Dnâmca do copo ígdo 3 DNÂCA DO COPO ÍGDO 8 8. ntodução Um copo ígdo consttu-se de um conjunto de patículas (massas pontuas) dspostas de tal foma que as dstâncas elatvas ente elas são fxas. As les da mecânca do ponto contnuam váldas se consdeamos somente o movmento do cento de massa do copo ígdo. Além deste movmento tanslaconal descto pelas les de Newton, o copo também pode sofe uma otação ao edo de um exo, que pode eventualmente passa pelo seu cento de massa. Assm, paa especfcamos com exatdão a posção de um copo ígdo, é necessáo conhecemos o movmento de seu cento de massa e o ângulo de otação θ, como mosta a Fg. 8.. θ Fg. 8. ovmento de um copo ígdo combnando tanslação e otação. 8. otação em tono de um exo fxo Vamos eve algumas gandezas físcas necessáas paa desceve a otação de um copo ígdo ao edo de um exo fxo. Consdeemos um ponto localzado a uma dstânca do exo de otação de tal manea que seu veto S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
3 Dnâmca do copo ígdo posção foma um ângulo θ com a lnha tacejada hozontal, confome mosta a Fg. 8.. dθ θ ds Fg. 8. otação de um copo ígdo em tono de um exo fxo. A velocdade angula do copo é defnda como sendo a vaação tempoal do ângulo θ: dθ ω ( t) [ad/s] Duante um ntevalo de tempo, o ponto desceve um aco ds dθ ω, onde na últma gualdade usamos a defnção de ω dada acma. A velocdade tangencal coesponde à vaação de ds com o tempo e assm, v ds [ m/s] ( t) ω( t) Como dexamos explícto acma, ω(t) pode depende do tempo e sua vaação defne a aceleação angula α: dω d θ α [ad/s ] Evdentemente, neste caso temos também aceleação tangencal e como é constante duante a otação (copo ígdo), ela é defnda como: d s dω a α [m/s ] Devemos nos lemba que como este ponto desceve um cículo, também sofe a aceleação centípeta dada po: S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 33 v a c ω O conjunto de equações acma tem uma foma smla ao encontado no caso do movmento etlíneo se substtumos θ, ω e α po x, v e a. No caso em que α é constante (otação unfomemente aceleada) obtemos po ntegação deta que: ω ω 0 + αt θ θ 0 + ω 0 t + αt 0 ( θ ) ω ω + α θ As gandezas θ, ω e α que caactezam o movmento otaconal também podem se epesentadas vetoalmente. A deção neste caso é a do exo em tono do qual o copo oda. O sentdo é defndo pela ega da mão deta, colocando-se os dedos na deção em que θ aumenta. O polega concde então com o exo de otação e ndca o sentdo do veto θ. Esttamente falando, θ só pode se consdeado veto quando o exo de otação não muda ou quando θ 0. Caso contáo, ele não obedece a ega de comutação dada po: θ + θ θ + θ Como exemplo, consdeemos duas otações consecutvas de um paalelepípedo, ambas de 90 0, confome mosta a Fg. 8.3. Se a a otação se de em tono de x e a a em tono de y, a posção fnal do copo seá dfeente daquela obtda se a odem das otações foem nvetdas. sto demonsta a não comutatvdade de θ. Po outo lado, ω e α comutam poque envolvem ω dθ / e α dω/. vetoes nfntesmas ( ) 0 S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
34 Dnâmca do copo ígdo 90 y x 90 90 y x 90 Posção fnal Fg. 8.3 Não comutatvdade da otação de um copo ígdo paa exo não fxo. 8.3 Enega otaconal e momento de néca Se magnamos um copo ígdo odando em tono de um exo fxo, dvddo num númeo muto gande de pates, cada uma com massa m, veemos que a enega cnétca de cada uma destas pates é: K m v m ω S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 35 pos sabemos que a velocdade tangencal é v ω e que a velocdade angula ω é a mesma paa todos os elementos de massa m. A enega cnétca total do copo ígdo pode se encontada somando-se as enegas ndvduas de cada componente do sstema: K K m O temo ente paênteses é conhecdo como momento de néca, denotado po. A enega cnétca de otação de um copo ígdo pode então se escta como: K ω com m. A defnção do momento de néca dada acma é válda no caso em que o copo é composto po patículas dscetas. Se tvemos uma dstbução contínua de massa devemos faze m dm e tansfoma a soma em ntegal: V dm Compaando a enega cnétca de otação com a de tanslação, vemos que o momento de néca faz o papel da massa necal e a velocdade angula faz o papel da velocdade tangencal. O momento de néca depende fotemente da dstbução de massa com elação a um exo específco, em tono do qual o copo oda. Desta foma, um mesmo copo ígdo pode te váos momentos de néca que dependem dos exos de otação escolhdos. Paa uma dada velocdade angula ω, como o momento de néca depende do exo de otação, a enega cnétca também dependeá. Como exemplo, vamos consdea tês massas pontuas (potanto, dscetas), lgadas po hastes ígdas sem massa, de manea a foma o tângulo equláteo mostado na Fg. 8.4. O momento de néca em elação ao exo () mostado na Fg. 8.4 é dado po: ω S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
