Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem. 06/7 - LEAN, MEMat, MEQ FICHA 8 - SOLUÇÕES Regra de Cauchy. Estudo de funções.. a) 0; b) ln ; c) ln ; d) + ; e) ; f) ; g) 0; h) ; i) 0; j) ; k) + ; l) 0; p) ; q) a /b ; r) 0; s) ; t) 0; u) 0; v) /; w) + ; x) 0; y) ; z).. a) ; b) ; c) ; d) ; e) e; f) /e; g) e ; h) ; i) e; j) ; k) ; l) ; m) e ; n) e ; o) ; p) ; q); r) ; s) e ; t) ; u).. a) Aplicar a Regra de Cauchy para p =, e para calcular x p+ (p + )x p lim = lim = (p + ) 0 = 0, por hipótese de indução. x + e x x + e x b) como a) c) como a), notando que lim x 0 + x (ln x) p = lim x 0 + (ln x) p x. 4. lim x 0 + (sen x) x = e 0 = (é uma indeterminação do tipo 0 0 - transforme numa exponencial e use a Regra de Cauchy). Pela definição de limite segundo Heine, como 0, temos agora n lim n sen ( n = lim sen ) n n = lim x 0 + (sen x)x =. 5. a) Temos f () = e a a tangente ao gráfico no ponto é a recta b) a = π ; b =. c) Temos y = f() + f ()(x ) = π 4 (x ) = π 4 + x. { se x 0 f se x > 0 x + Para ver se f é de classe C, ou seja, se f é contínua: temos que f é contínua em R \ {0} (justifique). No ponto 0: lim f lim x 0 + x 0 + x + = = f (0). Logo f é contínua em 0 e portanto é de classe C.
d) f é decrescente em R, não tem extremos. e) lim x + f 0; lim x f +. O contradomínio é R + (justifique). x 6. a) lim x + f, lim x + f lim x + = 0. e +x b) f é diferenciável em R \ 0 com derivada dada por ( f ln ( x ) ) x = se < x < 0, x (x e x ) = e x (x x ) se x > 0. Temos f e(0) = 0 = f d (0), logo f é diferenciável em 0, com f (0) = 0. c) f é crescente em ], 0[ e em ]0, [, decrescente em ], + [, já que para < x < 0 temos f (x) > 0 e para x > 0, f e x x( x ) = 0 x = ± logo tem um zero em e como f muda de sinal, é ponto de extremo, um máximo. d) CD f =], f()] (justifique). e) f d (0) = lim f (x) f (0) x 0 + x f e (0) = lim x 0 + f (x) f (0) x = lim x 0 + e x ( x ) = e, = lim x 0 + 7. f : R R definida por f x e x. x =. a) lim x + f lim x f 0 (note que a função é par). b) Temos f d (0) = f e(0) = e f não é diferenciável em 0. O domínio de diferenciabilidade de f é R \ {0} e ) (xe x f = e x ( x ), se x > 0, ) ( xe x = e x (x ) se x < 0. c) f é crescente em [0, ] e decrescente em [, + [. f é crescente em ], ] e decrescente em [, 0]. e são pontos de máximo, absolutos uma vez que f( ) = f(). 0 é ponto de mínimo, absoluto uma vez que f(0) = 0 e f(x) > 0, para x 0. d) CD f = [0, e ].
