CAPITULO VI. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES EM R n

CAPITULO VI LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES EM R n. Generalidades O conceito geral de função e outros associados foram já estudados quando se tratou da teoria dos conjuntos. Foi igualmente estudado com algum detalhe o caso articular das funções reais de variável real (funções com domínio contido em R e tendo também R como conjunto de chegada). No resente caítulo estudam-se os ites e continuidade das funções com domínio contido em R n e tendo R m como conjunto de chegada das quais as funções reais de variável real são um caso articular. Nos ontos seguintes serão feitas algumas considerações articulares sobre as funções que serão objecto de estudo neste caítulo sobre o onto de vista dos ites e continuidade.. - Funções reais de variável vectorial n-dimensional Uma função real de variável vectorial n - dimensional associa a cada vector (... n ) A R n um número real f ( ) f (... n ) ou seja trata-se de uma função f de A R n em R. Como a variável (vectorial) indeendente (... n ) é um énulo ordenado de variáveis reais... n é usual chamar a estas funções funções reais de n variáveis reais em vez de funções reais de variável vectorial n-dimensional. Tal como no caso das funções reais de variável real já estudadas anteriormente o cálculo dos valores f ( ) ou f (... n ) que a função f de A R n em R associa a cada vector (... n ) A faz-se usualmente utilizando uma eressão analítica ou mesmo diversas eressões analíticas válidas cada uma delas numa certa arte do domínio da função. São eemlos a) A função f de R 3 em R que a cada ( 3 ) R 3 associa o número real f ( 3 ) + ( - 3 ) ; b) A função g de A {( ) : 0 0 } em R que a cada ( ) A associa o número real z g( ) + ; c) A função h de A {(u v) : u + v } em R que a cada (u v) A associa o número real z h(u v) u + v u + v < u u + v. 54

São aqui inteiramente alicáveis as considerações feitas no caso das funções reais de variável real sobre a conveniência de não confundir domínio da função com domínio da eressão analítica utilizada ara calcular os valores que a função faz corresonder aos ontos do resectivo domínio. Assim como no caso das funções reais de variável real é também usual embora incorrecto dizer função f (... n )... com domínio A... em vez de função f de A R n em R que a cada (... n ) A associa o número real f ( ) f (... n ) odendo mesmo omitir-se a referência elícita ao domínio da função caso em que se subentende que a função é definida em todo o domínio da eressão analítica utilizada ara calcular os valores f ( ). Com n é também ossível a reresentação gráfica da função f ( ). Tal reresentação obtém-se no esaço ordinário fiando um sistema de eios coordenados e reresentando os ontos de coordenadas [ z f ( )] ara todos os ( ) ertencentes ao domínio da função como se ilustra na figura seguinte : z z PP P O A Nota : O onto P tem coordenadas [ z f ( )]. Quando o onto ( ) ercorre o domínio A (conjunto do lano O) o onto P do esaço ercorre a suerfície a sombreado que é assim a imagem da função.. - Funções vectoriais m-dimensionais de variável real Trata-se de funções cujo domínio é um certo subconjunto de R e cujo conjunto de chegada é o conjunto R m. Uma função f de A R em R m associa a cada A 55

R um vector de R m (... m ) f (). A corresondência que a cada A associa um onto (... m ) de R m ode ser considerada como um sistema de m funções reais de variável real f f... f m em que a função f i associa a cada A a i-ésima coordenada de (... m ). Vejamos um eemlo. A função que a cada t R associa o onto ( ) tal que t + e -3t - é uma função f de R em R odendo considerar-se como o sistema das duas seguintes funções reais de variável real: f de R em R que a cada t R associa t + ; f de R em R que a cada t R associa -3t -. Um caso articular imortante deste tio de funções é aquele em que o domínio é um certo intervalo I R. Estas funções são usadas ara reresentar analíticamente (reresentação aramétrica) curvas no esaço R m esecialmente no lano ( m ) e no esaço ordinário (m 3). Assim or eemlo no caso do lano o sistema de funções reais de variável real t + 3t ambas com domínio em R reresentam arametricamente uma recta no lano: quando t (o arâmetro) ercorre o domínio R a imagem do onto ( ) (t + -3t - ) no lano ercorre a recta que assa elos ontos ( -) e ( 3-5) ou seja a recta de equação 3 ; a mesma recta oderia também ser reresentada aramétricamente or outros sistemas de funções reais de variável real or eemlo t 3 t. Outro eemlo. Uma circunferência no lano com centro no onto (ab) e raio igual a r cuja equação se sabe ser ( a) + ( b) r ode ser reresentada aramétricamente elo seguinte sistema de funções reais de variável real 56

a + r. cos t b + r. sen t ambas com domínio em [0 π [ ; com efeito é fácil verificar que um onto ( 0 0 ) do lano ertence à circunferência referida se e só se eiste um t 0 [0 π [ tal que a + r. cos t 0 e b + r. sen t 0. Não obstante se utilizem os sistemas de m funções reais de variável real com domínio comum em certo intervalo I de números reais ou seja as funções f de I R em R m ara reresentar arametricamente as curvas no esaço R m esecialmente no lano (m ) e no esaço ordinário (m 3) não é razoável chamar curva a qualquer conjunto de ontos que seja gerado em R m or um tal sistema de funções sem que a estas se imonham certas restrições. De facto dando liberdade absoluta quanto à escolha das funções em causa ode-se chegar a curvas bem estranhas como é o caso em R da curva com reresentação aramétrica dada or t t racional t irracional curva essa constituída (ver gráfico) or todos os ontos da recta vertical r com ordenada racional e ainda or todos os ontos da recta vertical s com ordenada irracional : r s No mínimo ara se falar em curva imõe-se a continuidade das funções aramétricas mas mesmo assim ainda se tem um conceito de curva muito generoso. Por eemlo é ossível definir duas funções contínuas em certo intervalo de números reais ϕ (t) e θ (t) de tal modo que o conjunto dos ontos ( ) gerado or essas funções quando t ercorre o intervalo domínio seja um quadrado (curva de Peano). Trata- -se de uma curva bem bizarra que desafiando o que o bom senso e a intuição dizem ser uma curva assa or todos os ontos de um quadrado como se fosse um fio transformado em tecido..3 - Funções vectoriais m-dimensionais de variável vectorial n-dimensional Trata-se de funções cujo domínio é um certo subconjunto de R n e cujo conjunto de chegada é o conjunto R m. Uma função f de A R n em R m associa a cada vector 57

(... n ) A R n um certo vector de R m (... m ) f ( ) f (... n ). A função que a cada A associa um onto (... m ) de R m ode considerar-se como um sistema de m corresondências ou funções reais de n variáveis reais f f... f m em que a função f i associa a cada A a i- ésima coordenada de (... m ) ou seja f (... n ) f (... n )... m fm(... n ). Vejamos um eemlo. A função f que a cada ( ) {( ) : 0 0 } associa o onto (z z z 3 ) tal que z - z + e z 3 é uma função de A {( ) : 0 0 } R em R 3 odendo ser considerada como um sistema de três funções cada uma delas de duas variáveis reais: z f( ) z f ( ) + z3 f3( ).. Definição de ite de uma função num onto Considere-se o caso geral de uma função f de A R n em R m e seja a um onto de acumulação de A (onto de acumulação rório ou imrório ertencente ou não ao conjunto). As definições de ite de f ( ) em a segundo Heine e segundo Cauch são formalmente as mesmas que foram aresentadas ara as funções reais de variável real. Assim segundo Heine : a f ( ) b A a a f ( ) b odendo nesta definição b ser um vector de R m ou um onto imrório. Segundo Cauch : a f ( ) b δ > 0 ε ε (δ ) > 0 : V ε ( a ) [A - { a }] f ( ) V δ (b ) odendo também agora b ser um vector de R m ou um onto imrório. Nesta definição deve notar-se que as vizinhanças V ε ( a ) e V δ (b ) são resectivamente subconjuntos de R n e de R m. Tal como no caso das funções reais de variável real odemos rovar a equivalência de ambas as definições : 58

