Departamento de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Física Médica Rafael A. Rosales 9 de maio de 07 Sumário Diferencial Teorema do Valor Médio 3 Máimos e Mínimos. Gráficos 4 l Hôpital 3 5 Série de Talor 3 6 Taas de variação relacionadas. Máimos e mínimos. 3 Diferencial Eercício. Determine a linearização L) de f em a para a) f ) = 3, a = b) f ) = /, a = 4. Eercício. Encontre o diferencial d e calcule d para os valores de e d dados: a) = +, = 3 e d = 0, 5; b) = + 5) 3, = e d = 0, 05; c) = cos, = π/6 e d = 0, 0. Eercício 3. Utilice diferenciais para estimar 36, e sen 59 o. Eercício 4. A aresta de um cubo mede 30 cm, com um possível erro na medida de 0, cm. Use diferenciais para estimar o erro máimo possível em calcular o volume do cubo e a área da superfície do cubo. Eercício 5. O diâmetro de uma esfera mede 84cm, com erro possível de 0,5 cm. Use diferenciais para estimar o erro máimo na área da superfície calculada e no volume calculado. Teorema do Valor Médio Eercício 6.. Se f ) é um polinômio qualquer, portanto, f ) também é um polinômio. Mostre que entre duas raízes distintas de f ) eiste pelo menos uma raiz de f ). Eercício 7. Encontre uma função cúbica f ) = a 3 + b + c + d que tenha valor máimo local 3 em - e valor mínimo local 0 em. Eercício 8. Mostre que a equação 3 + 5 + = 0 admite três raízes reais e distintas. Localize tais raízes. Eercício 9. a) Seja f : R R uma função derivável tal que f ) = 0 para todo R. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que f é uma função constante. b) Seja g : R R uma função derivável tal que g ) = g) para todo R. Mostre que eiste um c R tal que g) = ce para todo R. Sugestão: considere a função h) = g)e e use a)). Eercício 0. Mostre que todo polinômio de grau 3 tem um único ponto de infleão.
3 Máimos e Mínimos. Gráficos Eercício. Encontre os pontos críticos das seguintes funções: a)f ) = 3 3 + 3 b)f ) = sen c)f ) = + d)f ) = e)f ) = ) f )f ) = 9 Eercício. Para as funções abaio, encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, os valores de máimo e mínimo locais de f, os intervalos de concavidade e pontos de infleão: a)f ) = 3 3 b)f ) = 4 6 c)f ) = sen ), 0 π Eercício 3. Para cada uma das funções encontre os máimos e mínimos locais e globais no domínio dado: a)f ) = sen + cos, [0, π] b)f ) = e e, [0, ] c)f ) = +, R d)f ) = e, R e)f ) = 4 +, [, ] Eercício 4. Esboce os gráficos das seguintes funções f )f ) = ln), [, 3] a) = 5 9 3 b) = d) = 3 e) = + 9 g) = h) = + 9 3 j) = k) = 4 + 4 + 3 0 5 + 6 c) = + f ) = 9 i) = e l) = 4 4 Para i) pode considerar que e.7888 ). Pode verificar as suas respostas utilizando o site www.wolframalpha.com. Por eemplo, o grafico da função em j) no domínio [ 5, 4] é obtido ao digitar plotˆ3)/ˆ+3-0) from -5 to 4, e o grafico da derivada simplesmentes como plotderive ˆ3)/ˆ+3-0)) from -5 to 4. Eercício 5. As funções senh : R R e cosh : R R dadas por senh = e e e cosh = e + e são chamadas de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente. Mostre que: a) senh é uma função ímpar e cosh é uma função par; b) d d senh = cosh e d cosh = senh ; d c) cosh senh =, R; d) senh + ) = senh cosh + cosh senh ; e) Defina tgh = senh cosh e sech = cosh. Mostre que tgh = sech ; f) Esboce o gráfico de senh, cosh e tgh.
