2 Independência e dependência das taxas de juro

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1 1 Incerteza e juro aleatório Considere-se o intervalo [0, n], o tempo medido em anos, e a partição [0, 1], (1, 2],..., (n 1, 1] e suponha-se que no início do ano t são aplicadas C t unidades de capital, t = 1, 1, 2,..., n. Seja i t a variável aleatória que representa a taxa de juro nesse ano t, t = 1, 2,..., n, e seja A n a variável aleatória que representa o valor acumulado da sucessão de investimentos anuais, no momento n. Claro que ( n n ) A n = C 1 (1 + i 1 )...(1 + i n ) + C 2 (1 + i 2 )...(1 + i n ) C n (1 + i n ) = C k (1 + i t ) (1) k=1 t=k Como é evidente, dados os montantes a investir, se as taxas de juro dos diferentes anos forem fixas à partida, o cálculo do valor de A n é imediato. Ora, o que acontece é que em muitas situações existe incerteza acerca das condições sob as quais se desenrolam as operações financeiras, sobretudo no que se refere aos retornos que proporcionam. E, assim sendo, torna-se difícil controlar o risco associado aos investimentos. Para tratar essa incerteza costuma considerar-se que a taxa de juro em cada período é uma variável aleatória, com determinada distribuição probabilística. Muito embora se possa frequentemente estabelecer hipóteses, mais ou menos realistas, sobre essas distribuições de probabilidade, o facto é que, nos casos interessantes, não é tarefa fácil obter a distribuição de A n, agora também variável aleatória. No entanto, é necessário calcular, se existirem, os momentos dessa distribuição, muito particularmente, o valor esperado e a variância. Igualmente importante é obter valores para as probabilidades de certos acontecimentos, em especial, a daqueles cuja realização pode significar a ruína do investidor. 2 Independência e dependência das taxas de juro Naturalmente, a abordagem mais simples consiste em admitir que as taxas de juro observadas nos diferentes períodos são iid, ou seja, que as n variáveis i t são por hipótese mutuamente independentes e são também identicamente distribuídas. Mais ainda, pode admitir-se que a distribuição em causa é conhecida. Em tais condições, a determinação da distribuição conjunta é possível. A partir dela, e procedendo às mudanças de variável que forem necessárias, pode chegar-se à distribuição de A n. Veja-se um exemplo muito simples: Um investidor aplicou no momento 0, 5000 no momento 1 e 3000 no momento 2. Há razões para acreditar que ss taxas de juro dos três períodos em causa, i 1, i 2, i 3, são v.a. i.i.d. a uma v.a. i, que tem a seguinte distribuição: 0.20, i = 0.02 f(i) = 0.50, i = , i = 0.10 Como já se sabe, 3 A 3 = 3 C k k=1 t=k (1 + i t ), 1