Teorema : As duas definições de ite segundo Heine e segundo Cauch são equivalentes Demonstração : a) Suondo que a f ( ) b segundo Cauch considere-se uma qualquer sucessão de termos ertencentes ao domínio A da função tal que a e a. Fiado um qualquer δ > 0 determine-se o corresondente ε > 0 com o qual se verifica a condição que traduz a definição de Cauch. Com esse ε determine-se a ordem a artir da qual V ε ( a ) ; a artir dessa ordem tem-se que V ε ( a ) [A - { a }] o que imlica ser f ( ) V δ (b ) ficando assim rovado que f ( ) b. Em conclusão: tem-se f ( ) b segundo Heine. a b) Suondo agora que f ( ) b segundo Heine admitamos or absurdo que tal a não sucedia segundo a definição de Cauch. Eistiria então um articular δ > 0 ara o qual com qualquer ε > 0 semre se encontraria um ε V ε ( a ) [A - { a }] tal que f ( ε ) V δ (b ). Tomando ε / ara... eistiriam vectores V / (a) [A - { a }] tais que f ( ) V δ (b ). Claro que os ertenceriam a A seriam distintos de a e a ; no entanto como f ( ) V δ (b ) ara todo o não seria f ( ) b contrariando-se assim a hiótese de ser a f ( ) b segundo Heine. 3 - Condição necessária e suficiente ara eistência de ite ertencente a R m Pode demonstrar-se com facilidade uma condição necessária e suficiente ara que f ( ) b R m. Trata-se de uma condição semelhante à condição necessária e a suficiente de convergência de uma sucessão (condição de Cauch). Teorema : Sendo f ( ) uma função com domínio em A R n e a um onto de acumulação de A (vector de R n ou onto imrório) a condição necessária suficiente ara que f ( ) b R m é que a δ > 0 ε ε (δ ) > 0 : V ε ( a ) [A - { a }] f ( ) f ( ) < δ Demonstração : a) A condição é necessária. Sendo acordo com a definição de Cauch a f ( ) b R m então de δ > 0 ε ε (δ ) > 0 : V ε ( a ) [A - { a }] f ( ) - b < δ /. Tomando então quaisquer V ε ( a ) [A - { a }] tem-se 59

f ( ) f ( ) f ( verificando-se ortanto a condição do enunciado ) - b + b- f ( ) < δ / + δ / δ b) A condição é suficiente. Suonha-se verificada a condição do enunciado. Considere-se uma qualquer sucessão de termos A tal que a e a. Dado um δ > 0 considere-se o corresondente ε ε (δ ) cuja eistência é assegurada ela condição do enunciado (suostamente verificada). De certa ordem ε(δ) em diante tem-se V ε ( a ) e ortanto com > m > ε(δ) tem-se m V ε ( a ) [A - { a }] o que imlica f( ) f ( m ) < δ (ela condição do enunciado). Mas tal traduz recisamente a convergência da sucessão f ( ). Seja b f ( ) R m e veja-mos que ara qualquer outra sucessão * nas * condições de também se tem b f ( ) o que de acordo com a definição de Heine mostrará que f ( ) b R m * : ara qualquer outra sucessão a * * nas mesmas condições que eistirá b f ( ) ; e como ertencem * a V ε ( a ) [A - { a }] a artir de certa ordem tem-se f ( ) - f ( ) < δ donde * resulta assando ao ite que b - b δ ; devido à arbitrariedade de δ tem-se b * b o que com-leta a demonstração. * 4 Subites Dada a função f ( ) com domínio em A R n seja B A e a um onto de acumulação (vector de R n ou onto imrório) do domínio A e também do conjunto B. Reresentando or f B () a restrição de f ( ) ao conjunto B caso eista f () a esse ite chama-se subite da função em a relativo ao conjunto B. Também se usa o símbolo f () ara reresentar o subite em a relativo ao conjunto B. a B Conclui-se sem dificuldade que caso eista f () com esse ite coincidem todos os subites de f ( ) em a orque com B A a condição que define ite segundo Cauch a a δ > 0 ε ε (δ ) > 0 : V ε ( a ) [A - { a }] f ( ) V δ (b ) imlica a condição que define segundo Cauch o subite relativo ao conjunto B δ > 0 ε ε (δ ) > 0 : V ε ( a ) [B - { a }] f ( ) V δ (b ). B 60

Daqui resulta que eistindo em a subites distintos ara a função esta não ode ter ite no referido onto. O teorema seguinte tem utilidade rática na determinação dos ossíveis subites de uma função num onto. Teorema 3 : Dada a função f ( ) com domínio em A sendo a um onto de acumulação de A (vector de R n ou onto imrório) e sendo B B B k conjuntos em número finito dois a dois disjuntos tais que B B B k A admita-se que a é onto de acumulação de cada um dos B j e que eistem os subites λ j da função em a relativos a cada um dos referidos B j. Nessas condições nenhum λ distinto de todos os λ j ode ser subite da função em a Demonstração : Seja λ distinto de todos os λ j. Nessas condições é ossível fiar δ > 0 suficientemente equeno de forma que a vizinhança V δ ( λ ) não tenha ontos em comum com nenhuma das vizinhanças V δ ( λ j ) j k. Como cada λ j é or hiótese subite de f ( ) em a relativamente ao resectivo B j eistem valores ε j > 0 tais que V ε j ( a ) [B j - { a }] f ( ) V δ ( λ j ) ( j k ). Com ε Min {ε ε ε k } > 0 tem-se então or ser B B B k A V ε ( a ) [A - { a }] f ( ) U k j V δ ( λ ) f ( ) V δ ( λ ). Pode agora ver-se com facilidade que λ não ode ser subite de f ( ) em a relativo a certo conjunto B A de que a seja onto de acumulação. Se o fosse ara o δ > 0 fiado acima como ara qualquer outro eistiria um ε* ositivo tal que V ε* ( a ) [B - { a }] f ( ) V δ ( λ ) j e então ara vectores B - { a } ertencentes à mais estreita das vizinhanças V ε ( a ) e V ε* ( a ) e tais vectores eistem or ser a onto de acumulação de B terse-ia simultaneamente f ( ) V δ ( λ ) e f ( ) V δ ( λ ) o que é manifestamente absurdo. O teorema recedente não é válido se os conjuntos B j envolvidos forem em número infinito falhando a demonstração neste caso orque então nada garante que seja Min {ε ε ε k } > 0 e tal é essencial ara a validade do argumento aresentado. 6