36 Dnâmca do copo ígdo m m ( ) m m m m Fg. 8.4 Copo ígdo fomado po um tângulo equláteo com massas no vétce. Queemos, a segu, calcula o momento de néca com elação a um exo pependcula ao plano da fgua e passando pelo cento de massa do tângulo. A dstânca de cada massa a este exo é de d / 3, de foma que teemos: 3md Po sua vez, o momento de néca em elação a um exo pependcula ao plano da fgua e passando po uma das massas é: m O momento de néca apesenta uma sée de popedades nteessantes que mutas vezes smplfcam a ealzação dos cálculos. Veemos estas popedades a segu. Teoema dos exos paalelos (Teoema de Stene) Se conhecemos o momento de néca de um copo em elação a um exo passando pelo cento de massa, podemos faclmente enconta o momento de néca em elação a um exo paalelo a ele, como mosta a Fg. 8.5. O momento de néca em elação ao exo passando pelo cento de massa é: m dm S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 37 enquanto que em elação ao exo paalelo, ' dm C.. dm Fg. 8.5 Fgua usada paa a demonstação do teoema dos exos paalelos. Entetanto, como h podemos esceve: ( h ) dm dm + h dm h dm O últmo temo nos dá a dstânca do C.. ao exo passando pelo C.. que, obvamente, é nula. ogo, + h No exemplo das tês massas fomando o tângulo equláteo vsto anteomente na Fg. 8.4, encontamos: m. Tomando um exo paalelo que passa po uma das massas temos h / 3 e 3m. Pelo teoema de Stene encontamos: 3 + h m + 3m m que concde com o esultado obtdo anteomente. h S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
38 Dnâmca do copo ígdo Teoema dos exos pependculaes Este teoema é váldo paa copos planos, do tpo placa, mostado na Fg. 8.6. z x ρ y x y Fg. 8.6 Fgua usada paa a demonstação do teoema dos exos pependculaes. Potanto, Os momentos de néca com elação aos exos x, y e z são dados po: z x y ydm x x dm y ρdm + dm ( x y ) z +, sto é, a soma dos momentos de néca de dos exos pependculaes contdos no plano do copo é gual ao momento de néca em elação a um 3 o exo pependcula ao plano do copo e passando pela nteseção dos dos pmeos. Quando este 3 o exo passa pelo cento de massa é denomnado de exo pola. de néca. Vamos a segu consdea alguns exemplos de cálculo de momento a) assa pontual Este caso, mostado na Fg. 8.7, é o mas smples e leva a um momento de néca dado po: md,. Onde d é a dstânca da massa ao exo. S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 39 m d Fg. 8.7 assa pontual odando em tono de um exo. b) Aco de ao - O cálculo do momento de néca de um anel de ao em elação a um exo passando pelo cento de massa e pependcula ao plano do anel (exo pola) também é bastante smples poque cada elemento de massa dm está à mesma dstânca constante do exo de otação, confome ndcado na Fg. 8.8. Potanto, dm dm dθ ds Fg. 8.8 Anel odando em tono do exo pola. c) Baa delgada de compmento - A baa mostada na Fg. 8.9 oda em tono de um exo pependcula passando pelo cento de massa. A densdade lnea de massa é λ /, de foma que o elemento nfntesmal possu dm λ dx (/) dx. Como / x /, temos: / / / 3 x dx x 3 / S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
40 Dnâmca do copo ígdo dx Fg. 8.9 Baa delgada odando em tono do cento de massa. d) Baa delgada com exo passando pela extemdade Confome ndcado na Fg. 8.0, a únca dfeença do caso anteo é o ntevalo de vaação de x, que agoa é: 0 x. Desta foma, a ntegal fca: 0 x ( ) ( ) ( ) 3 dx x + onde nesta últma passagem utlzamos o teoema dos exos paalelos. 3 0 3 Fg. 8.0 - Baa delgada odando em tono da ponta. e) Anel de ao com exo no plano do anel - A densdade lnea de massa paa o anel é λ /π, de foma que o elemento de massa mostado na Fg. 8. possu dm λ dθ (/π)dθ. Sua dstânca ao exo y é dada po: x sen θ e, potanto, y π sen θdθ 0 π π y π 0 x ( cos θ) dθ pela pópa smeta do poblema. Po outo lado, vemos que x + y S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 4 z como ea de se espea pelo teoema dos exos pependculaes. y θ dm x x Fg. 8. Anel odando em tono de um exo contdo no seu plano. f) Dsco de ao - A densdade supefcal de massa de um dsco de ao é σ /π. Confome vemos na Fg. 8., um dsco pode se consdeado como composto de um gande númeo de anés concêntcos, de ao e espessua d. A massa elementa de cada um destes anés é dada po: dm σ da, onde da πd. Fg. 8. Dsco odando em tono do exo pola. O momento de néca pola do anel é d z dm. Paa calculamos o momento de néca do dsco devemos soma as contbuções de todos os anés concêntcos compeenddos ente 0 e. Assm, ( ) 3 πd d 0 0 π z Pelo teoema dos exos pependculaes, z y x 4 S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
