ESTUDO DA ESTABILIDADE DO MOVIMENTO ROTACIONAL DE SATÉLITES ARTIFICIAIS COM VARIÁVEIS CANÔNICAS

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1 ESTUDO DA ESTABILIDADE DO MOVIMENTO ROTACIONAL DE SATÉLITES ARTIFICIAIS COM VARIÁVEIS CANÔNICAS W. R. Silva 1, M. C. Zanardi 2, R. E. S. Cabette 3, J. K. Formiga 4. 1 Faculdade de Engenharia UNESP Campus de Guaratinguetá, Guaratinguetá, Brasil, reis.william@gmail.com 2 Faculdade de Engenharia UNESP Campus de Guaratinguetá, Guaratinguetá, Brasil, cecília@feg.unesp.br 3 Centro de Controle de Satélites - INPE, São José dos Campos, Brasil, recabette@uol.com.br 4 Centro de Controle de Satélites - INPE, São José dos Campos, Brasil, jkennety@yahoo.com.br Resumo: Este trabalho tem como objetivo analisar a estabilidade do movimento rotacional de satélites artificiais em órbita circular com a influência do torque de gradiente de gravidade, usando as variáveis canônicas de Andoyer. O método utilizado requer a redução da Hamiltoniana em sua forma normal ao redor de seus pontos de equilíbrios. Tais pontos de equilíbrios são encontrados por meio das equações de movimento rotacional e logo em seguida é feito um estudo linear de sua estabilidade. Um processo semianalítico de normalização foi utilizado para obter a Hamiltoniana normal até a quarta ordem. Os coeficientes da Hamiltoniana são indispensáveis no estudo da estabilidade não linear do ponto de equilíbrio segundo as três condições do teorema de estabilidade utilizado. Este estudo é aplicado para satélites simétricos, utilizando características de dois satélites hipotéticos similares a de dois satélites reais. Como resultado foi obtido um número maior de pontos de equilíbrio em comparação com resultados de trabalhos anteriores. Em termos da determinação da forma normal e da análise da estabilidade, houve otimização no algoritmo para o processo de normalização e para os testes de estabilidade. Os resultados deste trabalho podem contribuir diretamente na manutenção da atitude de satélites artificiais, podendo gerar uma economia de combustível através de um menor número de manobras de atitude para manter a atitude desejada. aplicação de métodos de estabilidade de sistemas Hamiltonianos. As variáveis canônicas de Andoyer [1] são representadas pelos momentos generalizados (,, ) e pelas coordenadas generalizadas e estão esquematizadas na Fig. 1. As variáveis,, são ângulos relacionados com o sistema do satélite Oxyz (com eixos paralelos ao sistema de eixos principais de inércia do satélite) e o sistema equatorial OXYZ (com eixos paralelos ao eixo do sistema equatorial da Terra). As variáveis métricas de Andoyer,, são definidas como: é o módulo do vetor momento angular de rotação, e são, respectivamente, a projeção de no eixo z do sistema de eixos principal de inércia (, onde é o ângulo entre o eixo do satélite z e ) e a projeção de no eixo equatorial Z (, onde é o ângulo entre o eixo equatorial Z e ). Palavras Chaves: estabilidade, dinâmica de atitude, satélites artificiais. 1. INTRODUÇÃO. Análise de estabilidade do movimento rotacional de um satélite levando em conta a influência dos torques externos é muito importante na manutenção da atitude para assegurar o sucesso de uma missão espacial. Pontos de equilíbrios e/ou regiões de estabilidade são estabelecidas quando parcelas associadas a torques externos atuantes no satélite são incluídas nas equações de movimento rotacional. Neste trabalho o torque externo considerado é o torque de gradiente de gravidade. As variáveis de Andoyer são utilizadas para descrever o movimento rotacional do satélite, de modo a facilitar a Figura 1. Variáveis de Andoyer [2] A estabilidade não linear dos pontos de equilíbrio do movimento rotacional é aqui analisada pelo teorema de Kovalev e Savchenko [3], que requer a Hamiltoniana normalizada em torno dos pontos de equilíbrio.