Se nas condições do teorema recedente os λ j forem todos iguais ou seja se tivermos λ λ λ k µ tem-se que ara cada δ > 0 eistem ε j > 0 tais que V ε j ( a ) [B j - { a }] f ( ) V δ ( µ ) ( j k ). Com ε Min {ε ε ε k } > 0 tem-se então or ser B B B k A V ε ( a ) [A - { a }] f ( ) V δ ( µ ). Daqui se tira que f () µ. Pode ois enunciar-se o seguinte a Teorema 4 : Dada a função f ( ) com domínio em A sendo a um onto de acumulação de A (vector de R n ou onto imrório) e sendo B B B k conjuntos em número finito dois a dois disjuntos tais que B B B k A admita-se que a é onto de acumulação de cada um dos B j que eistem os subites λ j da função em a relativos a cada um dos referidos B j e que tais subites são todos iguais a certo µ. Nessas condições f () µ a Refira-se que tal como no caso do teorema 3 o teorema recedente não é válido se os conjuntos B j envolvidos forem em número infinito falhando a demonstração neste caso orque então nada garante que seja Min {ε ε ε k } > 0 e tal é essencial ara a validade do argumento aresentado. 5. Regras de cálculo de ites 5. - Caso das funções de A R n em R As regras básicas de cálculo de ites de funções são já conhecidas ara o caso das funções reais de variável real. Para as funções de A R n em R (funções reais de n variáveis reais ) as regras de cálculo são eactamente as mesmas com as mesmas convenções relativas aos ites infinitos e com os mesmos casos de indeterminação. Com efeito também agora a definição de Heine ermite-nos transferir ara o cálculo de ites das funções reais de n variáveis reais as regras relativas ao cálculo de ites de sucessões. A título meramente eemlificativo vejamos a fundamentação da regra relativa ao ite do roduto de funções. 6

Dadas as funções f ( ) e g ( ) seja a onto de acumulação dos resectivos domínios e admita-se que eistem os ites θ l i m f () a e µ l i m g() com θ e µ reais ou infinitos. Considere-se a função roduto h( ) f ( ). g ( ) cujo domínio é formado elos vectores comuns aos domínios das funções factores e admita-se que a é igualmente onto de acumulação do domínio de h( ). Então dada uma qualquer sucessão de termos ertencentes ao domínio de h( ) tal que a e a tem-se f ( ) θ e g ( ) µ (definição de ite segundo Heine) ; tem-se ortanto ela regra do ite do roduto de sucessões h( ) θ. µ com as convenções seguintes a θ. (± ) ± (θ > 0) θ. (± ) m (θ < 0) (± ). µ ± ( µ > 0) (± ). µ m ( µ < 0) (+ ). (+ ) (- ). (- ) + e (+ ). (- ) (- ). (+ ) - e com os casos de indeterminação 0. (± ) e (± ). 0. Tem-se então de novo ela definição de Heine l i a m h() l i m [ f ( ). g( ) ] a θ. µ [ l i m f (). l i m g() ] a a com as convenções e casos de indeterminação acima mencionados. As regras de cálculo conjugadas com as observações que se seguem ermitem calcular os ites ou mostrar que estes não eistem em grande número de casos ráticos. ª OBSERVAÇÃO : Sendo ( n ) e a (a a a n ) conclui-se facilmente que ara as funções ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ n ( ) n se tem l i m ϕ ( ) l i m a ( j n) a j a j j ( n ) uma sucessão de vecto- bastando ara tal notar que sendo res de R n ( n ) a (a a a n ) j a j ( j n) 63

e atender à definição de ite segundo Heine. Esta observação sugere a substituição do símbolo l i m f () or este outro a l i m a a M n an f ( L n ) elicitando este novo símbolo que o ite ode determinar-se a artir da eressão analítica que define a função notando que l i m a e alicando as regras de a cálculo de ites que foram acima referidas como sendo as mesmas das sucessões reais. Por eemlo j j l i m ( ) () + + + l i m + + + + + + /. ª OBSERVAÇÃO : Para o caso das funções reais de n variáveis reais (n ) surgem com frequência mesmo em eemlos simles situações de indeterminação que escondem realmente casos de ineistência de ite. Nestes casos dá frequentemente bons resultados rocurar obter subites distintos ara a função e assim concluir ela não eistência de ite. Alguns eemlos ajudarão a ver o que ode e o que não ode concluir-se com esta técnica. Eemlo : A alicação da regra do quociente ara calcular l i m + l i m ( ) (0) + 0 conduz a uma indeterminação do tio 0/0. Vejamos que o ite não eiste dado haver subites distintos ara a função no onto ( 0). Reare-se em rimeiro lugar que a função tem como domínio A {( ) : - } ou seja todos os ontos de R com eceção dos situados sobre a recta de equação. O onto ( 0) onde se retende calcular o ite não ertence ao domínio A da função mas é onto de acumulação sendo ortanto legal determinar o ite da função nesse onto ou rovar a sua ineistência. Considerem-se os conjuntos B m {( ) : m. ( - ) } com o arâmetro m. Claro que B m A ara todos os m e claro que ( 0) é onto de acumulação de tos os B m. A situação é ilustrada no gráfico seguinte onde se reresentam o onto ( 0) a recta dos ontos ( ) que não são do domínio da função e alguns dos conjuntos B m : 64

65 B B - - B 0 Tem-se considerando um B m genérico (m ) : ).( 0 0 ) ( 0 + + m m m i l m m i l m i l B m elo que deendendo o resultado do valor do arâmetro m a função admite subites distintos no onto ( 0) não tendo ortanto ite nesse onto. Eemlo : No caso do cálculo de ) ( ) ( 0 (0) ) ( + + m i l m i l a alicação da regra do quociente também conduz a uma indeterminação 0/0. Mas tentando reetir os cálculos do eemlo anterior com os mesmos subconjuntos B m do domínio A {( ) : - } da função obter-se-ia semre 0 ).( ) ( ) ( 0 0 ) ( 0 + + m m i l m m i l m i l B m nada se odendo concluir. Mas bastará considerar B {( ) : } ara se obter ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( 0 + + m i l m i l m i l B m assim se obtendo um subite distinto de um já anteriormente obtido o que ermite concluir que a função não tem ite no onto ( 0)

Eemlo 3 : No caso do cálculo de l i m ) (00) + l i m ( 0 + 0 de novo se obtém uma indeterminação 0/0 mas neste caso contrariamente aos dois anteriores o ite eiste e é nulo De facto 0 + ( ) + elo que ara cada δ > 0 eiste ε δ tal que ( ) < ε ( ) (0 0) δ + assim se concluindo que l i m l i m ( ) (00) + 0 + 0 0. Neste caso seria vã toda a tentativa de encontrar subites distintos ara a função mostrando o resente eemlo que a questão de achar o ite ou rovar a sua ineistência ode ser mais comlicada que aquilo que os dois rimeiros eemlos odem sugerir. 3ª OBSERVAÇÃO : Uma outra técnica or vezes usada ara rovar que não eiste ite consiste no cálculo dos chamados ites sucessivos ou reiterados de que trataremos a seguir. Seja f ( ) f (... n ) uma função de A R n em R e considere-se um onto a (a a... a n ) de acumulação (rório ou imrório) do resectivo domínio. Agruem-se as n variáveis (e as n coordenadas do onto a ) num ar ordenado de blocos como se indica : º Bloco : α ( α α... α ) a α ( a α a α... a α ) r r º Bloco : β ( β β... β ) a β ( a β a β... a β ) ; s s cada uma das variáveis i (e das coordenadas a i ) figura num e aenas num dos dois blocos. Reresente-se or A β R n-s o conjunto dos ontos α ara os quais a β é onto de acumulação do domínio da variável β e eiste finito f (... n ) β aβ 66