2 ou seja, A 3 = 10000(1 + i 1 )(1 + i 2 )(1 + i 3 ) (1 + i 2 )(1 + i 3 ) (1 + i 3 ) A distribuição de A 3 pode facilmente obter-se, a partir da distribuição conjunta do vector aleatório (i 1, i 2, i 3 ), dada por f(i 1, i 2, i 3 ) = f(i 1 )f(i 2 )f(i 3 ). Note-se que, apesar de cada uma das variáveis só assumir neste caso três valores com probabilidade positiva, f(i 1, i 2, i 3 ) é positiva para 27 concretizações do vector das taxas (trajectórias do processo estocástico em causa). Com efeito, tendo todas as variáveis média E[i] e variância V ar(i), conhecidas, é possível obter E[A n ]) e V ar(a n ), fazendo uso das propriedades convenientes dos valores esperados. Vem E[A 3 ] = 10000(1 + E[i]) (1 + E[i]) (1 + E[i]) e com V ar(a 3 ) = E[(A 3 ) 2 ] (E[A 3 ]) 2, E[(A 3 ) 2 ] = E [ (10000(1 + i 1 )(1 + i 2 )(1 + i 3 ) (1 + i 2 )(1 + i 3 ) (1 + i 3 )) 2]. Em geral, com as hipóteses estabelecidas, é imediato que se pode estabelecer a igualdade A n = (1 + i n ) [ n 1 k=1 n 1 (C k t=k (1 + i t ) ) + C n ] = (1 + i n )(A n 1 + C n ). (2) Uma vez que (1 + i n ) e (A n 1 + C n ) ainda são variáveis estatisticamente independentes, tem-se E[A n ] = E[1 + i n ]E[A n 1 + C n ], igualdade que pode ser usada de forma recursiva. Efectuando os cálculos necessários, conclui-se que E[A n ] vem igual ao valor acumulado da renda correspondente à sucessão dos investimentos feitos, calculado com a taxa E[i] - sendo E[i] o valor esperado das variáveis que representam a taxa de juro. Este facto fica perfeitamente visível, quando em cada período é investida uma unidade de capital C t = 1, t = 1, 2,..., n. Nesse caso, vem E[A n ] = s n E[i]. 2.1 Taxas de juro dependentes Foi referido que a hipótese da independência presente na exposição precedente é, muitas vezes, ilusória. Com efeito, o mais comum é que as taxas de juro, se bem que aleatórias, apresentem ao longo dos sucessivos períodos relações visíveis de dependência mútua. Por exemplo, se num ano se observa uma taxa elevada, é razoável admitir que no ano seguinte (e a menos que haja grande mudança nas condições económicas) voltará a observar-se uma taxa de magnitude maior do que a que seria esperada se assim não tivesse sido. O problema da escolha do modelo que melhor traduz a relação existente entre as sucessivas taxas levanta, em cada caso particular, as questões suscitadas sempre que se pretende modelar a realidade. Trata-se, no entanto, de uma discussão que extravasa o âmbito do programa. 2

3 3 Exemplos 3.1 O Problema Um investidor aplicou no momento 0, 5000 no momento 1, 3000 no momento 2, 4000 no momento 3 e 7000 no momento 4. As taxas de juro dos cinco períodos em causa, i 1,..., i 5, são v.a. com dadas distribuições. Pretende-se simular uma observação do valor acumulado no momento 5 (a v.a. A 5 ) e o cálculo do valor mínimo e do valor máximo que A 5 pode assumir. Quer ainda calcular-se (ou estimar-se) E[A 5 ]. 3.2 Taxas mutuamente independentes e identicamente distribuídas Caso 1.1 Neste primeiro caso, vai admitir-se que i 1,..., i 5, são v.a. i.i.d. a uma v.a. i, que tem a seguinte distribuição: 0.20, i = 0.02 f(i) = 0.50, i = , i = 0.10 Como se sabe, 5 5 A 5 = C k (1 + i t ), k=1 t=k o que torna evidente que é necessário dispor de uma observação para cada uma das v.a. i 1,..., i 5. Comecemos por calcular a função de distribuição da v.a. i. Vem F (i) = 0, i < , 0.02 i < , 0.07 i < , i 0.10 Simulem-se agora cinco números aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo [0, 1], representem-se por r t, t = 1,..., 5. Tomando como base a função de distribuição acima, conclua-se sobre o correspondente valor de cada variável i t, de acordo com a seguinte regra: - se r t [0, 0.20], tem-se i t = 0.02, uma vez que a probabilidade de se obter r t [0, 0.20], pelas propriedades da distribuição uniforme em [0, 1], é 0.20, exactamente igual à probabilidade de ser i = se r t (0.20, 0.70], tem-se i t = 0.07, uma vez que a probabilidade de se obter r t (0.20, 0.70] é 0.50, exactamente igual à probabilidade de ser i =