4 Dnâmca do copo ígdo g) Clndo macço de ao - A densdade volumétca de massa paa um clndo de ao e altua H é dada po: ρ /V /π H. Po outo lado, um clndo pode se encaado como se fosse uma plha de númeos dscos fnos de ao e altua dz, como vsto na Fg. 8.3. A massa de cada dsco é dm ρ π dz dz/h. O momento de néca pola de cada dsco elementa é d z ½ dm, como calculado no ítem anteo. Ao se soma as contbuções de todos os dscos fazemos uma ntegal onde z vaa de 0 a H. Assm, H dm 0 H dz Neste caso não podemos usa o teoema dos exos pependculaes paa enconta z ou y, pos o copo não é plano. z dz H Fg. 8.3 Clndo macço odando em tono do exo de smeta. 8.4 Dnâmca da otação em tono de um exo fxo Da mesma foma que a tanslação, a otação é causada po um agente exteno poduzndo uma foça. Consdeemos um copo ígdo odando com velocdade angula ω em tono de um exo fxo O, confome mosta a Fg. 8.4. Exste uma foça F aplcada a uma dstânca do exo. Queemos enconta o tabalho ealzado po esta foça. S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 43 O (t + ) (t) F ds Fg. 8.4 - Tabalho ealzado po uma foça duante a otação de um copo ígdo Duante um ntevalo de tempo, o copo oda a um ângulo dθ ω t pecoeá uma, de modo que o ponto especfcado pelo veto ( ) dstânca ds e o tabalho ealzado pela foça F é dado po: dw F.ds Usando a defnção vetoal de d θ e d ω, podemos esceve ds como sendo e assm, ds dθ ω Entetanto, como F. ( ω ) ( ) fonecda pela foça F como sendo: dw F. ( ω ) ω. F podemos esceve a potênca P dw ω. ( F) Paa que o tabalho (ou potênca) não seja nulo, F deve te uma componente paalela a ds e, consequentemente, pependcula a. Compaando com o movmento tanslaconal vemos que ω faz o papel de v e τ F faz o papel da foça. τ é denomnado de toque da foça F em elação ao ponto O. S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
44 Dnâmca do copo ígdo Vamos a segu enconta uma elação ente τ e α que seja coespondente à a le de Newton. Já vmos que K ω, potanto: dk d ω dω P ω. ω. τ ogo, escevemos: dω τ α No caso de temos váas foças poduzndo váos toques, N τ α Como aplcação deta desta le de otação, vamos consdea o segunte exemplo: uma coda de densdade lnea de massa λ está enolada em uma oldana de massa e ao, que pode oda lvemente em tono de um exo, como mosta a Fg. 8.5. O momento de néca da oldana é 0. O l Fg. 8.5 Coda desenolando de uma oldana. Se um compmento l 0 está ncalmente desenolado e a velocdade angula ncal ω 0 é nula, qual seá a aceleação e a velocdade da coda como função de l? Nesta stuação, a massa pendente é m(l) λl e a a le de Newton paa a coda é: ma mg T λla λlg - T S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 45 modo que, O toque ealzado pela coda sobe a pola é dada po: τ T de dω T 0α 0 Po outo lado, como a coda não deslza sobe a oldana podemos esceve v ω e a α. Assm, a oa T T 0 a Substtundo este esultado na equação paa a coda obtemos: λlg a λl + Paa o cálculo da velocdade fazemos: a Como dl/ v, temos: dv v dl dv dv dl dl l dv λ g dl λl + l λ gl dl g ( ) / + λl g l l 0 l λ + λ l 0 l / / + λl 0 v n Este esultado mosta que se 0 a coda estaá em queda lve. Poém, se 0 pate da enega é gasta paa aumenta a velocdade angula da pola. 8.5 Equlíbo estátco de um copo ígdo Como vmos até agoa, um copo ígdo pode possu movmentos otaconal e tanslaconal, aos quas estaão assocados espectvamente um toque e uma foça extena. Dzemos que um copo está em equlíbo quando seu movmento otaconal-tanslaconal não se altea no tempo (a α 0). Em patcula, quando há ausênca de movmento (v ω 0) dzemos que o S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
46 Dnâmca do copo ígdo copo está em equlíbo estátco (epouso). A condção necessáa paa que ocoa esta stuação é: F 0 τ 0 (tanslaconal) (otaconal) Vamos analsa alguns exemplos onde o equlíbo estátco se manfesta. ncalmente, vamos consdea uma escada encostada numa paede sem atto, como mosta a Fg. 8.6. Sabendo-se que a massa da escada é, o compmento é e o atto com o chão é µ, queemos calcula o meno ângulo θ paa o qual a escada não escoega. N g N θ F at Fg. 8.6 Escada apoada numa paede sem atto. Como as foças e toques totas são nulos: g N 0 N F at N - µn 0 g cosθ Nsen θ 0 (toque em tono de O) Deste conjunto de equação encontamos uma expessão paa o ângulo mínmo θ: tgθ ou θ tg - µ µ Um segundo exemplo é o de uma caxa de altua h e base, colocada S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 47 sobe uma mesa nclnada com atto, confome mosta a Fg. 8.7. Se a caxa não deslza, qual é a máxma nclnação antes dela ola? Enquanto o toque em tono de O devdo à foça peso estve apontado no sentdo ndo paa o nteo da págna (hoáo) não haveá otação. Quando ele nvete de sentdo (ant-hoáo), haveá otação. Exste