Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos

Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos Wamberto J. L. Queiroz Universidade Federal de Campina Grande-UFCG Departamento de Engenharia Elétrica Processos Estocásticos Campina Grande - PB Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.1/55

Processo Aleatório da Produção da Voz Humana Representação do trato vocal Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.2/55

Processo Aleatório da Produção da Voz Humana A produção da voz inicia com a emissão do ar pelos pulmões, com ajuda do diafragma Quando o ar atinge as cordas vocais provoca sua vibração, dando origem aos sons, que são amplificados pela faringe, laringe e boca Conforme a quantidade de ar, as cordas vocais vibram mais ou menos vezes e isso determina se a voz será aguda ou grave Nos tons graves as cordas vibram em média 80 vezes por segundo, enquanto nos tons agudos podem vibras até 1000 vezes por segundo Quando o som sai da boca ele encontra moléculas de ar e as faz vibrar em torno de seu ponto de equilíbrio Quando essas moléculas se chocam umas com as outras, transmitem seus modos de vibração, dando origem à propagação do som Essas moléculas vibrantes alcançam os ouvidos e fazem as células ciliadas vibrarem Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.3/55

Processo Aleatório da Produção da Voz Humana Quando uma mesma palavra ou frase é pronunciada repetidas vezes por uma pessoa, não há como garantir que o fluxo de ar emitido pelos pulmões seja exatamente o mesmo em todas as pronúncias Não há como garantir que as cordas vocais vibrem exatamente com a mesma frequência em cada pronúncia Não há como garantir que exatamente a mesma quantidade de moléculas seja afetada pelo ar que sai da boca em cada pronúncia Não há como garantir que exatamente a mesma quantidade de moléculas alcance as células ciliadas do ouvido ou a membrana de um microfone À cada pronúncia de uma mesma palavra ou frase, um sinal com características elétricas diferentes alcança o cérebro ou um microfone Esses diferentes sinais formam um processo aleatório Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.4/55

Amostra de Sinal de Voz Função amostra do sinal de voz da pronúncia de Análise de sinais 0.2 Intensidade do sinal de voz da sequência "Análise de Sinais" 0.15 0.1 0.05 s 1 (t) 0 0.05 0.1 0.15 0 2 4 6 8 10 12 Número de amostras em 2.22 s ( Frequência de amostragem 48KHz) x 10 4 Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.5/55

Exemplos de Processos Estocásticos Processos definidos em tempo discreto que tomam valores discretos Após o lançamento, a face superior de um dado é observada em instantes discretos e igualmente espaçados. Após o lançamento, a face superior de uma moeda é observada em instantes discretos e igualmente espaçados. Em um experimento, fótons são lançados em direção a um anteparo contendo dois orifícios. Os fótons escolhem aleatoriamente um dos anteparos à cada minuto em que o feixe é disparado. Um detector no anteparo mostra quantos fótons se chocaram. Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.6/55

Ex1: Processos definidos em tempo discreto que tomam valores discretos Ao resultado s 1 de um experimento E é associado o sinal X[n, s 1 ] X[n, s 1 ] +k +m n m k n 1 n 2 Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.7/55

Ex1: Processos definidos em tempo discreto que tomam valores discretos Ao resultado s 6 de um experimento E é associado o sinal X[n, s 6 ] X[t, s 6 ] +k +m n m k n 1 n 2 Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.12/55

Processos Definidos em Tempo Discreto que Tomam valores Discretos Definição I Conjunto formado por sinais associados aleatoriamente aos resultados s do espaço amostral de um experimento E, de acordo com a probabilidade de ocorrência de s. Os sinais desse conjunto são definidos em tempo discreto e tomam valores discretos. Definição II Variável aleatória discreta X indexada por um indexador n que toma valores em um conjunto enumerável I. Notação X[n] = {X[n, s], n I} I é um conjunto enumerável Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.13/55

Observações 1. Para s fixo em s k, o sinal X[n, s k ] possível de ser associado é chamado de realização do processo aleatório 2. Para n fixo em n k, é associado ao resultado do experimento o valor que o sinal toma no instante n k. Tem-se assim o resultado de um experimento associado a um valor. Essa associação, na Teoria de Probabilidade, é chamada de Variável Aleatória. 3. Em um instante discreto qualquer n a variável aleatória discreta X[n, s] é caracterizada por uma distribuição de probabilidades. Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.14/55

