FINANCIAL ECONOMEICS o. Mácio Anônio Salvao Inodução sa ue S. Analsis o Financial ime Seies: Financial Economeics. John Wille & Sons Inc. 005 Second Ediion chape. hp://acul.chicagogsb.edu/ue.sa/eaching/s/ Em pincípio não há dieença ene séies empoais inanceias e macoeconômicas. Conudo dados inanceios equenemene dieem em emos de sua eqüência eaidão sazonalidade e ouas popiedades. Em economia nomalmene emos alguns poblemas que não são ão elevanes em inanças: oblema de pequenas amosas: ausência de dados paa esa dieamene uma eoia ou hipóese elevane. Eo de medida: diiculdade de esimação ou medida de vaiáveis. Daa evision: dados são equenemene coigidos na publicação mais ecene. É clao que dados inanceios esão sueios a méodos de medidas dieenciados paa deeminado índice mas em geal eos de medida e poblemas de evisão de dados não são poblemas séios em inanças. Uma caaceísica pesene em aivos inanceios é o que se convencionou chama de volailidade que pode se deinida de váias maneias mas não é dieamene obsevável. Daí a necessidade de modelos heeocedásicos condicionais paa modela a pesença de gupos de volailidade. Assim a vaiância volailidade depende de inomações passadas disponíveis aé aquele insane de modo que emos que deini uma vaiância
condicional que vaia com o empo e poano não coincide com a vaiância incondicional de oda a séie. Além disso dados inanceios são obsevados em mais ala eqüência que dados macoeconômicos high equenc. Gealmene obsevamos peços de aivos e eono diaiamene po hoa ou aé po minuo. Isso ona o amanho da amosa poencialmene gande. Mas séies inanceias possuem ouos poblemas: Nois: diiculdade de sepaa sua endência do emo aleaóio e ouas caaceísicas. No nomali: quase sempe a popiedade de nomalidade não é aendida. Addiional paens: dados de ala eqüência conêm padões que são esulado de como o mecado opea ou como os peços são gavados. opiedade dos Aivos Financeios A maioia dos esudos em inanças usa o eono de um aivo ao invés do peço. Duas azões: O eono é uma medida complea e live de escala da opounidade de invesimeno. As popiedades esaísicas do eono de um aivo são mais aáveis que as popiedades do peço do aivo. eono de peíodo Sea o peço de um aivo no peíodo. imeiamene assuma que os aivos não pagam dividendos. Assim O eono líquido simples é: %
é o eono simples buo. eono Simples mulipeíodo Considee um aivo paa peíodos com eonos ene - e. Assim [ ] 0 K L L É chamado de eono composo compound eun eono paa um peíodo a pai de um eono composo média geoméica: 0 0 0 ln ep ] [ A A Essa úlima apoimação é uiliza a média aiméica ao invés da média geoméica a pai de uma epansão de alo de pimeia odem em ono de zeo do eono anualizado. Esa apoimação é boa paa eonos pequenos. Quano maioes oem os eonos maio é o eo de apoimação usando a média aiméica ao invés da geoméica. Ausando paa o pagameno de Dividendos eono oal: D D Ausando paa a inlação eono eal: eal CI CI em que CI é um índice de peços.
aa um poólio: O eono simples líquido de uma caeia com N aivos é a média pondeada dos eonos líquidos simples desses aivos em que o peso é o pecenual de cada aivo na caeia. Assim o eono de uma caeia p no peíodo é: p i i i em que i é o eono simples de um aivo i e i o peso na caeia. Ecesso de eono: Ecesso de eono de um aivo é a dieença ene o eono do aivo e o eono de algum aivo de eeência nomalmene um aivo isless como um U.S. easu Bill de cuo pazo. N Z -bill ae eono composo conínuo Vamos agoa considea empo conínuo. aa ilusa a dieença considee o eemplo: Suponha uma aplicação de $00 que ende uos à aa de 0% a.a. Se o banco lhe paga uos vez po ano enão emos depois de um ano $0$0. Se lhe paga uos semesalmene enão emos depois de um ano $0/ $05. Com pagamenos mensais eíamos $0/ $047. Com 365 pagamenos diáios eíamos $0/365 365 $056. Com m pagamenos eíamos $0/m m. E assim sucessivamene. Se m enão emos um empo conínuo. Mas sabemos o limie undamenal: inal de um ano $e 0 057. lim m m m e. oano emos ao De oma geal em empo conínuo o peço de um aivo composo conínuo A a pai de um valo inicial C depois de n peíodos paa uma aa de uos ao peíodo é: A C ep n 3
4 omando logaimo naual da epessão paa empo conínuo pode-se ve que o eono composo coninuamene de um aivo pode se escio como o logaimo naual do eono buo simples é chamado de log eono: ln ln p p em que p ln ep ep E poano mulipeíodo: [ ] [ ] 0 ln ln ln ln ln L L L Ou sea o eono mulipeíodo composo coninuamene é a soma dos eonos um peíodo composo coninuamene. eono composo anualizado: 0 A é a média aiméica. Ausando paa o pagameno de Dividendos eono oal: ln ln ln ln D D Ausando paa a inlação eono eal: eal eal CI CI π ln ln em que CI é um índice de peços.
