Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 5 ª Unidde: Geoeti Anlíti no Espço Equções d et no IR Seos que dois pontos define u et Co pens u dos pontos té é possível defini posição de u et desde que tenhos dieção peis d es Se utilios u veto e u ponto teeos então oo defini etente posição de u et Oseve figu nel definios os pontos A ) onheido e petenente et e B ) u ponto qulque petenente es et O veto v ) é u veto plelo et e é o veto dieto d et Figu : Ret e veto plelo v Coo o veto v é plelo et té é plelo o veto AB do soe et teos que v // AB e se é u onstnte então AB v e: B A v B A v A epessão B A v é hd de equção vetoil d et Sustituindo os vloes dos pontos A ) e B ) teos: Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul 6 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Podeos eseve que: que oesponde s equções pétis d et Podeos ontinu o poesso isolndo o e d u ds sentençs d seguinte fo: D epessão D epessão D epessão oo todos o fi isoldos podeos op-los fendo: Est é equção siéti d et É possível ind u out epesentção N iguldde que podeos ote: e vos eseve o oo vlo dependente de )
Fendo n teeos n e Vos go isol tendo oo viável independente té o : ) Fendo p e q teeos p q n O p de equções p q Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 7 são hds de equções eduids d et Ests equções té pode te oo viável independente o ou o e podeíos té eseve p n q e p n q Eeplo: Detein s equções pétis d et que pss pelos pontos A ) e B 0 ) Resolvendo: A equção péti d et é epesentd po st hos o veto dieto d et que é indido po v ) e sustituios n equção Coo teos dois pontos vos onstui o veto: v AB B A 0 ) ) 0 5) logo sustituindo v e u dos pontos esolheos o ponto A ) teos equção 0 5 5 Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 8 Eeplo Detein s equções eduids d et o viável independente que pss pelo ponto A ) e te dieção do veto i j 5k Resolução: P detein s equções eduids d et peisos ont equção siéti d et Coo já teos o veto dieto e u ponto eseveos: 5 Ago vos sep s equções d seguinte fo : Isolndo 5 ) ) ) 5 ) Logo s equções eduids d et são: 5 6 5 6 e ssi isolndo o 5 Eeplo Cit u ponto e o veto dieto ds equções ds ets: ) 5 ) 5 5 ) d) 5 e) 5 f) 5 Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Resolvendo: ) 5 Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 9 P itos u ponto st tiuios u vlo letóio p po eeplo e sustitui n equção 5 5 9 Logo u ponto d et é A 9) P hos o veto dieto podeos poede de dus neis: i) Podeos h outo ponto dndo outo vlo p lulos outo ponto d et e o estes deteinos o veto dieto Sej : ) 7 ) 5 8 5 Assi outo ponto d et é B 7 ) Clulndo o veto dieto: v AB B A 7 ) 9) 6 ) Logo v 6 ) ii) Podeos té detein o veto dieto ptindo ds equções dds que estão n fo eduid etonndo p fo siéti Coo isolos o ns dus equções teos: 5 5 5 Logo 5 5 e oo o veto dieto está lolido no denoindo d equção n fo siéti teos que v ) Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 0 Oseve que o veto no pieio odo é ) vees o veto do segundo odo o que não epesent nenhu pole pois estos ttndo o vetoes dietoes de ets ) 5 5 Ago teos s equções n fo péti: onde A ) e v ) Copndo s equções onluíos que u ponto d et é A 50) e o veto dieto é v 50 ) ) Neste so teos equção n fo siéti: v ) onde A ) e Copndo s equções enontos o ponto A000) e o veto v ) d) 5 A fo d equção sugee fo siéti entnto peisos iniilente u equção: 5 Dividios o eo d piei pte po e d segund po teos: 5 5 A ) e v ) no Ago opndo s equções teos A ) e o veto v 5) Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil e) 5 Note que neste so tt-se de u equção eduid o viável independente Confoe visto no eeplo ) teos dus neis de h o ponto e o veto dieto: i) Atiuíos dois vloes itáios o sej e 5 pontos seão A 5) e B 55) O veto dieto v AB B A 5 55 ) 00) e oo e são onstntes os ii) Pelo segundo odo onsideos que s equções eduids d et oigin ds equções siétis Feos o poediento inveso e tnsfoos equções eduids e siétis: N equção isolndo o : 5 0 0 5 5 0 0 5 Logo 0 5 0 0 5 0 e no denoindo teos o veto dieto v 00 ) Oseve que o veto enontdo no pieio odo é ) vees o veto do segundo odo no entnto eles tê es dieção e juntente o o ponto define et f) 5 Neste so piei pte est n fo péti ou sej 0 e segund est n fo siéti 5 Copndo então s dus fos podeos eseve que o ponto é A) e o veto dieto é v 0 5) Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Eeplo Repesente gfiente s seguintes ets: ) Resolvendo: Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil P que possos tç u et peisos de dois pontos Atiuindo-se dois vloes itáios p que é viável independente teos: Se 0 então 0 e oo é onstnte u ponto d et é A 0) Se então 6 e oo é fio o segundo é B 6) Repesentndo n figu : ) Coo se tt de equções pétis d et podeos eti u ponto d pópi equção ou sej A ) O outo ponto oteos tiuindo u vlo itáio p o pâeto Assi p teos: 5 5 6 logo B 5 56) Otidos os pontos A ) e B 5 56) desenhos et oo n figu i: Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Ângulo ente dus ets Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil Dus ets pode se opds tvés d inlinção de u e elção out ou sej deteinndo o ângulo fodo po els N figu 5 esoços dus ets e s os vetoes dietoes u e v que s epesent e o ângulo α fodo po els Figu 5: Ângulo ente ets Considendo os vetoes dietoes ds ets e s e plindo elção que detein o ângulo ente u v dois vetoes osα o u pequen dptção ou sej esentndo o ódulo no u v nuedo u ve que o ângulo ente dus ets não é supeio ângulo ente els teos: osα u v u v onde 0 0 α 90 0 90 pois só edios o eno Eeplo Clul o ângulo ente et que pss pelos pontos A 5) e B 0 5) pelos pontos C ) e D ) e et s que pss Resolvendo: u v Coo osα vos iniilente enont os vetoes dietoes u e v : u v u AB B A 0 5) 5) 5 6) v CD D C ) ) 5) Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Clulndo o poduto esl: u v 5 ) 6) 0 6 6 0 Deteinndo té o ódulo dos vetoes u e v : u v 5 ) 6) 5) E utilindo epessão 0 769 5 6 5 osα 0 osα osα 65 0 osα 06 α os α 0 65 0 u v teos que: u v 950 06) Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil Condição de pleliso ente dus ets Qundo s dus ets são plels oo n figu 6 podeos dedui que o veto dieto u petenente et e o veto dieto v petenente et s té são plelos Po isso podeos us ondição de pleliso ente dois vetoes ou sej se u ) e v ) então Figu 6: Rets plels Eeplo Vos veifi se s ets : ) ) ) e s : 5 6 são plels 8 Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 5 Resolvendo: Confoe definição et est n fo vetoil ou sej ) ) ) Po opção o veto dieto d et é u ) A et s est n fo péti ou sej n fo onluíos que v 68) Copndo o et dd Aplindo ondição de pleliso veifios que é veddeio 6 8 siplifindo tods s fções oteos onstnte Logo s ets e s são plels Condição de otogonlidde ou pependiulidde Se dus ets e s são otogonis oo n figu 7 os seus vetoes dietoes té são otogonis P ostos otogonlidde ente dus ets st plios ondição de otogonlidde ente dois vetoes ou sej u v 0 Figu 7: Rets otogonis Eeplo Veifi se et : é otogonl et 6 s : Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 