TERMODIÂMICA E ESTRUTURA DA MATÉRIA LICECIATURA EM EGEHARIA ELECTROTÉCICA E COMPUTADORES. Aqusção e Análse de Dados numa Experênca. Medr uma grandeza mplca, através da nterposção entre o observador e o fenómeno fsco em causa de uma metodologa e de nstrumentos de medda, atrbur um VALOR UMÉRICO a essa grandeza, referdo a um padrão (UIDADE). Este valor vem afectado de um ERRO, devdo quer às mprecsões dos nstrumentos de medda quer às lmtações dos métodos utlzados. Assm, o resultado de uma medção deve ser sempre apresentado na segunte forma: MEDIDA = [VALOR UMÉRICO] ± [ERRO] (UIDADE) Por exemplo, suponhamos que o resultado de uma experênca para medr a velocdade do som fo: V s = 340, ± 0,5 m/s Isto sgnfca que o valor da grandeza medda se encontra entre 340, 0,5 m/s e 340, + 0,5 m/s, ou seja: 339,6 < V s < 340,6 m/s ote que o valor numérco resultante de uma medção não tem sgnfcado se não for calculada a respectva ncerteza... Erro de Letura. as experêncas em que se realza uma únca medção, o erro que se comete na letura de uma medda, devdo ao lmtado PODER RESOLVETE da escala (menor ntervalo do estímulo X que provoca uma varação na resposta do nstrumento), desgna-se por ERRO DE LEITURA. A determnação do erro de letura depende do tpo de escala do nstrumento utlzado. Erro de letura duma escala contínua O erro de letura de uma ESCALA COTÍUA, tal como o de uma régua ou da grelha do montor de um oscloscópo, é gual a metade da menor dvsão dessa escala. Por exemplo, o erro de medção num oscloscópo com a escala da base de tempo em 5 ms / DIV é de 0,5 ms, dado que a menor dvsão da escala corresponde a /5 da undade da base, sendo / desse valor /0 de 5 ms, ou seja, 0,5 ms.
Erro de letura duma escala dscreta O erro de letura de uma ESCALA DISCRETA, como a de um multímetro dgtal ou de um cronómetro, é dado pelo menor valor que é possível ler nessa escala. Por exemplo, se no mostrador de um multímetro o valor meddo para uma dada resstênca for 7,3 Ω, então o erro de letura será 0,0 Ω e a medda deverá apresentar-se na forma R = 7,3 ± 0,0l Ω. ote que não se deve confundr o erro de letura, assocado à precsão do aparelho, com a exactdão da medda. A exactdão (accuracy) é o erro para a medda habtualmente acete da grandeza em causa. Para termos uma medda exacta necesstamos de um aparelho precso, mas nem sempre um aparelho precso devolve uma medda exacta, por exemplo devdo a um erro sstemátco do aparelho... Erro Absoluto e Erro Relatvo. os exemplos anterores expressámos os erros nas undades da própra grandeza medda. este caso falamos de ERRO ABSOLUTO. O erro absoluto não é adequado para comparar o rgor na medda de grandezas dstntas. Para este efeto utlza-se o ERRO RELATIVO, correspondente a uma representação admensonal do erro, dado pelo quocente entre o erro absoluto E R de uma grandeza e o valor numérco R da sua medção δr E R =. R Retomando o exemplo anteror da medda de uma resstênca, teríamos um erro relatvo δr = 0,0 / 7,3 = 0,0004, sto é 0.04 %, e a medda passa a representar-se como R = 7,3 Ω ± 0,04 %..3. Tpos de Erros Expermentas. Exstem dos tpos de erros de natureza dstnta: ) Erros sstemátcos ) Erros acdentas ou aleatóros. Os ERROS SISTEMÁTICOS têm causas possíves de dentfcar e, conhecendo com detalhe a físca do fenómeno em estudo, podem ser elmnados. A sua denomnação decorre do facto da sua presença
