo de α. OBS. 9: A codição iii do Teorem pode ser sustituíd por: iii o zero α é o poto,, estão stisfeits s codições médio do itervlo I. N verdde, se pr o itervlo I [ ]

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis - i e ii do Teorem, e se estiver mis próimo de α do que de etão, deotdo α por r, tem-se que pr qulquer [, α r] hipótese iii do teorem é verificd. is id, pr todo I [, ] s codições do teorem, eiste I I tl que qulquer que sej I tem-se que I,. OBS. : A determição do etremo de I [ ], mis próimo do zero α pode ser feito d seguite meir: Supohmos stisfeits s hipóteses i e ii do Teorem. Nests codições, sej ˆ poto médio do itervlo I. Se-se que φ ˆ está mis próimo de α do que ˆ. Se ˆ < φ ˆ, etão α está etre ˆ e, ou sej, é o etremo de I mis próimo de α. Alogmete, se ˆ > φ ˆ, etão é o etremo de I mis próimo de α. Se ˆ φ ˆ, etão ˆ é o zero procurdo. φ α [Fig. ]: Csos em que é o etremo mis próimo de. ' OBS. : Sejm ddos φ, α e m φ I α φ stisfzedo s hipóteses do teorem terior. Se φ, etão α. Dest form, otém-se um limitte superior pr o erro cometido -ésim iterção. Eercício 7 Verificr s codições i e ii do teorem terior qudo do uso d fução φ 6 o eercício terior. Verificção d codição i: Verificção d codição ii: ogo, Verificr s codições i e ii do teorem terior qudo do uso d fução φ. Eercício 8 6 Verificção d codição i:

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis -5 Verificção d codição ii: ogo,... Algoritmo do étodo ds proimções sucessivs Pr ecotrr um solução pr p φ p dd um proimção iicil p. Ddos de Etrd: Aproimção iicil p, precisão ou tolerâci ε e o úmero máimo de iterções ITAX. Síd: Solução proimd p ou mesgem de solução ão ecotrd. OBS. : PASSO Fç i PASSO Equto i ITAX, eecute os pssos 6 PASSO 7 PASSO Fç p φ p clculr p i PASSO Se p p < ε etão Síd p procedimeto efetudo com sucesso FI PASSO 5 Fç i i PASSO 6 Fç p p tulize p Síd solução ão ecotrd pós ITAX iterções FI p < ε p p p < ε p f p < ε Outros critérios de prd podem ser utilizdos: Eercício 9 Ecotrr o zero de f método do poto fio. e com precisão ε 6, utilizdo o

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis -6 Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: f 5 y h e g - - α - - - - - [Fig. ]: Os gráficos de - h e e g. Procurdo um fução de poto fio dequd pode-se fzer: Verificdo s hipóteses i e ii do Teorem :

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis -7 Portto,..étodo de Newto, Newto-Rphso ou étodo ds Tgetes Este método é um prticulridde do método ds proimções sucessivs. A idéi é costruir um fução φ pr qul eist um itervlo cotedo o zero α, ode φ' <. Est costrução é feit impodo φ ' α. Como φ ' deve ser um fução cotíu, eiste sempre um vizihç I de α ode m φ' α <. Oteção d fução φ : A form mis gerl de φ equivlete f é dd por: Eq.7 A f φ ode A é um fução cotíu tl que A α. Escolhe-se A de form que φ ' α. Derivdo-se Eq.7, otém-se φ ' A f ' A' f. Clculdo est derivd o poto α, otém-se: φ ' α A α f ' α. Supodo que f ' α?, pr que φ ' α, deve-se ter A α. Assim, um escolh stisftóri pr f ' α A será portto: Eq.8 A, um vez que α. f ' Sustituido Eq.8 em Eq.7, tem-se: Eq.9 φ f f ' Assim, o processo itertivo de Newto é defiido por: Eq. f,,,, f ' I

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis -8 OBS. : A Eq. é válid mesmo que f ' α, um vez que α.... Iterpretção Geométric do étodo de Newto O poto é otido trçdo-se tgete o gráfico d fução f o poto, f. A itersecção d ret tgete com o eio ds scisss forece ov proimção. Est iterpretção justific o ome de método ds tgetes. y f f α θ [Fig. ]: Iterpretção Geométric do étodo de Newto. tgθ f f ' f f '... Covergêci do étodo de Newto Teorem Sej f : [, ] R, dus vezes difereciável, com que: i f f < ii f ', [, ] iii '' fução f ão troc de sil em [, ] f " cotíu. Supoh Etão, seqüêci gerd pels iterções do método de Newto-Rphso utilizdo f f φ que equivle coverge pr o úico zero α de f ' f ',, se [, ] for escolhido coveietemete. f, isoldo em [ ] OBS. : Pr se escolher o poto iicil, pode-se, por eemplo, fzer se [, ] φ ou cso cotrário.... Algoritmo do étodo de Newto Pr ecotrr um solução pr f, dd derivd de f e um proimção iicil p. Ddos de Etrd: Aproimção iicil p, precisão ou tolerâci ε e o úmero máimo de iterções ITAX. Síd: Solução proimd p ou mesgem de solução ão ecotrd. PASSO Fç i