aa um poólio: N i i N i i p ln p ln ii. N mas p i i i se i é pequeno. Ecesso de eono: z em que ln opiedades Esaísicas Considee uma coleção de N aivos e peíodos de empo.... Enão emos: Log eun: { i i K N K } Simple eun: { i i K N K } Ecess eun: { Z i i K N K } Log ecess eun: { i K N K } z i evisão esaísica: Disibuição conuna de pobabilidade: F X Y X Y w z dwdz em que X e Y são vaiáveis aleaóias conínuas é o veo de paâmeos que deinem a disibuição e é a unção de densidade conuna. 5
6 Disibuição maginal de pobabilidade: X dw w dwdz z w X F Densidades maginais: d e d Disibuição condicional: Y Y X F Y X Densidade condicional: Assim X e Y independenes se e somene se. Enão X e Y independenes se e somene se. Momeno de odem l: d X E m ' l l l Logo a média é simplesmene o momeno de odem µ. Momeno cenado na média de odem l: [ ] d X E m l l l µ µ
A vaiância é o momeno cenado na média de odem σ. σ E X µ E X E X [ ] [ ] Desvio-padão σ σ é a medida de dispesão. Obs.: Os dois pimeios momenos deinem compleamene uma disibuição nomal. X ~ N µ σ. Ouas disibuições pecisam de momenos de odem supeio. O momeno cenal de odem 3 mede a assimeia. 3 O momeno cenal de odem 4 mede a cuose peso da calda. Sewness: momeno cenal de odem 3 nomalizado 3 X µ S E 3 σ Kuosis: momeno cenal de odem 4 nomalizado 4 X µ K E 4 σ Obs.: Ecesso de cuose K 3. Ecesso de cuose de uma disibuição nomal é zeo. 3 Ecesso de cuose > 0 diz-se que a disibuição em cauda pesada em mais massa na cauda em compaação com uma disibuição nomal ende a e mais valoes eemos. aa uma amosa os esimadoes são: Média amosal: ˆµ X Vaiância amosal: ˆ σ ˆ µ S ˆ ˆ 3 ˆ σ µ Assimeia amosal: 3 7
ˆ 4 ˆ σ Cuose amosal: K ˆ µ Sob nomalidade S ˆ e K ˆ 3 são assinoicamene nomalmene disibuídas com média zeo e vaiâncias 6/ e 4/ especivamene [Snedeco 980]. Assim emos os eses de hipóeses: H 0 : S 0 H : S 0 Sˆ 6 e usa disibuição assin. nomal padão H 0 : K 3 0 H : K 3 0 Kˆ 3 4 e usa disibuição assin. nomal padão 3 ese Jaque-Bea [Jaque and Bea 987] ˆ ˆ S K 3 JB ~ χ 6/ 4/ 4 Disibuição de eonos: Considee o modelo paa Log eun: { i K N K } Disibuição conuna: F K N K N K K N Y em que Y é um veo de vaiáveis que sumaizam o ambiene em que os eonos dos aivos são deeminados e é o veo de paâmeos que deemina a disibuição F.. Um abalho empíico consise em esima o veo de paâmeos desconhecido paa aze uma ineência esaísica sobe { i } dado o seu passado. CAM capial asse picing model de Shape 964: oca o esudo sobe a disibuição de N aivos paa um único peíodo { K N } aplicando modelos esáicos. i 8
Ouos esudos ocam na esuua dinâmica de um aivo individual K } aplicando modelos de séies empoais. { i i Disibuições de pobabilidade usadas em inanças: Disibuição Nomal: A mais adicional hipóese é que os eonos simples { i K } são independene idenicamene e nomalmene disibuídos i ~ iidn µ σ. Iso ona o poblema mais aável. Mas gea ouos poblemas: i o limie ineio de um eono simples é - quando o 0 mas a disibuição nomal não em limie ineio -. ii mesmo assumindo i nomalmene disibuído i [] não seá nomalmene disibuído pois é o poduo de eonos de um peíodo. iii a hipóese de nomalidade não se susena em muios esudos empíicos pois a disibuição dos