4 - se r t (0.70, 1], tem-se i t = 0.10, uma vez que a probabilidade de se obter r t (0.70, 1], é 0.30, exactamente igual à probabilidade de ser i = Recorrendo à função rand() do EXCEL (pode recorrer-se ao comando Random[ ] do Mathematica, ou até à maior parte das calculadoras), obtiveram-se os valores r 1 = , r 2 = , r 3 = , r 4 = , r 5 = , donde se concluiu que as observações procuradas são i 1 = 0.02, i 2 = 0.02, i 3 = 0.02, i 4 = 0.07, i 5 = A observação pedida para A 5 é O valor mínimo é A 5 = 10000(1.02) 4 (1.07) (1.02) 3 (1.07) (1.02) 2 (1.07) (1.07)(1.02) (1.02) = min(a 5 ) = 10000(1.02) (1.02) (1.02) (1.02) (1.02) = e o valor máximo é max(a 5 ) = 10000(1.1) (1.1) (1.1) (1.1) (1.1) = É evidente que os resultados da simulação nos aproximam muito mais do mínimo do que do máximo, mas podia ter ocorrido qualquer outra situação. Como foi deduzido, para calcular o valor esperado de A 5 basta calcular o valor esperado da distribuição dada e recalcular A 5 considerando as cinco taxas iguais a esse mesmo valor. Vem E[A 5 ] = 10000(1.069) (1.069) (1.069) (1.069) (1.069) = 36208, pois E[i] = = Só para ilustrar, apresentam-se abaixo os resultados de simulações Caso 1.2 Neste segundo caso continua a admitir-se que as taxas de juro dos cinco períodos em causa são ainda v.a. i.i.d., com a diferença de que agora são identicamente distribuídas a uma v.a. i, que tem distribuição uniforme em [0.02, 0.10]. Como é conhecido, a função de densidade da v.a. i é a função de distribuição é { 1 = 12.5, 0.02 i 0.10 f(i) = , o.v., 4

5 F (i) = 0, i < 0.02 i 0.02 = 12.5(i 0.02), 0.02 i < , i 0.10 e o valor esperado é E[i] = = Recorrendo à chamada transformação uniformizante, sabe-se que a v.a. R = F (i) U[0, 1], o que permite exprimir i em função de R. Vem R = 12.5(i 0.02) i = 0.08R Tal como anteriormente, basta também agora simular cinco números aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo [0, 1], representem-se por r t, t = 1,..., 5, e recorrer à relação acima para gerar os cinco valores das taxas de retorno da aplicação. Usando os mesmos cinco valores, r 1,..., r 5, utilizados no Caso 1 (que, aliás, continuarão a ser usados em todas as situações seguintes), vem: i 1 = = i 2 = = i 3 = = i 4 = = i 5 = = Efectuando os cálculos, resulta A 5 = 10000(1.031) 2 (1.034)(1.065)(1.022) (1.031)(1.034)(1.065)(1.022) (1.034)(1.065)(1.022) (1.065)(1.022) (1.022) = O valor máximo e o valor mínimo são iguais aos do Caso 1, pelas razões óbvias, e o valor esperado é E[A 5 ] = 10000(1.06) (1.06) (1.06) (1.06) (1.06) = Caso 1.3 Desta vez, as taxas de juro i t dos cinco períodos em causa são tais que as v.a. 1 + i t são i.i.d. a uma v.a. 1 + i, que tem distribuição Lognormal de parâmetros µ = 0.06 e σ 2 = Pelas propriedades da distribuição Lognormal, isto implica que: σ µ E[1 + i] = e 2 = e 2 = V ar(1 + i) = e ( 2µ+σ2 e σ2 1 ) = e (e ) = log (1 + i) N(0.06, 0.04) Pretende-se uma vez mais a simulação de uma observação da v.a. A 5 e o cálculo do valor mínimo, do valor máximo e do valor médio dessa variável. É fácil verificar que não é possível obter a expressão da função inversa da função de distribuição da Lognormal (tal como sucede com a função de distribuição da Normal), de modo a usar-se o procedimento utilizado no Caso 2. Reccorre-se, então, ao seguinte processo: 5

