FORMULARIO DE INSCRIPCIÓN Y PRESENTACIÓN DE RESÚMENES

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1 FORMULARIO DE INSCRIPCIÓN Y PRESENTACIÓN DE RESÚMENES Universidad: Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Facultad / Instituto: Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá Título do Trabalho: ESTABILIDADE DO MOVIMENTO ROTACIONAL DE VEÍCULO ESPACIAL E O TORQUE DE GRADIENTE DE GRAVIDADE Autor/es: W. R. Silva, M. C. Zanardi, J. K. Formiga, R. E. S. Cabette. Nível de formação do investigador principal: Mestrando Orientador: M. C. Zanardi Núcleo Disciplinario / Comité Académico / Otros Temas: Matemática Aplicada Dirección electrónica do autor principal: reis.william@gmail.com Palabras Claves: forma normal, análisis de estabilidad, las variables canónicas. forma normal, análise de estabilidade, variáveis canônicas. Resumen: Este trabalho tem como objetivo analisar a estabilidade do movimento rotacional de satélites artificiais em órbita circular com a influência do torque de gradiente de gravidade, usando as variáveis canônicas de Andoyer. O método utilizado requer a redução da Hamiltoniana em sua forma normal ao redor de seus pontos de equilíbrios. Tais pontos de equilíbrios são encontrados por meio das equações de movimento rotacional e logo em seguida é feito um estudo linear de sua estabilidade. Um processo semianalítico de normalização foi utilizado para obter a Hamiltoniana normal até a quarta ordem. Os coeficientes da Hamiltoniana são indispensáveis no estudo da estabilidade não linear do ponto de equilíbrio segundo as três condições do teorema de estabilidade utilizado. Este estudo é aplicado para satélites simétricos, utilizando características de três satélites hipotéticos similares a de três satélites reais. Como resultado foi obtido um número maior de pontos de equilíbrio em comparação com resultados de trabalhos anteriores. Em termos da determinação da forma normal e da análise da estabilidade, houve otimização no algoritmo para o processo de normalização e para os testes de estabilidade. Os resultados deste trabalho podem contribuir diretamente na manutenção da atitude de satélites artificiais, podendo gerar uma economia de combustível através de um menor número de manobras de atitude para manter a atitude desejada.

2 PRESENTACIÓN DEL TRABAJO COMPLETO: 1. INTRODUÇÃO. Análise de estabilidade do movimento rotacional de um satélite levando em conta a influência dos torques externos é muito importante na manutenção da atitude para assegurar o sucesso de uma missão espacial. Pontos de equilíbrios e/ou regiões de estabilidade são estabelecidas quando parcelas associadas a torques externos atuantes no satélite são incluídas nas equações de movimento rotacional. Neste trabalho o torque externo considerado é o torque de gradiente de gravidade. As variáveis de Andoyer são utilizadas para descrever o movimento rotacional do satélite, de modo a facilitar a aplicação de métodos de estabilidade de sistemas Hamiltonianos. As variáveis canônicas de Andoyer (Kinoshita, 1972) são representadas pelos momentos generalizados (,, ) e pelas coordenadas generalizadas (,, ) e estão esquematizadas na Fig. 1. As variáveis,, são ângulos relacionados com o sistema do satélite Oxyz (com eixos paralelos ao sistema de eixos principais de inércia do satélite) e o sistema equatorial OXYZ (com eixos paralelos ao eixo do sistema equatorial da Terra). As variáveis métricas de Andoyer,, são definidas como: é o módulo do vetor momento angular de rotação, e são, respectivamente, a projeção de no eixo z do sistema de eixos principal de inércia (, onde é o ângulo entre o eixo do satélite z e ) e a projeção de no eixo equatorial Z (, onde é o ângulo entre o eixo equatorial Z e ). z m Z Plano perpendicular ao eixo principal de inércia z L 1 L 2 J I L 3 y y m x l 1 J Plano perpendicular ao vetor momento angular Plano equatorial l 3 O l 2 I Y x m X Figura 1 - Variáveis de Andoyer A estabilidade não linear dos pontos de equilíbrio do movimento rotacional é aqui analisada pelo teorema de Kovalev e Savchenko (1975), que requer a Hamiltoniana normalizada em torno dos pontos de equilíbrio. 2

