Matemática Aplicada Nt Notas de aula Problema de transporte e designação Problema de transporte: motivação origem 1 destino 1 origem 2 destino 2 destino 3
Caracterização geral Dados: A estrutura de fontes de produção (origens); As disponibilidades nas origens (oferta)) Os destinos destinos para os quais o(s) produto(s) deve(m) ser dirigido(s); As necessidades d nos destinos (demanda) d ) A rede de possíveis caminhos de transporte; o objetivo do problema é determinar o carregamento da rede (quantidade a ser transportada de cada origem para cada destino) que minimiza o custo total de transporte. Função transporte: levar o produto certo, no lugar certo e no tempo certo. Origem (i) Destino (j) C 11 X 11 =? a 1 b 1 1 1 C 12 C 13 a 2 C b 2 C 21 2 2 C 23 3 b 3 C ij = custo de transporte da origem i para o destino j X ij = quantidade transportada da origem i para o destino j a i = oferta na origem i b i = demanda no destino j
Solução e variações A solução irá determinar o programa de transporte de forma a satisfazer a demanda pelo produto (destinos) e respeitar as capacidades das fábricas (origens). Variações: modelo de designação e modelo de transporte com transbordo (rede). Particularidades Sistemas equilibrados Oferta = Demanda Tudo o que é produzido nas fontes atende plenamente ao que é solicitado pelos destinos Todas as restrições serão de igualdade Sistemas não equilibrados Oferta < Demanda Toda a oferta das origens será transportada, entretanto, não atenderá toda a demanda, resultando em falta de produtos nos dos destinos Neste caso, as restrições de oferta serão de igualdade e de demanda desigualdade ( ) Oferta > Demanda Toda a demanda dos destinos será atendida, entretanto, restarão produtos nas origens Neste caso, as restrições de demanda serão de igualdade e de oferta de desigualdade ( )
Exemplo genérico Determinar as quantidades a serem transportadas das fontes 1 e 2 (origens) para os destinos 1, 2 e 3 de forma a minimizar os custos de transportes. X 11 =? Destino 1 b 1 a 1 Fonte 1 c 21 c 11 c 12 c 13 X 21 =? c 22 X 12=? X 22 =? a 2 Fonte 2 c23 c X 13 =? Destino 2 b 2 X 23 =? Destino 3 b 3 Testar a relação entre oferta e demanda a 1 + a 2 = b 1 + b 2 + b 3 SISTEMA EQUILIBRADO Modelo genérico Variáveis de decisão X ij = Quantidade transportada da origem i para o destino j Para i = 1, 2 e j = 1, 2, 3 Função objetivo: minimizar o custo total de transporte Z=C 11 X 11 +C 12 X 12 +C 13 X 13 +C 21 X 21 +C 22 X 22 +C 23 X 23 Restrições Fonte 1) X 11 + X 12 + X 13 = a 1 Fonte 2) X 21 + X 22 + X 23 = a 2 Destino 1) X 11 +X 21 = b 1 Destino 2) X 12 + X 22 = b 2 Destino 3) X 13+ X 23 = b 3 Não-negatividade) X ij 0
Exemplo Determinar as quantidades a serem transportadas das fontes 1 e 2 (origens) para os destinos 1, 2 e 3 de forma a minimizar os custos de transportes. X 11 =? Destino 1 20 15 25 Fonte 1 Fonte 2 5 10 12 3 7 9 X 21 =? X 12 =? X 22 =? X 23 =? 23 X 13 =? Destino 2 10 Destino 3 10 Solução Variáveis de decisão: X ij = quantidade transportada da origem i para destino j para i = 1, 2 e j = 1, 2, 3 min z = 10x + 3x + 5x + 12x + 7x + 9x Sujeito a 11 12 13 21 22 23 Fonte 1) x + x + x = 15 11 12 13 Fonte 2) x + x + x = 25 21 22 23 Destino 1) x + x = 20 11 21 Destino 2) x + x = 10 12 22 Destino 3) x + x = 10 13 23 Não-negatividade) x, x, x, x, x, x 23 0 11 12 13 21 22 Solução LINDO Z = 340 Quantidades transportadas (solução ótima possível) D O 1 2 3 Oferta 1 0 5 10 15 2 20 5 0 25 Demanda 20 10 10