2 Assim com a Hamiltoniana do problema, os pontos de equilíbrio das equações de movimento são encontrados, de modo a transformar a Hamiltoniana em sua forma normal até a quarta ordem. Deste modo pode-se verificar se os pontos de equilíbrio que são linearmente estáveis permanecem estáveis sobre influência dos termos de ordem superior da Hamiltoniana. Neste trabalho foram feitas simulações numéricas para dois grupos de satélites artificiais hipotéticos simétricos e em órbita circular, aqui classificado como de médio e pequeno porte, de acordo com suas características físicas e geométricas. 2. EQUAÇÕES DO MOVIMENTO. As variáveis de Andoyer, definidas na seção anterior, são usadas para caracterizar o movimento rotacional de um satélite ao redor de seu centro de massa e as variáveis de Delaunay descrevem o movimento translacional do centro de massa do satélite ao redor da Terra [1]. As variáveis de Delaunay ( ) são definidas como:, é a anomalia média, é o argumento do perigeu, é a longitude do nódo ascendente, é a massa do satélite, é o parâmetro gravitacional de Terra, é a inclinação da órbita, é o semieixo maior e é a excentricidade orbital. Aqui é assumido que o satélite tem órbita circular e conhecido, de modo que o enfoque principal do trabalho é apenas o movimento rotacional do satélite. Neste caso a Hamiltoniana do problema é expressa em termos das variáveis de Andoyer e das variáveis de Delaunay [4] da seguinte forma: (1) em que é a Hamiltoniana não perturbada e é o termo associado com a Hamiltoniana do torque de gradiente de gravidade, respectivamente descritas por [5]: ( ) (2) [ ] (3) em que e ; e são os momentos principais de inércia do satélite; e são funções das variáveis, onde e são argumentos dos cossenos presente na Hamiltoniana. Sua forma completa é apresentada em Cabette [6] para órbitas excêntricas. Neste trabalho será simplificado considerando o satélite em órbita circular. Logo, as equações de movimento associada à Hamiltoniana, equação (1), são dadas por: { (4) Essas equações são utilizadas para encontrar os possíveis pontos de equilíbrio do movimento rotacional. Nesse estudo, é também considerado que o satélite possui dois de seus momentos principais de inércia iguais,. Com essa relação, a variável não estará presente na Hamiltoniana, reduzindo o sistema dinâmico a 2 graus de liberdade. 3. PONTO DE EQUILÍBRIO E ESTABILIDADE 3.1. Estabilidade linear Os sistemas hamiltonianos são sempre ordinárias de primeira ordem, do tipo equações ( ) (5) Encontraremos os pontos de equilíbrio do sistema em estudo anulando o lado esquerdo da equação (5) e resolvendo-a. Após ter determinando os pontos de equilíbrios deve-se diagonalizar o sistema nas vizinhanças do ponto de equilíbrio, encontrando assim seus respectivos autovalores e autovetores associados. Devemos também expandir a Hamiltoniana em série de Taylor ao redor do ponto de equilíbrio, porém é interessante fazermos uma translação das coordenadas para que a origem coincida com ao ponto de equilíbrio, assim teremos. onde é um polinômio homogêneo nas variáveis. Sabendo que a origem é um ponto de equilíbrio então e é uma constante. O sistema agora pode então ser linearizado e escrito na forma geral como (6) (7) com sendo uma matriz coluna descrevendo um ponto no espaço de fase na vizinhança da nova origem, é a Hessiana ao redor da nova origem e a matriz simplética do problema: (8) (9) em que é a matriz identidade de ordem n, é uma matriz nula de ordem n. Dessa forma, a estabilidade linear pode ser estabelecida através dos autovalores obtidos através do. É importante ressaltar que, para o ponto de equilíbrio ser estável, basta que seus autovalores associados sejam imaginários puros. Porém essa condição garante apenas a sua estabilidade linear, para assegura a sua estabilidade não linear utilizamos um método baseando-se no teorema de [7]. Tal método exige a forma normal do sistema hamiltoniano que nada mais é que obtermos uma Hamiltoniana escrita de uma maneira bem comportada. Para isso é necessário fazer uma transformação canônica de variáveis nas vizinhanças de um ponto de equilíbrio. 2