3 Assim com a Hamiltoniana do problema, os pontos de equilíbrio das equações de movimento são encontrados, de modo a transformar a Hamiltoniana em sua forma normal até a quarta ordem Deste modo pode-se verificar se os pontos de equilíbrio que são linearmente estáveis permanecem estáveis sobre influência dos termos de ordem superior da Hamiltoniana. Neste trabalho foram feitas simulações numéricas para dois grupos de satélites artificiais hipotéticos simétricos e em órbita circular, aqui classificado como de médio e pequeno porte de acordo com suas características físicas e geométricas. 2. OBJETIVOS. Temos como objetivo para este trabalho: Analisar a estabilidade do movimento rotacional de satélites artificiais em órbita circular com a influência do torque de gradiente de gravidade, usando as variáveis canônicas de Andoyer. Aplicar os critérios de estabilidade do teorema de Kovalev e Savchenko (1975) para os pontos de equilíbrios encontrados. Otimizar o algoritmo do problema em relação a trabalhos anteriores. Algoritmo este que contém o processo de normalização da Hamiltoniana e a análise de estabilidade dos pontos de equilíbrio. 3. EQUAÇÕES DO MOVIMENTO. As variáveis de Andoyer, definidas anteriormente, são usadas para caracterizar o movimento rotacional de um satélite ao redor de seu centro de massa e as variáveis de Delaunay descrevem o movimento translacional do centro de massa do satélite ao redor da Terra (Kinoshita, 1972). As variáveis de Delaunay ( ) são definidas como:,, é a anomalia média, é o argumento do perigeu, é a longitude do nódo ascendente, é a massa do satélite, é o parâmetro gravitacional de Terra, é a inclinação da órbita, é o semieixo maior e é a excentricidade orbital. Aqui é assumido que o satélite tem órbita circular e conhecida, de modo que o enfoque principal do trabalho é apenas o movimento rotacional do satélite. Neste caso a Hamiltoniana do problema é expressa em termos das variáveis de Andoyer e das variáveis de Delaunay (Zanardi, 1986) da seguinte forma: ( ) ( ) ( ) (1) em que é a Hamiltoniana não perturbada e é o termo associado com a Hamiltoniana do torque de gradiente de gravidade, respectivamente descritas por (Zanardi, 1983): (( ) ( ) ) ( ) ( ) (2) * ( ) ( )+ (3) 3

4 em que e ; e são os momentos principais de inércia do satélite; e são funções das variáveis ( ), onde e são argumentos dos cossenos presente na Hamiltoniana. Sua forma completa é apresentada em Cabette (2006) para órbitas excêntricas. Neste trabalho será simplificado considerando o satélite em órbita circular. Logo, as equações de movimento associada à Hamiltoniana, equação (1), são dadas por: { ( ) (4) Essas equações são utilizadas para encontrar os possíveis pontos de equilíbrio do movimento rotacional. Nesse estudo, é também considerado que o satélite possui dois de seus momentos principais de inércia iguais,. Com essa relação, a variável não estará presente na Hamiltoniana, reduzindo o sistema dinâmico a 2 graus de liberdade. 4. PONTO DE EQUILÍBRIO E ESTABILIDADE 4.1. Estabilidade linear do tipo Os sistemas hamiltonianos são sempre equações ordinárias de primeira ordem, ( ) (5) Encontraremos os pontos de equilíbrio do sistema em estudo anulando o lado esquerdo da equação (5) e resolvendo-a. Após ter determinando os pontos de equilíbrios deve-se diagonalizar o sistema nas vizinhanças do ponto de equilíbrio, encontrando assim seus respectivos autovalores e autovetores associados. Devemos também expandir a Hamiltoniana ao redor do ponto de equilíbrio, porém é interessante fazermos uma translação das coordenadas para que a origem coincida com ao ponto de equilíbrio, dessa forma podemos expandir a Hamiltoniana em série de Taylor na nova origem que nada mais é que expandi-la nas vizinhanças do ponto de equilíbrio, assim teremos. onde ( ) é um polinômio homogêneo nas variáveis. Sabendo que a origem é um ponto de equilíbrio então e é uma constante ( ). Logo podemos simplificar a Hamiltoniana expandida (n) para O sistema agora pode então ser linearizado e escrito na forma geral como 4 (6) (7) (8) com sendo uma matriz coluna descrevendo um ponto no espaço de fase na vizinhança da nova origem, é a Hessiana ao redor da nova origem e a matriz simplética do problema:

5 (9) ( ) ( ) (10) em que é a matriz identidade de ordem n, é uma matriz nula de ordem n. Dessa forma, a estabilidade linear pode ser estabelecida através dos autovalores obtidos através do ( ). Lembrando que transladamos a origem para o ponto de equilíbrio, logo e são avaliados no ponto de equilíbrio. É importante ressaltar que, para o ponto de equilíbrio ser estável, basta que seus autovalores associados sejam imaginários puros. Porém essa condição garante apenas a sua estabilidade linear, para assegura a sua estabilidade não linear é necessário utilizarmos outros métodos. Há vários trabalhos no assunto, sendo muito deles relacionadas e baseados no teorema de Arnold (1983). Para resolver esse problema da estabilidade não linear, faremos uso de um método conhecido como forma normal para sistemas hamiltonianos que nada mais é que obtermos uma Hamiltoniana escrita de uma maneira bem comportada. Para isso é necessário fazer uma transformação canônica de variáveis nas vizinhanças de um ponto de equilíbrio Estabilidade não linear Escolhido tal método, é preciso elencar o conceito de Liapunov estável. A análise de estabilidade de Liapunov fornece uma definição geométrica de estabilidade de um estado de equilíbrio. Seja um sistema de equações (5), cuja solução é determinada pelas condições iniciais dadas por ( ) e cujo estado de equilíbrio é caracterizado por: ( ), ( ) ( ) (11) Então a estabilidade pode ser definida segundo Liapunov como: i. Diz-se que ( ) é um ponto de equilíbrio estável para equação (5) se, dado um raio, existe um raio correspondente tal que se tem, que implica em, ( ) ( ) e que satisfaça a relação, que implica em, ( ) ( ) para qualquer. Em outras palavras, a solução ( ) permanece em um tubo em torno de ( ) à medida que o tempo evolui. Esquematizada na Fig. 2a. ii. Diz-se que ( ) é um ponto de equilíbrio instável para equação (5) se, dado um raio, existe um raio correspondente tal que se tem, que implica em, ( ) ( ) e que satisfaça a relação, que implica em, ( ) ( ) para ao menos um. Fig. 7. Em outras palavras, a solução ( ) saia de um tubo em torno de ( ) pelo menos uma vez à medida que o tempo evolui. Esquematizada na Fig. 2b. 5

6 iii. Diz-se que ( ) é um ponto de equilíbrio assintóticamente estável, se ( ) é estável e se existir uma vizinhança na origem de tal forma que, para qualquer solução ( ) continua pertencendo a vizinhança obedecendo à expressão, ( ). Esquematizada na Fig. 2c. ε ε δ t δ t Estabilidade (a) Instabilidade (b) ε δ t Estabilidade assintótica (c) Figura 2 - Estabilidade segundo Liapunov (Formiga, 2009). Das definições anteriores, é interessante ressaltar que a estabilidade é uma dependência local, contínua e uniforme das condições iniciais (Cabette, 2006). 5. FORMA NORMAL DA HAMILTONIANA E ANÁLISE ESTABILIDADE. Seja a Hamiltoniana H uma função analítica de coordenadas ( ) e momentos generalizados ( ) para um ponto P fixo. O processo de determinação da forma normal de H é extenso envolvendo diversas transformações de variáveis além de ser necessária a utilização do método de Hori-Lie (Hori, 1966). Este processo é descrito detalhadamente em de Moraes et al. (2009) e Formiga (2009). Sua forma normal representada por é expressa por: (12) em que representa termos de ordem superior; é a parte imaginária dos autovalores associados a matriz definida pelo produto de uma matriz simplética de ordem 4 com a Hessiana da Hamiltoniana expandida em série de Taylor até 2ª ordem em torno do ponto de equilíbrio; dependem dos autovalores e dos coeficientes da Hamiltoniana expandida em série de Taylor de 3ª e 4ª ordem em torno do ponto de equilíbrio que são apresentados analiticamente em Formiga (2009); e com (13) 6