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis -9 PASSO : OBS. 5: Equto i ITAX, eecute os pssos 6 Psso 7: PASSO Fç p p f p / f ' p clculr p i PASSO Se p p < ε etão Síd p procedimeto efetudo com sucesso FI PASSO 5 Fç i i PASSO 5 Fç p p tulize p Síd solução ão ecotrd pós ITAX iterções FI p < ε p p p < ε p f p < ε Outros critérios de prd podem ser utilizdos: OBS. 6: O étodo de Newto irá flhr se pr lgum, f. ' p Eercício 5 Ecotrr solução pr equção cos com precisão Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: f π ε 6.

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis - y g α π π π h cos π - [Fig. ]: Os gráficos ds fuções g e h cos. Portto,.. Comprção etre os métodos Nos eercícios seguites, cosiderdo cd método especificdo, determie um proimção pr o zero d fução. Eercício 5 Pelo método d Bissecção, determie um proimção pr, d fução f e cos com proimção ε tl que /< ε. f f f / 5 6 7 8 9

Cálculo Numérico Zeros reis de fuções reis - ogo, Eercício 5 Pelo método d Poto Fio ou Aproimções Sucessivs, determie um proimção pr, d fução f e cos com proimção ε ε tl que f < ε ou < ε. Utilize,5. 5 ogo, f Prd Eercício 5 Pelo método de Newto-Rphso, determie um proimção pr, d fução f e cos com proimção ε ε tl que f < ε ou < ε. Utilize,5. ogo, f Prd

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres - Resolução de sistems de equções lieres. Itrodução Vários prolems, como cálculo de estruturs de redes elétrics e solução de equções difereciis, recorrem resolução uméric de um sistem lier S de equções com icógits... Form Algéric de S Eq. S ou Eq. S j ij j i, i,,,... Form tricil de S Eq. A. Ode: A mtriz dos coeficietes; vetor ds icógits ou vetor solução; vetor dos termos idepedetes... triz Aumetd ou triz Complet do Sistem B [ A : ]... Solução do Sistem,,, T.

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres -..5 Clssificção de um Sistem ier COPATÍVE: preset soluções; INCOPATÍVE: cso cotrário...6 Clssificção quto o Determite de A det A SPD sistem lier possível e determido SOUÇÃO ÚNICA; det A SPI ou SI: mtriz A é SINGUAR. SPI Sistem possível e idetermido, SI Sistem impossível. OBS. 7: Se i, i,,,, isto é, se, o sistem é dito HOOGÊNEO. Todo sistem homogêeo é comptível, pois dmite sempre solução. A solução é chmd TRIVIA.. étodos diretos São métodos que determim solução de um sistem lier com um úmero fiito de operções. Defiição: Dois sistems lieres são equivletes qudo possuem mesm solução... étodo de Elimição de Guss Com pssos, o sistem lier A é trsformdo um sistem trigulr superior equivlete. Tome det A como hipótese. A U c, o que se resolve por sustituição. [ A : ] [U : c ] u u u u u c Eercício 5 Resolver o sistem S, com S u c c. 5.

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres - Etp : em B, tome i clculm-se os multiplicdores, com i,,, como s lihs de B e m i i,. como pivô e Etp : Repete-se o processo pr o próimo pivô, situdo digol d mtriz B. Em B, tome i, com i, e como pivô. étodo compcto pr TRIANGUAÇÃO U c : ih ultiplicdor m triz Aumetd Trsformção B - 5 m - m - - B m B As lihs cotedo os pivôs formm o sistem U c. Eercício 55 Resolver o sistem S com rredodmeto em dus css decimis, mtriz umetd.

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres -5 8, 7, 5 S A 5,,, 8, 8 8, 8, 9, 5,, 5,, 5,, 5, 6, 9, 7. 8, 8 6, ih ultiplicdor m triz Aumetd B 8,7, 9,, 6, m,5-8,8,5-5, -9,7 m 5, -8, -,5, -8,8 m, -8, -,,5-6, B m m B m B Etão A U c [ A : ] [U :c ]. U c ogo:... Cálculo do Resíduo Um medid pr vlir precisão dos cálculos é o resíduo, que é ddo por: Eq. r A. Eercício 56 Com se o eercício terior, clculr o resíduo r do sistem A. r A. r... Algoritmo de Elimição de Guss Sej o sistem A, com A, Sempre supor que etp. TRIANGUARIZAÇÃO: A U c. e.