e admita-se que f β ( α ) de cujo domínio A β a α é onto de acumulação de A β. Este ite é então uma função a α é onto de acumulação. Caso eista f β ( α ) este ite chama-se dulo ite sucessivo ou reiterado α aα de f ( ) em a e reresenta-se elo símbolo α aα β aβ f (... n ). Como a artição das n variáveis de f num ar ordenado de blocos se ode fazer de diversas maneiras são concebíveis diversos dulos ites sucessivos de uma função num onto alguns dos quais odem eventualmente não eistir. De modo semelhante se ode introduzir o conceito de trilo ite sucessivo. Para tal agruam-se as n variáveis (e as n coordenadas do onto a ) num terno ordenado de blocos α β η ( a α a β a η ). Reresente-se or A η o conjunto dos ontos ( α β ) ara os quais a η é onto de acumulação do domínio da variável η e eiste finito f (... n ) η aη e admita-se que ( a α a β ) é onto de acumulação de A η. Este ite é então uma função f η ( α β ) de cujo domínio A η ( a α a β ) é onto de acumulação. O dulo ite sucessivo α aα β a β f η ( α β ) caso eista designa-se or trilo ite sucessivo ou reiterado de f ( ) em a e reresenta-se elo símbolo α aα β a β η a η f (... n ). Tal como no caso do dulo ite sucessivo a artição das n variáveis num terno ordenado ode fazer-se de diversas maneiras sendo ortanto concebíveis diversos trilos ite sucessivos alguns dos quais odem eventualmente não eistir. Por um rocesso de recorrência semelhante ao utilizado ara definir trilo ite sucessivo ode definir-se quádrulo ite sucessivo e em geral ite sucessivo de qualquer multilicidade que seja comatível com o número de variáveis (não se ode or eemlo definir ite sucessivo quádrulo quando a função tenha aenas três variáveis!) Vejamos alguns eemlos. 67

Eemlo : Considere-se a função f ( z) 3 z + + z com domínio A {( z) : + + z 0 } e o onto (0 0 0). Tem-se: a) ϕ () 0 z 0 3 z + + z 0 0 0 ϕ () 0 0 0 z 0 3 z + + z 0 ; b) ϕ ( z) 0 3 z + + z + z 0 0 + z 0 ϕ ( z) - 0 z 0 0 z 0 0 3 z + + z - ; c) ϕ ( ) z 0 3 z + + z 3 + ( + 0 ) θ () 0 0 θ () 0 ϕ ( ) 0 3 + 0 0 0 0 z 0 3 z + + z 0. Eemlo : Considere-se a função f ( ) + 3 68

com domínio A {( ) : 0 } e o onto (0 ). Tem-se: 0 + +. 3 Eemlo 3 : Considere-se a função f( ). sen (/) cujo domínio é o conjunto A {( ) : 0 } e o onto (0 0). Facilmente se conclui que 0 0. sen (/) 0 e no entanto não eiste 0 0. sen (/) orque a função ϕ () 0 no entanto dado que. sen (/).. sen (/) só é definida ara 0. Reare-se que 0 0. sen (/) 0 O teorema seguinte ermite utilizar os ites sucessivos ara rovar que uma função não tem ite num onto. Teorema 5 : Eistindo a sucessivo de f em a desde que eista coincide com k. f ( ) k rório ou imrório qualquer ite Demonstração : Consideraremos aenas o caso do dulo ite sucessivo valendo idêntico argumento no caso do ite sucessivo de qualquer multilicidade. Considere-se então a artição ( α β ) das coordenadas de e a corresondente artição ( a α a β ) das coordenadas de a. Tem-se com a R n e com ε* ε / α V ε* ( a α ) β V ε* ( a β ) V ε ( a ) o mesmo se verificando com a onto imrório. De a f ( ) k resulta usando a definição de Cauch que fiado δ > 0 arbitrariamente equeno eiste ε ε (δ ) tal que se [V ε ( a ) - { a }] A então 69

f ( ) V δ (k) ] δ + δ [ ] δ [ ] δ [ k k k finito / + k + / k. Quando ara um dado o ite f β ( α ) β aβ a) [ k - δ k + δ ] se k finito ; b) [ /δ + [ se k + ; c) ] - -/δ ] se k -. α [V ε* ( a α ) - { a }] A β fazemos tender f ( ) caso eista ertence a : β ara a β E então caso eista λ α aα f β ( α ) α aα β aβ f ( ) tem-se também: a) k - δ λ k + δ se k for finito ; b) λ /δ se k + ; c) λ -/δ se k -. Devido à arbitrariedade do δ > 0 fiado tem-se necessariamente λ k em todos os casos quanto ao valor de k como se queria demonstrar. Eemlo 4 : a) Para rovar que não eiste 0 0 + basta notar que 0 0 + e 0 0 + 0. b) Para rovar que não eiste 0 0 z + z + + z basta notar que 0 0 z + z + + z e 0 0 z + z + + z -. Para terminar convém observar que da eventual eistência e igualdade de todos os ites sucessivos nada se ode inferir quanto à eistência de ite da função no onto. Aenas da obtenção de ites sucessivos distintos se conclui que a função não tem ite. Deve também observar-se que elo facto de não eistirem alguns dos ites sucessivos não se ode concluir ela ineistência de ite ara a função. 70

5. Caso das funções de A R n em R m Como se viu anteriormente uma função f de A R n em R m (... n ) A R n um certo vector de R m associa a cada vector (... m ) f ( ) [ f ( ) f ( )... f m ( ) ] odendo considerar-se como um sistema de m funções reais de n variáveis reais f( ) f (... n ) f ( ) f (... n ) K m f m ( ) f m (... n ) em que a função f j ( ) associa a cada (... n ) A a j-ésima coordenada de (... m ) f ( ). De acordo com a definição de Heine tem-se a f ( ) b A a a f ( ) b e como f ( ) [ f ( ) f ( )... f m ( )] facilmente se conclui que a f ( ) b l im f j ( ) b j ( j m) a odendo assim ara as funções f de A R n em R m reduzir-se o cálculo de f () a j ao cálculo dos m ites f () cada um deles relativo a uma função real de n variáveis reais questão já tratada em 5.. Nada mais é necessário acrescentar aresentan-do-se aenas os seguintes eemlos: ) Sendo f ( ) [ + /( + )] uma função de R em R 3 tem-se or eemlo a li m f ( ) [ li m + li m li m /( + )] ( 5 - /5 ) ; ) Sendo f ( z) [ + + z ( + z) /( + z )] uma função com domínio no conjunto A {( z) : -z } R 3 não eiste o resectivo ite no onto ( 0 0 0 ) uma vez que não eiste o ite 7

