Equações do Movimento

Equações do Movimento João Oliveira Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial 1 Ângulos de Euler 1.1 Referenciais Referenciais: fixo na Terra e do avião (Ox E y E z E ) : referencial «inercial», fixo na Terra; (supõe-se Terra plana e g vertical, segundo z E ) F B (Cxyz) : referencial com origem no centro de massa da aeronave e que se move solidário com ela; Definições Podemos usar referenciais diferentes para medir/definir o vector e para escrever as suas componentes. V a b o expoente a identifica o referencial relativamente ao qual medimos o vector o índice b identifica o referencial no qual escrevemos as componentes do vector 1

Exemplos Velocidade relativamente à Terra: V E V E E = (ẋ E, ẏ E, ż E ) V B E = (u E, v E, w E ) «Airspeed»: V B = (u, v, w) Note-se que, se o vento tiver velocidade W, V E = V + W 1.2 Definição dos Ângulos de Euler Orientação relativa dos referenciais Orientação relativa dos dois referenciais ( fixo na Terra e F B solidário com o avião): Muitas definições possíveis. Em Aeronáutica: guinada (yaw), picada/cabragem (pitch), Ângulos de Euler pranchamento ou rolamento (bank, roll). Ângulos de Euler: ângulo de guinada ψ 2

Ângulos de Euler: ângulo de picada/cabragem θ Ângulos de Euler: ângulo de pranchamento φ 1.3 Matrizes de rotação Matrizes de rotação z Rotação em torno do eixo Ox: L x (α) = 1 0 0 0 cos α sin α 0 sin α cos α α α y x z Rotação em torno do eixo Oy: β cos β 0 sin β L y (β) = 0 1 0 sin β 0 cos β x β y 3

z Rotação em torno do eixo Oz: cos γ sin γ 0 L z (γ) = sin γ cos γ 0 0 0 1 γ γ y x Rotação: referencial Terra para referencial do avião Matriz de rotação do referencial fixo na Terra para o referencial fixo na aeronave F B : L BE = L x (φ) L y (θ) L z (ψ) Transformação de vectores: V B = L BE V E Rotação: referencial Terra para referencial do avião (2) Matriz de rotação do referencial fixo na Terra para o referencial fixo na aeronave F B : L BE = L x (φ) L y (θ) L z (ψ) = cos θ cos ψ cos θ sin ψ sin θ = sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ sin φ cos θ cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ cos φ cos θ Rotação: referencial Terra para referencial do avião (3) Exemplo Transformação do vector peso: (m g) E = (0, 0, mg) Para um vector qualquer: V B = L BE V E cos θ cos ψ cos θ sin ψ sin θ (m g) B = sin φsin θ cos ψ cos φsin ψ sin φsin θ sin ψ + cos φcos ψ sin φcos θ 0 0 cos φsin θ cos ψ + sin φsin ψ cos φsin θ sin ψ sin φcos ψ cos φcos θ mg mg sin θ = mg cos θ sin φ mg cos θ cos φ Rotação: referencial do avião para referencial Terra Matriz de rotação do referencial fixo na aeronave F B para o referencial fixo na Terra : L EB = L 1 BE = L z ( ψ) L y ( θ) L x ( φ) Transformação de vectores: V E = L EB V B 4

Rotação: referencial do avião para referencial Terra Matriz de rotação do referencial fixo na aeronave F B para o referencial fixo na Terra : L EB = L 1 BE = L z( ψ) L y ( θ) = cos θ cos ψ sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ = cos θ sin ψ sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ sin θ sin φ cos θ cos φ cos θ 1.4 Velocidades angulares Velocidade angular Nos eixos do corpo ω = p i B + q j B + r k B Por outro lado ω = ψ k 1B + θ j 2B + φ i 3B Mas, pela definição dos ângulos de Euler: i 3B = i B j 2B = cos φj B sin φk B k 1B = cos θ(sin φj B + cos φk B ) sin θi B Velocidade angular (2) ω = ψ k 1B + θ j 2B + φ i 3B i 3B = i B j 2B = cos φj B sin φk B k 1B = cos θ(sin φj B + cos φk B ) sin θi B ω = ψ k 1B + θ j 2B + φ i 3B = ψ[cos θ(sin φj B + cos φk B ) sin θi B ]+ θ[cos φj B sin φk B ] + φ i B = ( φ ψ sin θ) i B + ( ψ cos θ sin φ + θ cos φ) j B + + ( ψ cos θ cos φ θ sin φ) k B 5

Velocidade angular (3) Logo ( ω) B = p i B + q j B + r k B = ( φ ψ sin θ) i B + ( ψ cos θ sin φ + θ cos φ) j B + + ( ψ cos θ cos φ θ sin φ) k B p = φ ψ sin θ q = ψ cos θ sin φ + θ cos φ r = ψ cos θ cos φ θ sin φ 2 Equações de Euler 2.1 Equações do movimento Equações do movimento no referencial inercial Equação da dinâmica de translação: F = m dt ( V E ) Equação da dinâmica de rotação: M C = dt ( H C ) F: força resultante M C : momento resultante relativo ao CM do avião H C : momento angular relativamente ao CM do avião Equações do movimento no referencial do avião O referencial do avião é um referencial em rotação com velocidade angular ω. Equação da dinâmica de translação: ] ( F) B = m dt ( V E ) = m [( V E ) B + ( ω) B ( V E ) B Equação da dinâmica de rotação: ( M C ) B = dt ( H C ) [( H ] C ) B + ( ω) B ( H C ) B = 6