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres -6 Pr,,, FI Pr i,, FI m i i Pr j,, FI ij ij m j i i m RESOUÇÃO DO SISTEA U c. Pr,,, s Pr j,, FI FI s s s j j.. Estrtégi de Pivotemeto Completo No mometo de se clculr o multiplicdor m i, se o pivô estiver próimo de zero, o método pode mplir os erros de rredodmeto. Pr se cotorr estes prolems, escolhese como pivô AX ij, com i, j,,,. Ddo A, tome B [ A : ]. B p p q q pq q p. p

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres -7 Sej multiplicdor AX pq ij m iq iq pq elemetos ij d colu q trvés d operção: i m p. iq i, i, j,,, o pivô d lih p. Etão, clcul-se o, em cd lih, i p com i,,,. Assim, ulm-se os Elimido-se lih pivotl p, repete-se o processo té que se oteh cojutos de operções elemetres plicds sore B, ode,,,. i com Eercício 57 Resolv S com rredodmeto em dus css decimis, utilizdo elimição de Guss com pivotemeto completo. 8, 7, 5 S A 5,,, 8, 8 8, 8, 9, 5,, 5,, 5,, 5, 6, 9, 7. 8, 8 6, ih ultiplicdor m triz Aumetd m 8,7, 9,, 6, m,5-8,8,5-5, -9,7 B 5, -8, -,5, -8,8 m, -8, -,,5-6, m B m m B B Etão A U c [ A : ] [U :c ]. U c.. Refimeto de Soluções Sej plicdo-se correção solução proimd pr A. Otém-se solução melhord δ em.

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres -8 δ Se A A δ A A δ, etão A δ A δ r A Otido o. Assim, δ, clcul-se δ vem de [ A : r ]. δ. Repete-se o processo pr se oter,,,, té que se teh precisão desejd. ogo, otém-se o refimeto de form itertiv pel seguite equção: Eq.5 Eercício 58 i i δ i, com i,,. se oteh o resíduo decimis. 8, 7, 5 A 5,, Cosiderdo respost do Eercício 55, fç o refimeto de té que r, cosiderdo precisão dupl,, qutro css, 8, 8 8, 8, [,,,, ] T r A REFINAENTO: δ 9, 5,, 5,, 5,, 5, r [ ] T,,, 8, 68 6, 9, 7 8, 8 6, A δ r [ A : r [ A : r ] δ δ ih ultiplicdor m triz Aumetd ] δ B 8,7, 9,, -, m,5-8,8,5-5, -, m 5, -8, -,5,,8 m, -8, -,,5,68 B m m B m B Cosiderdo css decimis:

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres -9 [ A : r ] Etão: [ A : r ] δ Como: δ r ogo, A. étodos itertivos A solução de um sistem de equções lieres A pode ser otido resolvedo, de form itertiv, o sistem equivlete d form F d, ode F é um mtriz, e d vetores. Isto pode ser feito tomdo φ F d, φ F é o vetor iicil. d.. Testes de prd O processo itertivo, ode,,,, e é o úmero máimo de iterções e ger proimções té que: i i má ε, sedo ε tolerâci; ou i >, sedo o úmero máimo de iterções... étodo de Guss-Jcoi. Adptção de A A pr F d : F d

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres - OBS. 8: Pr o sistem d F, é ecessário que ii, i. Cso isto ão ocorr, o sistem A deve ser regrupdo. Assim, fórmul recursiv d F é dd form mtricil por: ou id F d o que é equivlete : Eercício 59 Resolv o sistem seguir, utilizdo o método de Guss-Jcoi, com e ε,. A 6 8 5 7 F d F e d Neste cso fórmul de recorrêci fic: F d

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres - m i i - 5 6 Com [ ] T... Critério ds lihs i e ε,, o processo covergiu com... iterções pr: Um codição suficiete ms ão ecessári pr grtir covergêci do método de Guss-Jcoi plicdo o sistem A, com, i, é Eq.6 ij < j j i ii, i,,,,. Neste cso, mtriz dos coeficietes ds icógits A é dit estritmete digol domite. Eercício 6 Verificr se o critério ds lihs é stisfeito o sistem de equções A, 7 que segue: A 5 8 6 A 5 ogo, mtriz dos coeficietes A é estritmete digol domite, o que grte covergêci do método de Guss-Jcoi plicdo este sistem com est ordem de equções e icógits. Eercício 6 Verificr se o critério ds lihs é stisfeito o sistem de equções A, que segue: A 5 6 8 6 A 5 6 8 ogo mtriz dos coeficietes A ão é estritmete digol domite. Isto sigific que ão é grtid covergêci do método de Guss-Jcoi plicdo este sistem com est ordem de equções e icógits. s permutdo dequdmete s equções do sistem, otém-se o sistem equivlete: ii