8. f x + arctg x. a) lim x f, lim x + f +, b) f d (0) = f e(0) =, logo f não é diferenciável em 0. O domínio de diferenciabilidade é R \ {0}. Temos { f +, se x > 0, +x, se x < 0. +x c) f é crescente em ]0, + [. e f é decrescente em ], 0[, é ponto de máximo, relativo uma vez que lim x + f +. 0 é ponto de mínimo, de novo relativo uma vez que lim x f. d) f(], 0]) = ], + π ]. 9. a) ϕ f (sen x) cos x, logo os possíveis extremos encontram-se em cos x = 0 ou f (sen x) = 0 sen x = 0 (já que f é estritamente crescente, logo só tem um zero). Do sinal de ϕ vemos que: cos x = 0: máximos locais, sen x = 0: mínimos locais. b) Tem infinitas soluções (T. Rolle aplicado a ϕ ). 0. Em + : y = mx + b é assíntota ao gráfico de f se m = f(x) lim x + x = lim x + arctg x x + x arctg x = + lim x + x b = lim f(x) mx = lim arctg x = π x + x +. Logo y = x+ π é assíntota à direita. Da mesma forma se vê que y = x π é assíntota à esquerda. A função é crescente em R, com f + > 0, e não tem pontos de extremo. + x Como f x, o gráfico de f tem concavidade para cima em ], 0[ e (+x ) para baixo em ]0, + [, sendo 0 um ponto de inflexão. (Esboce o gráfico, notando que x π < f(x) < x + π, ou seja, o gráfico está entre as assíntotas.). f x + ln(x + ) ln(x ), x > Temos que f é vezes diferenciável em ], + [ e f + x + x = x 5 (x ) f (x + ) + (x ) = 4x (x + ) (x ). =,
Monotonia, extremos: Como x > 0 para x >, temos que f (x) > 0 (x > 5 x < 5) x > x > 5, logo f é decrescente em ], 5[ e crescente em ] 5, + [, sendo 5 um ponto de mínimo, absoluto (f é contínua). Concavidades e pontos de inflexão: Temos f (x) > 0 para x >, logo f tem concavidade para cima no domínio, não existem pontos de inflexão. Assíntotas e contradomínio: Como lim x + f +, existe uma assíntota vertical à direita em x =. Assíntota oblíqua: f(x) lim x + x lim f(x) x x + = = + lim ln(x + ) x + x lim ln x + logo y = x é assíntota oblíqua à direita. Temos CD f = [f( 5), + [ (justifique). ( x + x ln(x ) = x, ) = ln() = 0, f x + ln(x + ) ln(x ). a) f x + x, D f = R \ {0} Temos f x, f 6 x 4. 4
f crescente em ], 0[ e em ], + [, decrescente em ]0, [, ponto de mínimo relativo em ; concavidade para cima no domínio; assíntota vertical à direita e esquerda em x = 0 já que lim x 0 f +, assíntota oblíqua à direita e à esquerda y = x; CD f = R. b) f (x )(x ), D f = R \ {, }. Temos f 4 x (x ) (x ), f (x 4x + 5) (x ) (x ). f crescente em ], [ e em ], [, decrescente em ], [ e em ], + [, ponto de máximo relativo em x = ; concavidade para cima em ], [ e em ], + [, concavidade para baixo em ], [, não há pontos de inflexão ; assíntota vertical à direita e esquerda em x = e x =, assíntota horizontal y = 0 à direita e esquerda; CD f =], ] ]0, + [. c) f x 4 x 9, D f = R \ {±}, f par. Temos f 0x (x 9), f 0(x + ) (x 9). f crescente em ], [ e em ], 0[, decrescente em ]0, [ e em ], + [, ponto de máximo relativo em x = 0; concavidade para cima em ], [ e em ], + [, concavidade para baixo em ], [, não há pontos de inflexão ; assíntota vertical à direita e esquerda em x = e x =, assíntota horizontal y = à direita e esquerda; CD f =], 4/9] ], + [. d) f x x, D f = R \ {±}, f par. Temos f ( x), se x > 0 f ( x), se x > 0 ( + x), se x < 0,, se x < 0, ( + x) f não é diferenciável em 0: f d (0) =, f e(0) =. f decrescente em ], [ e em ], 0[, crescente em ]0, [ e em ], + [, ponto de mínimo relativo em x = 0 (f é contínua e f muda de sinal); concavidade para baixo em ], [ e em ], + [, concavidade para cima em ], 0 e ]0, [, não há pontos de inflexão; assíntota vertical à direita e esquerda em x = e x =, assíntota horizontal y = à direita e esquerda; CD f =], [ [0, + [. e) f x e x, D f = R. Temos f x( x)e x, f (x 4x + )e x. f decrescente em ], 0[ e em ], + [, crescente em ]0, [, ponto de máximo relativo em e de mínimo absoluto em x = 0; concavidade para cima em ], [ e em ] +, + [, para baixo em ], + [, inflexões em ± ; assíntota horizontal y = 0 à direita; CD f = [0, + [. 5