7 A análise da estabilidade é aqui realizada através do teorema de Kovalev e Savchenko (1975) que garante que o movimento é Liapunov estável se as seguintes condições são satisfeitas: i. Os autovalores do sistema linear reduzido são imaginários puros e ; ii. A condição (14) é válida para todo e inteiro satisfazendo a desigualdade. (15) iii. O determinante deve satisfazer a desigualdade ( ) (16) em que são os coeficientes da Hamiltoniana normal de quarta ordem. Assim, para analisarmos a estabilidade dos pontos de equilíbrio é necessário determinar os coeficientes e que são associados com a Hamiltoniana normal de segunda e quarta ordem como apresentado na equação (12). 6. ALGORITMO COMPUTACIONAL PARA A FORMA NORMAL DA HAMILTONIANA E ANÁLISE DA ESTABILIDADE DO MOVIMENTO ROTACIONAL. De acordo com Cabette (2006) e Formiga (2009), para a determinação da forma normal da Hamiltoniana os seguintes passos são necessários, sendo todos eles desenvolvidos com o auxílio do software MATHEMATICA Passo 1 Determinar os pontos de equilíbrio do sistema dinâmico informando as características físicas e geométricas do satélite e as condições iniciais do movimento rotacional e translacional. Esses pontos de equilíbrios são obtidos utilizando as equações do movimento, equação (4) Passo 2 Para cada conjunto de pontos de equilíbrio, é necessário fazer uma substituição de variáveis na Hamiltoniana, equação (1), e expandir essa Hamiltoniana de novas coordenadas em série de Taylor até 2ª ordem nas vizinhanças do ponto de equilíbrio Passo 3 Calcular a Hessiana da Hamiltoniana expandida até a segunda ordem ao redor do ponto de equilíbrio, multiplicar por uma matriz simplética e diagonalizar a matriz Passo 4 Encontrado o polinômio característico, pode-se determinar os autovalores associados à matriz e verificar se são imaginários puros (primeiro teste de estabilidade citado na seção anterior). 7

8 Se aceito nessa condição, considera-se esse ponto de equilíbrio linearmente estável e pode-se escrever a Hamiltoniana normal de segunda ordem como: ( ) ( ) (17) 6.5. Passo 5 Verificar se a condição (14) é válida para todo e inteiro satisfazendo a desigualdade (15) (segundo teste de estabilidade citado na seção anterior). Se aceito nessa condição, continua-se o teste de estabilidade e o processo de normalização Passo 6 Escrever a forma da Hamiltoniana expandida em série de Taylor de 3ª e 4ª ordem nas novas variáveis e determinar os seus coeficientes com auxílio do software utilizado. Dessa maneira, utiliza-se os resultados obtidos por Formiga (2009) para os coeficientes da Hamiltoniana normal de quarta ordem para sistemas dinâmicos com dois graus de liberdade, tais coeficientes são indispensáveis na construção da terceira condição de estabilidade não linear do teorema de Kovalev e Savchenko. Obtido esses coeficientes pode-se determinar a Hamiltoniana normal de quarta ordem como: ( ) ( ) ( ) (18) 6.7. Passo 7 Assim, a Hamiltoniana normal completa é dada por: 6.8. Passo 8 Por fim, pode-se realizar o terceiro teste de estabilidade como citado na seção anterior, verificando se o determinante satisfaz a desigualdade (16). Se aceito também nessa condição, pode-se concluir que o ponto de equilíbrio em estudo é Liapunov estável, em que os termos de ordem superior da Hamiltoniana não desestabilizam o ponto de equilíbrio linearmente estável. (19) 7. RESULTADOS OBTIDOS DAS SIMULAÇÕES NUMÉRICAS. Como já mencionado, consideramos dois tipos de satélites: médio porte (MP), que possui características orbitais similares com o satélite americano PEGASUS [9] e pequeno porte (PP), que possui características orbitais similares aos satélites brasileiros de coleta de dados SCD-1 e SCD-2 [10]. Para ambos os satélites utilizamos excentricidade nula, órbita circular, para simplificar a Hamiltoniana e as equações de movimento do problema. 8