Exemplos de Processos Estocásticos Processos definidos em tempo contínuo que tomam valores discretos Em um banco é contado e registrado, após o decorrer de cada hora, o número tótal de usuários que acessaram um determinado caixa eletrônico. Em uma rede local, a quantidade de pacotes de dados que chegam ou deixam um determinado reteador é contada e registrada ao final de cada intervalo de uma hora. Um sinal de telecomunicações é formado por uma sequência de pulsos retangulares de duração fixa e amplitude aleatória que pode tomar apenas uma quantidade limitada de valores Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.15/55

Ex2: Processos definidos em tempo contínuo que tomam valores discretos Ao resultado s 1 de um experimento E é associado o sinal X(t, s 1 ) X(t, s 1 ) t t 1 t 2 Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.16/55

E2: Processos definidos em tempo contínuo que tomam valores discretos Ao resultado s 3 de um experimento E é associado o sinal X(t, s 3 ) X(t, s 3 ) t t 1 t 2 Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.18/55

Processos Definidos em Tempo Contínuo que Tomam Valores Discretos Definição I Conjunto formado por sinais associados aleatoriamente aos resultados s do espaço amostral de um exprerimento E, de acordo com a probabilidade de ocorrência de s. Os sinais desse conjunto são definidos em tempo contínuo e tomam valores discretos. Definição II Variável aleatória discreta X indexada por um indexador t que toma valores em um conjunto não enumerável I. Notação X(t) = {X(t, s), t I} I é um conjunto não enumerável Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.22/55

Observações 1. Para s fixo em s k, o sinal possível de ser associado é chamado de realização do processo aleatório 2. Para t fixo em t k, é associado ao resultado do experimento não mais um sinal e sim um valor aleatório que o sinal toma no instante t. Tem-se assim o resultado de um experimento associado a um valor. Essa associação, na Teoria de Probabilidade, é chamada de Variável Aleatória. 3. Em um instante qualquer t k a variável aleatória discreta X(t k, s) é caracterizada por uma distribuição de probabilidades. Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.23/55

Exemplos de Processos Estocásticos Processos definidos em tempo discreto que tomam valores contínuos Amostras de um sinal são tomadas em instantes aleatórios e formam uma sequência Os níveis de luminância (variação de brilho) de uma imagem são observados em coordenadas espaciais fixas e variam aleatóriamente de acordo com a distribuição espacial do ruído na imagem Em um laboratório de física um sensor registra, de hora em hora, a intensidade dos impulsos causados por sobrecargas elétricas em uma linha de transmissão. Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.24/55

Ex3: Processos definidos em tempo discreto que tomam valores contínuos Ao resultado s 1 de um experimento E é associado o sinal X[n, s 1 ] X[n, s 1 ] n n 1 n 2 Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.25/55

Ex3: Processos definidos em tempo discreto que tomam Valores contínuos Ao resultado s 2 de um experimento E é associado o sinal X[n, s 2 ] X[n, s 2 ] n n 1 n 2 Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.26/55

Processos Definidos em Tempo Discreto que Tomam Valores Contínuos Definição I Conjunto formado por sinais associados aleatoriamente aos resultados s do espaço amostral de um experimento E, de acordo com as probabilidades de ocorrência de s. Os sinais desse conjunto são definidos em tempo discreto e tomam valores contínuos. Definição II Variável aleatória contínua X indexada por um indexador n que toma valores em um conjunto enumerável I. Notação X[n] = {X[n, s], n I} I é um conjunto enumerável Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.31/55

Observações 1. Para s fixo em s k, o sinal possível de ser associado é chamado de realização do processo aleatório 2. Para n fixo em n k, é associado ao resultado do experimento o valor que o sinal toma no instante n k. Tem-se assim o resultado de um experimento associado a um valor. Essa associação, na Teoria de Probabilidade, é chamada de Variável Aleatória. 3. Em um instante discreto qualquer n k a variável aleatória contínua X(n k, s) é caracterizada por uma função cumulativa de probabilidade. Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.32/55

Exemplos de Processos Estocásticos Processos definidos em tempo contínuo que tomam valores contínuos Sinal ruidoso que se adiciona a um sinal captado em uma antena Sinal elétrico de voz captado pelo microfone de um determinado locutor Variações aleatórias verificadas na intensidade de um sinal transmitido por um canal de comunicações sem fio Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.33/55

