Aula 2a Elementos Orbitais

Transcrição

1 Aula 2a Elementos Orbitais Profa. Jane Gregorio-Hetem & Prof. Annibal Hetem AGA0521 Manobras Orbitais 1

2 Vetor de estado O vetor de estado orbital contém os valores cartesianos de posição r e de velocidade v que, juntamente com o tempo (época) determinam uma trajetória específica no espaço. 2

3 Vetor de estado Podemos usar sabendo que Entretanto, estas fórmulas foram deduzidas usando-se um sistema de referências nãoinercial. Geralmente, adota-se o sistema perifocal para estes cálculos. 3

4 Definindo uma órbita Excentricidade e momento angular e h Semieixo maior, energia específica e período a e T Anomalia verdadeira q Um ponto na órbita r(q ) Tempo r(t) 4

5 Elementos orbitais num sistema de referência geocêntrico Corpo celeste Anomalia verdadeira q w Argumento do periélio Longitude do nó ascendente W Direção de referência i Inclinação orbital Nó ascendente Órbita 5

6 Elementos orbitais As órbitas Keplerianas podem ser parametrizadas com seis elementos orbitais. Identificam uma órbita única (específica) Elemento orbital Momento angular específico Inclinação orbital Ascensão reta do nó ascendente Excentricidade Argumento do perigeu Anomalia verdadeira Símbolo h i W e w q (ou semieixo maior a) (ou anomalia média M) 6

7 Obtenção dos elementos orbitais Dados: r e v Passos para determinar os elementos orbitais: 1. Calcular o módulo da distância 2. Calcular o módulo da velocidade k j i r ˆ ˆ ˆ Z Y X Z Y X r r r k j i v ˆ ˆ ˆ Z Y X v v v Z Y X v v v v v v 7

8 Obtenção dos elementos orbitais 3. Calcular a velocidade radial 4. Calcular o momento angular específico r Zv Yv Xv r v Z Y X r v r Z Y X v v v Z Y X k j i v r h ˆ ˆ ˆ 8

9 Obtenção dos elementos orbitais 5. Calcular o módulo do momento angular específico h hh primeiro elemento orbital 6. Calcular a inclinação orbital Lembre-se que i está entre 0 o e 180 o, portanto não existe o problema de ambiguidade de quadrantes. Se i ficar entre 90 o e 180 o, a órbita é retrógrada. i cos 1 hz h segundo elemento orbital 9

10 Obtenção dos elementos orbitais 7. Calcular o vetor que define a linha nodal N kˆ h ˆi 0 ˆj 0 kˆ 1 h X h Y h Z 8. Calcular o módulo de N N NN 10

11 Obtenção dos elementos orbitais 9. Calcular a ascensão reta do nó ascendente W 360 o cos cos 1 1 N N X N N X ( N ( N Y Y 0) 0) terceiro elemento orbital Se (N X /N)>0, então W fica no primeiro ou no quarto quadrante. Se (N X /N)<0, então W está no segundo ou no terceiro quadrante. Para achar o quadrante correto, observe que o nó ascendente pertence ao lado positivo do plano XZ (0 W <180 o ) se N Y >0. Por outro lado, o nó ascendente fica no lado negativo do plano XZ (180 o W <360 o ) se NY<0. Logo, NY>0 implica que 0< W <180 o, enquanto NY>0 implica que em 180 o < W <360 o. 11

12 Obtenção dos elementos orbitais 10. Calcular o vetor da excentricidade e 1 v 2 r r rvr v 11. Calcular a excentricidade e ee ou e (2 rv ) rvr ( rv 2 ) 2 quarto elemento orbital 12

13 Obtenção dos elementos orbitais 12. Calcular o argumento do perigeu w 360 o cos cos 1 1 N e Ne N e Ne ( e ( e Z Z 0) 0) quinto elemento orbital Se N.e>0, então w fica no primeiro ou no quarto quadrante. Se N.e < 0, então w está no segundo ou no terceiro quadrante. Para achar o quadrante correto, observe que o perigeu fica acima do plano equatorial (0 w <180 o ) se e aponta para cima (na direção Z), e o perigeu fica abaixo do plano (180 o w <360 o ) se e aponta para baixo. Assim, e Z 0 implica em 0 w < 180 o, enquanto e Z <0 implica em 180 o w <360 o. 13