9 A Tab. 1 a seguir mostra um resumo quantitativo dos pontos de equilíbrio encontrados e de sua estabilidade, segundo o critério de Kovalev e Savchenko [1]. Verificase que a condição de equilíbrio não linear não satisfeita está relacionada com os autovalores com parte real não nula ou autovalores reais da matriz. Tabela 1. Resumo quantitativo da classificação dos pontos de equilíbrio Satélite Pontos Pontos instáveis estáveis 58 MP 2 Falha 1ªcondição Falha 2ªcondição Falha 3ªcondição PP A 7 Falha 1ªcondição Falha 2ªcondição Falha 3ªcondição PP B 10 Falha 1ªcondição Falha 2ªcondição Falha 3ªcondição Encontramos no total: 60 pontos de equilíbrio para o satélite MP, 50 pontos de equilíbrios para o satélite PP1 e 50 pontos de equilíbrio para o satélite PP2. Na Tab. 2, 3 e 4 são apresentados dois pontos de equilíbrio encontrados nas simulações, sendo um Liapunov estável e outro instável, para os satélites MP, PP1 e PP2 respectivamente. Tabela 2. Satélite MP:, Ponto de equilíbrio Estável Instável ( ) 2,50725* ,34202*10-11 ( ) 3,85388* ,19645*10-10 ( ) - 2,28562* ,53991*10-10 ( ) - 1,6*10-7 0, ( ) 0,5235 0,41354 Tabela 3. Satélite PP 1:, Ponto de equilíbrio Estável Instável ( ) 2,69365*10-7 7,13725*10-11 ( ) 2,07921*10-5 2,14416*10-10 ( ) 1,05633*10-5 1,07843*10-10 ( ) 0, , ( ) 0,4 0,07 Tabela 4. Satélite PP 2:, Ponto de equilíbrio Estável Instável ( ) 6,25509*10-5 2,48081*10-11 ( ) 7,24797*10-4 2,77796*10-11 ( ) 2,17564* ,54792*10-11 ( ) 0, ,68042 ( ) 1, ,05253 Na Tab. 5 são apresentados para os pontos de equilíbrio Liapunov estável da Tab. 2, 3, e 4 respectivamente, os valores dos ângulos,, a velocidade de rotação e o 9