l i m ( + z) /( + z ). 0 0 z 0 6. Continuidade ontual Seja f ( ) uma função de A R n em R m a se e só se e a A. Diz-se que f ( ) é contínua em ou seja se e só se δ > 0 ε ε (δ ) : V ε ( a ) A f ( ) V δ [ f( a )] δ > 0 ε ε (δ ) : - a < ε A f ( ) - f ( a ) < δ. Quando a A não seja onto de acumulação de A ( nesse caso diz-se que a é onto isolado do domínio da função) eiste semre certa vizinhança de a em que o único onto de A que aí se encontra é o rório a ; ortanto neste caso a condição que define a continuidade de f ( ) em a é semre verificada. Quando a A seja onto de acumulação de A a condição que define a continuidade de f ( ) em a equivale a ser f () f ( a ). a Com um argumento semelhante ao utilizado quando se demonstrou a equivalência das definições de ite de Heine e Cauch ode concluir-se que a A (onto isolado ou não) é onto de continuidade da função f ( ) se e só se ara qualquer sucessão de elementos de A que tenha or ite o real a a corresondente sucessão f ( ) tiver or ite f ( a ). Quando seja m a função f ( ) ode como vimos considerar-se como um sistema de m funções f j ( ) reais de n variáveis reais e facilmente se conclui que a continui-dade de f ( ) em a equivale à continuidade nesse mesmo onto das m funções f j ( ). Com efeito or ser f j ( ) - f j ( a ) f ( ) - f ( a ) a continuidade de f ( ) em a imlica a continuidade da cada uma das f j ( ) no mesmo onto; inver-samente sendo todas as m funções f j ( ) contínuas em a tem-se δ > 0 ε j ε j (δ ) : - a < ε j A f j ( ) - f j ( a ) < δ / m. ( j m) e ortanto com ε igual ao menor dos ε j tem-se δ > 0 ε ε (δ ) : - a < ε A f j ( ) - f j ( a ) < δ / m ( j m) 7

m f j ( ) f j ( a) f ( ) f ( a) < δ j ficando assim justificada a continuidade de f ( ) em a. O teorema seguinte garante a continuidade da função comosta z [ f o g] ( ) a artir da continuidade das funções g( ) e z f ( ). Teorema 6 : Admita-se que a função g( ) de A R n em R m é contínua em certo onto a A e que a função z f ( ) de B g(a) R m em R é contínua no onto corresondente b g( a ) B. Então a função comosta [ f o g] ( ) é contínua em a Demonstração: A continuidade de f ( ) em b g( a ) e de g( ) em a traduz-se resectivamente or ) δ > 0 η η (δ ) : V η (b ) g(a) f ( ) V δ [ f (b )] ) η > 0 ε ε (η ) : V ε ( a ) A g( ) V η [ g( a )] Então dado δ > 0 determina-se η η (δ ) ela condição ) e a artir deste determina-se ε ε (η ) ε [η (δ )] ela condição ); claro que então com o ε e η assim determinados V ε ( a ) A g( ) V η [ g( a )] g( ) V η [ g( a )] g(a) f [ g( )] V δ [ f (b )] f [ g( )] V δ { f [ g( a )] } assim se rovando a continuidade de [ f o g] ( ) em a. Embora o teorema recedente tenha sido enunciado ara o caso B g(a) - domínio de f ( ) coincidente com o contradomínio de g( ) - ele adata-se com facilidade ao caso da comosição de funções em que B g(a) e B g(a). De facto restringindo o domínio de g( ) ao conjunto A 0 de todos os A que fazem g( ) B restringindo o domínio de f ( ) ao conjunto g(a 0 ) e atendendo a que a continuidade de g( ) em a se mantém quando se restringe o domínio da função o mesmo acontecendo quanto à continuidade de f ( ) em b o teorema é alicável à função comosta z f [ g( )] definida em A 0. 7. Descontinuidades Dada a função f ( ) de A R n em R m considere-se a Ad A A A. Como já sabemos a função é contínua em a nos seguintes casos : ) a A e a A ( a é onto isolado do domínio) ; ) a A a A e f () f ( a ). a 73

A função diz-se descontínua em a nos seguintes casos : ) a A a A e f () ou não eiste ou eistindo é distinto de f ( a ) ; ) a A a A e a f () ou não eiste ou eistindo é imrório. a Há ainda outro caso ossível : a A a A e f () eiste em R m. Neste caso a função f ( ) diz-se quase contínua em a no sentido de que é ossível alargando o domínio da função a a e definindo f ( a ) f () obter uma função contínua. a a 8. Continuidade num conjunto. Proriedades eseciais das funções contínuas 8. - Definição de função contínua num conjunto A definição de continuidade num conjunto é semelhante à que foi dada ara o caso das funções reais de variável real. Dada a função f ( )de A R n em R m ela diz-se contínua no seu domínio se e só se for contínua em todos os a A. Por outro lado f ( ) diz-se contínua no conjunto B A se e só se a restrição de f ( ) a B for contínua em todos os a B. Estudam-se seguidamente algumas roriedades eseciais das funções contínuas em conjuntos eseciais. Estas roriedades são generalizações de idênticas roriedades estudadas ara as funções reais de variável real. 8. - Generalização do Teorema de Cauch 8.. - Coneão or arcos A generalização do teorema de Cauch ao caso das funções com domínio contido no esaço R n ressuõe a definição da coneão or arcos ara os subconjuntos de um esaço R n. Seja g(t) uma função de I [a b] R em R n e admita-se a resectiva continuidade nesse intervalo. Ao conjunto C { : g(t) a t b} chama-se arco de curva de etremidades a g(a) e b g(b). A função g(t) corresonde a um sistema de n funções reais de variável real cada uma das quais dá uma das coordenadas de em função de t g (t) g (t) n g n (t) sendo que a continuidade de g(t) equivale como sabemos à continuidade de cada uma das g j (t) no mesmo intervalo. As funções g (t) g (t) n g n (t) que origi-nam as n coordenadas do onto C corresondente a cada valor de t [a b] chamam-se funções aramétricas do arco C. Nos casos n ou n 3 os arcos de curva odem reresentar-se geometricamente no lano ou no esaço ordinário fiando um sistema de eios coordenados. Assim or 74

eemlo com as funções aramétricas cos t e sen t com t [0 π/] tem- -se o arco de curva C {( ) : cos t sen t 0 t π/} R que facilmente se constata ser reresentado no lano or um arco de círculo de centro na origem e raio unitário sendo que as resectivas etremidades são os ontos ( 0) e (0 ) : P( ) t 0 Nota : A variável real t reresenta o ângulo reresentado na figura e ara cada valor de t do intervalo [0 π/] tem-se o onto de coordenadas cos t e sen t do arco de círculo reresentado. Quando t ercorre o resectivo intervalo de variação o onto P( ) descreve o referido arco de círculo. Refira-se que o mesmo arco de curva ode em geral ser reresentado arametricamente de diferentes modos. Por eemlo no caso do arco de círculo acima considerado odemos entre outras considerar as duas seguintes alternativas de reresentação ara-métrica: t t t c o s ( e ) ( 0 t ) ou t s e n ( e ) ( 0 t log ) Tios eseciais de arcos de curva em R n são os segmentos e as oligonais. Dados dois vectores a R n e b R n chama-se segmento de etremidades a e b ao arco de curva S( a b ) { : a + t.(b - a ) 0 t } sendo as funções aramétricas corresondentes a + t.(b - a ) a + t.(b a ) n a n + t.(b n a n ) em que os a j e b j são resectivamente as coordenadas dos vectores a e b. Note-se que segmento S( a b ) admite ainda entre outras as seguintes reresentações aramétricas : a + (t k).(b - a ) k t k + em que k é um qualquer real fio. 75