14 Obtenção dos elementos orbitais 13. Calcular a anomalia verdadeira q 360 o cos cos 1 1 er Ne er Ne ( v ( v r r 0) 0) sexto elemento orbital Se e.r>0, então q fica no primeiro ou no quarto quadrante. Se e.r < 0, então q está no segundo ou no terceiro quadrante. Para achar o quadrante correto, observe que o se o satélite está se afastando do perigeu (r.v 0), então 0 q < 180 o,enquanto se o satélite está se aproximando do perigeu (r.v < 0), então 180 o q <360 o. 14

15 ESTABELECIMENTO DE ÓRBITAS 15

16 Considerações A determinação de uma órbita é sempre considerada preliminar. Os métodos usados não levam em conta pequenas perturbações ou influências externas. As técnicas apresentadas partem do problema de dois corpos. 16

17 O Método de Gibbs O método da amostragem de Gibbs pertence à classe de métodos denominada Monte-Carlo / Cadeias de Markov. De forma geral, este método aplica um modelo (fórmulas) a um ponto, e substitui os resultados no ponto seguinte. Trata-se de um método robusto e consistente. 17

18 J. W. Gibbs Fez importantes contribuições teóricas para a física, química e matemática. Seu trabalho sobre as aplicações da termodinâmica na transformação físico-química contribuiu para o avanço desta ciência em rigor dedutivo. Josiah Willard Gibbs 11 de fevereiro de de abril de

19 Definição do problema Observa-se um objeto se movendo no espaço em três instantes sucessivos t 1, t 2 e t 3 (t 1 < t 2 < t 3 ). Como resultado, teremos três posições no espaço, uma para cada instante: r 1, r 2 e r 3. O problema consiste em obter as velocidades do objeto v 1, v 2 e v 3 correspondentes a cada instante t 1, t 2 e t 3, assumindo-se que seja um problema de dois corpos. 19

20 Dados iniciais: posições Para uma órbita kepleriana, os três pontos r 1, r 2 e r 3 devem estar no mesmo plano. Logo, o vetor unitário normal ao plano de r 2 e r 3 deve ser perpendicular ao vetor unitário na direção de r 1. Formalmente: Cˆ 23 r r 2 2 r r 3 3 ˆ r 1 ur1 r uˆ ˆ r 1 C

21 Criação de um sistema local Podemos definir dois escalares, c 1 e c 3, tais que Usando 21

22 Primeira equação da velocidade Para isolar a velocidade, fazemos o produto vetorial com h: Desenvolvemos o lado esquerdo: Portanto 22

23 Equação final para a velocidade Queremos usar estas expressões no sistema perifocal. Assim, lembramos que e Como Isso é muito importante, pois nos permite calcular v 1, v 2 e v 3 a partir de r 1, r 2 e r 3. 23

24 Método prático Os vetores podem ser usados para construir a expressão auxiliar Que também nos permite calcular v 1, v 2 e v 3 a partir de r 1, r 2 e r 3. 24

25 Algoritmo (resumo das etapas) Dados: r 1, r 2 e r 3 1. Calcular r 1, r 2 e r Calcular 3. Verificar se 4. Calcular N, D e S. 5. Calcular v Usar r 2 e v 2 para calcular os elementos orbitais. 25

26 MANOBRAS ORBITAIS 26

27 Considerações As manobras orbitais servem para levar um objeto de uma órbita para outra. As órbitas inicial e final podem ser semelhantes (pequenos ajustes), mas também podem ser drasticamente diferentes. 27

28 Manobras impulsivas As mudanças somente podem ser executadas pelo uso da 3ª Lei de Newton. Dependem do acionamento de motores foguete. 28