6 A et é pesentd n fo péti e siéti P enont o veto dieto opos pte do o fo péti 0 logo oponente 0 A segund pte e opd 6 e 6 Assi o veto dieto de é v 06) onde identifios s oponentes No so d et s equção está n fo eduid o viável independente então vos pssá-l p fo siéti isolndo o ou sej onde identifios o veto 0 dieto de s oo u 0 ) Pel ondição de otogonlidde de dois vetoes u v 0 Efetundo o poduto teos: 06) 0) 00 6 0 6 8 0 logo s ets e s não são otogonis Condição p dus ets sej oplnes Dus ets no espço pode est situds nu eso plno ou e plnos difeentes Oseve s figus 8) e 8): Figu 8: Rets de u plno N figu 8) s ets são plels ou sej são oplnes N figu 8) s ets são onoentes s oo gnti que estão situds no eso plno? P isso vos tlh o tês vetoes Dois vetoes já onheidos os vetoes dietoes ds ets e s e o teeio otido pti de u ponto petenente et e de outo ponto petenente et s Se estes tês vetoes foe oplnes s ets que os supot té são oplnes A veifição é feit tvés d ondição de oplniedde ente tês vetoes ou sej o poduto isto u v w) 0 Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Eeplo As ets : e 5 Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 7 s : são oplnes? 5 Coo et está n fo siéti o veto dieto está pesente no denoindo ssi u 5) A et s está n fo péti o veto dieto é ddo pelos oefiientes do pâeto então v ) Peisos de u teeio veto que seá fodo pelos pontos petenente et e s N et o ponto pode se A ) e d et s o ponto B 5) Se s ets são oplnes AB u v) 0 Assi: AB B A 5 ) 07) e lulndo: 0 7 AB u v) 5 6 0 56 8 80 0 0 0 logo s ets não são oplnes Equção gel do plno Vos pti do odelo epesentdo n figu 9: u plno ontendo u ponto A ) otogonl u veto n i j k hdo de veto nol o plno Figu 9: Plno o veto otogonl Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 8 O ponto B ) epesent qulque ponto petenente o plno enqunto que A epesent u ponto onheido Co o ponto A e o ponto B podeos ont u veto otogonl o veto n Pel ondição de otogonlidde ente dois vetoes o poduto esl ente eles é igul à eo isto é: v AB n 0 Então: B A) n 0 ) ) ) 0 ) ) 0 0 0 Coo A ) é u ponto onheido podeos isol e popo que: d e ssi: d 0 que é hd equção gel do plno Eeplo Detein equção gel do plno que pss pelo ponto A ) e te oo veto nol n 5) Resolvendo: Coo d 0 sustituindo o veto n n equção teos 5 d 0 p lulos o vlo de d st sustituios e pels oodends do ponto A ) 5 d 0 d 6 6 0 d Logo equção gel do plno é 5 0 Eeplo Detein equção gel do plno que pss pelos pontos A ) B ) e C 0 ) Confoe figu 0) epesentos os tês pontos Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 9 Figu 0: Pontos e vetoes no plno Foos os vetoes n AB AC AB e AC onfoe figu 0) e o estes deteinos o veto Poduto vetoil esult nu veto pependiul) Assi: AB B A ) 0) e AC C A 0 ) ) i j k Então o veto n 0 Resolvendo pel eg de Sus: n i 0 j k k 0 i j n i j k N equção gel do plno d 0 sustituíos o veto n Assi d 0 e p hos o vlo de d esolheos qulque u dos tês pontos neste eeplo esolheos o ponto A ) Sustituindo ) d 0 8 d 0 d Logo equção gel do plno é 0 Osevção: Podeíos té detein equção do plno pel ondição de oplniedde de vetoes Considendo os tês pontos onheidos A B e C epesentdo u quto ponto genéio D ) e foos tês vetoes oplnes po eeplo AB AC e AD Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 0 Coo vios n Unidde p que tês vetoes sej oplnes o poduto isto destes te que se igul eo ou sej o poduto isto AD AB AC) 0 Vos veifi est possiilidde no eeplo Eeplo Detein equção gel do plno que pss pelos pontos A ) B ) e C 0 ) Confoe ondição de