f) f xe /x, D f = R \ {0}. Temos f e /x x x, f e/x x. f crescente em ], 0[ e em ], + [, decrescente em ]0, [, ponto de mínimo relativo em x = ; concavidade para cima em ], 0[, para baixo em ]0, +, não há pontos de inflexão; assíntota vertical x = 0 à direita (à esquerda: lim x 0 f 0), assíntota oblíqua à direita e à esuqerda y = x + ; CD f =], 0[ [e, + [. g) f ex+ x +, D f = R \ { }. Temos f ex+ (x + ), f ex+ (x + x + ). (x + ) (x + ) f decrescente em ], [ e em ], [, crescente em ], + [, ponto de minimo relativo em x = ; concavidade para cima em ], + [, para baixo em ], [; assíntota vertical x = à direita e à esquerda, assíntota horizontal y = 0 à esquerda; CD f =], 0[ [, + [. x h) f + ln x, D f = R + \ {/e}. Temos f ln x ( + ln x), f ln x x( + ln x). f decrescente em ]0, /e[ e em ]/e, [, crescente em ], + [, ponto de minimo relativo em x = ; concavidade para cima em ]/e, e[, para baixo em ]0, /e[ e em ]e, + [, inflexão em x = e; assíntota vertical x = /e à direita e à esquerda; CD f =], 0[ [, + [. ( ) x i) f arctg, D f = R \ {}. x Temos f (x ) + x, f (x ) ((x ) + x ) f decrescente em ], [ e em ], + [, não tem extremos; concavidade para cima em ]/, [ e em ], + [, para baixo em ], /[, ponto de inflexão em x = /; não tem assíntotas verticais (lim x = π/, lim x + = π/), assíntota horizontal y = π/4 à direita e à esquerda; CD f =] π/, π/[\{π/4}. j) f x + arctg x, D f = R \ {0}, f ímpar. Temos f x x +, f 4x (x + ). f decrescente em ]0, [ e em ], 0[, crescente em ], [ e em ], + [, pontos de minimo relativo em x = e de máximo relativo em x = ; concavidade para cima em ]0, + [, para baixo em ], 0[; assíntota oblíqua y = x à direita e à esquerda, não há assíntotas verticais (f(0 + ) = π, f(0 ) = π); CD f = ], π/] [ + π/, + [. 6
Ex.6.a) -.a) f x + x -4 - - - 0 4 5 6 - - -.b) f (x )(x ) 5,5-5 -,5 0,5 5 -,5-5.c) f x 4 x 9 5-4 - - - 0 4 5 - - -.d) f x x 7
- - - 0 4 5 4 - -.e) f x e x 0 5-5 -0-5 0 5 0 5-5 -0.f) f xe /x -5-4 - - - 0 4 5 - - 4 -.g) f ex+ x + -,5 - -0,5 0 0,5,5,5,5 4 - -.h) f x + ln x 8
5-4 - - - 0 4 5 - - - ( ) x.i) f arctg x 5,5-5 -,5 0,5 5 -,5-5.j) f x + arctg x. f arctg ( x ), x 0. a) f(0) = lim x 0 f π, lim x ± f 0 (f é par). b) f x x 4 +, x 0, e f (0) = 0, f () =, f(0) = π, f() = π logo, a recta 4 tangente em x = 0 é y = π, em x = é y = π (x ). 4 c) f é crescente em ], 0[ e decrescente em ]0, + [, tem um ponto de máximo em x = 0, absoluto (f é contínua em R). f (x4 ) (x 4 + ), concavidade para cima em ], / 4 [ e em ]/ 4, + [, concavidade para baixo em ] / 4, / 4 [, inflexões em ±/ 4. Assíntota horizontal y = 0 à direita e à esquerda. d) Contradomínio: CD f =]0, π/]. 9
-4 - - - 0 4 ( ) + x 4. f arctg, x 0, e f(0) = π x. a) f é contínua em R (justifique), lim x ± = ±π/4., se x > 0, b) f x + ( + x), se x < 0, x + ( + x) f d (0) = f e(0) = logo f não é diferenciável em 0. - - f arctg ( x ) c) f é crescente em R e decrescente em R +, tem ponto de máximo em x = 0 (é contínua e f muda de sinal), absoluto. (x + ), se x > 0, f (x + ( + x) ) (x + ), se x < 0, (x + ( + x) ) Concavidade para cima em R + e em ], [, concavidade para baixo em ], 0[, pontos de inflexão em x = e x = 0. Assíntotas horizontais em y = π 4 à direita e em y = π 4 à esquerda. d) Contradomínio: CD f =] π/4, π/].,5 0,5 -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5,5-0,5 - ( ) + x f arctg x 0