MOVIMENTO ROTACIONAL DE SATÉLITES ARTIFICIAIS

Transcrição

1 MOVIMENTO ROTACIONAL DE SATÉLITES ARTIFICIAIS Maria Cecília Zanardi UNESP Campus de Guaratinguetá Departamento de Matemática Faculdade de Engenharia 1. INTRODUÇÃO O movimento de um satélite artificial apresenta dois aspectos dinâmicos distintos. O primeiro deles está associado com a trajetória do seu centro de massa, cujas leis básicas associadas ao movimento do problema de dois corpos são governadas pelas leis de Kepler. O movimento translacional de um satélite artificial é especificado pela sua posição e velocidade a cada instante, através dos elementos orbitais clássicos (semi-eixo maior e excentricidade da órbita, inclinação do plano orbital em relação ao plano do Equador da Terra, longitude do nodo ascendente da órbita, argumento do perigeu e anomalia verdadeira), sendo que a maioria das teorias desenvolvidas para corpos celestes são também aplicáveis para satélites. O segundo aspecto está associado com o movimento rotacional, o qual ocorre devido ao satélite possuir forma e tamanho finitos e que durante a sua trajetória pode executar movimento em torno de seu centro de massa. Este movimento é especificado pela orientação espacial e velocidade de rotação do satélite. Este trabalho está relacionado com à dinâmica do movimento rotacional do satélite, ou seja com sua orientação espacial em relação a um sistema de referência inercial, denominada de atitude. Todo veículo espacial carrega um complemento de instrumentos, os quais precisam ser posicionados e direcionados com muita precisão. A resposta desta carga útil depende fundamentalmente da atitude do satélite. Assim, a habilidade de se conhecer a atitude do satélite, bem como a de comandar uma atitude desejada são indispensáveis para o bom desempenho da 171

2 missão a que ele se destina. A análise da dinâmica de atitude de um satélite envolve abordagens de propagação, estimação e controle de atitude. Figura 1 Movimento translacional e rotacional de um satélite. A propagação de atitude é o processo utilizado para prever futuras orientações do veículo espacial através da integração das equações dinâmicas associadas ao movimento rotacional. Nas equações dinâmicas estão incluídos os torques ambientais atuantes sobre o satélite e a solução destas equações dependerá diretamente do procedimento utilizado para a integração (numérica ou analítica) destas equações. Durante a análise da missão de um veículo espacial é muito importante estimar a atitude do veículo a partir dos dados fornecidos pelos sensores a bordo. Este processo é chamado de determinação ou estimação de atitude e é utilizado tanto para manter em segurança a carga útil do satélite quanto para auxiliar no sistema de controle. Na Figura 2 está esquematizado o posicionamento de sensores solares na superfície do satélite. Figura 2 Posicionamento de dois sensores solares (Sun sensors) no corpo do satélite. O controle de atitude que está relacionado com a habilidade de se comandar uma atitude desejada, pode ser de dois tipos: ativo e passivo. O passivo se baseia na resposta natural do satélite aos torques ambientais para manter a atitude desejada, enquanto o controle ativo utiliza torques comandados para alcançar e manter a atitude requerida. Além disso, o controle pode resultar também, de uma combinação das duas formas anteriores. Dependendo das necessidades da missão, o controle de atitude pode necessitar de maior ou menor precisão para a atitude nominal. Na Figura 3 está esquematizado o posicionamento de sensores solares e jatos de propulsão. 172

3 Figura 3 Posicionamento de 2 jatos propulsores (jet exhaust) e 4 sensores solares (Sun sensors) no corpo do satélite. 2. REPRESENTAÇÃO DE ATITUDE : ÂNGULOS DE EU- LER A atitude expressa a relação entre dois sistemas de coordenadas, um sistema fixo no satélite (o qual acompanha o movimento rotacional deste) e outro sistema com a mesma origem do primeiro mas com eixos paralelos a um sistema de referência fixo (por exemplo o sistema equatorial terrestre) e dada pela matriz de rotação que transforma as coordenadas de um sistema do satélite nas coordenadas do outro sistema.. Se o satélite possui uma rotação em torno de um eixo então sua orientação ou atitude variam a cada instante. Assim a velocidade de rotação e a atitude estão relacionadas. Existem muitas maneiras de se representar a atitude tais como a matriz de rotação que relaciona os dois sistemas, o ângulo e o eixo de rotação que relacionam os dois sistemas ou ângulos de Euler. Discutiremos aqui os ângulos de Euler. Dados dois sistemas de referência S 1 (OXYZ- versores I, J, K)) e S 2 (Oxyz, versores i, j, k), consideremos que para passarmos de S 1 para S 2 sejam necessárias 3 rotações consecutivas em torno de 3 eixos coordenados. O conjunto destes 3 ângulos () é chamado de ângulos de Euler. A seqüência de ângulos de Euler mais utilizada na análise da dinâmica de atitude e órbita de satélites artificiais é a seqüência 3-1-3, representada na Figura 4: 1.) rotação em torno do eixo OZ; 2.) rotação em torno do eixo intermediário Ox, e 3.) rotação em torno do eixo Oz. Os componentes (x,y,z) e (X,Y,Z) de um vetor em cada um destes sistemas estão relacionadas através da matriz de rotação A (matriz mudança de base ou matriz dos cossenos diretores), isto é: ( xyz) t = A ( XY Z) t (1) 173