oplniedde AD AB AC) 0 o ponto genéio D é u ponto qulque petenente o plno que epesentos po D ) Assi AD D A ) AB B A ) 0) e AC C A 0 ) ) Clulndo AD AB AC) 0 0 teos pel eg de Sus: ) 0 ) ) ) 0 ) ) 0 0 0 0 Logo 0 Osevção: ) No eeplo podeíos té te esolhido oo oige dos vetoes o ponto B ou ponto C ) A equção do plno então pode se otid tvés do deteinnte: 0 Repesentção gáfi de plnos Os plnos pode filente se epesentdos gfiente Est epesentção pode se nul onsidendo u onjunto de pontos ) ou o o uílio de u softwe gedo de gáfios tidiensionis O softwe Deive uj vesão Til Edition válid po 0 dis pode se otid n intenet é u o eeplo destes Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil Eeplo Repesent gfiente os seguintes plnos itndo o veto nol o plno: ) 0 Est é u equção inoplet pens o deteindo Seu gáfio é u plno plelo o plno oodendo O e inteept pens o eio Figu : Gáfio do plno 0 Copndo equção 0 o equção d 0 teos 0 e 0 ind podeos eseve 0 0 0 Logo o veto nol é n 00 ) Co o softwe Deive podeos te u epesentção tl oo: ou Figu : Gáfio de 0 onstuído o o softwe Deive Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
) 0 Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil Nest equção inoplet pens o e o estão eliondos logo o plno ot pens o eio e o eio P seos onde o plno ot o eio feos 0 0 0 P seos onde o plno ot o eio feos 0 0 0 Figu : Gáfio do plno 0 P hos o veto nol o plno teos que op 0 o equção d 0 logo e 0 ou sej n 0 ) Co o softwe Deive: Figu : Gáfio de 0 onstuído o o softwe Deive Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
) 6 0 Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil Est equção pesent s tês viáveis isto ton evidente que o plno otá os eios e P seos onde o plno ot o eio feos 0 e 0 n equção 6 0 : 0 0 6 0 P seos onde o plno ot o eio feos 0 e 0 n equção 6 0 0 0 6 0 P seos onde o plno ot o eio feos 0 e 0 n equção 6 0 0 0 6 0 Desenhndo o gáfio: Figu : Gáfio do plno 6 0 P deteinos o veto nol o plno teos que op 6 0 o equção d 0 logo e n ) Figu : Gáfio de 6 0 onstuído o o softwe Deive Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul Osevção: Neste eeplo podeos defini equção segentái do plno P isso isolos o teo independente e dividios todos os teos po esse núeo; no pieio eo justos s fções deindo os núeos o s viáveis positivs Assi: 6 0 6 Dividindo equção po 6) 6 6 6 6 6 Ajustndo os nuedoes oteos que é equção do plno n fo segenti Note que os eleentos que estão dividindo s viáveis são etente os pontos de inteseção do plno o os eios oodendos Se n e o são os vloes onde o plno inteept os eios oodendos espetivente equção segentái pode se epess oo o n Eeíios ) Fo s equções pétis e siétis d edin do ldo AB do tiângulo ujos véties são ) 0 A ) 0 B e ) 6 00 C )Veifi se s ets e s são oplnes ) : e s 6 5 : ) 6 : e s 5 : ) Repesente gfiente s seguintes ets e ite o veto dieto:
) : ) 5 5 s : 7 Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 5 ) Clule o ângulo ente s ets e s onde é deteind pelos pontos A ) e B 0 ) é deteind pelos pontos C ) e D 0 ) e s 5) Deteine o vlo de k de odo que s ets sej otogonis 5 : e s : k 6)Detein equção gel do plno: ) que possui o ponto A ) e é pependiul o veto v i j k ) Que pss pelos pontos A ) B 05) e C ) 7) Detein equção segentái do plno que pss pelos pontos A ) B ) e C ) Resposts dos eeíios Eeíio Resolução: Oseve figu O ponto M é o ponto édio de AB então et fod pelos pontos M e C é et edin do ldo AB Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 6 0 M ) onde logo ponto M ) 0 P h o veto dieto