3 3.2. Estabilidade não linear A análise de estabilidade de Liapunov fornece uma definição geométrica de estabilidade de um estado de equilíbrio. Seja um sistema de equações (5), cuja solução é determinada pelas condições iniciais dadas por e cujo estado de equilíbrio é caracterizado por: ( ), (10) Então a estabilidade pode ser definida segundo Liapunov como: i. Diz-se que é um ponto de equilíbrio estável se, dado um raio, existe um raio correspondente tal que se tem e que satisfaça a relação, para qualquer. Em outras palavras, a solução permanece em um tubo em torno de à medida que o tempo evolui. Fig. 2a. ii. Diz-se que é um ponto de equilíbrio instável se, dado um raio, existe um raio correspondente tal que se tem, e que satisfaça a relação para ao menos um. Em outras palavras, a solução saia de um tubo em torno de pelo menos uma vez à medida que o tempo evolui. Fig. 2b. (a) (b) Figura 2 Estabilidade Liapunov 4. FORMA NORMAL DA HAMILTONIANA E ANÁLISE ESTABILIDADE. Seja a Hamiltoniana uma função analítica de coordenadas e momentos generalizados para um ponto fixo. O processo de determinação da forma normal de é extenso envolvendo diversas transformações de variáveis além de ser necessária a utilização do método de Lie-Hori [8]. Este processo é descrito detalhadamente em de [2,9]. Sua forma normal representada por é expressa por: (11) em que representa termos de ordem superior; é a parte imaginária dos autovalores associados a matriz definida pelo produto de uma matriz simplética de ordem 4 com a Hessiana da Hamiltoniana expandida em série de Taylor até 2ª ordem em torno do ponto de equilíbrio [2,6]; dependem dos autovalores e dos coeficientes da Hamiltoniana expandida em série de Taylor de 3ª e 4ª ordem em torno do ponto de equilíbrio que são apresentados analiticamente em [9]; e com (12) A análise da estabilidade é aqui realizada através do teorema de Kovalev e Savchenko [3] que garante que o movimento é Liapunov estável se as seguintes condições são satisfeitas: i. Os autovalores do sistema linear reduzido são imaginários puros e ; ii. A condição (13) é válida para todo e inteiro satisfazendo a desigualdade. (14) iii. O determinante deve satisfazer a desigualdade (15) em que são os coeficientes da Hamiltoniana normal de quarta ordem. Assim, para analisarmos a estabilidade dos pontos de equilíbrio é necessário determinar os coeficientes e que são associados com a Hamiltoniana normal de segunda e quarta ordem como apresentado na equação (11). 5. ALGORITMO COMPUTACIONAL PARA A FORMA NORMAL E ANÁLISE DA ESTABILIDADE. De acordo com [6, 9], para a determinação da forma normal da Hamiltoniana os seguintes passos são necessários, sendo todos eles desenvolvidos com o auxílio do software MATHEMATICA Passo 1 Determinar os pontos de equilíbrio do sistema dinâmico, utilizando a equação (4), informando as características físicas e geométricas do satélite e as condições iniciais do movimento rotacional e translacional Passo 2 Para cada conjunto de pontos de equilíbrio, é necessário fazer uma substituição de variáveis na Hamiltoniana, equação (1), e expandir essa Hamiltoniana em novas coordenadas até segunda ordem nas vizinhanças do ponto de equilíbrio Passo 3 Calcular a Hessiana da Hamiltoniana expandida até a 2ª ordem ao redor do ponto de equilíbrio, multiplica-se por uma matriz simplética e diagonaliza-se a matriz Passo 4 Encontrado o polinômio característico, pode-se determinar os autovalores associados à matriz e verificar se são imaginários puros (primeiro teste de estabilidade citado na seção anterior). Se aceito nessa condição, considera-se esse ponto de equilíbrio linearmente estável e pode-se escrever a Hamiltoniana normal de segunda ordem como: (16) 3