eonos ende a e ecesso de cuose cauda pesada. Disibuição Lognomal: Assume-se que log eun é independene e idenicamene disuídos iid como uma nomal com média µ e vaiância σ. Assim os eonos simples são iid lognomal com média e vaiância deinidas po: σ E ep µ Va epµ σ [ep σ ] Nese caso como a soma de vaiáveis aleaóias iid nomal é ambém nomal emos que [] é ambém nomalmene disibuído sob a hipóese de nomalidade paa { }. Além disso não há limie ineio paa e o limie ineio paa é saiseio usando ep. Alenaivamene podemos dize que o que eono simples é lognomalmene disibuídos com média e vaiância m e m especivamene. Assim a média e vaiância do log eono são: 9
E m ln m / m m Va ln m o ouo lado esudos empíicos ainda mosam que a lognomal não é consisene com odas as popiedades obseváveis da disibuição empíica em paicula o ecesso de cuose. 3 Misuas de disibuições nomais: o causa do poblema de ecesso de cuose é comum usa uma misua de disibuições nomais paa o log eono. ~ α N µ σ σ < σ αn µ σ 0 α Quano maio σ maio a massa da cauda da disibuição esulane. Além disso manemos as popiedades aáveis de disibuição nomal com momenos inios capuando o ecesso de cuose. oblema: diiculdade de esima o paâmeo da misua α. Disibuição mulivaiada de eonos: Sea K ' um veo de log eonos paa N aivos no peíodo. N Queemos aa a disibuição conuna de { } mas que pode se paicionada pelo poduo das disibuições condicionais: F K F F LF K F F K Nese caso emos um veo de médias e uma maiz de vaiânciacovaiância dos eonos: E µ [ E K E ]' N Σ E[ µ Cov µ '] 0
Dado uma amosa com inomações paa os N aivos a média e covaiância amosal são deinidas po: ˆµ Σ ' ˆ ˆ ˆ µ µ que poduzem esimaivas consisenes dos paâmeos. Função de veossimilhança dos eonos emos K K L K Se. é nomal com média µ e vaiância σ enão emos ep σ µ πσ K E a log-veossimilhança ln ln ln ln σ µ σ π K
opiedades empíicas dos eonos Eemplo: Inenaional Business Machines IBM soc an-96 a dez- 997 eonos mensais simples e log eonos. Fone: sa 00 p.5 Como espeado o padão de compoameno de i e i é simila. Vaiabilidade do eono não é consane no empo e apaece em cluses.
Obsevações macanes: eonos diáios êm maio ecesso de eono peso na cauda que eonos mensais 3
aa dados mensais o eono de mecado em maio ecesso de eono em elação aos aivos individuais 3 A média paa eonos diáios é muio póima de zeo e paa eonos mensais é ligeiamene maio 4 eonos mensais êm maio desvio-padão que eonos diáios 5 aa dados diáios o desvio-padão paa o eono de mecado é meno que paa aivos individuais e que esá de acodo com o senso comum 6 Não há poblema de assimeia 7 As dieenças ene eonos simples e log eonos não são ão subsanciais. 8 Os valoes eemos máimos e mínimos podem se muio gandes. eonos eemos negaivos são impoanes paa ve o isco do negócio e os eonos eemos posiivos são cíicos paa mane uma posição no cuo pazo. 4
A hipóese de nomalidade é quesionável. em maio massa póima da média e uma cauda mais pesada que a disibuição nomal. Eecícios: Faze eecícios do livo sa 005 da pag. -3 Base de dados disponível em: Web page o Analsis o Financial ime Seies ue S. sa Wile 005 Financial Engineeing second ediion ISBN 0-47-69074-0 hp://acul.chicagogsb.edu/ue.sa/eaching/s/ 5