Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 2 Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto Processamento Digital de Sinais Notas de Aula Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto Implementação de SLIT: Convolução linear Convolução rápida Equação de diferenças Resposta Impulsiva h[n] = b 0 a n u[n]+b a n Z u[n ] H(z) = b 0 +b z, z > a az Equação de diferenças y[n] = ay[n ]+b 0 x[n]+b x[n ] Ricardo Tokio Higuti Departamento de Engenharia Elétrica - FEIS - Unesp Observação: Estas notas de aula estão baseadas no livro: Discrete-Time Signal Processing, A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 989/999.
Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 3 Representação de Equação de Diferenças Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 4 Forma Direta I H(z) = Y(z) X(z) = M N b k z k a k z k onde y[n] = N a k y[n k]+ M b k x[n k] = N a k y[n k]+v[n] v[n] = M b k x[n k] y[n] = a y[n ]+a 2 y[n 2]+bx[n] H(z) = b a z a 2 z 2
Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 5 Forma Direta II H(z) = H 2 (z)h (z) = N a k z k M V(z) = H (z)x(z) = M b k z k = Y(z) V(z) V(z) X(z) b k z k X(z) Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 6 Forma Direta II w[n] = N a k w[n k]+x[n] y[n] = M b k w[n k] Y(z) = H 2 (z)v(z) = N a k z k V(z) Mas também pode-se inverter a ordem dos sistemas (prop. comutativa): W(z) = H 2 (z)x(z) = N a k z k X(z) Assim, Y(z) = H (z)w(z) = M b k z k W(z) w[n] = N a k w[n k]+x[n] y[n] = M b k w[n k]
Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 7 Gráficos de Fluxo Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 8 Ramos com atraso w [n] = x[n]+aw 2 [n]+bw 2 [n] w 2 [n] = cw [n] y[n] = dx[n]+ew 2 [n] w [n] = aw 4 [n]+x[n] w 2 [n] = w [n] w 3 [n] = b 0 w 2 [n]+b w 4 [n] w 4 [n] = w 2 [n ] y[n] = w 3 [n] w 2 [n] = aw 2 [n ]+x[n] w 3 [n] = b 0 w 2 [n]+b w 2 [n ]
Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 9 Estruturas para Sistemas IIR Forma Direta I Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 0 Estruturas para Sistemas IIR Forma em Cascata H(z) = N 2 b 0k +b k z +b 2k z 2 a k z a 2k z 2 Forma em Paralelo Forma Direta II H(z) = N p C k z k + N s e 0k +b k z a k z a 2k z 2
Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto Formas Transpostas Consistem em: Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 2 Formas Transpostas Sistema de segunda ordem Inverter o sentido de todos os ramos Trocar os papéis da entrada e da saída Manter os valores das transmitâncias (constantes e atrasos) Para um sistema de primeira ordem:
Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 3 Formas Transpostas Relação entre as Formas Diretas I e II Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 4 Estruturas para Sistemas FIR y[n] = M b k x[n k] Estrutura de filtro transversal (tapped delay line)
Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 5 Forma em Cascata H(z) = M s ( b0k +b k z +b 2k z 2) Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 6 Estruturas - FIR com Fase Linear FIR tipos I e II: h[n] = h[m n] FIR tipos III e IV: h[n] = h[m n]
Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 7 Observações Na implementação com número finito de bits: Há efeitos de quantização, arredondamento e overflow. Coeficientes do filtro, a, podem ser representados por â, que ocasiona mudanças na resposta em freqüência, ganho, pólos e zeros. Pode levar à instabilidade, ciclos-limite. Escolha de uma estrutura e número de bits adequados. Sem quantização Quantização com 6 bits, forma direta Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 8 Sensibilidade a variação de coeficientes Seja um filtro IIR dado pela função de transferência: H(z) = B(z) A(z) = M N b k z k a k z k em que a k e b k são obtidos por meio de cálculos com precisão infinita. Se a k e b k forem quantizados, fica-se com coeficientes â k = a k + a k e ˆbk = b k + b k, e função de transferência: Ĥ(z) = M N ˆbk z k â k z k Se um coeficiente é modificado, todos os pólos sofrem alguma mudança. Considerando o denominador da função de transferência escrito em termos dos pólos (de primeira ordem): A(z) = N a k z k = N ( z j z ) Erros na representação de a k ocasionarão mudanças nas localização dos pólos: ẑ i = z i + z i j= O erro para z i pode ser escrito como: z i = N z i a k a k, i =, 2,...N
Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 9 Sensibilidade a variação de coeficientes A partir da expressão: tira-se que: z i a k = Portanto: N j=,j i A(z) z i z N k i z i = z=z i a k A(z) a k z=z i, i =, 2,...N; k =, 2,...N (z i z j ) Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 20 Sistemas de segunda ordem Seja um sistema de segunda ordem com pólos complexo-conjugados em: z = re jθ e z 2 = re jθ A função de transferência é dada por: H(z) = ( z z )( z 2 z ) = (2rcosθ)z ( r 2 )z 2 Implementando na forma direta, fica-se com o diagrama de fluxo: Se os pólosestão muito próximos, z i z j é pequeno e há uma grande sensibilidade na localização dos pólos devido a uma mudança em a k (filtros com transição abrupta). Sistemas implementados na forma direta apresentam maior sensibilidade Preferível: implementar sistemas em cascata, com estágios de segunda ordem: estágios implementados de forma independente pólos complexo-conjugados - a distância entre os pólos é maior menor sensibilidade Se os cosficientes (2rcosθ e r 2 ) forem quantizados, há um número finito de valores possíveis para r e θ (pólos). Para sistemas FIR, em geral os zeros estão razoavelmente espaçados no plano z, e o problema de sensibilidade é menor (com ordens elevadas, pode ser mais adequado separar em estágios de menor ordem).
Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 2 Sistemas de segunda ordem Para N = 4 bits ( bit de sinal): Estruturas para Sistemas de Tempo Discreto 22 Sistemas de segunda ordem A seguinte estrutura pode ser utilizada para implementar pólos de segunda ordem: 0.8 0.6 imag 0.4 0.2 0 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2 real Como os coeficientes a serem quantizados são rcosθ e rsinθ, a distribuição dos pólos no plano z é homogênea: Para N = 4 e N = 7 bits: Para N = 6 bits: 0.8 0.6 imag 0.4 0.2 0 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2 real Há uma distribuição irregular dos possíveis pólos no plano z Próximo ao eixo real - pior resolução