Problema clássico - generalização m fontes (origens), cada uma podendo fornecer a quantidade a i (i = 1, 2,..., m) disponibilidade das fontes (oferta); n depósitos (destinos), cada um podendo absorver a quantidade b j (j = 1, 2,..., n) capacidade dos depósitos (demanda); c ij é o custo para se transportar uma unidade do produto, da origem i para o destino j. Objetivo: determinar o número de unidades que devem ser transportadas de cada origem (i) para cada destino (j), de forma a minimizar o custo total de transporte. Modelagem matemática min m n z = c x i = 1 j = 1 ij ij n xij = ai j = 1 m xij = bj sujeito a i = 1 m n ai = b (equação de balanço) j i = 1 j = 1 x ij 0
Métodos de resolução Para determinar a solução básica inicial viável: Método do canto noroeste (canto esquerdo) Método do mínimo custo Método das aproximações de Vogel Para determinar a solução ótima: Condição de otimalidade (variável que entra na base) Condição de viabilidade (variável que sai da base) Exemplo 1: Oferta = Demanda Determinar as quantidades a serem transportadas das origens 1, 2 e 3 para os destinos 1 e 2 de forma a minimizar os custos de transportes. A tabela a seguir apresenta os custos unitários de transportes entre as fontes e os destinos. Destino Origem 1 2 Disponibilidades 1 10 12 50 2 20 8 100 3 6 15 120 Necessidades 100 170 270 270
Solução Min 10x11 + 12x12 + 20x21 + 8x22 + 6x31 + 15x32 Sujeito a O1) x11 + x12 = 50 O2) x21 + x22 = 100 O3) x31 + x32 = 120 D1) x11 + x21 + x31 = 100 D2) x12 + x22 + x32 = 170 Não-negatividade) xij>=0 z = 2300 D O 1 2 Disponibilidades 1 0 50 50 2 100 0 100 3 0 120 120 Necessidades 100 170 270 270 Exemplo 2: Oferta < Demanda No quadro de transporte a seguir são apresentados os custos unitários de transporte das origens para os respectivos destinos, bem como as necessidades dos destinos e as disponibilidades das origens. Determinar o plano de transporte que minimiza o custo total das transferências. Destino Origem 1 2 3 Disponibilidades 1 10 15 20 100 2 12 25 18 80 3 16 14 24 20 Necessidades 100 50 60 200 210
Solução Min 10X11 + 15X12 + 20X13 + 12X21 + 25X22 + 18X23 + 16X31 + 14X32+ 24X33 Sujeito a O1) X11 + X12 + X13 = 100 O2) X21 + X22 + X23 = 80 O2) X31 + X32 + X33 = 20 D1) X11 + X21 + X31 <= 100 D2) X12 + X22 + X32 <= 50 D3) X13 + X23 + X33 <= 60 Não-negatividade) xij>=0 z = 2690 Destino Origem 1 2 3 Disponibilidades 1 70 30 0 100 2 30 0 50 80 3 0 20 0 20 Necessidades 100 50 60 200 210 Exemplo 3: Oferta > Demanda Uma empresa distribuidora tem três depósitos que estocam respectivamente 160, 200 e 100 unidades de um produto, e deve abastecer quatro clientes cujos pedidos são de 100, 80, 120 e 80 unidades, respectivamente. Os custos unitários de transporte dos depósitos para os clientes estão na tabela fornecida. Determine o custo mínimo de transporte. D O C1 C2 C3 C4 Disponibilidades D1 2,1 1,8 1,8 1,8 160 D2 1,5 2,4 1,8 2,1 200 D3 2,4 1,5 2,4 1,8 100 Necessidades 100 80 120 80 460 380
Solução MIN 2.1D1C1 + 1.8D1C2 + 1.8D1C3 + 1.8 D1C4 +1.5D2C1 + 2.4D2C2 + 1.8D2C3 + 2.1D2C4 + 2.4D3C1 + 1.5D3C2 + + 2.4D3C3 + 1.8D3C4 Sujeito a: D1) D1C1 + D1C2 + D1C3 + D1C4 <= 160 D2) D2C1 + D2C2 + D2C3 + D2C4 <= 200 D3) D3C1 + D3C2 + D3C3 + D3C4 <= 100 C1) D1C1 + D2C1 + D3C1 = 100 C2) D1C2 + D2C2 + D3C2 = 80 C3) D1C3 + D2C3 + D3C3 = 120 C4) D1C4 + D2C4 + D3C4 = 80 z = 630 Não-negatividade) DiCj >=0 D O C1 C2 C3 C4 Disponibilidades D1 20 60 160 D2 100 100 200 D3 80 20 100 Necessidades 100 80 120 80 460 380 Problema da designação: motivação homem 1 tarefa 1 tarefa 2 homem 2 tarefa 3
Modelo de designação Trata-se de um caso particular do modelo de transporte Este modelo procura representar situações onde se faz necessário alocar recursos disponíveis para atividades de interesse, de modo que alguma medida de desempenho (em geral o custo total de designação) do sistema modelado seja otimizada. As restrições envolvidas dizem respeito à utilização total dos recursos e ao completo atendimento das atividades id d existentes. it t Exemplos Recurso Atividade Medida de desempenho operários trabalhos tempo caminhões rotas custo máquinas locais movimentação de materiais tripulações aviões ociosidade vendedores áreas volume de vendas