4 Figura 4 Ângulos de Euler seqüência 3-1-3: sistema S 1 (IJK) e sistema S 2 (ijk). sendo que t representa a transposta da matriz. Para a seqüência de ângulos de Euler 3-1-3, os elementos a ij da matriz de de rotação A são dados por: a 11 = cos cos sen cos sen a 12 = cos cos +sen cos sen a 13 = sen sen a 21 = sen cos cos cos sen a 22 = sen sen cos cos sen a 23 = cos sen a 31 = sen sen a 32 = sen cos a 33 = cos A variação com o tempo dos ângulos de Euler está diretamente relacionada com as componentes das velocidades de rotação do satélite e são dadas pelas equações cinemáticas do movimento, que para a seqüência de rotações são expressas por: d d d = (p sen + q cos ) / sen (2) = p sen q cos (3) = r (p sen + q cos )cot (4) onde p, q, r são os componentes da velocidade de rotação do satélite no sistema fixo no satélite S 2 (Oxyz). 174

5 3. EQUAÇÕES DINÂMICAS DO MOVIMENTO ROTACI- ONAL As equações dinâmicas ou equações d Euler do movimento rotacional apresentam uma relação entre os torques ambientais atuantes sobre o satélite e a variação da velocidade de rotação do satélite. Considerando um sistema de eixos fixo no satélite alinhados com os eixos principais de inércia (Oxyz, com O sendo o centro de massa do satélite), as equações dinâmicas do movimento do satélite são dadas por: A dp +(C B) qr = N x (5) B dq +(A C) pr = N y (6) C dr +(B A) pq = N z (7) onde: A, B, ec são os momentos principais de inércia do satélite e N x, N y,en z são as componentes dos torques externos atuantes sobre o satélite no sistema S 2 (Oxyz). Os torques atuantes dependem não só da posição em que o satélite se encontra como também de sua orientação no espaço. Assim as equações dinâmicas e as equações cinemáticas precisam ser integradas simultaneamente para se obter o comportamento temporal do satélite que represente o comportamento real do satélite no espaço. 4. Movimento Rotacional Livre de Torques Externos Quando os componentes dos torques externos não são incluídos nas equações do movimento rotacional é definido o movimento rotacional livre de torques externos (MRLTE) e neste caso tem-se L = M = N = 0. A solução analítica das equações dinâmicas e cinemáticas do MRLTE fornece uma visão geral do comportamento da atitude antes que os torques externos sejam considerados Equações Dinâmicas do MRLTE Se os torques externos não são considerados (movimento rotacional não perturbado), as equações dinâmicas do movimento rotacional não dependem dos ângulos de Euler e são dadas por: A dp B dq C dr +(C B) qr = 0 (8) +(A C) pr = 0 (9) +(B A) pq = 0 (10) Como a integração deste sistema só é possível pela utilização de integrais elípticas, considerase aqui o caso especial em que os momentos principais de inércia do satélite A e B são iguais, 175

6 ou seja o satélite possui uma simetria em torno do eixo z, de modo que as equações dinâmicas se tornam: A dp B dq +(C A) qr = 0 (11) +(A C) pr = 0 (12) C dr = 0 (13) Estas equações podem ser solucionadas em termos de funções trigonométricas simples. Em geral o satélite possui os momentos principais A e B próximos, de modo que as diferença (A B) é muito menor que as diferenças (C A) e (A C), de modo que a suposição anterior é útil para o entendimento do MRLTE do satélite. Em simulações mais realísticas, entretanto, estas equações precisam ser integradas numericamente. Das equações anteriores tem-se que o componente da velocidade de rotação no eixo Oz é constante, ou seja r = constante. Assim as duas primeiras equações podem ser colocadas na forma: com k = A C A r (14) dp kq = 0 (15) dq + kp = 0 (16) (17) Portanto as equações se reduzem à um sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem que podem ser transformadas em uma equação diferencial de segunda ordem em das variáveis, e cuja solução é dada por: p(t) = w p cos (kt + w 0 ) (18) q(t) = w p sen (kt + w 0 ) (19) sendo que w p e w 0 são constantes de integração e dependem das condições iniciais no instante inicial t 0 : p 0, q 0 e r 0, tal que: - w 0 é a fase do movimento dada por w 0 =arctan( q/p) kt 0 (20) - w p é a projeção da velocidade de rotação do satélite no plano principal de inércia xy, ou seja: (w p ) 2 = p 2 + q 2 =(p 0 ) 2 +(q 0 ) 2 (21) Assim os componentes p e q descrevem um movimento circular no plano xy, enquanto o vetor velocidade de rotação descreve um movimento cônico em torno do eixo de simetria do satélite. Este movimento pode ser denominado de PRECESSÃO do eixo de rotação. Um movimento similar ocorre com o movimento de um pião e com o eixo de rotação da Terra como esquematizado na Figura 5. Quando o satélite não é simétrico (momento de inércia A diferente do momento de inércia B), o componente da velocidade de rotação r não é mais constante e também possui uma variação 176