4 5.5. Passo 5 Verificar se condição (13) é válida para todo e inteiro satisfazendo a desigualdade (14) (segundo teste de estabilidade citado na seção anterior). Se aceito nessa condição, continua-se o teste de estabilidade Passo 6 Escrever a forma da Hamiltoniana expandida em série de Taylor de 3ª e 4ª ordem nas novas variáveis e determinar os seus coeficientes com auxílio do software utilizado. Dessa maneira, utiliza-se os resultados obtidos por [9] para os coeficientes da Hamiltoniana normal de quarta ordem para sistemas dinâmicos com dois graus de liberdade. Obtido esses coeficientes pode-se determinar a Hamiltoniana normal de quarta ordem como: 5.7. Passo 7 (17) Assim, a Hamiltoniana normal completa é dada por: 5.8. Passo 8 (18) Por fim, pode-se realizar o terceiro teste de estabilidade como citado na seção anterior, verificando se o determinante deve satisfazer a desigualdade (15). Se aceito também nessa condição, podemos concluir que o ponto de equilíbrio em estudo é Liapunov estável, em que os termos de ordem superior da Hamiltoniana não desestabilizam o ponto de equilíbrio linearmente estável. 6. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS. Como já mencionado, consideramos dois tipos de satélites: médio porte (MP), que possui características orbitais similares com o satélite americano PEGASUS [10] e pequeno porte (PP), que possui características orbitais similares aos satélites brasileiros de coleta de dados SCD-1 [11]. Para ambos os satélites utilizamos excentricidade nula, órbita circular, para simplificar a Hamiltoniana e as equações de movimento do problema. A Tab. 1 a seguir mostra um resumo quantitativo dos pontos de equilíbrio encontrados e de sua estabilidade, segundo o critério de Kovalev e Savchenko [3]. Verifica-se que a condição de equilíbrio não linear não satisfeita está relacionada com os autovalores com parte real não nula ou com autovalores reais da matriz. Tabela 1. Resumo quantitativo da classificação dos pontos de equilíbrio Satélite Pontos estáveis MP 2 PP-1 7 Pontos instáveis 58 1ªcondição 2ªcondição 3ªcondição ªcondição 2ªcondição 3ªcondição Encontramos no total: 60 pontos de equilíbrio para o satélite MP e 50 pontos de equilíbrios para o satélite PP-1. Na Tab. 2 e 3 são apresentados dois pontos de equilíbrio encontrados nas simulações, sendo um Liapunov estável e outro instável, para os satélites MP e PP-1 respectivamente. Tabela 2. Satélite MP: A=B=3,949*10-1 Kg.Km 2, C=1,030*10-1 Kg.Km 2 Ponto de equilíbrio Liapunov Estável Instável 2,50725* ,34202* ,85388* ,19645* ,28562* ,53991* ,6*10-7 0, ,5235 0,41354 Tabela 3. Satélite PP-1: A=B=9,20*10-6 Kg.Km 2, C=13*10-6 Kg.Km 2 Ponto de equilíbrio Liapunov Estável Instável 2,69365*10-7 7,13725* ,07921*10-5 2,14416* ,05633*10-5 1,07843* , , ,4 0,07 Na Tab. 5 e 6 são apresentados para os pontos de equilíbrio Liapunov estável e instável da Tab. 2 e 3 respectivamente, os valores dos ângulos,, a velocidade de rotação e o período de rotação, sendo o ângulo entre e o eixo equatorial Z, o ângulo entre e o eixo do satélite z. Se os ângulos e forem nulos as variáveis de Andoyer, e ficam indeterminadas. Tabela 4. Análise de singularidades nas variáveis de Andoyer para os pontos de equilíbrio Liapunov estável da Tab. 2 e 3 respectivamente Satélite Situação MP 2,2056 0,8624 0, ,4 Aceito PP1 1,0378 1,5578 1, ,92848 Aceito Tabela 5. Análise de singularidades nas variáveis de Andoyer para mos pontos de equilíbrio instável da Tab. 2 e 3 respectivamente. Satélite Situação MP 0,5669 1,5388-4,071* ,54*10 9 Aceito PP1 1,0437 1,2314 1,649* Aceito Tal análise foi realizada em todos os pontos de equilíbrio encontrados nas simulações realizadas. 