6 1. Simulam-se cinco observações da distribuição Normal Standard, usando a relação z = sin(2πr 1 ) 2logr 2 (ou a relação z = cos(2πr 1 ) 2logr 2 ), onde r 1 e r 2 são números aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo [0, 1], tal como anteriormente (método de Box & Muller). 2. Uma vez que log (1 + i) N(0.06, 0.04), transformam-se aquelas cinco observações, de modo a obter concretizações z de uma v.a com distribuição normal de média µ = 0.06 e variância σ 2 = 0.04, para o que basta aplicar a igualdade z = µ + σz = z. São, repita-se, observações de log (1 + i). 3. Para se simular (1 + i), basta ver que log (1 + i) = z 1 + i = e z E assim se simulam as v.a. 1 + i t, t = 1,..., 5. Voltando a usar os valores r t anteriores e um outro, seja r 6 = 0, (são necessários três pares, como é evidente), vem, sucessivamente z 1 = sin(2π ) 2 log = 1.54 z 2 = cos(2π ) 2 log = z 3 = sin(2π ) 2 log = z 4 = cos(2π ) 2 log = z 5 = sin(2π ) 2 log 0, = z 1 = = z 2 = = z 3 = = z 4 = = z 5 = = i 1 = e = i 2 = e = i 3 = e = i 4 = e = i 5 = e = Efectuando os cálculos mais uma vez, tem-se A 5 = 10000(1.445)(1.2551)(1.3652)(1.1779)(1.1091) (1.3652)(1.2807)(1.1779)(1.1091) (1.2807)(1.1779)(1.1091) (1.1779)(1.1091) (1.1091) = O valor mínimo tende para zero e o valor máximo tende para infinito. Quanto ao valor esperado é E[A 5 ] = 10000(1.0833) (1.0833) (1.0833) (1.0833) (1.0833) =

7 3.3 Taxas mutuamente independentes, mas não identicamente distribuídas É imediata a generalização a situações em que as v.a., embora ainda mutuamente independentes, não são identicamente distribuídas. Nesses casos, terá que se simular cada taxa tendo em atenção a respectiva distribuição. O processo repete o que acabou de se fazer, adaptado às novas circunstâncias. 4 Taxas dependentes Muitas vezes, é notório que as taxas de juro em períodos consecutivos não são independentes. Nesses casos, é necessário procurar ajustar um modelo que exprima a relação de dependência existente. Uma primeira hipótese é tentar conservar a distribuição, mantendo a variância e ajustando a média, à medida que observações vão sendo feitas. Assim, por exemplo, e considerando um horizonte de n períodos, pode considerar-se que µ t = (1 k)µ 1 + ki t 1, t = 2,..., n, onde µ 1 é a média da distribuição de i 1, a taxa do período inicial, e k, 0 k 1, tem que ser estimado a partir das informações disponíveis. Claro que, quanto mais forte for a relação entre i t 1 e i t, mais k se aproxima de 1. Se se concluir que k 0 está-se na situação de independência.????incluir o texto do Selma Lagerlöf??? Nos pontos seguintes, vai voltar a resolver-se o problema acima, admitindo agora que existe dependência. 4.1 Caso 2.1 Retome-se o Caso 1.1 da secção anterior e recorde-se que a função de probabilidade de i 1 é 0.20, i = 0.02 f(i) = 0.50, i = , i = 0.10 (3) o que corresponde a E[i 1 ] = Simulação de i 1 Pode tomar-se o valor obtido atrás (Caso 1.1), que forneceu i 1 = Simulação de i 2 Comecemos por calcular µ 2, recorrendo à relação proposta acima, e admitindo que estudos feitos permitiram concluir que k = 0.4. Vem µ 2 = (1 k)µ 1 + ki 1 = (1 0.4) =