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres - A ogo, est ov mtriz dos coeficietes A é estritmete digol domite, o que grte covergêci do método de Guss-Jcoi plicdo este sistem com est ov ordem de equções e icógits... étodo de Guss-Seidel. É semelhte o método de Guss-Jcoi, com difereç de utilizr i, i < p, pr o cálculo de p. Dest form, s equções recursivs ficm: Eercício 6 Resolv o sistem seguir, utilizdo o método de Guss-Seidel, com e ε,. A 6 8 5 7 Neste cso fórmul de recorrêci fic:

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres - m i - Com [ ] T i i e ε,, o processo covergiu com... iterções pr:.. Comprção etre os métodos Eercício 6 Resolv o sistem A, utilizdo o método de Guss-Jcoi, com e ε,5. A 5 6 5 6 F e d F d Neste cso fórmul de recorrêci fic: m i - 5 6 7 8 9 i i

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres - Com [ ] T e ε,5, o processo covergiu com... iterções pr: Eercício 6 Resolv o sistem A, utilizdo o método de Guss-Seidel, com e ε,5. A 5 6 Neste cso fórmul de recorrêci fic: 5 6 m i - Com [ ] T i i e ε,5, o processo covergiu com... iterções pr:..5 Critério de Sssefeld Um codição suficiete pr grtir covergêci do método de Guss-Seidel plicdo o sistem A, com, i, é <, sedo m β, ode: ii i i β j j OBS. 9: β i stisfeito. Eercício 65 i β ij j ij ii j j i, i,,,. Se o critério ds lihs é stisfeito, etão o critério de Sssefeld tmém será Verificr se o critério de Sssefeld é stisfeito o sistem de equções, 5,,,,,,, 6 A, que segue: A,, 7,,,,,, 5

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres -5, 5, A,,,, 7,,, β [ ] β [ β ] β [ β β ],,, β [ β β β] Etão, m β m {... ;... ;... ;... }... ogo o critério de i i Sssefeld está stisfeito, o que grte covergêci do método de Guss-Seidel plicdo este sistem. Verificr se o critério de Sssefeld é stisfeito o sistem de equções 9 A, que segue: A Eercício 66 Com est disposição de lihs e colus, tem-se que: β [ ] β [ ] β [ β ] β [ β β]

Cálculo Numérico Resolução de sistems de equções lieres -6 Etão, m β i i

Cálculo Numérico Iterpolção -7 Iterpolção. Iterpolção poliomil Um fução f pode ser cohecid por um cojuto fiito e discreto de potos. y, y, y, y, y, y f 5, y 5 P i 5 [Fig. ]: Iterpolção de f pelo poliômio P. y i y y y y y 5 y 5 Pr se INTERPOAR os potos otidos d tel, é utilizdo um poliômio P de tl form que: Eq.7 P i f i pr i,,,... Eistêci e Uicidde do Poliômio Iterpoldor P Teorem Eiste um úico poliômio P, de gru, tl que: i,,,, desde que i j, i j. P i f i, com Tome f i i P i i f i pr i,,,, otém-se: i,,,. Desevolvedo o sistem f f f i i i

Cálculo Numérico Iterpolção -8 Dí, retir-se mtriz dos coeficietes A pr se clculr s icógits,,,. A o. A é um mtriz de VANDERONDE e, sedo i com i,,,, potos distitos, det A. Assim o sistem dmite solução úic. OBS. : det A det A i j. ENTÃO: O poliômio P eiste e é úico. i > j.. Form de grge Sej f um fução teld em potos distitos,,, e sej poliômios de grge de gru, ode i é ddo por: i j i j i j j i de tl form que i, se, se i i Eercício 67 Determie i pr i,,,,, e. i............ i............ i............ Pr, com,,,,, temos:

Cálculo Numérico Iterpolção -9 P Eq.8 i i i y i i y i i y i i i y i A form de grge pr o poliômio iterpoldor é: P i y i i yi i ou P j j i j j i Eercício 68 Iterpolr o poto,5 tel io, empregdo o poliômio iterpoldor de grge. i i y i é o gru máimo de P. P i i j i j i y ii P............ j j ogo: P P P,5 P P,5 P,5

Cálculo Numérico Iterpolção -5 y P.. Form de Newto 8 - A form de Newto pr o poliômio potos distitos é seguite: Eq.9 [Fig. 5]: Iterpolção por grge. P que iterpol f em,,,, P f [ ] f [, ] f [,, ] f [,,, ]. Ode ORDE f [ ] f y f [, ] f [,, ] f [,,, ] f [,,, ] f [ ] f [ ] f [, ] f [, ] f f y f [,, ] f [,, ] y f [,,, ] f [,,, ] f [,,, ] é DIFERENÇA DIVIDIDA de ordem d fução f sore os potos,,,.