Ex4: Processos definidos em tempo contínuo que tomam valores contínuos Ao resultado s 1 de um experimento E é associado o sinal X(t, s 1 ) X(t, s 1 ) t t 1 t 2 Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.34/55

Processos Definidos em Tempo Contínuo que Tomam Valores Contínuos Definição I Conjunto formado por sinais associados aleatoriamente aos resultados s do espaço amostral de um experimento E, de acordo com as probabilidades de ocorrência de s. Os sinais desse conjunto são definidos em tempo contínuo e tomam valores contínuos. Definição II Variável aleatória contínua X indexada por um indexador t que toma valores em um conjunto não enumerável I. Notação X(t) = {X(t, s), t I} I é um conjunto não enumerável Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.40/55

Observações 1. Cada s fixo em s k, o sinal possível de ser associado é chamado de realização do processo aleatório 2. Para t fixo em t k, é associado ao resultado do experimento não mais um sinal e sim o valor que o sinal toma em t k. Tem-se assim o resultado de um experimento associado a um valor. Essa associação, na Teoria de Probabilidade, é chamada de Variável Aleatória. 3. Em um instante qualquer t k a variável aleatória contínua X(t k, s) é caracterizada por uma função cumulativa de probabilidade. Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.41/55

Estatísticas dos Processos Contínuos de Primeira Ordem A Função Cumulativa de Probabilidade - FCP Processos definidos em tempo discreto Se X[n] é um processo contínuo definido em tempo discreto, a Função Cumulativa de Probabilidade de Primeira Ordem da variável aleatória obtida para n fixo é dada por F X[n] (x) = Prob{X[n] x}. Processos definidos em tempo contínuo Se X(t) é um processo contínuo definido em tempo contínuo, a Função Cumulativa de Probabilidade de Primeira Ordem da variável aleatória obtida para t fixo é dada por F X(t) (x) = Prob{X(t) x}. Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.42/55

Estatísticas dos Processos Contínuos de Primeira Ordem A Função Densidade de Probabilidade - fdp Processos definidos em tempo discreto Em um instante fixo n, um processo estocástico contínuo X[n] é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade de primeira ordem dada por f X[n] (x) = F X[n](x). x Processos definidos em tempo contínuo Em um instante fixo t, um processo estocástico contínuo X(t) é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade de primeira ordem dada por f X(t) (x) = F X(t)(x) x. Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.43/55

FDP de um Processo Contínuo de Primeira Ordem f X(t) (x) R xo f X(t)(x)dx x o x Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.44/55

Estatísticas dos Processos Contínuos de Primeira Ordem A Função Densidade de Probabilidade - fdp Ex5: Seja Θ uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [ π, π], calcule a fdp do processo Ex6: Ex7: X(t) = cos(ω o t + Θ). Seja X(t) um processo aleatório definido em tempo contínuo que toma valores contínuos. Calcule a fdp do processo aleatório Y (t) = X 2 (t). Sejam X(t) e Y (t) processos aleatórios definidos em tempo contínuos que tomam valores contínuos. Calcule a fdp do processo aleatório Z(t) = X(t)Y (t). Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.45/55

Estatísticas dos Processos Contínuos de Segunda Ordem A Função Cumulativa de Probabilidade - FCP Processos definidos em tempo discreto Em um processo contínuo, definido em tempo discreto, se X 1 = X[n 1, s] e X 2 = X[n 2, s], então a Função Cumulativa de Probabilidade de Segunda Ordem é dada por F X[n1 ],X[n 2 ](x 1, x 2 ) = F X1,X 2 (x 1, x 2 ) = Prob{X 1 x 1, X 2 x 2 }. Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.46/55

Estatísticas dos Processos Contínuos de Segunda Ordem A Função Cumulativa de Probabilidade - FCP Processos definidos em tempo contínuo Em um processo contínuo, definido em tempo contínuo, se X 1 = X(t 1, s) e X 2 = X(t 2, s), então a Função Cumulativa de Probabilidade de Segunda Ordem é dada por F X(t1 ),X(t 2 )(x 1, x 2 ) = F X1,X 2 (x 1, x 2 ) = Prob{X 1 x 1, X 2 x 2 }. Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.47/55

