ensidade de Fluxo Elético Pof aniel ilveia
Intodução Objetivo Intoduzi o conceito de fluxo Relaciona estes conceitos com o de campo elético Intoduzi os conceitos de fluxo elético e densidade de fluxo elético Relaciona estes conceitos com o de campo elético
Conceito de Fluxo Φ =(v.cosθ)a Φ =v A Fluxo volumético= Vazão (volume po unidade de tempo) do a atavés da espia po áea A) Incidência pependicula B) A componente pependicula é v.cosθ C) O veto áea A é pependicula ao plano da espia e faz um ângulo θ com v
Fluxo de um campo É possível associa um veto velocidade do vento a cada ponto do inteio da espia O conjunto de todos esses vetoes é um campo de velocidades A equação Φ =v A pode se intepetada como uma expessão paa o fluxo do campo de velocidades atavés da espia Intepetando desta foma, fluxo seia o poduto de uma áea pelo campo que existe no inteio dessa áea
Intodução Michael Faaday (1791-1867) Autodidata, com apenas educação pimáia Gandes contibuições na química e na física Habilidade com expeimentos escobiu algumas leis que egem a eleticidade e o magnetismo Popôs a epesentação do campo elético atavés de linhas de foça Recusado pelos matemáticos da época Povado posteiomente po Maxwell
Intodução Michael Faaday Papel com limalha de feo em cima e imã embaixo Há também linhas de foça paa campo elético?
Intodução Michael Faaday Cagas opostas megulhadas em óleo com babantes finos Como medi este fluxo elético?
Fluxo Elético Expeimento de Faaday eja uma esfea metálica com caga +Q Colocando esta esfea no inteio de outa esfea metálica Caga Q induzida na pate intena Caga +Q induzida na pate extena
Fluxo Elético Expeimento de Faaday Ligando a esfea à tea Caga positivas se deslocaão paa a tea Esfea extena com caga negativa
Fluxo Elético Expeimento de Faaday Faaday intepetou o fenômeno como um fluxo de deslocamento de cagas da esfea intena paa a extena Este fluxo deve se igual à caga total Ψ = Q As tajetóias de deslocamento de caga são denominadas linhas de fluxo
ensidade de Fluxo Elético ensidade de Fluxo Elético ( ) Medida de quantidade de linhas de fluxo po unidade de áea Gandeza vetoial que aponta na dieção das linhas de fluxo
ensidade de Fluxo Elético Esfeas concênticas Consideando uma esfea de aio ente as duas esfeas A caga total, i.e. o fluxo, dento da esfea é Q e a áea total é 4π 2 não depende do copo, desde que seja maio que este
ensidade de Fluxo Elético Caga pontual na oigem Consideando esfea intena centada na oigem com 0 e esfea extena com = Q 4π a e a caga estive localizada em ( ) 2 Q = 4 π ' 2 ' ' '
ensidade de Fluxo Elético Caga pontual na oigem Compaando com a equação do campo paa uma caga pontual E No espaço live = Q 4πε 0 = ε 0 E 2 a mesma foma, paa uma distibuição volumética de caga ρ ' a ( ) v = vol 4π dv ' ' ' 2
ensidade de Fluxo Elético Exemplo 3.1) Calcula densidade de fluxo ao edo de uma linha de caga unifome de 8nC/m no eixo z no espaço live E3.1) ada uma caga pontal de 60µC na oigem, detemine o fluxo elético total que passa atavés de Poção da esfea de =26cm limitada po 0<θ<π/2 e 0<φ<π/2 upefície fechada definida po z =±26cm e ρ =26cm Plano z =26cm
ensidade de Fluxo Elético E3.2) Calcula densidade de fluxo no ponto P(2,-3,6) poduzido po Uma caga pontual Q A =55mC em Q(-2,3,-6) Uma linha de cagas unifome com ρ L =20mC/m no eixo x Um plano em z =-5m com ρ =120µC/m2
Aplicações da Lei de Gauss
Intodução Lei de Gauss O fluxo elético que atavessa uma supefície fechada é igual à caga total dento da supefície Vamos usá-la paa detemina a densidade de fluxo se a distibuição de cagas fo conhecida Q = d
Intodução olução se tona simples se escolhemos uma supefície fechada em que é nomal ou tangente à supefície gaussiana d se tona ou zeo Quando d não fo zeo, deve se constante d
Q = Q = Q Aplicações da Lei de Gauss Caga pontual: supefície esféica de aio em tono da caga Q, seá sempe pependicula à supefície e constante = d d = π 2π esfea 2 senθdφdθ = 0 0 2 = 4π = 2 2π d esfea π 2 0 senθdθ Q Q 4πa = a 2 4πa
Aplicações da Lei de Gauss istibuição unifome linea de caga ρ L upefície cilíndica de aio ρ com tampa em z=0 e z=l A caga total então seá Q=ρ L L Q = ρ L = 0 L ρ L = 2πρL L = + d d 0 d + ρl = 2 πρ = lado ρl a 2πρ ρ topo base d A integação gealmente se limita à áea da supefície onde é nomal
Aplicações da Lei de Gauss istibuição supeficial de cagas ρ upefície cilíndica, uma base Q em cada lado da placa E é pependicula à placa A caga total então seá Q=ρ A = d =. A +. A = ρ. A = ρ 2