2.2 Forças aplicadas Forças aplicadas a uma aeronave Principais forças externas aplicadas: força gravítica: m( g) B forças aerodinâmicas: A força de propulsão: T Forças Força gravítica: m( g) B = mg ( sin θ i B + cos θ sin φ j B + cos θ cos φ k B ) Forças aerodinâmicas e de propulsão: ( A) B + ( T ) B = X i B + Y j B + Z k B Notas: X, Y e Z dependem das variáveis dinâmicas ( V e ω) considerar também forças de controlo 2.3 Equações do movimento no referencial do avião Equação da dinâmica de translação ] ( F) B = m dt ( V E ) = m [( V E ) B + ( ω) B ( V E ) B ( ω) B = p i B + q j B + r k B No referencial do avião: ( V E ) B = u E ib + v E jb + w E kb Logo X mg sin θ = m( u E + qw E r v E ) Y + mg cos θ sin φ = m( v E + r u E pw E ) Z + mg cos θ cos φ = m(ẇ E + pv E qu E ) 7

Equação da dinâmica de rotação Equação da dinâmica de rotação: ( M C ) B = dt ( H C ) = [( H ] C ) B + ( ω) B ( H C ) B ( M C ) B = L i B + M j B + N k B ; [( H C ) B ] = [I B ][( ω) B ] I xx I xy I xz Matriz de inércia: [I B ] = I xy I yy I yz I xz I yz I zz em que I xx = (y 2 + z 2 ) dm, I xy = xy dm, etc. etc. Equação da dinâmica de rotação (2) Depois de efectuadas todas as operações, obtém-se: L = I xx ṗ I yz (q 2 r 2 ) I zx (ṙ + pq) I xy ( q r p) (I yy I zz )qr M = I yy q I zx (r 2 p 2 ) I xy (ṗ + qr ) I yz (ṙ pq) (I zz I xx )r p N = I zz ṙ I xy (p 2 q 2 ) I yz ( q + r p) I zx (ṗ qr ) (I xx I yy )pq Resumo das equações do movimento X mg sin θ = m( u E + qw E r v E ) Y + mg cos θ sin φ = m( v E + r u E pw E ) Z + mg cos θ cos φ = m(ẇ E + pv E qu E ) L = I xx ṗ I yz (q 2 r 2 ) I zx (ṙ + pq) I xy ( q r p) (I yy I zz )qr M = I yy q I zx (r 2 p 2 ) I xy (ṗ + qr ) I yz (ṙ pq) (I zz I xx )r p N = I zz ṙ I xy (p 2 q 2 ) I yz ( q + r p) I zx (ṗ qr ) (I xx I yy )pq p = φ ψ sin θ q = ψ cos θ sin φ + θ cos φ r = ψ cos θ cos φ θ sin φ Resumo das equações do movimento Sistema de equações diferenciais 9 equações 9 incógnitas (u, v, w, p, q, r, ψ, θ, φ) 8

Sistema não linear Equações acopladas Simplificação: aeronave simétrica I xy = 0 = I yz 2.4 Flight Path Flight path A trajectória é determinada no referencial da Terra,. Mas V E E = (ẋ E, ẏ E, ż E ) V E B = (u E, v E, w E ) u E, v E e w E obtidos pelas equações do movimento [ V E E ] = [L EB ][ V E B ] Daqui obtém-se o sistema de equações para a trajectória. Flight path Sistema de equações diferenciais para as coordenadas: ẋ E = u E cos θ cos ψ + v E (sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ)+ w E (cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ) ẏ E = u E cos θ sin ψ + v E (sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ)+ w E (cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ) ż E = u E sin θ + v E sin φ cos θ + w E cos φ cos θ 3 Rotores em movimento Efeito de rotores Mesmo desprezando os efeitos de elasticidade, um avião não é um corpo rígido. Exemplo de partes em movimento: Hélices (motores a hélice) Turbinas e compressores (motores a jacto) Como introduzir o efeito dos rotores nas equações de Euler? 9

Equações de Euler quando há rotores Somamos [( H C ) B ] = [I B ][( ω) B ] + [ h B ] h B: momento angular dos rotores (devido ao seu movimento de rotação relativo ao avião). [I B ][( ω) B ]: momento angular do avião e usamos o novo momento angular na equação para a dinâmica de rotação: ( M C ) B = dt ( H C ) = [( H ] C ) B + ( ω) B ( H C ) B Equações de Euler quando há rotores Logo, aparecem os seguintes termos adicionais na equação dos momentos: Na equação segundo x: Na equação segundo y: Na equação segundo z: qh z r h y r h x ph z ph y qh x (Nota: admitimos que a velocidade angular dos rotores é constante) 4 Sistemas de eixos do corpo Sistemas de eixos Podemos usar qualquer sistema de eixos solidários com o corpo Na prática: xz no plano de simetria do avião Cx apontando «para a frente» Cz apontando «para baixo» Cy formando um triedro directo Ficam muitas possibilidades de escolha de Cx e Cz 10

Sistemas de eixos: Cx linha de sustentação nula Sistemas de eixos principais de inércia Vantagens: h x = I x p I xy = I xz = I yz = 0 h y = I y q h z = I z r Nota: γ: ângulo de subida (ou de rota) Sistemas de eixos de estabilidade (x S, y S, z S ) Eixo dos x segundo a direcção do vector velocidade. Vantagens: α x = 0 w = 0 11

Novos momentos e produtos de inércia: I xs = I xp cos 2 ɛ + I zp sin 2 ɛ I zs = I xp sin 2 ɛ + I zp cos 2 ɛ I xs z S = 1 2 (I z P I xp ) sin 2ɛ 12