se revelar por sstemátco acréscmo ou defeto dos valores obtdos, face àqueles que seram de esperar. Um exemplo de erro sstemátco é o que ocorre quando o observador se poscona sempre de manera ncorrecta perante a letura de uma escala contínua de um nstrumento com mostrador analógco. É fácl magnar que os valores ldos resultem sempre nferores ou sempre superores ao que de facto o aparelho ndca. Se nos pesarmos numa comum balança de casa de banho, e nclnarmos sucessvamente a cabeça para a dreta e para a esquerda, parecerá que em escassas fracções de segundo ora emagrecemos, ora engordamos uns "gramtas"! Este exemplo partcular pertence à categora dos erros sstemátcos de observação. Os ERROS ALEATÓRIOS resultam do efeto de um grande número de pequenas perturbações, que se manfestam de forma dferente de experênca para experênca. O resultado conjunto destas perturbações é fazer com que os valores das medções sejam por vezes mas elevados, e por vezes mas baxos, do que sera de esperar. As causas ndvduas revelam-se dfces de dentfcar, tornando-se mpossíves de elmnar, mesmo que se conheça muto bem a físca do problema e a montagem expermental utlzada. Este tpo de erros ocorre, por exemplo, devdo às smplfcações que frequentemente se ntroduzem no modelo físco escolhdo para o estudo de um dado fenómeno, desprezando-se varáves sobre as quas não se tem controlo durante a realzação da experênca. Podem também dever-se a lmtações do equpamento, ou mesmo à ntervenção subjectva do observador no processo de medção..4. Análse Estatístca de Erros Aleatóros. Quando obtemos valores dferentes, ao repetr a medção de uma mesma grandeza, estamos a ldar com erros aleatóros. Sabemos que se realzarmos uma MÉDIA sobre os valores obtdos na medda de uma certa grandeza, estamos a dmnur a ncerteza das nossas medções. Como o resultado de cada medda tem um carácter aleatóro, será de esperar (da teora das probabldades) que se o número de meddas tender para o nfnto a méda sobre os seus resultados tenderá para um valor constante, próxmo do valor exacto da grandeza se apenas exstrem erros acdentas. Cálculo de médas MÉDIA SIMPLES Suponhamos que temos um conjunto de medções de uma mesma grandeza. Se as váras meddas tverem a mesma precsão, podemos calcular uma méda smples: X= X = A VARIÂCIA (σ ) e o DESVIO PADRÃO [σ (σ ) / ] controlam a dspersão das meddas ndvduas em torno da méda, fornecendo uma ndcação sobre a precsão da experênca. A varânca defne-se como σ = (X X). = A méda X, tal como as meddas X, é também uma varável aleatóra à qual se pode atrbur um 3
desvo padrão (o desvo padrão da méda): σ m σ /, σ = m = σ, MÉDIAS PODERADAS Se as dversas meddas X, X,... X tverem dferentes precsões, o seu valor médo deve ser calculado de forma ponderada, sendo o peso σ da medda X tanto maor quanto mas rgoroso for o seu valor. A méda ponderada X é calculada através da expressão X = = = X σ σ, e o desvo padrão respectvo é dado por / σ = = σ. Se o número de medções for pequeno ( 0) não faz sentdo calcular o desvo padrão, usando-se nesse caso uma medda da ncerteza para a méda X, dada pelo MAIOR DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA { X X } X = max, ou então pelo VALOR MÉDIO DOS DESVIOS EM RELAÇÃO À MÉDIA X = X X Em qualquer caso, o resultado fnal é dado por X ± σ ou X ± X. 4
.5. Propagação de Erros. a maor parte das experêncas, para medr uma certa grandeza é necessáro medr váras quantdades ndependentes. Por exemplo, numa experênca de determnação da velocdade da luz no ar, é necessáro medr o percurso L AR dum fexe lumnoso, entre duas posções em que o campo electromagnétco se encontra desfasado de π, e o período T desse snal. Supondo que L AR = 300 ± 5 cm = 3,00 ± 0,05 m e T = (0 ± 0.5) 0-9 s a velocdade da luz vem dada por c AR = L AR / (T/) = 3,00 0 8 m/s. As ncertezas parcas que afectam cada uma das quantdades meddas vão contrbur para a ncerteza fnal com que se determna a grandeza. Ao cálculo dessa ncerteza chama-se PROPAGAÇÃO DOS ERROS PARCIAIS. Método smplfcado para o cálculo da propagacão de erros Voltemos ao exemplo anteror. Para calcular o erro de c AR procede-se da forma segunte. Começa-se por maxmzar e mnmzar a grandeza c AR, face às suas varáves L AR e T e c ARmax = (L AR + E LAR ) / (T/ - E T/ ) = 3,3 0 8 m/s c ARmn = (L-E L ) /(T/+E T/ ) =,88 0 8 m/s. O erro fnal da velocdade da luz no ar será dado pela sem-dferença dos extremos Ec AR = (c ARmax c ARmn ) / ou, alternatvamente, pelo maor desvo em relação ao valor numérco de c AR calculado anteromente