Cálculo Numérico Iterpolção -5... Tel Prátic DIFERENÇAS DIVIDIDAS ordem ordem ordem ordem ordem f [ ] f [, ] f [ ] f [,, ] f [, ] f [,,, ] f [ ] f [,, ] f [, ] f [,,, ] O f [ ] f [,, ] f [, ] f [,, ] f [ ] N f [, f [ f [ ] Eercício 69 f [, ],, ], O, ] Iterpolr o poto,5 tel io, empregdo form de Newto. i i y i é o gru máimo de P. Tel de difereçs dividids: ordem ordem ordem ordem

Cálculo Numérico Iterpolção -5 P f [ ] f [, ] f [,, ] f [,,, ] P P P. Estudo de erro iterpolção Sejm < < < <, potos. Sej f com derivds té ordem pr pertecete o itervlo [, ]. Eq. Sej P o poliômio iterpoldor de f os potos,,,,. Etão, em qulquer poto pertecete o itervlo [, ], o erro é ddo por: E f P ode E ξ,. f ξ! Est fórmul tem uso limitdo, pois são rrs s situções em que cohecid e o poto ξ uc é cohecido. f é.. Estimtiv pr o Erro Utilizdo Eq., sedo E f P E i, ode m f.! I i f cotíu em I [, ], pode-se escrever: Ao se costruir tel de difereçs dividids té ordem, pode-se usr o mior vlor em módulo dest ordem como proimção pr Etão: Eq. E i m Dd i o itervlo I [, ].! sedo Dd os vlores d tel de difereçs dividids de ordem. Eercício 7 Sej f dd em form de tel de vlores, como segue:,,,,5,6,7 f,6,,7,9,,7 Oter f,7 usdo um poliômio de gru ;

Cálculo Numérico Iterpolção -5 Dr um estimtiv pr o erro. Tel de difereçs dividids: ordem ordem ordem ordem,,,,5,6,7 Deve-se escolher potos próimos de,7 pr oteção de P. P f [ ] f [, ] f [,, ] P P P,7...... f,7 E,7 E,7... Prove iguldde seguite. P f f Eercício 7 f [ ] f [, ] ordem ordem f [ ]... f [, ]... f [ ]... P f [ ] f [, ] P P P P

Cálculo Numérico Iterpolção -5 P P P P f f. Iterpolção ivers: csos eistetes O prolem d iterpolção ivers cosiste em: ddo y f, f, oter, tl que f y. São dus, s forms de se oter. A primeir é ecotrr tl que P y ; A segud é fzer própri iterpolção ivers, utilizdo pr isso, os vlores de y... Ecotrr tl que P Oter P que iterpol f em,,,, e em seguid ecotrr, tl que f y. OBS. : Eercício 7 otido dest form ão permite se estimr o erro. Ecotre tl que f pel tel io:,5,6,7,8,9, f,65,8,,,6,7 Fzedo iterpolção lier por,6 e,7: P f P P P P.......... f.. Iterpolção ivers Se f for iversível um itervlo cotedo y, etão f y g y. Codição pr iversão de f : f é cotíu e moóto crescete decrescete um itervlo [, ].

Cálculo Numérico Iterpolção -55 Ddo f cotíu em,, etão f será dmitid moóto crescete se f < f < < f e moóto decrescete se f > f > > f. g y Eercício 7 Respeitds s codições dds cim, será otido o poliômio f y sore [ y, y ]. Cosidere tel seguir: P y que iterpol,,,,,5 y e,5,,99,98,687 Oter, tl que e,65, usdo um processo de iterpolção qudrátic. Usr form de Newto pr oter P y. Costruir tel de difereçs dividids. y ordem ordem ordem ordem,5,,99,98,687 P y g [ y ] y y g [ y, y ] y y y y g [ y, y, y ] P y P,65...... Assim, e,65 N clculdor,659. Erro cometido: E y y y y y y y! E,65 E,65 m ''' y g, y [ y, y ]. o Cso: pode ser proimdo por... tel de difereçs dividids de ordem.! E,65............ E y.......... o Cso: f e g y f y l y

Cálculo Numérico Iterpolção -56 ogo: E,65. Fuções splie em iterpolção Cosidere f 5 i,,,. teld o itervlo [,] os potos i i, com No gráfico io, pode ser oservd fução f e o poliômio P que iterpol o cojuto discreto de potos pr.,,8,6,,,,,6,8, f,8,59,,,5,,5,,,59,8 y P f - - [Fig. 6]: Gráfico do poliômio P iterpoldo f. Em certos csos, proimção por P pode ser desstros. Um ltertiv é iterpolr f em grupos de poucos potos, otedo-se poliômios de grus meores, e impor codições pr que fução de proimção sej cotíu e teh derivds cotíus té um cert ordem... Fução Splie Cosidere fução f teld os potos < < < <. Um fução S p é deomid SPINE DE GRAU p com ós os potos com i,,,, se stisfz s seguites codições: i,