10 período de rotação, sendo o ângulo entre e o eixo equatorial Z, o ângulo entre e o eixo do satélite z. Estes valores caracterizam a não existência de singularidades nestes pontos, uma vez que se os ângulos e forem nulos as variáveis de Andoyer, e ficam indeterminadas. Tal análise foi realizada em todos os pontos de equilíbrio encontrados nas simulações realizadas. Tabela 5. Análise de possíveis singularidades das variáveis de Andoyer para os satélites MP, PP1 e PP2 Ponto de equilíbrio Liapunov estável da Tab. 2, 3 e 4 respectivamente. Satélite ( ) ( ) ( ) ( ) Situação MP 2, , , ,4 Aceito PP1 1, , , ,92848 Aceito PP2 1, , , ,9882 Aceito Na Tab. 6 são apresentados para os pontos de equilíbrio instáveis da Tab. 2, 3, e 4 respectivamente, os valores dos ângulos,, a velocidade de rotação e o período de rotação. Esta é a mesma análise feita anteriormente. Tabela 6. Análise de possíveis singularidades das variáveis de Andoyer para os satélites MP, PP1e PP2 Ponto de equilíbrio instável da Tab. 2, 3 e 4 respectivamente. Satélite ( ) ( ) ( ) ( ) Situação MP 0, , ,071* ,543*10 9 Aceito PP1 1, , ,64936* ,0 Aceito PP2 2, , ,52836*10-9 8,346*10 8 Aceito 8. CONCLUSÃO. Neste trabalho foi apresentada uma análise semianalítica da estabilidade do movimento rotacional considerando a influência do torque de gradiente de gravidade com o satélite em órbita circular. As aplicações foram realizadas para satélites de médio porte (MP) e pequeno porte (PP) utilizando o software MATHEMATICA. Inicialmente os pontos de equilíbrios foram determinados utilizando as características físicas, orbitais e de atitude de cada satélite. A seguir o algoritmo para a análise da estabilidade foi aplicado tendo sido obtidos 2 ponto de equilíbrio estável para o satélites MP, 7 pontos estáveis para o satélite de PP1 e 10 para o satélite de PP2. A obtenção de dois pontos de equilíbrio do satélite MP se justifica pelo fato de que este satélite possui características similares ao satélite PEGASUS, o qual está capotando (Crenshaw e Fitzpatrick, 1968). Para os satélites PP1 e PP2 foram obtidos muitos pontos de equilíbrios, porém muitos deles foram descartados por levarem as variáveis de Andoyer a uma condição de singularidade. Pode-se afirmar que um número maior de pontos de equilíbrio estáveis foi determinado em comparação com os resultados de Cabette (2006) e de Moraes (2009), os quais mostram a análise da estabilidade do movimento rotacional com o torque de gradiente de gravidade, mas com satélite orbitando em pequena excentricidade. Em termos da determinação da forma normal e da análise da estabilidade houve otimização no algoritmo, utilizando resultados obtidos por Formiga (2009) para os coeficientes da Hamiltoniana normal de quarta ordem. 10

11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. Arnold, V. I. The Stability of equilibrium position of a Hamiltonian system ofordinary differential equations in the general elliptic case. Soviet Mathematic,v.2, n. 247, p , (1961). Cabette, R. E. S.: Estabilidade do movimento rotacional de satélites artificiais. Dissertação de doutorado, Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, (2006). Crenshaw, J. U.; Fitzpatrick, P. M.: Gravity effects on the rotational motion of a uniaxial artificial satellite. AIAAJ. 6, 2140, (1968). de Moraes, R. V.; Cabette, R. E. S.; Zanardi, M. C.; Stuchi, T. J.; Formiga, J. K.: Attitude stability of artificial satellites subject to gravity gradient torque. Celes. Mech., 104, , (2009). Formiga, J. K.: Formas normais no estudo da estabilidade para l4 no problema fotogravitacional. Dissertação de doutorado, Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, (2009). Hori, G.: Theory of general perturbations with unspecified canonical variables. Publ. Astron. Soc. Jap. 18, , (1966). Kinoshita, H.: First order perturbation of the two finite body problem. Publ. Astron. Soc. Japan. 24, , Kovalev, A. M.; Savchenko, A. Ia.: Stability of uniform rotations of a rigid body about a principal axis. PMM, v. 39, n. 4, , (1975). Kuga, H. K.; Orlando, V.; Lopes, R. V. F.: Flight dynamics operations during leap for the INPE s second environmental data collecting satellite SCD 2. RBCM J. Brazilian Soc. Mech. Sci., 21, , (1999). Zanardi, M. C.: Study of the terms of coupling between rotational and translational motion. Celes. Mech. 39(2), , (1986). Zanardi, M. C.: Movimento rotacional e translacional acoplado de satélites artificiais. Dissertação de mestrado, Instituto de Tecnologia Aeronáutica, São José dos Campos, (1983). 11