Ec AR = max{ (c ARmax c AR ) ; (c AR c ARmn ) }. ão exstem recetas para o cálculo dos erros. Para cada stuação há que estabelecer um compromsso entre o bom senso, as potencaldades do equpamento, o tempo dsponível e o objectvo da medção! Método geral para o cálculo da propagacão de erros A propagação do erro, no cálculo de grandezas defndas através de expressões matemátcas complexas, pode ser realzada recorrendo à defnção de dervada. Um erro é normalmente um pequeno desvo em torno dum valor médo; ora a dervada duma função permte precsamente calcular o efeto nas ordenadas de pequenas varações nas abcssas, através da lnearzação da função em torno do valor meddo. Quer sto dzer que, conhecda a função de transferênca f(x ) de determnada grandeza, em função de 5
váras meddas x, o erro de f(x ) é dado por f( x ) ε( f ( x)) = ε( x) x Exemplo: x= x Consdere-se a determnação da altura de uma mesa através da medda do tempo da queda de um grave. É sabdo que a expressão que permte calcular a altura da mesa é h = /gt. Ora, se conhecermos a aceleração da gravdade, g=9,8 ms -, com uma exactdão de 0,0ms -, e determnarmos estatstcamente um desvo padrão da méda de 0,0s para o tempo t=0,4s, o erro na altura h vem dado por ε hgt (, ) hgt (, ) t ( hgt (, )) ( g) ( t) 0.0 gt 0.0 0.079 0.08m 9.8 g ε = + ε = + = = = g t, t t, g g t= t g= g = = t= 0.4.6. Algarsmos sgnfcatvos. O resultado da medção de uma grandeza, quer seja determnado drectamente ou através de cálculos sobre quantdades meddas, deve expressar a mprecsão nerente à medção, ou seja, conter apenas algarsmos sgnfcatvos. Defnem-se ALGARISMOS SIGIFICATIVOS (a.s.) como aqueles cujos valores são exactos, mas o prmero coberto pelo erro. Regras para contar o número de algarsmos sgnfcatvos A contagem é feta da esquerda para a dreta, começando no prmero algarsmo não nulo e termnando no prmero algarsmo afectado pelo erro. Se o prmero algarsmo à esquerda for 5 ou maor que 5, vale por dos a.s.. O zero à dreta do ponto decmal conta como algarsmo sgnfcatvo ao contráro do que acontece com os zeros à esquerda. Exemplos: 45 a.s. 54 3 a.s. 54,0 4 a.s. 0,540 4 a.s. 0,0060 4 a.s. úmero de algarsmos sgnfcatvos do resultado de operações algébrcas SOMA e SUBTRAÇÃO O número de casas decmas do resultado é gual ao menor de entre todas as parcelas. 6
Exemplo:,05 6 + 0,0006 63,056 63 O resultado fnal tem três a.s., tal como a parcela 6. MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO O resultado fnal tem um número de a.s. gual ou nferor ao menor de entre todos os factores Exemplo:,00 x,5x0 - =,303x0 -,30x0 - OUTRAS OPERAÇÕES Para operações do tpo raz quadrada, exponencas, logartmos, funções trgonométrcas, etc., o número de a.s. é gual ao dos dados de partda. Regras de arredondamento O arredondamento é feto de forma a escolher o número que menos se dstanca do ncal. Se os dos números mas próxmos estverem a gual dstânca do número ncal deve escolher-se o de maor valor absoluto. Quando o prmero algarsmo a elmnar é 5, arredonda-se o anteror para algarsmo par. Exemplos 7,5 8 8,5 8 7,3 7,3 7
. Dmensão de uma grandeza físca. A tabela abaxo apresenta as dmensões e as undades de base do Sstema Internaconal (S.I.). ome da Grandeza de Base Dmensão de Base Undade de Base Comprmento (L) L Metro (m) Massa (m) M Qulograma (Kg) Tempo (t) T Segundo (s) Intensdade de corrente eléctrca (I) I Ampere (A) Temperatura (T) Θ Kelvn (K) É possível expressar qualquer grandeza Y em função das dmensões de base do S.I. (M, T, L, I,... ), desgnando-se esta representação por EQUAÇÃO DIMESIOAL DIM Y [Y] = A α B β C γ... onde A, B e C,... representam as dmensões de base e α, β, γ,... são os chamados expoentes dmensonas, que ndcam o número de vezes que cada grandeza de base ntervém na expressão de Y. A dmensão de Y representa-se por [Y] (entre parênteses rectos). uma equação que relacona váras grandezas fscas deve verfcar-se a HOMOGEEIDADE DIMESIOAL, sto é, o membro