29 Manobras impulsivas Cada manobra resulta em uma mudança Dv da velocidade da nave. Dv pode representar uma mudança no módulo da velocidade uma mudança na direção ('manobra cranking') ambos. O valor Dv do incremento de velocidade está relacionado com Dm. 29

30 A equação do foguete Em um foguete, a relação entre o consumo de combustível e a variação de velocidade é dada por Massa de combustível consumida Variação de velocidade Massa total inicial Impulso específico Aceleração da gravidade ao nível do mar 30

31 Impulso específico Medida de eficiência de motores a reação. Curtis, H.D., Orbital Mechanics for Engineering Students 31

32 Impulso específico A unidade do I sp é segundos (!) Curtis, H.D., Orbital Mechanics for Engineering Students 32

33 Transferências de Hohmann Manobra mais eficiente de dois impulsos para a transferência entre duas órbitas circulares coplanares que compartilham um foco comum. A transferência é uma órbita elíptica tangente aos dois círculos em sua linha de apses. 33

34 W. Hohmann Engenheiro alemão que fez importantes contribuições para a compreensão da dinâmica orbital. Em um livro publicado em 1925, Hohmann demonstrou um método muito eficiente em termos de combustível para mover uma nave espacial entre duas órbitas diferentes. Atualmente, estas manobras são chamadas órbita de transferência de Hohmann. As manobras de Hohmann utilizam sempre tangentes às órbitas cônicas, preferencialmente partindo das apses. Walter Hohmann (Março 1880 Março 1945) 34

35 Manobras orbitais TRANSFERÊNCIA DE HOHMANN 35

36 Transferência de Hohmann Dv A Dv B Dv total Dv A Dv B 36

37 Exemplo 1 Transferência elíptica/circular Uma espaçonave está em uma órbita elíptica em torno da Terra de 480 km por 800 km (órbita 1). Encontre: (a) o Dv necessário no perigeu (A) para colocar a sonda numa órbita de transferência (órbita 2) de 480 km por km. (b) o Dv no apogeu (B) necessário na órbita de transferência B para estabelecer uma órbita circular de km de altitude (órbita 3). 37

38 Exemplo 1 38

39 Exemplo 1 - resolução Cálculo dos parâmetros orbitais da órbita 1: r A = R T + z A = = 6858 km r C = R T + z C = = 7178 km A excentricidade da órbita 1 é 39

40 Exemplo 1 - resolução Aplica-se a equação orbital no perigeu para calcular o momento angular: A velocidade no perigeu da órbita 1 vale 40

41 Exemplo 1 - resolução Cálculo dos parâmetros orbitais da órbita 2 (a elipse): r B = R T + z B = = km A excentricidade da órbita 2 é 41

42 Exemplo 1 - resolução Aplica-se novamente a equação orbital no perigeu para calcular o momento angular: A velocidade no perigeu da órbita 2 vale 42

43 Exemplo 1 - resolução A diferença de velocidade entre as órbitas 1 e 2 (no perigeu) equivale a 43

44 Exemplo 1 - resolução Usamos a fórmula do momento angular para calcular a velocidade no ponto B na órbita 2: Como a órbita 3 é circular, a sua velocidade pode ser obtida partir de 44

45 Exemplo 1 - resolução A diferença de velocidade entre as órbitas 2 e 3 (no apogeu) equivale a 45

46 Exemplo 1 - resolução O Dv total vale Os motores de manobra do ônibus espacial Columbia exerciam I sp = 316 segundos (no vácuo) e o veículo tinha uma massa de 2030 toneladas. Para fazer esta manobra, seriam necessários Dm m 0 1 e Dv I g sp 0 D m e 3, , kg de combustível 46

47 Exemplo 1 - resolução Quanto tempo demora esta manobra? t a 3/ Hohmann 2 t Hohmann 8, s t Hohmann 0,102 dias 47

48 Dv no perigeu ou no apogeu? A órbita de transferência pode partir do apogeu ou do perigeu. Para escolher a melhor transferência, calculam-se os dois o Dv s e decide-se pelo menor deles. 48