Cálculo Numérico Iterpolção -57 Em cd suitervlo [ i, i ], com i,,,, S p é um poliômio de gru p represetdo por s i. S p é cotíu e tem derivd cotíu té ordem p em [, ]. S p i f i, com i,,,. Nestes termos, S p é deomid SPINE INTERPOANTE... Splie lier iterpolte É represetd por S. S pode ser escrit em cd suitervlo [ i, i ], com i,,, como: Eq. s i f i i i i f i i i i, [ i, i ]. Eercício 7 S defiid dess form stisfz s codições, e. Achr fução splie lier que iterpol fução f teld seguir. 5 7 y f,5,5 y s s s f [Fig. 7]: Splie lier iterpoldo potos. 5 6 7 Pel defiição, pode-se defiir splies lieres pr os potos: s, s e s. s y y s s..., [...,... ]. s y y s s........., [...,... ]. s y y

Cálculo Numérico Iterpolção -58 s s........., [...,... ]. Etão, o itervlo [, ][,7], splie lier S é dd por: S.. Splie cúic iterpolte É represetd por S. A splie lier tem derivd primeir descotíu os ós. A splie qudrátic S tem derivds cotíus té ordem, portto, pode ter picos ou troc rupt de curvtur os ós. A splie cúic S é mis utilizd por ter derivds primeir e segud cotíus, que fz S ser mis suve os ós. Supoh f dd por i, com i,,,. Tome S como splie cúic de f os ós i, cso eistm poliômios de gru defiidos em cd suitervlo por s, com,,,. Etão splie cúic S deve stisfzer s 5 igulddes seguites: S s pr [ S i f i, com i,,,. s, s s s,,,,,.,,,,., ],,,,. 5,, s s,,,,,,. Em cd itervlo [, ], s será dd por: Eq. Eq. s c d, com,,,. São coeficietes pr cd à serem determidos. Tome otção h, pr. Codição : é stisfeit pel defiição de s. Pr codição, tem-se s equções: d f s,,,,. Eq.5 s f h Codição pr,,,. h c h d f,.

Cálculo Numérico Iterpolção -59 Eq.6 Eq.7 s f h h c h d f. Pr s codições e 5, tome s derivds:, s c. Eq.8,, s 6. Pr,, s. Assim, o coeficiete é ddo por: Eq.9,, s. Pr,,,, s s 6h s 6,,,, s 6h h.. Impodo codição 5,,,, s s,, otém-se: Eq.,, s s 6h,,, com,, s ritrári. c c c N oteção de c, utilizm-se s equções Eq.5 e Eq.6: h h d, f h f f h f f h h,, s Dí, c pode ser ddo por: s d f h, sustituido 6,, s h e otém-se:,, h Eq. c f f h,,,, s h s h 6. Eq. N oteção dos coeficietes, tome y f e g g 6h, g s,. Eq. Eq. Eq.5 g c d y. y y h h g gh 6

Cálculo Numérico Iterpolção -6 que: y Impodo últim codição, Pr c c c h, s c, etão: h h c h h., s s,, com,,,, coclui-se Fzedo-se lgums sustituições, trvés ds equções Eq., Eq. e Eq.: y h g gh 6 Dí, cheg-se Eq.6: Eq.6 h g h h y y h g h g 6 h g gh 6 y y h g g 6 g h h y y, com,,,. h A equção Eq.6 é um sistem de equções lieres A g, ode,,,. A ordem do sistem é: A, g e. Pel vrição de, o sistem A g é idetermido. Pr se resolver o sistem, de form úic, é ecessário impor mis dus codições, presetds s três ltertivs seguir. Splie Nturl os etremos, S é proimdmete lier. " S g " S g Nos etremos, S é proimdmete práol. g g g g Nos etremos, é dd um iclição I e I pr S. ', S I s I h h c I ' S I, s I c I. Ns ltertivs e, são elimids dus vriáveis, g e g. Assim A g é SPD, sedo que, o sistem é ddo ordem: A, g e. N ltertiv, são crescetds dus equções. Assim A g é SPD, sedo que, o sistem é ddo ordem: A, g e. Eercício 75 Ecotrr um proimção pr f,5 por splie cúic turl, iterpoldo tel:,5,,5, y f,866,557,987 9,56

Cálculo Numérico Iterpolção -6, logo, procur-se s, s, s e s. Splie Nturl,,,,, Utilizdo Eq.6, segue que: Eq.6 h g h h g h g 6 y y h y y h Desevolvedo o sistem A g :... g... g... g...... g... g... g...... g... g... g... g g... Splie Nturl. Etão,......... g... A g......... g................ g... Sustituido os vlores:......... g............... g... g............. g...... Form gerl de s i s i i i i i c i i d i, com i,,,. f,5 s,5 c d ogo, g g... 6h... g...... y y hg gh... h 6 c... y... d... s,5... s,5...... f,5.

