Diagramas de Bode Constituídodedoisgráficos: umdomóduloemdecibel(db) outrodoângulo de fase; Ambos são traçados em relação à frequência em escala logarítmica; LembrequeologaritmodomódulodeG(jω) é20log 10 G(jω), comunidade em db; Vantagens: a multiplicação dos módulos pode ser convertida em soma; há uma forma simples de esboçar a curva aproximada do módulo em db, assim como a curva de ângulo de fase; A expansão da escala de frequências pelo uso da escala logarítmica de frequência é muito vantajosa; As relações de frequência são expressas décadas. Uma década é o intervalo de frequência de ω a 10ω, onde ω é qualquer valor de frequência. 1 of 31
Note que não se pode traçar as curvas até a frequência zero, pois log 10 (0) =, mas isso, de fato, não significa nenhuma desvantagem; A determinação experimental de uma função de transferência de um sistema LIT pode ser feita de forma simples a partir do diagrama de Bode. Fatores básicos: os fatores básicos que habitualmente ocorrem em qualquer função de transferência são: 1. Ganho K; 2. Fatores integrativo e derivativo (jω) 1 ; 3. Fatores de primeira ordem (1+jωT) 1 ; 4. Fatores quadráticos [ 1+2ξ(jω/ω n)+(jω/ω n) 2] 1 ; Conhecendo a característica de resposta de cada um desses fatores isoladamente, é possível utilizá-los para a construção do diagrama de Bode por uma soma simples de tais fatores. 2 of 31
Ganho K: A curva do módulo em db de um ganho constante K é uma reta horizontal de valor 20logK decibéis. O ângulo de fase de K é zero. O efeito da variação de K é o de deslocar para cima ou para baixo a curva de módulo em db. Não há efeito na curva de ângulo de fase. Quando um número aumenta por um fator de 10, o valor correspondente em db fica acrescido de 20, ou seja, ou ainda, 20log 10 (K 10) = 20log 10 (K)+20, 20log 10 (K 10 n ) = 20log 10 (K)+20 n. Observe que, quando expresso em decibéis, o recíproco de um número difere de seu valor apenas no sinal, ou seja, 20log 10 (K) = 20log 10 ( 1 K). 3 of 31
Fatores integral e derivativo (jω) 1 : O termo (jω) 1 em db é: 20log 10 1 jω = 20log 10ω db O ângulo de fase de (jω) 1 é constante e igual a 90. O gráfico de 20log 10 ω em função de ω em escala logarítmica, o resultado será uma reta com inclinação de 20 db/década (ou 6 db/década). A inclinação da curva de módulo em db para o fator (jω) n é 20n db/década. O ângulo de fase desse fator é dado por 90 n. Similarmente, a inclinação da curva de módulo em db para o fator (jω) n é +20n db/década. O ângulo de fase desse fator é dado por +90 n. 4 of 31
Diagramas de Bode: (a) G(s) = 1/s (b) G(s) = s. 5 of 31
Fatores de primeira ordem (1+jωT) 1 : O módulo em db de (1+jωT) 1 é: 1 20log 10 1+jωT = 20log 10 1+ω2 T 2 db Para baixas frequências, ω << 1/T, o módulo em db pode ser aproximado por: 20log 10 1+ω2 T 2 20log 10 1 = 0 db Para altas frequências, B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil 20log 10 1+ω2 T 2 20log 10 ωt db Em ω = 1/T, o valor do módulo é 0 db. O gráfico do módulo de (1 + jωt) 1 em db pode então ser aproximado por duas retas assíntotas, uma reta em 0 db (para a faixa 0 < ω < 1/T) e outra com inclinação igual a 20 db/década (para a faixa 1/T < ω < ). A frequência na qual as assíntotas se encontram é chamada de frequência de corte, ω = 1/T, essa frequência divide a resposta em duas regiões: região de baixa frequência e região de alta frequência. 6 of 31