da esquerda deve ser dmensonalmente gual ao membro da dreta. Esta homogenedade pode ajudar na atrbução de dmensões a constantes, e na dentfcação de relações matemátcas entre váras grandezas. Exemplo Uma partícula carregada de massa m e carga q é sujeta a um campo eléctrco E, adqurndo uma aceleração a. A força eléctrca F = qe deverá gualar-se à força mecânca F = ma. Provemos que as duas equações são dmensonalmente dêntcas. [F] = [m] [a] = M L T - [F] = [q] [E] (a) A carga q pode-se expressar em termos das grandezas de base Corrente e Tempo, já que I = dq/dt, donde vem [q] = I T O campo eléctrco E pode expressar-se em termos do potencal eléctrco, já que E = -dv/dx, 8
pelo que [E] = [V] L - Por sua vez, o potencal é gual ao trabalho W sobre a carga q. Temos, assm, fnalmente [F] = I T L - [W/q] = I T L - M L T - I - T - = M L T - (b) o que está de acordo com (a), como queríamos provar. 9
3. Tratamento de Dados. Quando estamos na presença de um certo fenómeno, pode haver uma dependênca entre grandezas meddas e estarmos nteressados em descobrr a expressão matemátca que a traduz. 3.. Regressão lnear. Consderemos, para smplfcar, um fenómeno que é descrto por apenas duas grandezas. Se estas forem dependentes, a relação mas smples que pode exstr entre elas é uma RELAÇÃO LIEAR. Se chamarmos a essas grandezas X e Y sso sgnfca que a expressão que as relacona é do tpo: Y=A+BX em que A e B são constantes. Para encontrar esta expressão tra-se um conjunto tão elevado quanto possível de pares de meddas (X, Y ) e marcam-se num gráfco XY esses pontos. Ao processo de encontrar a lnha que melhor representa a relação entre X e Y chama-se ajuste ou ft, e no caso de estarmos perante uma relação lnear, falamos de REGRESSÃO LIEAR. O método mas conhecdo para determnar os parâmetros A e B (ordenada na orgem e declve da recta, respectvamente) que melhor se adaptam aos resultados expermentas é o MÉTODO DOS MÍIMOS QUADRADOS. Segundo este método, o valor esperado (ou o valor mas credível) para a grandeza Y, dados os pontos (X, Y ), é aquele que mnmza a soma dos quadrados das dferenças entre Y e Y D = = (Y Y ) ou, substtundo a relação entre Y e X, 0
D = (A+ BX Y ). = Portanto, A e B determnam-se gualando a zero as dervadas de D em ordem a A e a B, e resolvendo o sstema daí resultante D = 0 A D = 0 B, onde D A é a dervada parcal de D em ordem a A, calculada consderando que todos os parâmetros que ntervêm na expressão de D se mantêm constantes, à excepção de A. Da resolução do sstema anteror obtém-se A = B = X ( X) X Y X X Y ( ) X Y X Y X X 3.. Traçado de gráfcos a partr de valores expermentas. Quando temos uma tabela de valores expermentas (X, Y ) pode-se, medante a escolha de uma escala convenente que tome em consderação os lmtes entre os quas ambas as grandezas varam, representar esses pares de valores sob a forma de um gráfco.
Quando essas meddas apresentam erros, estes também devem ser apresentados no gráfco sob a forma de BARRAS DE ERRO pos rão contrbur para estmar o erro do ajuste escolhdo para esses valores expermentas. o caso de escolhermos uma regressão lnear, essas barras de erro contrbuem para calcular os erros no declve B e na ordenada na orgem A. Vejamos como se pode fazer "manualmente" a escolha da recta de melhor ajuste e o respectvo cálculo de erros. Escolhe-se a recta que mnmza as dstâncas entre cada ponto (X,Y ) e a sua projecção sobre ela, utlzando o método dos mínmos quadrados. Determna-se o declve B e a ordenada na orgem A como acma ndcado. A recta de melhor ajuste será: Y = A + BX Para calcular os erros de A e de B traçam-se as rectas de: Maor declve - unndo as extremdades das barras de erro que mas se afastam da recta de regressão, para baxo dessa recta na metade ncal e para cma na metade fnal. Menor declve - unndo as extremdades das barras de erro que mas se afastam da recta de regressão, para cma dessa recta na metade ncal e para baxo na metade fnal.