uma stuação em que o toque é nulo, o que defne o ângulo cítco θ c. Se este ângulo fo dmnuído, o toque é hoáo (não oda) e se fo aumentado é ant-hoáo (oda). Esta stuação cítca ocoe quando é paalelo a F ( τ F 0), sto é, quando a foça peso passa pelo ponto de apoo O. Nesta condção, tgθ c h h h O θ θ Fg. 8.7 Caxa num plano nclnado com atto. 8.6 Aceleação constante Vamos nesta seção consdea o caso em que exste uma foça extena agndo sobe o copo ígdo, capaz de poduz uma aceleação constante. Em geal, exste nesta stuação um movmento combnado de otação e tanslação. Estes movmentos podem se analsados ndependentemente e posteomente elaconados po uma equação do tpo α a/ ou ω v/. a) ô-ô Consdee um ô-ô de massa e ao (na foma de um dsco como o mostado na Fg. 8.8) que é solto a pat do epouso. Queemos enconta ω(t) e v(t). S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
48 Dnâmca do copo ígdo T P g Fg. 8.8 ô-ô solto a pat do epouso. As equações paa foças e toque são dadas espectvamente po: g T a T α T α onde /, a é a aceleação do cento de massa do dsco e o toque é calculado em elação a este ponto. Nas duas equações acma temos 3 ncógntas (T, a e α), mas uma nova equação envolvendo a e α pode se encontada. Se estvemos no cento de massa veemos o ponto P subndo com aceleação a e o dsco odando com aceleação angula α. Assm, é fácl notamos que: a α dω, onde então, ogo: g dω dω d d ω ω + + g dω g gt 3 de onde se obtém ω ( t) 3 e consequentemente v 3 ( t) ω( t) gt b) Caetel Um caetel de ao nteno e ao exteno enconta-se sobe uma mesa com atto como ndcado na Fg. 8.9. Ele é puxado po um fo que poduz uma foça F fazendo um ângulo θ com a hozontal. Obseva-se que S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 49 paa θ < θ c (ângulo cítco) o caetel ola sem deslza na deção da foça F e paa θ > θ c ele oda no sentdo oposto. Queemos enconta o valo de θ c. Vamos supo que o caetel ande na deção de F. As equações paa a tanslação do cento de massa são: g N + Fsen θ a at F + Fcos θ e paa o toque em tono do cento de massa: g F θ F at N Fg. 8.9 - Caetel puxado sobe uma mesa com atto. F at F 0α onde supusemos que o caetel é aceleado paa a deta. Usando a α e 0, temos paa a equação da tanslação: F at a Fcosθ α Fcos θ Substtundo F at na equação da aceleação angula obtemos: α + F cosθ F 0α α ( + ) F( cosθ ) 0 α F ( cosθ ) 3 S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
50 Dnâmca do copo ígdo Quando α > 0 o caetel oda paa a deta (sentdo hoáo) e quando α < 0 ele oda paa a esqueda (sentdo ant-hoáo). O ângulo cítco ocoe paa α 0 sto é: cosθ c 0 θ c cos c) Dsco sobe uma mesa sem atto A Fg. 8.0 mosta um dsco de massa e ao, que está detado sobe uma massa sem atto. Ele é puxado po um copo de massa m atavés de um fo enolado ao seu edo. Se o sstema é solto a pat do epouso, qual seá a velocdade do cento do dsco e a tensão na coda? m Fg. 8.0 - Dsco puxado sobe uma mesa sem atto. A únca foça agndo sobe o dsco é a tensão na coda. As equações paa a tanslação e otação do copo são dadas espectvamente po: com 0 dv T a dω T 0α 0. Paa o copo de massa m temos apenas a tanslação, descta pela equação: mg T ma' m( a + α) S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 5 onde levamos em conta o vínculo a a + α. sto sgnfca que a aceleação do copo m se deve tanto à aceleação do cento de massa dsco, como do fato da coda esta sendo desenolada com aceleação angula α. Substtundo os valoes de a e α obtdos anteomente fcamos com: mg T m T T + Desta equação podemos ta o valo de T como: 3m mg T + e voltando paa a expessão da aceleação obtemos: a dv T g 3 + 0 3mT mg T + 3m/ v( t) m 3 gt + m enquanto que paa a aceleação angula, α T mg + 3m/ gt ω( t) (3 + /m) g 3 + m d) Dsco puxado pelo cento de massa O dsco vsto na Fg. 8. não patna devdo à exstênca da foça de atto. Neste caso, a α e as equações de movmento são: F F at a a F α a / Fat at ogo, F - a/ a, que nos leva à aceleação: velocdade: v( t) t. 3 F a dv 3 F e à a S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