Estatísticas dos Processos Contínuos de Segunda Ordem A Função Densidade de Probabilidade - fdp Processos definidos em tempo discreto Em um processo contínuo, definido em tempo discreto, se X 1 = X[n 1, s] e X 2 = X[n 2, s], então a Função Densidade de Probabilidade de Segunda Ordem é dada por f X[n1 ],X[n 2 ](x 1, x 2 ) = f X1,X 2 (x 1, x 2 ) = 2 F X1,X 2 (x 1, x 2 ) x 1 x 2. Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.48/55

Estatísticas dos Processos Contínuos de Segunda Ordem A Função Densidade de Probabilidade - fdp Processos definidos em tempo contínuo Em um processo contínuo, definido em tempo contínuo, se X 1 = X(t 1, s) e X 2 = X(t 2, s), então a Função Densidade de Probabilidade de Segunda Ordem é dada por f X(t1 ),X(t 2 )(x 1, x 2 ) = f X1,X 2 (x 1, x 2 ) = 2 F X1,X 2 (x 1, x 2 ) x 1 x 2. Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.49/55

Estatísticas dos Processos Contínuos de Segunda Ordem Ex8: Se Z(t) = ax(t) + by (t), calcule Prob{aX(t) + by (t) z} f X(t),Y (t) (x, y) y x ax + by = z ax + by < z Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.50/55

Estatísticas dos Processos Contínuos de m-ésima Ordem A Função Cumulativa de Probabilidade - FCP Processos definidos em tempo discreto Em um processo contínuo, definido em tempo discreto, se X 1 = X[n 1, s], X 2 = X[n 2, s], X m = X[n m, s], então a Função Cumulativa de Probabilidade de m-ésima Ordem é dada por F X[n1 ],X[n 2 ],,X[n m ](x 1, x 2,, x m ) = F X1,X 2,,X m (x 1, x 2, x m ) = Prob{X 1 x 1, X 2 x 2,, X m x m } Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.51/55

Estatísticas dos Processos Contínuos de m-ésima Ordem A Função Cumulativa de Probabilidade - FCP Processos definidos em tempo contínuo Em um processo contínuo, definido em tempo contínuo, se X 1 = X(t 1, s), X 2 = X(t 2, s), X m = X(t m, s), então a Função Cumulativa de Probabilidade de m-ésima Ordem é dada por F X(t1 ),X(t 2 ),,X(t m )(x 1, x 2,, x m ) = F X1,X 2,,X m (x 1, x 2, x m ) = Prob{X 1 x 1, X 2 x 2,, X m x m } Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.52/55

Estatísticas dos Processos Discretos de Primeira Ordem A Distribuição de Probabilidade Processos definidos em tempo discreto Se X[n] é um processo discreto definido em tempo discreto, então a variável aleatória obtida para n fixo tem distribuição de probabilidade de primeira ordem dada por Prob{X[n] = k} = p X (k) Processos definidos em tempo contínuo Se X(t) é um processo discreto definido em tempo contínuo, então a variável aleatória obtida para t fixo tem distribuição de probabilidade de primeira ordem dada por Prob{X(t) = k} = p X (k) Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.53/55

Estatísticas dos Processos Discretos de m-ésima Ordem A Distribuição de Probabilidade Processos definidos em tempo discreto Se X[n] é um processo discreto definido em tempo discreto, as variáveis obtidas para n 1, n 2,, n l fixos têm distribuição conjunta dada por Prob{X[n 1 ] = k 1, X[n 2 ] = k 2,, X[n l ] = k l } = p X1,X 2,,X l (k 1, k 2,, k l ) Processos definidos em tempo contínuo Se X(t) é um processo discreto definido em tempo contínuo, as variáveis obtidas para t 1, t 2,, t l fixos têm distribuição conjunta dada por Prob{X(t 1 ) = k 1, X(t 2 ) = k 2,, X(t l ) = k l } = p X1,X 2,,X l (k 1, k 2,, k l ) Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.54/55

Estatísticas dos Processos Discretos de m-ésima Ordem Ex9: Seja ζ um número selecionado aleatoriamente no intervalo S = [0, 1] e seja b 1, b 2,, a expansão binária de ζ, ζ = b i 2 i, b i {0, 1}. i=1 Defina o processo aleatório discreto definido em tempo discreto X[n, ζ] = b n, n = 1, 2, Forneça a distribuição conjunta de probabilidades de X[1] e X[2]. Módulo I: Introdução a Processos Estocásticos p.55/55