A partr do declve e da ordenada na orgem das rectas de nclnação máxma e mínma pode-se calcular aproxmadamente o erro dos parâmetros A e B e E A ou anda A max A = mn E B E A B max B mn =, = máx {(A A) ; (A A ) } max mn e E B {(B B) ; (B B ) } = máx. max mn A precsão do ajuste duma função a um conjunto de dados expermentas mede-se através do chamado COEFICIETE DE CORRELAÇÃO LIEAR r, defndo como r = ( X Y ) X Y [ X ( X ) ] Y ( Y ) [ ] a prátca, este coefcente mede a dstânca dos dados à recta de ajuste. Se houver um ajuste perfeto, ou seja se todos os pontos se stuarem sobre a recta, então r = ; se os dados estverem dspersos, então r 0. 3.3. Exemplo de Tratamento dos Resultados de uma Experênca. Um dos testes realzados durante a fabrcação de crcutos ntegrados consste na medção da resstênca eléctrca de pstas de alumíno (Al), com uma dada espessura e comprmento, mas com larguras varáves. a tabela abaxo podem encontrar-se os resultados obtdos num destes testes, para as resstêncas R de pstas com espessura e = 400 nm e comprmento L = 330µm, e com larguras h entre,0 e 5,0µm (lµm = l0-6 m; lnm = 0-9 m). R (Ω) h ± E h (µm) 6,3,0 ± 0, 3,9, ± 0,,5,3 ± 0, 0,0,4 ± 0, 4,9,8 ± 0, 5,5,0 ± 0, 0,0 3,0 ± 0, 7,5 5,0 ± 0, 3
A resstênca R medda para cada uma das pstas de Al, com largura h, é dada por onde R R V + C h =, () L C = ρ. () e as expressões anterores R V é a resstênca de contacto, em cada uma das extremdades das pstas, e ρ é a resstvdade do Al. A partr da equação () e dos dados da tabela podem determnar-se grafcamente R V e ρ. ote-se que a equação () tem a forma da equação de uma recta em função de l/h, com declve C e ordenada na orgem R V. Comecemos por refazer a tabela anteror para l/h e respectvos erros. R (Ω) h ± E h (µm) /h (µm - ) (/h) max (µm - ) (/h) mn (µm - ) E /h (µm - ) 6,3,0 ± 0,,0,4 0,89 0,4 3,9, ± 0, 0,83 0,93 0,78 0,0,5,3 ± 0, 0,77 0,85 0,70 0,08 0,0,4 ± 0, 0,7 0,78 0,66 0,07 4,9,8 ± 0, 0,56 0,60 0,5 0,04 5,5,0 ± 0, 0,50 0,53 0,47 0,03 0,0 3,0 ± 0, 0,33 0,35 0,3 0,0 7,5 5,0 ± 0, 0,0 0,0 0,9 0,0 esta tabela, os valores de (/h) max e (/h) mn foram calculados, respectvamente, como /(h-e h ) e /(h+e h ). O erro de /h (E /h ) é o majorante de ( (/h) max -/h ; /h-(/h) mn ), ou seja, o maor dos desvos possíves em cada caso. Pode agora fazer-se o gráfco de R em função de l/h, com as respectvas barras de erro, após o que se pode realzar uma regressão lnear (recta que melhor se ajusta aos pontos expermentas), tendo em conta as barras de erro. Podem anda traçar-se as duas rectas de "por caso", com declve máxmo e mnmo, que permtrão uma aproxmação ao erro expermental. 4
O declve da recta de ajuste é dado por (ver gráfco) C = y / x = 5,00Ω / 0,99µm - = 5,5 Ω µm e a sua ordenada na orgem é R V =,0 Ω. Os valores máxmo e mínmo de C e R V são, respectvamente, e C mn = 3,00Ω / 0,99µm - = 3,3 Ω µm, R Vmax =,5 Ω Fnalmente, C max = 6,55Ω / 0,99µm - = 6,77 Ω µm, R Vmn =,3 Ω. e C ± E C = 5,5 ±,0 Ω µm (,0=5,5-3,3) R V ± E Rv =,0 ± 0,7 Ω (0,7=,0-,3), donde ρ = C e / L = 0,0306 ± 0,004 Ω µm = 3,06 ± 0,4 µω cm e R V =,0 ± 0,35 Ω. 5