Definições Matriz de eficiência iê i C = [c ij ]: c ij representa ocusto da alocação do i-ésimo recurso para a j-ésima atividade (i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n); Variáveis de decisão: x ij 1, se o recurso i é designado à atividade = 0, caso contrário j Modelo matemático problema clássico min z cij xij i j = x ij = 1 para todo j = 1, 2,, n i sujeito a xij = 1 para todo i = 1, 2,, m j x ij : binário
Exemplo 1 Seleção de homens-tarefas Trata-se de designar quatro operários para quatro tarefas, de maneira que o número total de homens-horahora seja mínimo. Cada homem desempenha cada tarefa em um número de horas, conforme indica a matriz C a seguir: Operário I II III IV A 5 24 13 7 Tarefa B 10 25 3 23 C 28 9 8 5 D 10 17 15 3 Solução MIN 5XA1 + 24XA2 + 13XA3 + 7XA4 + 10XB1 + 25XB2 + 3XB3 + 23XB4 + 28XC1 + 9XC2 + 8XC3 + 5XC4 + 10XD1 + 17XD2 + 15XD3 + 3XD4 SUJEITO A TAREFA A) XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1 TAREFA B) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 1 TAREFA C) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1 TAREFA D) XD1 + XD2 + XD3 + XD4 = 1 OPERARIO 1) XA1 + XB1 + XC1 + XD1 = 1 OPERARIO 2) XA2 + XB2 + XC2 + XD2 = 1 OPERARIO 3) XA3 + XB3 + XC3 + XD3 = 1 OPERARIO 4) XA4 + XB4 + XC4 + XD4 = 1 Solução z = 20 Tarefa Operário A 1 B 3 C 2 D 4 Tipo de variável) Xij : binária (i = A, B, C, D e j = 1, 2, 3, 4)
Exemplo 2 Designação de vendedores a determinadas regiões O quadro a seguir representa as eficiências de quatro vendedores, testados em quatro regiões. Os potenciais de vendas nas regiões são conhecidos. Designar um vendedor para cada região para maximizar o valor total das vendas. O quadro também apresenta o potencial de vendas em milhares de reais, em cada região. Região 1 2 3 4 Vendedor A 70 60 80 90 B 70 80 70 90 C 60 90 60 70 D 70 80 70 80 Potencial 100 80 60 90 Solução MAX 70XA1 + 48XA2 + 48XA3 + 81XA4 + 70XB1 + 64XB2 + 42XB3 + 81XB4 + 60XC1 +721XC2 + 36XC3 + 63XC4 + 70XD1 + 64XD2 + 42XD3 + 72XD4 ST VEND A) XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1 VEND B) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 1 VEND C) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1 VEND D) XD1 + XD2 + XD3 + XD4 = 1 REGIAO 1) XA1 + XB1 + XC1 + XD1 = 1 REGIAO 2) XA2 + XB2 + XC2 + XD2 = 1 REGIAO 3) XA3 + XB3 + XC3 + XD3 = 1 REGIAO 4) XA4 + XB4 + XC4 + XD4 = 1 Solução z = 271 vendedor Região A 3 B 4 C 2 D 1 Tipo de variável) Xij : binária (i = A, B, C e j = 1, 2, 3, 4)
Exemplo 3: problema não equilibrado com proibição Designação de máquinas-locais Uma fábrica possui quatro locais (1, 2, 3, 4) para receber três máquinas novas (A, B, C). A máquina A não pode ser instalada no local 4 por restrições físicas. O custo de instalação de uma máquina em cada local é apresentado a seguir, em mil reais. O objetivo é designar as novas máquinas aos locais disponíveis de modo a minimizar o custo total de instalação. Máquina Local 1 2 3 4 A 5 1 3 X B 3 1 4 3 C 3 3 4 2 Solução MIN 5XA1 + 1XA2 + 3XA3 + 3XB1 + 1XB2 + 4XB3 + 3XB4 + 3XC1 + 3XC2 + 4XC3 + 2XC4 ST MAQ A) XA1 + XA2 + XA3 = 1 MAQ B) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 1 MAQ C) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1 LOCAL 1) XA1 + XB1 + XC1 <= 1 LOCAL 2) XA2 + XB2 + XC2 <= 1 LOCAL 3) XA3 + XB3 + XC3 <= 1 LOCAL 4) XB4 + XC4 <= 1 Solução z=6 Máquina Local A 2 B 1 C 4 Tipo de variável) Xij : binária (i = A, B, C e j = 1, 2, 3, 4)