4 l Hôpital Eercício 6. Calcule os seguintes limites. ln ) a) lim / tgπ) ln) d) lim + e g) lim + sen 3 ) j) lim sen )tg k) 0 + m) lim + lnln)) ln 00 ) b) lim + 5 e e) lim + e h) lim 0 cos) lim 0 e + 3) / n) lim 0 + e/ ) ln) c) lim 0 + cotg) f ) lim 3 ln) 0 + i) lim 0 ln + ) ) e l) lim 0 + tg ) o) lim + ) Eercício 7. Sejam f ) = sen/) e g) =. Mostre que lim 0 f ) = lim g) = 0, lim 0 f ) 0 g) = 0, f ) e que lim 0 g ). não eiste. Há alguma contradição com a Regra de l Hôpital? Justifique sua resposta. 5 Série de Talor Eercício 8. Calcular o polinômio de Talor de ordem em torno de 0 quando: a) = 3, 0 = b) = e, 0 = 0 c) = sen, 0 = 0 Eercício 9. Usando o polinômio de Talor de ordem do eercício anterior, calcular um valor aproimado e o erro desta aproimação para: a) 3 8, b) e 0,03 c) sen0, ) Eercício 0. Mostre que para todo real, sen) = lim 3 + 5 n 3! 5! n+... + ) n n + )! 6 Taas de variação relacionadas. Máimos e mínimos. Eercício. Um avião voa horizontalmente a uma altitude de km, a 500 km/h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a km além da estação. Eercício. Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h e o outro para o oeste a 5 km/h. A que taa está crescendo a distância entre os dois carros duas horas depois? Eercício 3. Está vazando água de uma tanque cônico invertido a uma taa de 0.000 cm 3 /min. Ao mesmo tempo, está sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taa constante. O tanque tem 6 metros de altura e seu diâmetro, no topo, é 4 metros. Se o nível da água está subindo a uma taa de 0 cm/min, quando a altura da água for metros encontre a taa segundo a qual a água está sendo bombeada dentro do tanque. Eercício 4. Um esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taa de 30cm 3 /min, formando uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e altura sempre iguais. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 0 cm de altura? Eercício 5. Encontre dois números cuja soma seja 3 e cujo produto seja máimo. ). 3
Eercício 6. Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 00m cuja área seja a maior possível. Eercício 7. Um fazendeiro com 750 m de cerca quer cercar uma área retangular e então dividí-la em 4 partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. Qual a maior área total possível das 4 partes? Eercício 8. Se 00 cm de material estivessem disponíveis para fazer uma caia com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caia. Eercício 9. Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de 0 m 3. O comprimento é o dobro da largura. O material para a base custa 0 reais por m e o material para o lado custa 6 reais por m. Encontre o custo dos materiais para o mais barato dos contêineres. E se o contêiner tiver uma tampa que é feita do mesmo material usado nos lados? Eercício 30. a) Mostre que de todos os retângulos com uma área dada, aquele com um menor perímetro é um quadrado. b) Mostre que de todos os retângulos com um dado perímetro, aquele com maior área é um quadrado. Eercício 3. Encontre o ponto sobre a reta = 4 + 7 que está mais próimo da origem. Eercício 3. Um pedaço de fio com 0 m de comprimento é cortado em partes. Uma parte é dobrada em formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja máima? Resp: tudo para o quadrado ) E mínima? Eercício 33. A iluminação de um objeto por uma fonte de luz é diretamente proporcional à potência da fonte e inversamente propocional ao quadrado da distância da fonte. Se duas fontes de luz, uma 3 vezes mais forte que a outra, são colocadas a 0m de distância, onde deve ser colocado o objeto sobre a reta entre as fontes de tal forma a receber o mínimo de iluminação? Eercício 34. Dois corredores com largura a e b se encontram formando um angulo reto conforme se mostra na figura. b a Qual é o maior cumprimento permitido de uma escada o qual garante que esta ainda poda ser carregada horizontalmente) de um corredor ao outro? Eercício 35. Encontre o trapezio de maior área o qual pode ser inscrito em um semi-circulo de raio a, com uma das suas bases sobre o diametro do circulo. Eercício 36. A esquina inferior direita de uma folha é dobrada de maneira que esta toca em um ponto a margem esquerda conforme mostrado na figura abaio. β Se a folha é muito comprida e a sua largura é denotada por α, mostre que o menor comprimento do lado β é 3 3α/4. 4
Algumas Respostas 4. 70 cm 3 e 36cm. 5. 84πcm e 764πcm 3. 4.d 3 4.e 0.8 0.4 +9) 0 5 5 0 4.i 0.4 0. e 4 6 4. 5
0 4 4 4 3 5. O gráfico de g é 6 4 cosh) senh) tgh). 00 5 km/h.. 65 km/h. 3. 89. cm 3 /min. 4. 0, 38cm/min. 5. = = 3/. 6. a = b = 5. 7. 406,5. 8. 4000. 9. 9,8. 3. -8/7,7/7) 3. 40 3/9 + 4 3) m. 33. 0 3 3/ + 3 3)m da fonte mais forte. 34. b Da figura acima temos que a b = a, portanto o comprimento da linha ponteada é igual a b + + a + a b = b + + a + b = + a ) + b. 6
O maior comprimento da escada corresponde ao comprimento mínimo da linha ponteada. Este último é obtido quando 0 = a + b + + a ) + b [ = a ] + b ) + + a + b, Assim, a + ab = 3 + a, e disto = a /3 b /3. Logo o comprimento da escada é + a/3 ) b /3 a /3 b /3 + b = b /3 + a /3) a /3 b 4/3 + b b 4/3 35. Se é a altura do trapezio, então é a sua área; veja o desenho abaio. A) = a + = b /3 + a /3 ) /3. a ) a a Neste caso o máimo ocorre quando ou de maneira alternativa quando, 0 = A ) = a + a a = a a + a a, a a ) = a ) = 4 4 4 a + a 4. Isto implica que 4 4 = 3 a e = 3a/. Assim a área em questão é a + a 3a ) 3a a 4 = + a ) 3a = 3 3a. 4 36. Consideramos os seguintes pontos, A E β B α C E D 7
Se = BC e = AB, então ED = α ) = α α do EDC, α + ED) = do EE A, logo α + α α ) = α α + α = 0 α α ) = α = α α α = α α. O quadrado do comprimento de β é + = + Esta quantidade é mínimizada quando α α = 3 α. 0 = 6 α) 4 3 = 8 3 6 α = 8 6α), ou quando = 3α/4. Para este valor de o comprimento é ) 3α 3 4 3 3α =. 3α α 4 8