Cálculo Numérico Iterpolção -6 Cosiderdo os próimos 5 eercícios, ecotrr um proimção pr f por splie cúic turl, iterpoldo tel:,5,,5, y f,866,557,987 9,56, logo, procur-se s, s, s e s. Do eercício terior, form gerl de s i é dd por: s i i i i i c i i d i, com i,,,. Eercício 76 f,8. f,8 s,8 g g...... 6h c d g...... y y hg gh... h 6 c... y... d... ogo, s,8... s,8...... f,8. Eercício 77 f,. f, s, g g...... 6h g...... y y c hg gh... h 6 c... d y... d... ogo, s,,77,,6, 8,6678,,987 s,...... f,.

Cálculo Numérico Iterpolção -6 Eercício 78 f,. f, s, g g...... 6h c d g...... y y hg gh... h 6 c... y... d... ogo, s,... s,...... f,. Eercício 79 f,. f, s, g g...... 6h c d ogo, g...... y y hg gh... h 6 c... y... d... s,... s,...... f,. Eercício 8 f,7. f,7 s,7 g g...... 6h g...... c d ogo, y y hg gh... h 6 c... y... d... s,7... s,7...... f,7.

Cálculo Numérico Ajuste de curvs pelo método dos míimos qudrdos 5-6 5 Ajuste de curvs pelo método dos míimos qudrdos 5. Itrodução Um form de se trlhr com um fução defiid por um tel de vlores é iterpolcão. Cotudo, iterpolção pode ão ser coselhável qudo: É preciso oter um vlor proimdo d fução em lgum poto for do itervlo de telmeto etrpolção. Os vlores teldos são resultdo de eperimetos físicos, pois estes vlores poderão coter erros ieretes que, em gerl, ão são previsíveis. Surge etão ecessidde de se justr ests fuções telds um fução que sej um o proimção pr s mesms e que os permit etrpolr com cert mrgem de segurç. Assim, o ojetivo deste processo é proimr um fução f por outr fução g, escolhid de um fmíli de fuções em dus situções distits: Domíio discreto: qudo fução f é dd por um tel de vlores. y [Fig. 8]: Domíio discreto Domíio cotíuo: qudo fução f é dd por su form lític. y yf [Fig. 9]: Domíio cotíuo

Cálculo Numérico Ajuste de curvs pelo método dos míimos qudrdos 5-65 5. Cso Discreto O prolem do juste de curvs o cso em que se tem um tel de potos: m f f f f m com,,,, m g, g, g,, g, cotíus em [, ], oter costtes α, α, α,, α tis que fução g α g α g α g α g se proime o máimo de f. Este modelo mtemático é lier pois os coeficietes que devem ser determidos α, α, α,, α precem liermete, emor s fuções g, g, g, g possm ser ão lieres., Surge etão primeir pergut: Como escolher s fuções cotíus g, g, g,, g? Est escolh pode ser feit oservdo o gráfico dos potos teldos digrm de dispersão ou sedo-se em fudmetos teóricos do eperimeto que foreceu tel., m d Sej d f g o desvio em. O método dos míimos qudrdos cosiste em escolher os coeficietes α, α, α, α de tl form que som dos qudrdos dos desvios sej míim, isto é: m [ f g ] deve ser míimo. Assim, os coeficietes α, α, α,, α que fzem com que g se proime o máimo de f, são os que miimizm fução: F α, α, α,, m m α [ f g ] [ f α g α g α g α g ]. y g f d [Fig. ]: O método do míimos qudrdos Pr isto é ecessário que: g

Cálculo Numérico Ajuste de curvs pelo método dos míimos qudrdos 5-66,,,, j F α α α α α, j,,,,, isto é:,,,, j F α α α α α α α α m j g g g g f ] [ ] [, j,,,, ou α α α m j g g g g f ] [ ] [, j,,,, Assim, tem-se o seguite sistem de equções lieres com icógits α, α, α,, α : Eq.7 α α α α α α α α α m m m g g g g f g g g g f g g g g f ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ Que é equivlete : Eq.8 α α α α α α m m m m m m m m m f g g g g g f g g g g g f g g g g g As equções deste sistem lier são chmds de equções ormis. Este sistem pode ser escrito form mtricil A α : α α α α α α α α α