Aplicações da Lei de Gauss Cabo coaxial de compimento infinito Cilindos condutoes Raio inteno ρ inteno = a Raio inteno ρ exteno = b Temos ρ na supefície extena do conduto inteno Acha o campo elético pela lei de Coulomb é complicado
Aplicações da Lei de Gauss Cabo coaxial de compimento infinito Paa ρ < a Como o conduto é metálico, a caga na está na supefície A supefície gaussiana não envolve nenhuma caga Q = 0 = d = 0 = 0 Paa ρ > b A caga total envolvida é zeo = 0
Aplicações da Lei de Gauss Cabo coaxial de compimento infinito Paa a <ρ < b A supefície envolve a caga contida no conduto inteno paa 0<z<L Q L 2π = z= 0 φ = 0 ρ adφdz Q = 2πρL = 2πaLρ Q = 2πaLρ Pela lei de Gauss aρ 2 πalρ = 2πρL = ρ = aρ a ρ ρ
Aplicações da Lei de Gauss Cabo coaxial de compimento infinito Paa a <ρ < b e o conduto inteno fo um fio com distibuição de caga ρ L Q L L = ρ ρl = 2πaρ aρ = ρ = ρl a 2πρ Foma idêntica a da linha infinita de cagas! ρ
Aplicações da Lei de Gauss Cabo coaxial de compimento infinito Como a caga total nos dois condutoes tem o mesmo módulo Q = a Q b 2πaLρ = 2πbLρ a b a ρ b = ρ b a
Aplicações da Lei de Gauss Exemplo 3.2) eja um cabo coaxial com L=50cm, a=1mm, b=4mm e Q a =30nC Ache a densidade de caga em cada conduto etemine e E
Lei de Gauss E3.3) 2 eja = 0,3 nc/m 2 no espaço live. etemine: a Campo elético em ( o o = 2, θ = 25, φ = 90 ) P Caga total dento da esfea = 3 etemine o fluxo total que deixa a esfea = 4
Lei de Gauss E3.4) Calcule o fluxo total saindo de uma supefície cúbica fomada po seis planos x,y,z =±5, paa uas cagas pontuais 0,1µC em (1, -2, 3) e 1/7µC em (-1,2,-2) Linha unifome de caga π µc/m em x=-2 e y=3 upefície unifome de caga 0,1µC/m 2 no plano y=3x
Aplicações da Lei de Gauss E3.5) Uma caga pontual de 0,25µC está localizada em =0 e supefícies unifomes de caga estão dispostas da seguinte foma: 2mC/m 2 em =1cm, -0,6mC/m 2 em =1,8cm. Calcule a densidade de fluxo elético em =0,5cm =1,5cm =2,5cm Que densidade de caga supeficial unifome deve se colocada em =3cm paa que a densidade de fluxo elético em =3,5cm seja nula
ivegente Relaciona um campo vetoial com um campo escala O divegente do campo vetoial é o poduto escala ente e ( ) z z y y x x z y x a a a a z a y a x + + + + = z y x z y x + + = = div
ivegente Em coodenadas cilíndicas Em coodenadas esféicas ( ) z z + + = φ ρ ρ ρ ρ φ ρ 1 1 ( ) ( ) φ θ θ θ θ φ θ + + = sen 1 sen sen 1 1 2 2
ivegente A divegência de um campo vetoial dá como esultado o fluxo líquido (fluxo que sai menos fluxo que enta) po unidade de volume O esultado é um escala = ρ v Caga po unidade de volume > 0 = 0 < 0
ivegência Exemplos Fluxo líquido de água atavés de qualque supefície fechada é zeo Água que enta, sai ivegência de velocidade é nula A se expande quando a pessão cai ivegência é maio que zeo
Aplicações da Lei de Gauss Lei de Gauss O fluxo elético que atavessa uma supefície fechada é igual à caga total dento da supefície Vamos aplica a lei de Gauss a um elemento difeencial de volume em poblemas que não possuem simetia Isto seviá paa detemina a divegência de um campo vetoial e paa enuncia a pimeia equação de Maxwell na foma difeencial
ivegência ivegência infoma quanto fluxo está deixando um volume po unidade de volume Fonte de densidade de fluxo positiva > 0 Fonte de densidade de fluxo negativa Não há fonte de densidade de fluxo < 0 = 0
Pimeia Equação de Maxwell abemos que = então lim v 0 d v d = Q = lim v 0 Q v = ρ v Pimeia Equação de = ρ v Maxwell (Eletostática) A pimeia equação de Maxwell estabelece que o fluxo elético po unidade de volume que deixa uma unidade de volume infinitesimal é igual a sua densidade volumética de caga
Teoema da ivegência d = dv vol A integal da componente nomal a qualque campo vetoial sobe uma supefície fechada é igual à integal da divegência desse campo vetoial atavés do volume limitado po uma supefície fechada Relação ente uma integal dupla de supefície com uma integal tipla de volume
Teoema da ivegência Fisicamente, podemos analisa este esultado como sendo pefeível se peocupa com as consequências do que ocoe na supefície de um volume sem se impota com o fenômeno que está se desenvolvendo dento deles O que divege em uma célula convege na adjacente ó contibui paa o total o que divege na supefície
Teoema da ivegência Exemplo 3.5 Calcule ambos os lados do teoema da divegência paa o campo 2 = 2 xyax + x a C/m 2 y e um paalelepípedo 0<x<1, 0<y<2, 0<z<3
Teoema da ivegência Exemplo poposto Calcule ambos os lados do teoema da divegência paa o campo 2 2 2 = 2ρ cos5φa ρ 2ρ sen 5φa φ + 2ρ a C/m 2 z e um paalelepípedo ρ 5, 0 φ 0,1π, 0 z 10
Lista de Execícios Capítulo 3 3.3, 3.4, 3.5, 3.9, 3.13, 3.17, 3.19, 3.21, 3.23, 3.27, 3.29