5 Dnâmca do copo ígdo F F at Fg. 8. Dsco puxado pelo cento de massa. 8.7 omentum angula Consdeemos uma patícula descta pelo veto posção (t) movendo-se no espaço com velocdade v ( t), como mosta a Fg. 8.. A a le de Newton paa esta patícula é dada po: dp F v, O Fg. 8. ovmento tdmensonal de uma patícula. Vamos multplca vetoalmente os dos lados desta gualdade po (t) Desta foma teemos: dp τ F onde τ é o toque da foça F em elação ao ponto O. Po outo lado, se tomamos a devada do poduto p temos: d dp d dp ( p) + p + v mv O poduto vetoal v v é nulo (vetoes paalelos) e assm:. S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 53 d ( p) dp ogo: d d τ ( p) onde p é defndo como momentum angula da patícula em elação ao ponto O. Note que depende do ponto O consdeado. Como vmos anteomente, τ α dω/ d( ω) /. Esta últma passagem só é válda quando temos otação em tono de um exo fxo e neste caso é constante. Então, ω ou p Como dssemos, a pmea gualdade é válda quando é constante (movmento em tono de um exo) e é muto empegada em cálculos onde copos extensos são envolvdos. A segunda gualdade é bastante mpotante quando massas pontuas são envolvdas. Um exemplo nteessante é o de uma patícula movendo-se em lnha eta, como mosta a Fg. 8.3. Ela apesenta momentum angula se sua tajetóa não passa pela ogem de. Vemos que: p mv mvsen θ kˆ Como senφ b, temos mvbkˆ. tajetóa b y φ mv O x Fg. 8.3 ovmento etlíneo de uma patícula. S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
54 Dnâmca do copo ígdo 8.8 Toque e momentum angula de um sstema de patículas Consdeamos um sstema composto de N patículas, cada uma movendo-se com velocdade v meddas em elação a um ponto fxo O. O momentum angula total do sstema é dado po: que po sua vez satsfaz a gualdade: τ N N τ d Ao calculamos o toque total sobe o sstema de patículas, notamos que o toque devdo às foças ntenas é nulo. Paa povamos este fato, consdeemos duas patículas consttuntes do sstema mostadas na Fg. 8.4. F F O Fg. 8.4 Toque devdo às foças ntenas.. As foças F e F consttuem um pa ação-eação e pela 3 a le de Newton sabemos que F - F. Assm, o toque devdo a estas foças é dado po: τ + τ F + F ( ) F está na deção da lnha pontlhada que une a, seu poduto Como ( ) vetoal com F é nulo e assm concluímos que os toques devdos às foças ntenas se cancelam aos paes. Potanto, a equação coeta é: S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 55 τ ext d / Como vmos anteomente, paa o caso de otação ao edo de um exo fxo temos ω e, potanto: τ dω/ ext Como um pmeo exemplo, vamos calcula o momentum angula paa um dsco gando ao edo de seu exo de smeta como mostado na Fg. 8.5. Tomando a -ésma massa m do dsco, temos: p m v kˆ Como v ω, segue que: m ( ω) kˆ ( m ) ωkˆ ω v Fg. 8.5 otação de um dsco em tono de seu exo pola. e assm, o momentum angula total é dado po: ( m ) ωkˆ ωkˆ ω onde, de acodo com a defnção anteo m. No caso que acabamos de ve, o exo de otação passa pelo cento de massa. Caso ele esteja deslocado de uma dstânca do cento de massa, S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
56 Dnâmca do copo ígdo como mosta a Fg. 8.6, o momento de néca seá dado po (teoema dos exos paalelos): ' + e o momento angula fca sendo: ' ' ω ω + ( )ω A velocdade do cento de massa pode se escta vetoalmente como: ω V ω C.. O Fg. 8.6 otação de um dsco em tono de um exo paalelo ao exo pola. Assm, se tomamos o duplo poduto vetoal ( ω ) ω(.) (. ω) ω pos como ω e são pependculaes temos. ω 0. Desta foma, ' + P de onde vemos que o momentum angula de um copo ígdo em elação à otação em tono de um exo O é a soma do momentum angula em elação S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 57 ao cento de massa com o momentum angula assocado à otação do cento de massa em tono do exo O. Vmos há pouco que a vaação do momentum angula de um sstema depende apenas do toque exteno aplcado sobe ele. Vamos utlza este conceto paa analsa a máquna de Atwood mostada na Fg. 8.7, onde a oldana tem massa, ao e momento de néca 0 /. O momentum angula total do sstema em elação ao exo O é a soma do momentum da oldana ( 0 ω) com o das duas massas ( m v + m v). Como a coda não deslza sobe a oldana, v ω e, potanto: v 0 + ( m + m )v O v T m g m m T m g v Fg. 8.7 áquna de Atwood. As foças extenas agndo sobe o sstema são m g, m g e, mas esta últma não ealza toque pos está aplcada sobe o exo de otação ( 0 ). Tomando como postvo o sentdo entando no papel, encontamos o toque como sendo: τ d d dv d ( m m ) g a dv dv ext S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
58 Dnâmca do copo ígdo Substtundo a expessão de como função de v obtemos: 0 ( m m ) g + ( m + m ) a ( m m ) g ( m m ) g a 0 m + m + m + m + Paa o caso 0, ecupeamos o esultado obtdo no Cap. 4. Podemos anda calcula as tensões T e T exstentes na coda. solando m e m, obtemos: m g T m a T m ( g a) T' m g ma T' m( a + g) Como o valo de a já fo detemnado, encontamos: No caso 0, T T T m T' m ( m + /) g m + m + / ( m + /) g m + m + / mm g m + m, como já obtdo anteomente. solando a coda, como sua massa é nula, a foça total sobe ela também o é. Podemos então calcula a foça tangencal execda pela pola sobe ela pos F + T - T 0. Como m > m, temos T > T e F T T' ( m m ) g m + m + / 8.9 elação tabalho-enega otaconal Da mesma foma que na tanslação, a vaação da enega otaconal de um copo se deve à ealzação de tabalho