Cálculo Numérico Ajuste de curvs pelo método dos míimos qudrdos 5-67 ode A ij tl que ij um mtriz simétric; m m gi g j g j g, ou sej, A é i ji T, α,, e α [ α α] m T [,,, é tl que i ] g f. i emrdo que, ddos os vetores e y m m R o úmero rel y chmdo de produto esclr de por y, e usdo est otção o sistem orml tem-se: ij gi, g j e i gi, f ode: Eq.9 g l é o vetor l T gl gl gl m e [ g ] f é o vetor [ f f f f m ]. Dest form o sistem form mtricil fic: g, g g, g g, g g g g, g, g, g g g g, g α g, f, g α g, f, g α g, f T, y é A α, Demostr-se que, se s fuções g, g, g,, g forem tis que os vetores g, g, g,, g, sejm liermete idepedetes I, etão det A e o sistem de equções é possível e determido SPD. Demostr-se id que solução úic deste sistem, α, α, α,, α é o poto em que fução F α, α, α,, α tige seu vlor míimo. OBS. : Se os vetores g, g, g,, g, forem ortogois etre si, isto é, se g, g se i j e g, g se i j, mtriz dos coeficietes A será um mtriz i j i j digol, o que fcilit resolução do sistem Eercício 8 A α. Regressão ier Ajustr os ddos d tel io trvés de um ret. i 5,, 5, 6,8 8, i f i, 5,,8 6, 5,8 Fzedo α g α g e cosiderdo g... e g g..., tem-se: g............ Assim, ret que melhor se just os vlores d tel terá coeficietes α e α, que são solução do seguite sistem form mtricil: g, g g, g α g, f g, g g, g α g, f g [............... ] T g [............... ] T f [............... ] T

Cálculo Numérico Ajuste de curvs pelo método dos míimos qudrdos 5-68 g, g................................................... g, g................................................... g, g................................................... g, g................................................... g, f g, f Assim,...................................................................................................... ogo equção d ret procurd é: g............ Eercício 8 Ajustr os ddos d tel trvés d práol g : i 5 6 7 8 9 i,75,6,5,,,,5,7 f i,5,5,5,,5,,6,5,,5 y - [Fig. ]: Digrm de dispersão. Fzedo g α g e cosiderdo g, otém-se g...... Assim, pr se oter práol que melhor se just os potos d tel, será ecessário ecotrr α do sistem: [ g, g ] [ α ] [ f, g ] g [..............................] T f [..............................] T g, g...................................................................................................... g, f...................................................................................................... α...... Assim,

Cálculo Numérico Ajuste de curvs pelo método dos míimos qudrdos 5-69 ogo equção d práol procurd é: g............ Ajustr os ddos d tel io por um poliômio do segudo gru g α α α. Eercício 8 i i f i 9 Neste cso tem-se que: g..., g... e g... g, g g, g g, g α g, g g, g g, g α g, g g, g g, g α g [............ ] T g [............ ] T g [............ ] T f [............ ] T g g g, f, f, f g, g................................................... g, g................................................... g, g................................................... g, g................................................... g, g................................................... g, g................................................... g, g................................................... g, g................................................... g, g................................................... g, f g, f g, f Assim,......................................................................................................................................................... ogo equção d práol procurd é: g............

Cálculo Numérico Ajuste de curvs pelo método dos míimos qudrdos 5-7 5. Cso Cotíuo No cso cotíuo, o prolem de juste de curvs cosiste em: dd um fução f, cotíu em [, ] e escolhids s fuções g, g, g,, g, tods cotíus em [, ], determir costtes α, α, α,, α de modo que fução g α g α g α g α g se proime o máimo de f o itervlo [, ]. Seguido o critério dos míimos qudrdos pr o coceito de proimidde etre f e g, os coeficietes α, α, α,, α serem otidos são tis que [ f g ] d sej o meor possível. Pr chr α tl que g f, tome: [ f g ] d F α F α, α, α,, α. F α j Ecotrm-se os potos críticos de F α: α, j,,,. F α s, F α [ f g ] d [ f f g g ] d f d f g d g d. Ao desevolver F α j α, j,,,, otém-se: α g d g α g d g α g d O α g g d α g g d α g d Este é um sistem lier A α de ordem. A ij tl que ij g g d ji ij ji. i j f g d f g d. f g d i A é SIÉTRICA. α α, α, α,, f g d. i α e,,,,, tl que Usdo defiição de produto esclr de dus fuções p e q o itervlo [, ] por p, q p q d, o sistem A α fic: Eq. A ij g i, g j e i f, gi.

Cálculo Numérico Ajuste de curvs pelo método dos míimos qudrdos 5-7 Eercício 8 Aproimr fução f por um poliômio do primeiro gru, um ret, o itervlo [,]. g α g α g............, isto é, g... e g.... α A α g, g g, g α α g, g g, g f, g α f, g g,... g g, g g, g... g,... g f, g... f, g... A α ogo: g............ f em [,]. Eercício 85 Aproimr fução f e o itervlo [,] por um ret. g α g α g............, isto é, g... e g.... A α α α g, g g, g g, g α g, g f, g α f, g g,... g g, g g, g... g,... g f, g... f, g...