O ângulo de fase exato de (1+jωT) 1 é φ = tan 1 (ωt). Na frequência zero, o ângulo de fase é zero. No infinito, ele se torna 90. Na frequência de corte, tem-se φ = tan 1 (T/T) = 45 O erro máximo entre as curvas assíntotase a curva real ocorre na frequência de corte e é aproximadamente igual a 3 db. 7 of 31
Diagrama de Bode de G(s) = 1 1+sT. 8 of 31
Note que para fatores recíprocos (inversa da função), as curvas de módulo em db e do ângulo de fase necessitam trocar apenas o sinal. 9 of 31
Fatores quadráticos [ 1+2ξ(jω/ω n )+(jω/ω n ) 2] 1 : O módulo e a fase do fator quadrático dependem tanto da frequência de corte (ω n ) como do coeficiente de amortecimento ξ; As aproximações assintóticas para as curvas de resposta em frequência não são precisas para um fator com baixos valores de ξ; O módulo em db de [ 1+2ξ(jω/ω n )+(jω/ω n ) 2] 1 é: ( ) ) 2 1 20log 10 ) ) 2 = 20log 10 1 1+2ξ (j ωωn + (j ω2 + (2ξ ωωn ω 2 ωωn n Para baixas frequências, ω << ω n, o módulo passa a ser 20log 10 1 = 0 db; Para altas frequências, ω >> ω n, o módulo passa a ser 20log 10 ω 2 ω 2 n = 40log 10 ω ω n db 10 of 31
A assíntota de baixa frequência é uma reta horizontalem 0 db, ao passo que a assíntota de alta frequência é uma reta com inclinação de 40 db/década; As assíntotas se cruzam em ω = ω n. Logo, ω n é denominada frequência de corte. As duas assíntotas são independentes de ξ. Próximo a ω = ω n ocorre um pico de ressonância. ξ determina o pico dessa ressonância. O erro entre a curva real e as assíntotas depende de ξ e será maior para valores pequenos de ξ. O ângulo de fase do fator quadrático é dado por: φ = tan 1 2ξ ω ω n ( 1 ) 2 ω ω n Em ω = 0 φ = 0. Em ω = ω n, φ = 90, independentemente de ξ. Em ω, φ = 180. Para 1 + 2ξ(jω/ω n ) + (jω/ω n ) 2, as curvas de resposta em frequência do módulo em db e do ângulo de fase são obtidas simplesmente pela inversão do sinal. 11 of 31
12 of 31 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil
Quadro resumo das assintotas do Diagrama de Bode 13 of 31
Quadro resumo das assintotas do Diagrama de Bode 14 of 31
Quadro resumo das assintotas do Diagrama de Bode 15 of 31
Exemplo Desenhe o diagrama de bode assintótico de módulo da seguinte função de transferência: G(jω) = 10 (jω)(1+jω/2)(1+jω/5) Os fatores básicos são analisados separadamente: 1. 20log 10 10 = 20 db; 2. 20log 10 (jω) 1 = 20 db/dec; { 3. 20log 10 (1+jω/2) 1 0dB, ω << 2 = 20 db/dec, ω >> 2 { 4. 20log 10 (1+jω/5) 1 0dB, ω << 5 = 20 db/dec, ω >> 5 16 of 31
17 of 31 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil
Exemplo No Matlab, o diagrama de Bode é obtido através do comando bode. Note que no exemplo anterior, G(s) = 10 s(1+s/2)(1+s/5) = 100 s(s +2)(s +5) num = 100; den = [1 7 10 0]; sys = tf(num, den); %G(s) bode(sys); % sys pode ainda estar na forma ss ou zpk 18 of 31