8 Como se observou o valor mais baixo possível no período 1, isso implica que a média da distribuição de i 2 vai ser menor do que a da distribuição de i 1, µ 2 µ 1 = Uma vez que este tipo de modelo, por hipótese, conserva a forma da distribuição e a sua variância, permitindo apenas que se proceda a ajustamentos na média, e recordando que E[X +c] = E[X]+c e que V ar(x +c) = V ar(x), basta substituir em (2) i 1 por i 2 e atender a que esta assume os valores i 1 + (µ 2 µ 1 ) = i Vem 0.20, i 2 = 0.00 f(i 2 ) = 0.50, i 2 = , i 2 = (4) A variável i 2 só pode agora assumir os valores 0.00, 0.05 e É desta distribuição que se vai simular a taxa de juro para o segundo período. Voltando a usar o procedimento visto na situação de independência e o mesmo valor r 2 = , conclui-se que i 2 = 0. Simulação de i 3 Comecemos por calcular µ 3. Vem µ 3 = (1 0.4) = Como no período 2 se observou novamente o valor mais baixo possível, isso implica que a média da distribuição de i 3 vai ser menor do que a da distribuição de i 2, µ 3 µ 2 = Como se viu, basta substituir em (2) i 2 por i 3 e ter em atenção que os valores por esta assumidos são dados pela soma i 2 + (µ 3 µ 2 ) = i Obtém-se 0.20, i 3 = 0.01 f(i 3 ) = 0.50, i 3 = , i 3 = (5) A variável i 3 só pode agora assumir os valores -0.01, 0.04 e É desta distribuição que se vai simular a taxa de juro para o terceiro período. Voltando a usar o procedimento visto na situação de independência e o mesmo valor r 3 = , conclui-se que i 3 = Simulação de i 4 µ 4 = (1 0.4) ( 0.01) = Como também no período 3 se observou o valor mais baixo possível, a média da distribuição de i 4 vai ser menor do que a da distribuição de i 3, µ 4 µ 3 = = Substituindo em (3) i 3 por i 4, com i 4 a assumir os valores i 3 + (µ 4 µ 3 ) = i , fica 0.20, i 4 = f(i 4 ) = 0.50, i 4 = , i 4 = (6) A variável i 4 só pode agora assumir os valores , e É desta distribuição que se vai simular a taxa de juro para o quarto período. Com r 4 = , conclui-se que i 4 =

9 Simulação de i 5 µ 5 = (1 0.4) (0.036) = No período 4 observou-se o valor intermédio e a média da distribuição de i 5 vai ser maior do que a da distribuição de i 4, µ 5 µ 4 = = Substituindo em (4) i 4 por i 5, que toma os valores i 4 + (µ 5 µ 4 ) = i , fica 0.20, i 5 = f(i 5 ) = 0.50, i 5 = , i 5 = (7) A variável i 5 só pode agora assumir os valores 0.005, e É desta distribuição que se vai simular a taxa de juro para o quinto período. Com r 5 = , conclui-se que i 5 = A observação pedida para A 5 é A 5 = 10000(1.02)(1.00)(0.99)(1.036)(1.005) (1.00)(0.99)(1.036)(1.005) (0.99)(1.036)(1.005) (1.036)(1.005) (1.005) = Embora se possa efectuar os cálculos, não faz agora grande sentido calcular o mínimo (o máximo), pois as v.a. i t já não são independentes e seria necessário refazer as simulações, obrigando cada variável i t a assumir o seu mínimo (o seu máximo), período após período. Para se calcular E[A 5 ] teria que se conhecer a distribuição conjunta das cinco taxas. 4.2 Caso 2.2 Retome-se o Caso 1.2 da secção anterior e recorde-se que a função de distribuição de i 1 é 0, i 1 < 0.02 i 0.02 F (i 1 ) = = 12.5(i 0.02), 0.02 i 1 < 0.1 1, i e E[i 1 ] = = Também aqui se toma a hipótese de conservar a distribuição, mantendo a variância e ajustando a média, à medida que observações vão sendo feitas. Continua a considerar-se que e de todas estas condições resulta que [ i t U µ t Vem, então, µ t = (1 0.4) i t 1, t = 2,..., 5, , µ t + 2 ] i t U[µ t 0.04, µ t ]. 2 0, i t < µ t 0.04 F (i t ) = 12.5(i t µ t ), µ t 0.04 i t < µ t , i t µ t