7 (a) (a) (b) (b) Figura 5 Movimento de PRECESSÃO do eixo de rotação de um pião (a) e da Terra (b). Figura 6 Movimento de precessão e nutação do exo de rotação da Terra. periódica, o que acarreta em um movimento do eixo de rotação denominado NUTAÇÃO. Este movimento também pode ser observado no movimento do pião e do eixo de rotação da Terra. O movimento de nutação do eixo de rotação da Terra está esquematizado na Figura 6. É importante observar que os movimentos de precessão e nutação ocorrem conjuntamente, de modo que a trajetória descrita pelo eixo de rotação do satélite é uma combinação destes dois movimentos, como pode ser observado na Figura Movimento de atitude de um satélite simétrico Após determinar a solução das equações dinâmicas, é necessário determinar o comportamento da atitude, ou seja o comportamento temporal dos ângulos de Euler, através da integração das equações cinemáticas. Sem perda de generalidade e por simplificação, definimos o sistema inercial S 1 com o eixo Z coincidindo com o eixo da quantidade de movimento angular de rotação L (como não é considerado o torque externo, este eixo permanece constante, uma vez que 177

8 Figura 7 Movimento de nutação e precessão do eixo de rotação do satélite. dl = T =0). Utilizando a matriz de rotação A e a definição da quantidade de movimento angular, os componentes de L no sistema de eixos principais tornam-se: L 1 = Ap = L sen sen (22) L 2 = Bq = L cos sen (23) L 3 = Cr = L cos (24) Considerando também o caso do satélite simétrico, com A = B, pra o qual r é constante, tem se que o ângulo é constante, visto que a quantidade de movimento angular de rotação permanece constante, uma vez que os torques externos não são considerados. Assim s equações cinemáticas se simplificam (pois d =0) e tornam se: p = d sen sen (25) q = d sen cos (26) r = d cos + d (27) Obtendo sen,cos, sen, cos em termos dos componentes da quantidade de moimento angular de rotação e substituindo nas equações acima, após várias manipulações algébricas tem se: com k = A C A r. d d = L A = h (28) = k (29) Portanto as taxas de variação dos ângulos de Euler são constantes. A solução para a atitude em termos dos ângulos de Euler é dada por: 178

9 = kt + 0 (30) = 0 (31) = kt + 0 (32) com 0, 0, 0 sendo as condições iniciais em t 0. Substituindo estes resultados nas componentes da quantidade de movimento angular de rotação L 1,L 2, L 3 tem se: L 1 = L sen (kt + 0 )sen 0 (33) L 2 = L cos (kt + 0 )sen 0 (34) L 3 = L cos 0 (35) Portanto, como o sistema de eixos principais de inércia do satélite acompanha o movimento de rotação do satélite, os componentes da quantidade de movimento angular de rotação nos eixos Ox e Oy variam periodicamente, apesar do vetor L se manter fixo no espaço. 5. Comentários finais O estudo do MRLTE aqui realizado é a base inicial para o entendimento do comportamento real do satélite, quando torques externos são introduzidos nas equações do movimento. Para realizar a integração das equações do movimento com os teorques externos, inicialmente é necessário fazer o modelamento dos diversos torques atuantes (torque aerodinâmico, torque de gradiente de gravidade, o torque de pressão de radiação solar, dentre outros). Como as equações não são lineares, o processo de integração se torna bastante complexo. Embora muitos destes torques sejam de pequena magnitude, eles não podem ser ignorados pois atuam sobre o satélite durante um período muito grande e sua influência pode alterar concretamente o comportamento da atitude. Existem muitos modelamentos para estes torques e diferentes abordagens analíticas e numéricas para a integração das equações do movimento rotacional de satélites artificiais, porém a análise do movimento rotacional de satélites artificiais continua a ser um amplo campo de pesquisa. 6. REFERÊNCIAS Pisacane, V. L.; Moore,. C. Fundamentals of Space Systems. Osford University Press Wertz, J. R spacraft Attiude determination and OCntrol. Kluwer Academic Publishers. 179

10 Zanardi, M. C. Fundamentos de Astronáutica. Apostila do Instituto Tecnológico de Aeronáutica. São José dos Campos SP Zanardi, M. C. Dinâmica de Satélites Artificiais. Tese de Livre docência. UNESP Campus de Guaratinguetá