Nos casos n e n 3 a reresentação geométrica dos segmentos conduz a segmentos de recta como se ilustra no figura seguinte (corresondente ao caso n 3 ) : b 3 S( a b ) a 3 b a b a b a Vejamos agora o conceito de oligonal. Dados os vectores a a ordem e em número finito chama-se oligonal de vértices a a ordem) ao arco de curva P( a a k seguinte função contínua de [0 k-] em R n : a k or esta a (or esta a ) reresentado arametricamente ela k g(t) a + t.( a a) 0 t < a + ( t ).( a3 a ) t < K ak + ( t k + ).( ak ak ) k t k Notando que o rimeiro ramo da função reresenta o segmento S( a a ) eurgado da resectiva etremidade final o segundo ramo da função reresenta o segmento S( a a 3 ) eurgado da resectiva etremidade final etc. facilmente se conclui que a oligonal P( a a a k ) é a união dos segmentos S( a a ) S( a a 3 ) etc.. Na figura seguinte reresenta-se geometricamente uma oligonal no esaço R : a 4 a a 3 a Este eemlo serve ainda ara mostrar que a ordenação dos vértices é relevante ois claramente se vê que P( a a a 3 a 4 ) P( a a 4 a 3 a ) 76

Com o conceito de arco de curva ode agora definir-se o conceito de conjunto coneo or arcos. Um conjunto A R n diz-se coneo or arcos se e só se quaisquer que sejam os vectores a b A eiste um arco de curva C de etremidades nesses vectores que está contido em A isto é eiste uma função contínua g(t) de I [a b] R em R n tal que i) a g(a) e b g(b) ; ii) C { : g(t) a t b} A. O caso mais simles de conjuntos coneos or arcos são os conjuntos coneos or segmentos: o conjunto A diz-se coneo or segmentos (ou conjunto conveo) se e só se quaisquer que sejam os vectores a b A o segmento S( a b ) está contido em A. É igualmente simles mas mais geral que o anterior o caso de conjuntos coneos or oligonais : o conjunto A diz-se coneo or oligonais se e só se quaisquer que sejam os vectores a b A eiste uma oligonal P( a a a a b ) contida em A. Na figura seguinte reresentam-se geometricamente (no caso de R ) quatro situações ara ilustrar os conceitos recedentes (conjuntos a sombreado) : k Caso : Conjunto coneo or segmentos Caso : Conjunto coneo or oligonais Caso 3 : Conjunto coneo or arcos mas não or oligonais Caso 4 : Conjunto não coneo or arcos No caso muito esecial de n é fácil ver que um conjunto A R é coneo or arcos se e só se for um intervalo. Com efeito a) Se I R for um intervalo dados quaisquer reais a < b desse intervalo tem-se que o segmento S(a b) {: a + t.(b - a) 0 t } [a b] I sendo ortanto o intervalo I coneo or segmentos ; b) Se A R for coneo or arcos dados quaisquer reais a < b desse conjunto eiste uma função real de variável real g(t) com t [t 0 t ] contínua nesse intervalo tal 77

que: i) a g(t 0 ) e b g(t ) ; ii) C { : g(t) t 0 t t } A. Então dado um qualquer c comreendido entre a e b (a < c < b) o teorema de Cauch estudado ara funções reais de variável real garante que eiste um t* ] t 0 t [ tal que c g(t*). Resulta então que c C e ortanto c A assim se concluindo que dados dois quais-quer reais a < b do conjunto A (coneo or arcos) qualquer real entre a e b ertence também a A o que imlica ser A um intervalo 8.. Teorema de Cauch Pode agora enunciar-se e demonstrar-se o teorema de Cauch generalização de um resultado já estudado ara as funções reais de variável real Teorema 7 : Seja f ( ) função de A R n em R m admita-se que a função é contínua em B A e que B é coneo or arcos. Então o conjunto transformado de B or f ou seja f (B) { : f ( ) B} R m é igualmente coneo or arcos Demonstração : Considerem-se dois quaisquer vectores u v f (B) e sejam a e b vectores de B tais que u f (a ) e v f (b ) sendo que tais vectores eistem or definição do conjunto f (B). Por ser B coneo or arcos eiste uma função contínua g(t) de I [a b] R em R n tal que i) a g(a) e b g(b) ; ii) C { : g(t) a t b} B. Então a função comosta h(t) f [g(t)] é também função contínua de I [a b] R em R m (devido à continuidade de f e de g ) tal que : i) u f [g(a)] e v f [g(b)] ; ii) C* { : f [g(t)] a t b} f (B) resultando ii) de a t b g(t) C g(t) B f [g(t)] f (B) Fica assim rovado que f (B) é igualmente coneo or arcos como se retendia. Do teorema anterior resultam os seguintes corolários : Corolário : Sendo f ( ) função de A R n em R admita-se que a função é contínua em B A e que B é coneo or arcos. Então o conjunto transformado de B or f ou seja f (B) { : f ( ) B} é um intervalo Demonstração : Resulta imediatamente do teorema considerando que em R os conjuntos coneos são aenas os intervalos. 78

Corolário : Sendo f ( ) função de A R n em R admita-se que a função é contínua em B A e que este conjunto é coneo or arcos. Então a função não muda de sinal em B sem se anular Demonstração: O transformado de B ela função é um intervalo (corolário ). Se a função muda de sinal em B ao intervalo f (B) ertence uma valor ositivo e um valor negativo logo 0 f (B). Eiste então um 0 B tal que f ( 0 ) 0 como se queria mostrar. 8.3 - Funções contínuas num conjunto itado e fechado Para as funções f ( ) de A R n em R m contínuas num conjunto B A itado e fechado tem-se um resultado semelhante ao já estudado ara as funções reais de variável real. Teorema 8 : Sendo f ( ) função de A R n em R m contínua no conjunto B A itado e fechado então o conjunto f (B) { : f ( ) B} R m é igualmente itado e fechado Demonstração : a) Vejamos em rimeiro lugar que f (B) é itado. Se f (B) não fosse um conjunto itado então ara... eistiria semre um B tal que f ( ) > n e seria então f ( ) +. A sucessão itada admitiria uma subsucessão α com ite λ B (dado B ser fechado) ; seria então f ( α ) f ( λ ) devido à continuidade de f ( ) em λ ; mas então f ( ) seria uma sucessão itada (or ter ite em R m ) ou seja ter-se-ia f ( ) k com certo k R o que é incomatível com a conclusão sura de se ter f ( ) +. b) Vejamos agora que f (B ) é um conjunto fechado. Seja f ( ) uma qualquer sucessão de vectores de f (B ) com ite R m. Se se rovar que f (B) tal será suficiente ara garantir que f (B) é fechado. A sucessão itada admite uma sub-sucessão α com ite λ B (dado B ser fechado) ; e então f ( α ) f ( λ ) de-vido à continuidade de f ( ) em λ ; tem-se então que f ( λ ) ou seja f (B) como se retendia rovar. Corolário : Sendo f ( ) função de A R n em R contínua no conjunto B A itado e fechado então f ( ) admite em B mínimo e máimo absolutos Demonstração: Resulta de imediato do teorema. O conjunto f (B) R é itado e fechado admitindo or isso máimo e mínimo sendo estes o máimo e mínimo absolutos da função no conjunto B. α α 79

