Geodésicas 151 ANEXO A Geodésicas na vizinhança de um buaco nego de Schwazschild A.1 Geodésicas adiais nulas No caso do movimento adial de um fotão os integais δ (expessão 1.11) e L (expessão 1.9) são ambos nulos, pelo que, a equação adial (1.1) toma a foma: dτ = ± E (A.1) onde o sinal (-) coesponde à apoximação do fotão ao buaco nego e o sinal (+) ao afastamento. Com a ajuda do momento P t (equação 1.8) podemos esceve (A.1) na foma: dt m = ± 1 Integando obtemos: ( + m ln m ) K' t = ± + (A.) onde K' é uma constante de integação. No gáfico da Figua A.1 estão epesentadas algumas das geodésicas nulas descitas po (A.). Note-se que, do ponto de vista de um obsevado distante, o fotão nunca atinge o hoizonte de acontecimentos.
Geodésicas 15 Figua A.1 - Geodésicas paa fotões que se apoximam ou afastam adialmente de um buaco nego de Schwazschild. A vetical =m epesenta o hoizonte de acontecimentos e a vetical =0 a singulaidade (d' Inveno 199). A. Geodésicas adiais paa patículas com massa No caso do movimento adial de uma patícula com massa é L=0 e δ=1. A equação adial (1.1) toma então a foma: m = E 1 dτ (A.3) Consideando que a patícula pate do infinito temos E=1 (cf. expessão 1.8) e a equação (A.3) esceve-se como: = dτ m (A.4)
Geodésicas 153 onde o sinal (-) eflecte justamente o facto de estamos a considea o movimento em diecção ao buaco nego. Note-se que este esultado coesponde à velocidade de queda live da patícula. Integando a equação vem: ( 3/ 3/ ) τ τ0 = 0 (A.5) 3 m onde 0 é a posição da patícula quando o seu tempo pópio é τ 0. O tempo pópio τ, descito pelo esultado anteio, é aquele que um obsevado solidáio com a patícula egistaia. Um obsevado distante egistaia, paa um mesmo evento, o tempo coodenada t. Conciliando (1.8) com (A.4) e tomando de novo E=1 esulta: dt m m = 1 Integando obtemos: t t 0 = 3 m + m ln 3/ 3/ ( 0 + 6m 6m 0 ) ( + m )( 0 m ) ( + m )( m ) 0 (A.6) onde 0 é a posição da patícula quando o tempo coodenada é t 0. No gáfico da Figua A. são apesentadas as cuvas caacteísticas paa as funções (A.5) e (A.6). Note-se que, emboa paa o obsevado distante a patícula leve um tempo infinito paa atingi o hoizonte de acontecimentos, do ponto de vista da patícula tudo decoe num tempo finito. A.3 Geodésicas nulas não adiais O estudo qualitativo das geodésicas não adiais, pemitidas aos fotões na vizinhança de um buaco nego de Schwazschild, pode faze-se a pati da função potencial (1.13).
Geodésicas 154 Figua A. - Linha do univeso de uma patícula caindo adialmente, em diecção a um buaco nego de Schwazschild, em temos de tempo pópio e tempo coodenada (d' Inveno 199). Notando que neste caso é δ=0 e L 0 temos: L m = f 1 (A.7) V O gáfico desta função, que atinge o seu valo máximo em =3m, está epesentado na Figua A.3 onde estão também epesentados alguns dos tipos de geodésicas nulas não adiais pemitidos. A.4 Geodésicas não adiais paa patículas com massa Vamos pocede ao estudo qualitativo das geodésicas não adiais, paa patículas com massa, na vizinhança de um buaco nego de Schwazschild. O estudo seá feito a pati da função potencial (1.13) que, neste caso, atendendo a que δ=1 e L 0, se esceve:
Geodésicas 155 L m m = 1 + 1 (A.8) V Figua A.3 - Potencial efectivo imposto po um buaco nego de Schwazschild ao movimento geodésico (não adial) dos fotões. Os númeos indicam alguns dos tipos de geodésicas pemitidos: (1) O fotão desceve uma geodésica cicula de aio 3m. Tata-se da única tajectóia cicula pemitida aos fotões. Esta é no entanto instável. Qualque petubação é susceptível de atia com o fotão paa o infinito ou então em diecção ao buaco nego. A supefície =3m chama-se Rotosfea. () O fotão desceve uma tajectóia cuvilínea, não ligada, que o leva a escapa paa infinito ou então a peneta o hoizonte de acontecimentos. Tudo depende da diecção inicial do seu movimento. (3) O fotão desceve uma tajectóia cuvilínea, não ligada, que o leva a escapa sempe paa infinito independentemente do sentido adial inicial do seu movimento. (4) O fotão acaba sempe po cai paa o buaco nego mesmo que inicialmente se desloque no sentido de cescente. po: Caso seja 1m <L a função potencial anteio tem dois extemos elativos dados max min L 1m = 1 1 m L L 1m = 1+ 1 m L Quando 1m =L temos apenas um extemo elativo e quando 1m >L não existe qualque extemo elativo. Os gáficos coespondentes a estas tês situações estão epesentados nas Figua A.4 onde estão também epesentados alguns dos tipos de geodésicas não adiais pemitidos às patículas com massa.
Geodésicas 156 Fígua A.4 - Potencial efectivo imposto po um buaco nego de Schwazschild ao movimento geodésico (não adial) de patículas com massa, quando: (a) 1m >L, (b) 1m =L e (c) 1m <L. Os númeos indicam alguns dos tipos de geodésicas pemitidos: (1) A patícula desceve uma tajectóia cuvilínea, não ligada, que a leva a escapa paa infinito ou então a peneta paa o inteio do hoizonte de acontecimentos. Tudo depende da diecção inicial do seu movimento. () A patícula acaba sempe po peneta na egião <m. Mesmo que o seu movimento inicial a afaste dessa egião, seá sempe iemediavelmente eflectida pela baeia de potencial. (3) A patícula desceve um geodésica cicula
Geodésicas 157 estável. Este tipo de geodésica só é pemitido quando 1m <=L. No caso limite, 1m =L, a geodésica tem aio 6m. Este é o limite infeio paa as geodésicas ciculaes estáveis. (4) A patícula desceve uma geodésica cicula, neste caso, instável. Qualque petubação é susceptível de altea o tipo de tajectóia da patícula. O aio desta óbita situa-se ente 6m e 3m. (5) A patícula desceve uma tajectóia cuvilínea, não ligada, que a leva a escapa sempe paa infinito. Mesmo que inicialmente viaje no sentido de decescente, dado que a sua enegia E não é suficiente paa vence a baeia de potencial imposta pelo buaco nego, acaba po se eflectida. (6) A patícula desceve uma geodésica elíptica cicunscita ente os aios a e b. Este tipo de geodésica só é pemitido paa o caso 1m <L.