Exemplo - Desenho do Diagrama de Bode Considere a função de transferência G(jω) = Note que os fatores da função acima são: 1. Um ganho constante K = 5. 2. Um polo na origem. 3. Um polo em ω = 2. 4. Um zero em ω = 10. 5(1+j0.1ω) jω(1+j0.5ω)(1+j0.6(ω/50)+(jω/50) 2 5. Um par de polos complexo-conjugados em ω = ω n = 50. 19 of 31
Exemplo - Desenho do Diagrama de Bode Construção dos termos no diagrama de Módulo (escala em db). 20 of 31
Exemplo - Desenho do Diagrama de Bode Construção da assintota final resultante da soma dos termos parciais. O gráfico tambem mostra a curva real, e ambas (aproximada via assintotas e real) são muito parecidas. 21 of 31
Exemplo - Desenho do Diagrama de Bode Construção dos termos no diagrama de fase. 22 of 31
Exemplo - Desenho do Diagrama de Bode Diagrama da fase final resultante. 23 of 31
Frequência de Ressonância ω B e Pico de Ressonância M pω Frequência de Ressonância e Pico de Ressonância: O módulo da função de transferência de 2a. ordem G(s) = ω 2 n s 2 +2ξω n s +ω 2 n é dado por G(jω) = 1 ( ) 2 ) 2 1 ω2 + (2ξ ωωn ω 2 n Se G(jω) apresentar algum valor de pico em alguma frequência, tal frequência é denominada frequência de ressonância, ω r. 24 of 31
Note que o valor de pico ocorrerá quando for um mínimo. Tal mínimo ocorre em ) 2 ) 2 g(ω) = (1 ω2 +(2ξ ωωn ω 2 n ω r = ω n 1 2ξ2, 0 ξ 0,707 Conforme ξ 0, ω r ω n. Para 0 ξ 0,707, tem-se ω r < ω d = ω n 1 ξ2. Observe ainda que para ξ > 0,707, não há pico de ressonância. O valor do pico de ressonância é dado por M r = G(jω) ω=ωr M r = 1 2ξ 0 ξ 0,707 1 ξ2, 25 of 31
Para ξ > 0,707, tem-se M r = 1. B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil Quando ξ 0, temos M r. Isso é crítico em termos de estabilidade. O ângulo de fase de G(jω) na frequência em que ocorre o pico de ressonância é dado por φ(ω r ) = G(jω) ω=ωr = arctan ( ) 1 2ξ 2 ξ 26 of 31
Perceba no gráfico indicado os valores ω r, M r (igual a M pw ), e ω B. 27 of 31
Largura de banda Observe no gráfico da pagina anterior o valor denotado por ω B. Esse indica a largura de banda (bandwidth), que em termos práticos indica uma medida do quanto o sistema (saída) consegue reproduzir o sinal de entrada. Largura de banda (bandwidth) é a frequência ω B na qual a amplitude decresce 3 db em relação a amplitude de baixa frequência. Para uma função de transferência de 2a. ordem G(s) = ω 2 n s 2 +2ξω n s +ω 2 n temos que ω B é dado por ω B ω n = 1.19ξ+1.85, (0.3 ξ 0.8) 28 of 31
Projeto frequencial de sistema de segunda ordem Homework Considere G(s) = 2 s 2 +1s +2 Suponha que G(s) acima é excitada com entrada senoidal u(t) = 2sen(ω r t). (a) Determine a frequência de ressonância ω r. (a) Determine a saída y(t) correspondente. (c) Determine a largura de banda ω B. 29 of 31
Projeto frequencial de sistema de segunda ordem Exemplo Considere ω 2 n G(s) = s 2 +2ξω n s +ωn 2 Determine ω n, a frequência e pico de ressonância, para ξ = 0.52 e largura de banda de 1 Hertz. Solução: Note que ω B = 2π 1 = 6.28 rad/s. Usando ξ = 0.52 na fórmula ω B ω n = 1.19ξ+1.85 obtemos ω n = 5.11 rad/s. Agora usamos M r = 1 2ξ 1 ξ 2 ω r = ω n 1 2ξ 2 para obter os valores M r = 1.15 e ω r = 3.46 rad/s. 30 of 31
Dica de atividades Dica Fazer os Exercícios apresentados no Cap. 8 do livro Sistemas de Controle Modernos - Richard C. Dorf, Robert H. Bishop. 31 of 31