10 e R t = F (i t ) 1 = 12.5(i t µ t )) i t = 0.08R t + µ t 0.04, relação que permite simular i t a partir de R t U[0, 1], como foi visto em 1.2. Simulação de i 1 Pode tomar-se o valor obtido atrás (Caso 1.2), que forneceu i 1 = Simulação de i 2 µ 2 = = i 2 U[0.0148, ] Simulação de i 3 i 2 = = µ 3 = = i 3 U[0.0064, ] Simulação de i 4 i 3 = = µ 4 = = i 4 U[0.004, 0.084] Simulação de i 5 i 4 = = µ 5 = = i 5 U[0.016, 0.096] A observação pedida para A 5 é i 5 = = A 5 = 10000(1.047)(1.026)(1.02)(1.049)(1.018) (1.026)(1.02)(1.049)(1.018) (1.02)(1.049)(1.018) (1.049)(1.018) (1.018) =

11 4.3 Caso 2.3 Se (1 + i 1 ) Lognormal(µ 1, σ 2 ), considerar que log(1 + i t ) N(µ t, σ 2 ], com µ t = (1 k)µ 1 + klog(1 + i t 1 ), t = 2,..., n, é uma forma de preservar a distribuição Lognormal, fazendo a média variar em função da última observação. Na distribuição normal a variância permanece constante, na distribuição lognormal vai-se adaptando ao passado, tal como a média. O processo de simulação conjuga os procedimentos usados em 1.3 e 2.2. Para cada t = 1,..., 5, e continuando a considerar k = 0.4: 1. Toma-se µ 1 ou calcula-se µ t = (1 k)µ 1 + klog(1 + i t 1 ), t = 2,..., Simula-se uma observação z t da distribuição Normal Standard, usando o método de Box & Muller. 3. Transforma-se a observação anterior, de modo a obter uma observação z t de log(1+i t ). Como se viu, basta aplicar a igualdade z t = µ t + σz t, pois log (1 + i t ) N(µ t, σ 2 ). 4. A observação de 1 + i t vem 1 + i t = e z t. Simulação de i 1 Pode tomar-se o valor obtido atrás (Caso 1.3), que forneceu 1 + i 1 = Na simulação das restantes taxas vão usar-se novamente as observações da distribuição Normal Standard aí obtidas (z 2 = , z 3 = 0.937, z 4 = e z 5 = ) Simulação de i 2 µ 2 = (1 0.4) log(1.445) = log(1 + i 2 ) N(0.1712, 0.04) z 2 = z 2 = log(1 + i 2 ) = (1.2662) = i 2 = e = Simulação de i 3 µ 3 = (1 0.4) log(1.5287) = log(1 + i 3 ) N(0.1938, 0.04) z 3 =

12 z 3 = log(1 + i 3 ) = (0.937) = i 3 = e = Simulação de i 4 µ 4 = (1 0.4) log(1.4641) = log(1 + i 4 ) N(0.1765, 0.04) z 4 = z 4 = log(1 + i 4 ) = (0.5187) = i 4 = e = Simulação de i 5 µ 5 = (1 0.4) log(1.3235) = log(1 + i 5 ) N(0.1361, 0.04) z 5 = z 5 = log(1 + i 5 ) = (0.2177) = i 5 = e = A observação pedida para A 5 é A 5 = 10000(1.4445)(1.5287)(1.4641)(1.3235)(1.1967) (1.5287)(1.4641)(1.3235)(1.1967) (1.4641)(1.3235)(1.1967) (1.3235)(1.1967) (1.1967) =