po um agente exteno, no caso, S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 59 o toque. Já sabemos que K e a dfeencal desta enega seá: ω dω dk ωdω ( ω) Sabemos anda que d θ ω e dω/ α τ. ogo: dk τdθ dw Assm, toque que poduz uma otação dθ ealza uma quantdade de tabalho dw τdθ. A vaação da enega otaconal é dada po: K τdθ 8.0 Consevação do momentum angula Quando o toque é nulo, τ d 0, o momentum angula é ext constante. Além da consevação do momentum e da enega, vemos agoa a gandeza momentum angula também pode se conseva. Como ω, concluímos que dmnundo, ω aumenta ou vce-vesa. Como casos pátcos podemos cta a patnação no gelo e saltos onamentas. Vamos a segu analsa alguns exemplos típcos de consevação de momentum angula. a) Choque ente dos dscos Consdee um dsco de momento de néca e velocdade angula ω 0, odando num exo sem atto passando po seu cento de massa. Ele ca sobe outo dsco de momento de néca, ncalmente paado. Vamos calcula a velocdade angula fnal do conjunto usando consevação do momentum angula. f ω 0 ( + ) ωf ωf ω0 + Este é um choque do tpo nelástco. Vamos calcula a vaação da enega do sstema, dsspada em calo. As enegas cnétca ncal e fnal são dadas espectvamente po: S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas 60 Fg. 8.8 - Choque nelástco ente dos dscos. ( ) 0 0 E ω ω ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) f f f f E + + ω + ω + Como f vemos que E f < E, sto e: 0 f E E E E + ω + + Este esultado é análogo ao do choque pefetamente nelástco ente duas massas, dscutdo no Cap.4. b) Choque nelástco ente bala e baa delgada Uma baa, de massa, compmento e momento de néca /, tem seu cento fxo. Uma bala de massa m e velocdade v é dspaada pependculamente à baa e a atnge a uma dstânca l, fcando engastada. Se a haste está ncalmente em epouso com que velocdade angula ela odaá? ω 0
Dnâmca do copo ígdo 6 v m l Fg 8.9 - Choque nelástco ente bala e baa delgada. O momentum angula ncal é mvl e o fnal é: f ( + ml ) ω + ml ω Usando a consevação do momentum angula obtemos: ω mvl + ml c) Velocdade dos planetas Os planetas gando em tono do sol consevam // F. Baseados momentum angula, pos a foça gavtaconal é cental ( ) neste fato, queemos mosta que o veto descevendo a posção do planeta vae áeas guas em tempos guas. Vamos consdea um planeta gando em tono do Sol, como mosta a Fg. 8.30. Sol da Fg. 8.30 otação de um planeta em tono do Sol. S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
6 Dnâmca do copo ígdo Duante um ntevalo de tempo, o planeta desloca-se v e o veto posção vae uma áea da v. Assm, da v mv m m Como é constante, da/ também o é e os planetas vaem áeas guas em tempos guas. Esta le fo deduzda po Kepple a pat de obsevações astonômcas. 8. Combnação de tanslação e otação Quando um copo ígdo executa smultaneamente os movmentos de tanslação e otação, tona-se em geal dfícl desceve este movmento combnado. O que se faz é decompo o movmento em dos: o de tanslação do cento de massa e o de otação em tono dele. A análse se smplfca medante o uso do segunte teoema: O toque total em elação ao cento de massa τ é gual à devada tempoal do momentum angula elatvo a este ponto. atematcamente, τ d Paa a demonstação deste teoema vamos consdea o sstema de patículas mostado na Fg. 8.3. é o veto posção do cento de massa, é o da -ésma patícula elatvo à ogem O e é o veto elatvo ao cento de massa. Estas coodenadas estão elaconadas atavés da expessão: + Já vmos no Cap. 6 que o veto é dado po: N N N N m m ( + ) m + m S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 63 z cm y Fg. 8.3 Sstema de patículas sujeto a tanslação e otação. e, potanto, 0, como ea espeado já que a massa está dstbuída m compensadamente ao edo do cento de massa. A velocdade de -ésma patícula é dada po: x v d d d + S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas v + u onde v é a velocdade do cento de massa, u é a velocdade elatva ao cento de massa e m u 0, que é conseqüênca deta da devação de m 0. O momentum angula da patícula elatvo ao ponto O é: mv m ( + ) ( v + u ) m ( V ) + m ( u ) + m ( V ) + m ( u ) O momentum angula total do sstema é. Potanto, V + ( mu ) + ( m ) V + m u O pmeo temo é o momentum angula do cento de massa elatvo ao ponto O, os dos temos ente paênteses são nulos e o últmo é o momentum angula elatvo ao cento de massa, sto é,