9. Continuidade da função inversa Tal como ara as funções reais de variável real também agora o facto de uma função f ( ) de A R n em R m ser contínua e injectiva no seu domínio A não é suficiente ara garantir que a resectiva função inversa f - seja contínua no seu domínio f (A). No entanto Teorema 9 : Sendo f ( ) contínua e injectiva no conjunto itado e fechado A então a resectiva inversa f - é também contínua em f (A) Demonstração : Tome-se um qualquer b f (A) ou seja b f ( a ) com certo a A. Seja f ( ) uma sucessão (qualquer) de elementos de f (A) tal que b. Vejamos que f - ( ) f - (b ) o que rovará ser f contínua em b f (A) e ortanto dada a arbitrariedade desse b ficará rovada a continuidade de f - em f (A). Como os termos ertencem a A e este conjunto é itado e fechado a sucessão é itada e vamos ver que tem ite coincidente com a. Para tal rovaremos que essa sucessão não admite nenhum subite distinto de a. Considere-se então uma qualquer subsucessão que tenha ite seja ele λ ; tem-se que λ A ( or α ser A fechado) e devido à continuidade de f ( ) sai f ( α ) f ( λ ) f ( a ) sendo a segunda igualdade assegurada or ser f ( α ) subsucessão de f ( ) que or hiótese tende ara b f ( a ). Dada a injectividade de f ( ) a igualdade f ( λ ) f ( a ) imlica λ a o que ermite concluir que todos os subites da sucessão coincidem com a donde resulta ser a. Mas dado que f - ( retendia rovar. ) e a f - (b ) tal significa ser f - ( ) f - (b ) como e 0. Continuidade uniforme. Teorema de Heine Cantor Relembremos o conceito de função contínua num conjunto. Dada a função f ( ) de A R n em R m e sendo B A f é contínua em B a B δ > 0 ε ε ( a δ ) : : V ε ( a ) B f ( ) V δ [f ( a )] ou em termos de distâncias f é contínua em B a B δ > 0 ε ε ( a δ ) : 80

: d ( a ) a < ε e B d [f ( ) f ( a )] f ( ) f ( a ) < δ. Refira-se que na definição recedente o valor ε indicado deende em geral do δ > 0 fiado e do onto a B que se está a considerar. Caso seja ossível determinar ara cada δ > 0 um ε ε (δ ) só deendente de δ que assegure ara todos os ontos a B d ( a ) a < ε (δ ) e B d [f ( ) f ( a )] f ( ) f ( a ) < δ a função diz-se uniformemente contínua no conjunto B ou seja f é uniformemente contínua em B δ > 0 ε ε (δ ) : : a < ε e a B f ( ) f ( a ) < δ ou ainda na forma equivalente mais usual f é uniformemente contínua em B δ > 0 ε ε (δ ) : : < ε e B f ( ) f ( ) < δ. O teorema seguinte é frequentemente útil ara estudar a eventual continuidade uniforme de uma função num conjunto. Teorema 0 : A função f ( ) de A R n em R m é uniformemente contínua no conjunto B A se e só se quaisquer que sejam as sucessões e de ontos do conjunto B tais que d ( ) 0 também d [ f ( ) f ( )] 0 Demonstração : Suonha-se f ( ) uniformemente contínua em B e sejam e duas sucessões de ontos do conjunto B tais que d ( ) 0. Dado um qualquer δ > 0 eiste ε ε (δ ) tal que d ( ) < ε e B d [f ( ) f ( )] < δ ; como de certa ordem em diante d ( ) < ε tem-se a artir da mesma ordem d [ f ( ) f ( )] < δ o que rova ser d [ f ( ) f ( )] 0. Inversamente admita-se que ara quaisquer 0 se tem também d [ f ( ) f ( é uniformemente contínua no conjunto. B tais que d ( ) )] 0. Vejamos que então a função f ( ) 8

Se or absurdo tal não acontecesse haveria um δ 0 relativamente ao qual ara qualquer ε > 0 eistiriam ontos B tais que ε ε d ( ε ε ) < ε e d [ f ( ) f ( )] δ 0 ; ε ε considerando então ε / eistiriam ontos B tais que d ( ) < / e d [ f ( ) f ( )] δ 0 sendo então d ( ) 0 sem que em corresondência se tivesse d [ f ( ) f ( )] 0 o que seria contrário à hiótese admitida inicialmente. Logo f ( ) deverá ser uniformemente contínua em B como se queria rovar. Embora em geral uma função ossa ser contínua num conjunto sem que aí seja uniformemente contínua vamos estudar o teorema de Heine-Cantor onde se garante que uma função contínua num conjunto itado e fechado é semre uniformemente contínua nesse conjunto. Teorema : Sendo f ( ) função de A R n em R m contínua no conjunto itado e fechado B A então f ( ) é uniformemente contínua em B (Heine-Cantor) Demonstração : Seja f ( ) contínua no conjunto itado e fechado B e considere-se or absurdo que não é uniformemente contínua nesse conjunto. Eistiria então certo δ > 0 tal que qualquer que fosse ε > 0 semre haveria ontos ε ε B de modo a ser d ( ε ε ) < ε e d [ f ( ) f ( )] δ ε ε Em articular com ε / eistiriam ontos B tais que d ( ) < / e d [ f ( ) f ( )] δ. 8

Como a sucessão vê-se com facilidade que α a d ( é itada eiste uma sua subsucessão α α ) Por outro lado f ( α ) f ( em a B daqui resultando d [ f ( ) f ( α α α α α α < /α com ite a B e α a ) f ( a ) devido à continuidade de f ( ) )] f ( ) f ( α ) 0 α em contradição com a condição d [ f ( ) f ( )] δ que deveria ser verificada ara todo o natural N. - Noção de contracção. Teorema do onto fio Dada a função f ( ) de A R n em R m diz-se que se trata de uma função contínua segundo Lischitz no conjunto B A se e só se eiste um real c > 0 tal que f ( ) f ( ) c. quaisquer que sejam B. É muito fácil de rovar que sendo f ( ) uma função contínua segundo Lischitz no conjunto B é aí uniformemente contínua não sendo orém a inversa verdadeira. Dada a função f ( ) de A R n em R n tal função diz-se uma contracção se e só se: i) f (A) A R n ; ii) A função verifica a condição de Lischitz com 0 < c < no domínio A ou seja eiste c ] 0[ tal que A f ( ) f ( ) c.. O teorema seguinte conhecido em Análise Matemática or teorema do onto fio é imortante em diversas alicações: Teorema : Se a função f de A R n em R n for uma contracção e A for um conjunto fechado então a equação f ( ) tem uma e uma só solução em A Demonstração : Considere-se um onto arbitrário 0 A e construa-se a seguinte sucessão de ontos de A : f ( 0 ) f ( )... f ( ).... 83