vos fe MC C M 00 6) ) 5) As equções pétis são d fo então vos sustitui o veto MC e u dos 0 pontos M ou C logo 0 ou 6 5 As equções siétis são d fo 6 ponto teos 5 6 5 té sustituindo o veto e o Eeíio ) : e s : 5 6 Resolução: Vos tlh o os vetoes u ) veto dieto d et e o veto v 6) Pieio vos veifi se os vetoes u e v são plelos plindo ondição de pleliso ente dois vetoes: 6 logo são plelos pois eiste u onstnte de popoionlidde igul Po see plelos os vetoes dietoes s ets são plels e dus ets plels são oplnes 6 ) : e s : 5 Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Resolução: Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 7 Vos pieio tlh o os vetoes dietoes de e s : o veto dieto de é u ) e de s é v ) vos veifi se os dois são plelos o popoção: podeos estelee u onstnte ente eles logo não são plelos Não Ago então teeos que pli ondição de oplniedde ente tês vetoes: teos que ote outo veto que pode se otido tvés de u ponto d et e outo de s ou sej A 6) e B 5) Feos AB B A 5) 6) 9 ) Aplindo ondição de oplniedde ente tês vetoes teos: 9 AB u v) 8 8 0 logo os vetoes não são plelos onsequenteente s ets não são plels Eeíio ) : 5 P teos o veto podeos poede de dus neis: A piei é tnsfo equção d et n fo siéti isolndo o ns dus epessões 5 logo o veto dieto é v ) A out fo é h os dois pontos petenentes dndo vloes letóios p Sej 0 0 0 5 5 Logo u fi definido oo A 50) Sej té 6 5 5 7 Logo o ponto fi definido oo sendo B 7) N seqüêni feos AB B A 7) 50) 6 ) tços o gáfio utilieos os dois pontos: que é u últiplo de v P Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 8 5 ) s : 7 Osevos que est equção est n fo eduid o viável independente vos então h dois pontos petenentes et oo po eeplo se 5 7 logo o ponto A 57) se 0 5 7 logo o ponto B 570) Mndo et: Eeíio Resolução: P lulos o ângulo ente dus ets peisos tlh o seus vetoes dietoes: O veto dieto d et é otido fendo u AB B A 0) ) ) ; o veto dieto de s é otido fendo v CD D C 0 ) ) ) Aplindo elção: Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
u v osα u v u v ) ) ) u ) 9 6 6 v ) ) 9 6 6 osα 6 6 6 α os α 697 6 0 Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 9 Eeíio 5 Resolução: Deveos tlh o os vetoes dietoes ds ets e pli ondição de otogonlidde ente dus ets Coo s ets estão n fo siéti os seus vetoes dietoes são espetivente u ) e v k ) A ondição de otogonlidde é u v 0 Assi: u v 0 k ) 0 k 0 k Logo o vlo de k Eeíio 6 Resolução: ) que possui o ponto A ) e é pependiul o veto v i j k Coo v é pependiul o plno podeos us o veto oo veto nol o plno Sustituindo o veto n equção gel do plno d 0 teos: d 0 Flt h o núeo d sustituindo o ponto A : ) d 0 d 0 d 5 Logo equção gel d et fi definid oo 5 0 ) Que pss pelos pontos A ) B 05) e C ) Resolução: Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul
Geoeti Anlíti Engenhi Quíi/Quíi Industil 0 Vos te que h o veto nol o plno: n AB AC AB B A 05) ) ) AC C A ) ) ) i j k n AB AC i j k k i j 6i j 9k Sustituindo n equção gel do plno d 0 oteos 6 9 d 0 P h o vlo de d sustituíos qulque u dos tês pontos sej o ponto C ) : 6 ) ) 9) d 0 7 d 0 d 7 7 Logo equção é: 6 9 7 0 Eeíio 7 Confoe ondição de oplniedde AD AB AC) 0 o ponto genéio D é u ponto qulque petenente o plno que epesentos po D ) Assi AD D A ) AB B A )) ) e AC C A )) ) Clulndo AD AB AC) 0 teos pel eg de Sus: 8 9 9 6 6 6 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0 Logo 7 5 0 0 Adequndo equção p fo segentái igulos e justos os denoindoes: 7 5 0 : 0) 7 0 0 0 0 7 Pof Máio Selhost e-il: ioselhost@unisul