64 + P Dnâmca do copo ígdo τ O toque total exteno agndo no sstema é: ext N F N ( + ) F F + F O segundo temo é o toque elatvo ao cento de massa e o pmeo é o toque no cento de massa elatvo ao ponto O. τ F + τ ext Tomando a devada tempoal da expessão temos: d d d dv + V + d d + a + F τ Compaando com a expessão paa τext obtemos: d τ Esta equação é muto mpotante, pos pemte sepaa o movmento tanslaconal do cento de massa do movmento otaconal ao seu edo. Vamos, em seguda, analsa alguns exemplos em que o movmento de otação apaece combnado com o de tanslação. a) Clndo descendo um plano nclnado Consdeemos um clndo olando sobe um plano nclnado sem deslza, como mosta a Fg. 8.3. Como o ponto de contato é o cento nstantâneo de otação sabemos que V ω e a α. ext N N ext S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 65 g F at θ N Fg. 8.3 - Clndo descendo um plano nclnado com atto. O únco toque ao cento de massa é dado pela foça de atto, no sentdo que sa do plano da fgua. Desta foma, τ d dω a F at α Fat O movmento de tanslação é descto pela equação: g sen θ F at a ogo: a gsen θ a + 3 gsen θ e at g sen θ F 3 3 b) ovmento de um goscópo O goscópo, mostado na Fg. 8.33, oda de tal foma que seu momentum angula é e seu exo mantém-se no plano hozontal, sto é, F g. O toque elatvo ao cento de massa é τ F, com módulo τ gd e sentdo de Ω. F o Ω D ω g a a Fg. 8.33 - ovmento de um goscópo. S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
66 Dnâmca do copo ígdo Como d τ, vemos que d τ. O veto d é pependcula a, como ndca a Fg. 8.34. Em outas palavas, vaação de se dá apenas na deção e não no módulo (não exste componente de d paalela a ). O efeto é um go do sstema em tono do ponto de apoo. O acéscmo de ângulo poduzdo pelo toque é dado po: d ϕ d, e duante o ntevalo de tempo temos: d τ gd d ϕ A taxa de vaação do ângulo ϕ, chamada de velocdade de pecessão do goscópo, é dada po: dϕ Ω gd gd ω Fg. 8.34 Vaação de momentum angula poduzda pelo toque. Se fosse nulo g sea mao que F e o goscópo caa. De um modo geal, quando o goscópo é solto na hozontal, há um pequeno movmento na vetcal denomnado de nutação. Esta contbução apaece quando consdeamos a contbução do movmento do cento de massa ao momentum angula do sstema. O cento de massa tem uma velocdade V ΩD e assm V D DΩD D Ω. A deção e sentdo de é a mesma que F. Quando o goscópo é solto, Ω 0 e 0. O momentum angula nesta deção deve se conseva, pos não há nenhum toque exteno nela. Assm, quando dexa de se zeo, o goscópo abaxa um pouco tal que passa a te uma componente contáa a no sentdo de anulá-lo. A néca assocada a este movmento faz com dϕ d S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 67 que haja uma osclação peódca (nutação) na vetcal, que tende a se amotece se houve atto no sstema. Extnto este movmento, o goscópo se movmenta um pouco abaxo do plano hozontal. Caso o goscópo esteja fazendo um ângulo θ com a vetcal, o toque é dado po τ gdsen θ, de onde se obtém gdsen d sen d θ ϕ θ e, potanto, gd Ω ω ndepende do ângulo em que o goscópo é posconado. θ dφ d sen θ Fg. 8.35 Goscópo com exo nclnado. S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
68 Dnâmca do copo ígdo Execícos - Calcule o momento de néca de um quadláteo de massas pontuas em elação aos exos mostados na Fg. 8.36. - Um dsco de ao e densdade supefcal de massa σ tem um buaco ccula de ao, dstando a do cento do dsco. Calcule os momentos de néca em elação aos exos, e 3, mostados na Fg. 8.37. m 3 m 4 a 3 a m m Fg. 8.36 Fg. 8.37 3 - Calcule o momento de néca de uma esfea de massa e ao em elação a um exo passando pelo cento de massa. 4 - Uma baa delgada de massa e compmento faz um ângulo θ com exo y, confome mosta a Fg. 8.38. a) Calcule o momento de néca paa otação em tono do exo; b) Calcule o momento de néca paa otação em tono de um exo paalelo a y e passando pelo cento de massa. 5 - Uma escada de e compmento está apoada numa paede sem atto e no chão, com atto µ (Fg. 8.39). Sabendo que o ângulo ente a escada e a paede é 45 o, qual deve se a tensão numa coda amaada no meo da escada paa que ela não caa? S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 69 y 45 o θ T Fg. 8.38 Fg. 8.39 6 - Uma escada de massa e compmento está apoada numa paede e no chão (ambos sem atto) de manea a foma um ângulo θ com a paede, confome mosta a Fg. 8.40. Uma coda amaada a uma altua H (paalela ao chão) mantém a escada em epouso. Calcule: a) a tensão na coda; b) a máxma altua H max em que é possível have equlíbo; c) a aceleação angula no nstante em que esta coda fo cotada. 7 - Uma escada de pnto de massa total está abeta de manea a foma um ângulo θ. Qual deve se o coefcente de atto estátco com o chão paa que ela não caa? (Fg. 8.4). H θ θ Fg. 8.40 Fg. 8.4 8 - Um pnto de massa está no topo de uma escada de peso despezível (compmento de cada lateal: ) que se apóa sobe um assoalho S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