Como f é uma contracção tem-se (com certo c ] 0 [ ) : - f ( ) - f ( 0 ) c. - 0 3 - f ( ) - f ( ) c. - c. - 0 e em geral ara 3... - c -. - 0. Então com > m - m - + - +... + m + - m ( c - + c - +... + c m ). - 0 c m c - 0. Por ser 0 < c < tem-se que a sucessão real de termo geral u m c m tende ara zero e ortanto - m c m c - 0 < ε de certa ordem ε em diante ou seja ara > m > ε tem-se a seguinte desigualdade: - m < ε. Tal significa que a sucessão verifica a condição de Cauch; ortanto eiste a e claro que a A (or ser A um conjunto fechado). Por ser f ( ) e f função contínua em a (note-se que sendo f função contínua segundo Lischitz no conjunto A é ai uniformemente contínua logo contínua em qualquer onto ertencente a esse conjunto) tem-se a f ( a ) ou seja o onto a do conjunto A é uma solução da equação f ( ). Para concluir que o onto a obtido anteriormente é a única solução em A da equação f ( ) considere-se uma eventual solução alternativa b A ; tem-se f ( a ) a f (b ) b a - b f ( a ) - f (b ) c. a - b ( - c). a - b 0 ; or ser - c > 0 resulta a - b 0 o que imlica a - b 0 ou seja a b. 84

. Eercícios - Utlize a definição de ite segundo Cauch ara mostrar que a) 0 ; b) 0. + + 0 0 + 0 - Dada a função f de R em R tal que e os conjuntos f ( ) 3 racional ou racional.( ) e irracionais A {( ) : Q Q } e B {( ) : R - Q R - Q } a) Utilize a definição de ite segundo Heine ara determinar os subites da função no onto de coordenadas relativos aos conjuntos A e B ; b) Para (a b) R em que condições eiste ite da função no onto em causa? Justifique. 3 - Considere a função f ( ). ( + ) - e o onto (00). a) Calcule os subites de f no onto dado relativos aos conjuntos M {( ) : 0} N {( ) : 3 0} e R {( ) : - > 0} ; b) Determine o conjunto S dos subites (rórios ou imrórios) da função no onto dado; c) Face aos resultados das alíneas anteriores que ode afirmar sobre a eistência do ite da função no onto em causa? Justifique. 4 - Considere a função f ( ) e calcule os resectivos subites no onto de coordenadas 0 relativos aos seguintes subconjuntos: a) Recta de equações aramétricas t t ; b) Curva de equações aramétricas t t 3. 5 - Considere a seguinte função 85

f ( z) + + z a) Utilize os conjuntos A α {( z) : 0 t z α (t ) + } (α 0) ara mostrar que qualquer real diferente de zero é subite da função no onto (0 ) ; b) Mostre que também 0 + e - são subites da função no mesmo onto. 6 - Determine o arâmetro real α de modo que a seguinte função tenha ite no onto ( ) : + α 0 0 e f ( ). + α outros ( ) +. 7 - Considere a seguinte função f ( ) 4 4 + ( ) 4 4. a) Mostre que eistem e são iguais os ites sucessivos da função na origem ; b) Mostre que a função não tem ite na origem. 8 - Calcule os seguintes ites ou rove a sua ineistência : a) 0 0 d) + + z g) 0 0 sen ; b) 0 0 z + + z ; e) 5 + ( ) 8 + + z + z 0 ; h) z 0 + z + z + + ; c) 0 0 ; f). 0. sen (/) ; +. ; 9 - Calculando os ites sucessivos mostre que não eistem a) 0 0 3 4 4 + ; b) 0 ( ) ( ) +. 86

0 - Estude a eistência de 0 3 + 3 3 3 +. - Mostre que não eiste z 0 z + ( ) + z + z calculando os ossíveis ites sucessivos até encontrar dois que sejam distintos. - Considere a função f ( ) [sen (/) / sen (/)] com domínio no seguinte subconjunto de R : A {( ) : 0 0}. Determine o conjunto dos subites (rórios ou imrórios) da função no onto de coordenadas 0. 3 - Estude a continuidade da seguinte função na origem f ( ) / 0 0 0 estudando também a continuidade das funções arciais f ( 0) e f (0 ) resectivamente em 0 e 0. 4 - O mesmo que no eercício anterior ara a função f ( ) + 0 + 0 0. 5 - Determine os ontos de descontinuidade das seguintes funções reais de duas variáveis reais. e 0 a) f ( ) + 0 ; b) f ( ) ( - 4 + 3). sen (/). 6 - Estude a continuidade das seguintes funções nos conjuntos indicados: a) f ( ) ( ) ± 0 ± em R e B {( ) : ± } ; 87

+ + z 0 0 z 0 b) f ( z) z < 0 0 z 0 + z outros ( z ) em B {( z) : 0 0 z 0} e R 3. 7 - Justifique a eistência de mínimo e máimo absoluto da função f ( ) 3 + 4 em B {( ) : + }. 8 - Seja f função de A [0 π [ em R tal que f ( t ) (cos t sen t). a) Mostre que f (A) B {( ) : + } ; b) Mostre que f é contínua em A ; c) Mostre que eiste a função inversa f de B em R tal que d) Calcule f ( 0) ; f ( ) t : t [0 π [ cos t sen t ; e) Calcule os subites seguintes f ( ) e 0 ( ) B 0 0 ( ) B f ( ) em que B 0 {( ) : ( ) B > 0} e B {( ) : ( ) B 0} ; f) Utilize os resultados das alíneas anteriores ara mostrar que embora f seja contínua em A a sua inversa não é contínua em B f (A). 9 - Estude a continuidade uniforme das seguintes funções nos conjuntos indicados: a) f ( ) / em A {( ) : > 0} e B {( ) : 0 < < < }; b) f ( z) em B {( z) : + + z }. + + z 88

0 - Com a função f ( ) + e o conjunto B {( ) : 0 0 } ara mostrar que uma função ode ser uniformemente contínua num conjunto sem que aí verifique a condição de Lischitz. - Considere-se a função f de R em R tal que f ( ) ( ). a) Determine as soluções da equação f ( ) ( ) ; b) A função f ( ) oderá ser uma contracção? Justifique. RESPOSTAS : - a) Subite relativo a A 3 e subite relativo a B 0 ; b) Eiste ite ara a função no onto (a b) se e só se a 0 ou b ±. 3 - a) Subites: relativo a M /3 ; relativo a N /4 ; e relativo a R + ; b) S R {- + } ; c) A função não tem ite no onto (0 0). 4 - a) 0 ; b) 0. 6 - α /4. 8 - a) Não eiste ; b) 0 ; c) 0 ; d) Não eiste ; e) Não eiste ; f) / ; g) Não eiste ; h) /3. 0 - Não eiste. - S {(u v w) : - u v ± - w }. 3 - A função não é contínua na origem. As funções arciais f ( 0) e f (0 ) são contínuas resectivamente em 0 e 0. 4 - A função não é contínua na origem a função arcial f ( 0) não é contínua em 0 e a função arcial f (0 ) é contínua em 0. 5 - a) Todos os ontos (0 b) com b R e ainda os ontos ( b) com b diferente de 0 e de ; b) Todos os ontos (0 b) com eceção de (0 ) e (0 3). 6 - a) Não contínua em R contínua em B ; b) Contínua em B não contínua em R 3. 7 - Função contínua no conjunto itado e fechado B. 8 - d) 0 ; e) Subite em relação a B 0 0 e subite em relação a B π. 9 - a) Não é uniformemente contínua em A mas é uniformemente contínua em B ; b) É uniformemente contínua. 89