7. CONCLUSÃO. Neste trabalho foi apresentada uma análise semianalítica da estabilidade do movimento rotacional considerando a influência do torque de gradiente de gravidade para um satélite simétrico em órbita circular. As aplicações foram realizadas para satélites de médio porte (MP) e pequeno porte (PP) utilizando o software MATHEMATICA. Inicialmente os pontos de equilíbrios foram determinados utilizando as características físicas, orbitais e de atitude de cada satélite. A seguir o algoritmo para a análise da estabilidade foi aplicado tendo sido obtidos 2 ponto de equilíbrio estável para o satélite MP, 7 pontos estáveis para o satélite de PP-1. A obtenção de dois pontos de equilíbrio do satélite MP se justifica pelo fato de que este satélite possui características similares ao satélite PEGASUS, o qual está capotando [10]. Para os satélites PP-1 foram obtidos mais 4

5 pontos de equilíbrios do que os 50 apresentados, porém muitos deles foram descartados por levarem a condição de singularidade nas variáveis de Andoyer. Em comparação com os resultados de [6, 2], os quais mostram a análise da estabilidade do movimento rotacional com o torque de gradiente de gravidade, mas com satélite em órbita com pequena excentricidade, um número maior de pontos de equilíbrio estáveis foi determinado. Em termos da determinação da forma normal e da análise da estabilidade houve uma otimização no algoritmo, possibilitada pela utilização dos resultados obtidos por [9] para os coeficientes da Hamiltoniana normal de quarta ordem. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. [1] H. Kinoshita: First order perturbation of the two finite body problem. Publ. Astron. Soc. Japan. 24, , [2] R. V. de Moraes; R. E. S. Cabette; M. C. Zanardi; T. J. Stuchi; J. K. Formiga: Attitude stability of artificial satellites subject to gravity gradient torque. Celes. Mech., 104, , [3] A. M. Kovalev; A. Ia. Savchenko: Stability of uniform rotations of a rigid body about a principal axis. PMM, v. 39, n. 4, , [4] M. C. Zanardi: Study of the terms of coupling between rotational and translational motion. Celes. Mech. 39(2), , [5] M. C. Zanardi: Movimento rotacional e translacional acoplado de satélites artificiais. Dissertação de mestrado, Instituto de Tecnologia Aeronáutica, São José dos Campos, [6] R. E. S. Cabette: Estabilidade do movimento rotacional de satélites artificiais. Dissertação de doutorado, Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, [7] V. I. Arnold, Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. Berlin: Springer- Verlag, p. 334, [8] G. Hori: Theory of general perturbations with unspecified canonical variables. Publ. Astron. Soc. Jap. 18, , (1966). [9] J. K. Formiga: Formas normais no estudo da estabilidade para no problema fotogravitacional. Dissertação de doutorado, Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, (2009). [10] J. U. Crenshaw; P. M. Fitzpatrick: Gravity effects on the rotational motion of a uniaxial artificial satellite. AIAAJ. 6, 2140, [11] H. K. Kuga; V. Orlando; R. V. F. Lopes: Flight dynamics operations during leap for the INPE s second environmental data collecting satellite SCD 2. RBCM J. Brazilian Soc. Mech. Sci., 21, , Estudo da estabilidade do movimento rotacional de satélites artificiais com variáveis canônicas 5