70 Dnâmca do copo ígdo extemamente lso. Há uma tavessa a mea altua que mpede a abetua da escada. O ângulo do vétce é θ. Qual é a foça na tavessa? 9 - Uma baa de compmento e massa é colocada sobe um buaco, como mostado na Fg. 8.4. Qual deve se o coefcente de atto paa a baa pemanece em epouso? 0 - Sobe uma supefíce lsa deslza um bloco cúbco de lado e massa, com velocdade v (Fg. 8.43). Num detemnado ponto, o cubo bate em um pequeno obstáculo. Qual deve se a velocdade v paa que o bloco ode em tono deste ponto? l 45 o v Fg. 8.4 Fg. 8.43 - Na extemdade de uma haste de compmento a massa despezível é colocada uma massa. O sstema é solto de vetcal sob a ação da gavdade. Qual é a equação que desceve o ângulo θ(t)? (Fg. 8.44). - Um aco de ao, que ga com velocdade angula ω 0, é colocado sobe uma supefíce hozontal áspea, como mosta a Fg. 8.45, sendo a velocdade de seu cento de massa nula. Detemna a velocdade do cento de massa depos de cessado o escoegamento. 3 - A ntegal do toque com elação ao tempo é chamada mpulso angula. Patndo da elação τ d /, moste que o mpulso é a vaação do momentum angula. 4 - Uma bola de blha ncalmente em epouso ecebe um mpulso nstantâneo de um taco. Este é mantdo hozontal a uma dstânca h do S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 7 cento. A bola sa com velocdade v 0 e a velocdade fnal é 9/7v 0. oste que h 4/5, onde é o ao da esfea. ωo θ Fg. 8.44 Fg. 8.45 5 - Nels Boh postulou que um sstema mecânco em otação só pode te momentum angula com valoes múltplos de uma constante h, chamada constante de Planck h h/π.054 x 0-34 J.S), ou seja: ω nh, sendo n um nteo postvo ou zeo. a) oste que com este postulado, a enega de um oto só pode adqu valoes dscetos, sto é, quantzados. b) Consdee uma massa m obgada a ga num cículo de ao (átomo de Boh ou átomo de hdogêno). Quas são os possíves valoes paa a velocdade angula levando-se em conta o postulado acma? c) Quas valoes de enega cnétca o átomo pode te? 6 - utos dos gandes os coem paa a egão equatoal levando sedmentos aenosos. Que efeto sto tem sobe a otação da Tea? 7 - Um clndo de massa e ao oda sem deslza sobe um plano hozontal. A velocdade do cento de massa é v. Ele enconta um plano com ângulo de nclnação θ à sua fente, como mosta a Fg. 8.46. a) Que altua o clndo sobe no plano nclnado? b) Nesta posção, qual fo a vaação do momentum angula? c) Quas foam os mpulsos lnea e angula? d) Qual é o tempo que o clndo demoa paa atng a altua máxma? S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
7 Dnâmca do copo ígdo 8 - Um dsco de massa e ao pode move-se em tono de um exo passando pelo seu cento de massa O, confome mosta a Fg. 8.47. Uma patícula de massa também segue uma tajetóa lnea com velocdade v e paâmeto de mpacto d / elatvo ao ponto 0. Ao choca-se com o dsco ela sofe uma deflexão de 90 o e tem sua velocdade mudada paa v 3. ( ) a) Qual é a velocdade angula do dsco após a colsão? b) Qual é a enega dsspada na colsão? V H θ V d O Fg. 8.46 Fg. 8.47 9 - Um dsco de massa m e ao epousa sobe uma mesa hozontal extemamente lsa. Uma bala de massa m, velocdade v 0 e paâmeto de mpacto atnge o dsco e engasta nele (Fg. 8.48). Calcule: a) A velocdade angula do sstema logo após a colsão; b) A velocdade do cento de massa após a colsão; c) A enega dsspada na colsão. 0 - Uma bola de blha ncalmente em epouso ecebe um mpulso nstantâneo de um taco, que foma um ângulo θ com a hozontal, como mosta a Fg. 8.49. A bola sa com velocdade ncal v 0 e ao fnal do movmento ela enconta-se em epouso. a) Detemne o ângulo θ paa que sto aconteça; b) Qual é a velocdade angula ncal da bola? c) Qual fo a enega dsspada duante o movmento? S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas
Dnâmca do copo ígdo 73 m v 0 m θ taco Fg. 8.48 Fg. 8.49 - Uma patícula de massa m está pesa ao extemo de um fo e pecoe uma tajetóa ccula de ao sobe uma mesa hozontal sem atto. O fo passa po um ofíco de mesa e o outo extemo se enconta ncalmente fxo. Neste caso, o ao ncal é 0 e a velocdade angula ncal é ω 0. Começa-se então a puxa lentamente o fo de manea a dmnu o ao da tajetóa ccula, como mosta a Fg. 8.50. a) Como vaaá a velocdade angula em função de? b) Qual é o tabalho ealzado paa leva a patícula até o ao 0 /? m v F Fg. 8.50 - Consdee um clndo de massa e ao descendo um plano nclnado de ângulo θ sem deslza. Calcule a aceleação do cento de massa e a foça de atto agndo sobe o clndo. 3 - Uma bola de blha de massa e ao ( ) com velocdade v 0 sobe uma mesa sem atto. Subtamente ela enconta uma pate da mesa com atto e depos de algum tempo está odando sem deslza. a) Calcule a velocdade fnal da bola; b) Qual é a enega dsspada no pocesso? S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas 5 deslza sem oda
74 Dnâmca do copo ígdo S. C. Zlo e V. S. Bagnato ecânca, calo e ondas