SIMULAÇÃO DE TRAJETÓRIAS ORBITAIS UTILIZANDO PROPULSÃO CONTÍNUA E MÚLTIPLOS ARCOS PROPULSIVOS

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1 SIMULAÇÃO DE TAJETÓIAS OBITAIS UTILIZANDO POPULSÃO CONTÍNUA E MÚLTIPLOS ACOS POPULSIVOS Liana Dias Gonçalves 1, Evandro Marconi occo INPE Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais Av. Dos Astronautas, 1758, Jd. Da Granja, São José dos Campos - Brasil lianadgon@gmail.com 1, evandro@dem.inpe.br odolpho Vilhena de Moraes 3 UNIFESP Universidade Federal de São Paulo ua Talim, 33, São José dos Campos - Brasil rodolpho.vilhena@gmail.com 3 esumo: O objetivo deste trabalho é simular e analisar a trajetória orbital de um veículo espacial ao redor da Terra considerando a aplicação de empuxo contínuo, utilizando um sistema de controle de trajetória em malha fechada e múltiplos arcos. Para este trabalho não serão consideradas perturbações externas como, por exemplo, arrasto atmosférico ou pressão de radiação solar, nem distúrbios internos como falhas nos propulsores e sensores. Os arcos de propulsão foram distribuídos de maneira uniforme totalizando 1º de arco, iniciando a aplicação do empuxo 5º antes do valor estipulado para a anomalia verdadeira e finalizando 5º após. Foram simuladas quatro combinações de valores para a anomalia verdadeira: a primeira simulação foi realizada com aplicação de propulsão durante dois arcos, localizados em torno de f = 9º e f = 7º. Na segunda simulação, foram aplicados três arcos localizados em torno de f = 4º, f = 16º e f = 8º. A terceira simulação é feita com aplicação de propulsão durante cinco arcos, localizados em torno de f =, f = 8º, f = 16º, f = 4º e f = 3º. Na quarta, e última, simulação foram utilizados nove arcos, em torno de f =, f = 4º, f = 8º, f = 1º, f = 16º, f = º, f = 4º, f = 8º e f = 3º. Foi analisado o comportamento dos elementos keplerianos, o desvio da velocidade, o empuxo aplicado e o consumo de combustível devido à aplicação de arcos de propulsão em pontos definidos da trajetória do satélite. Os valores encontrados para o desvio das variáveis de estado foi bastante pequeno, o que mostra que o ambiente de simulação Spacecraft Trajectory Simulator foi capaz de controlar a trajetória do veículo espacial ao redor da Terra. Foi possível notar que uma alteração na posição escolhida para os arcos pode afetar diretamente os elementos orbitais e, consequentemente, o consumo de propelente. Palavras- chave: Dinâmica Orbital, Trajetória Orbital, Propulsão Contínua, Arcos Propulsivos. 1 Introdução Os satélites artificiais podem ser utilizados em diversas aplicações, tais como, comunicação, aplicações militares, observação de corpos celestes. Essas aplicações necessitam de acompanhamento e monitoramento da posição do veículo a cada instante, com grande precisão para garantir sucesso na recepção dos dados (além de evitar perdas na comunicação), experimentos científicos, etc. O trabalho tem como principal objetivo simular a trajetória orbital de um satélite artificial ao redor da Terra, considerando a aplicação de empuxo contínuo, utilizando um sistema de controle de trajetória em malha fechada, utilizando múltiplos arcos. O empuxo aplicado em satélites artificiais pode ocorrer por meios de forças naturais do ambiente ou provocado por propulsores. No caso do presente trabalho, o empuxo aplicado é contínuo, provocado por propulsores e na direção tangencial à trajetória, em pontos da órbita pré determinados. Para determinar tais pontos foram escolhidos valores para anomalia verdadeira, distribuídos pela órbita de forma uniforme. A órbita é simulada livre de perturbações externas, sendo analisado, por meio de gráficos, o comportamento dos elementos keplerianos, o desvio na velocidade, o empuxo aplicado e o consumo de 3o Workshop em Engenharia e Tecnologia Espaciais - 4, 5 e 6 de Junho de 1 1

2 combustível devido à aplicação dos arcos. Também foram montadas algumas tabelas, a fim de analisar numericamente alguns dados da órbita, como valores para os desvios dos elementos keplerianos e das variáveis de estado, tempo de simulação, altitude alcançada pelo satélite, período orbital e número de órbitas. O Simulador O STS (Spacecraft Trajectory Simulator) foi desenvolvido por occo (8) em ambiente de simulação Matlab/Simulink, resultando em um programa bastante didático e de fácil utilização. O simulador opera com algumas características específicas: em malha fechada, isto é, com o sinal de saída próximo ao sinal de entrada, sendo possível diminuir ao máximo os erros de regime ou desvios de estado; de forma discreta, ou seja, calculando o estado do veiculo espacial (posição e velocidade) a cada passo de simulação, definido como um dos parâmetros de entrada para o simulador; e utilizando propulsão contínua, em que é assumido que o motor seja capaz de aplicar um empuxo finito durante um tempo diferente de zero..1 Controle da Trajetória Orbital O diagrama de blocos da Figura X representa o sistema de controle da trajetória orbital em malha fechada utilizado pelo STS. Figura 1. Controle em malha fechada da trajetória Primeiramente determina-se um estado de referência (Xref), uma estimativa ótima da trajetória a ser seguida pelo satélite, a partir dos objetivos da missão. Esta referência é comparada com o estado real do satélite (Xdet), que é obtida por meio de sensores. Essa comparação gera um sinal de erro, que será a entrada do controlador. O controlador utiliza as técnicas PID (proporcional, integral e derivativo) para gerar o sinal de controle que será enviado para os atuadores, definindo a magnitude e a direção das correções a serem aplicadas. A saída do atuador, somada às perturbações ou distúrbios externos serão inseridas à dinâmica do movimento orbital, determinando a posição e a velocidade atuais do satélite. Por meio de sensores são coletados parâmetros referentes à posição real do satélite (Xdet), que é novamente comparada com a posição de referência (Xref), que gera um erro e o ciclo do sistema de controle recomeça.. Dinâmica do Movimento Orbital O movimento orbital pode ser determinado resolvendo a equação de Kepler a cada passo definido como parâmetro de entrada no simulador Spacecraft Trajectory Simulator (STS). Dados um estado inicial e um intervalo de tempo, resolvendo o problema inverso de posicionamento de um satélite, é possível determinar os elementos keplerianos da órbita. Utilizando a equação de Kepler obtém-se os elementos propagados para o intervalo de tempo considerado como entrada para a simulação. 3o Workshop em Engenharia e Tecnologia Espaciais - 4, 5 e 6 de Junho de 1

3 A partir dos novos elementos keplerianos, é possível obter o estado propagado resolvendo o problema direto de posicionamento de um satélite. A equação de Kepler é dada pela equação (1): M = u e sin u Também temos que a anomalia média é dada por (): M = n( t T ) Sendo n o movimento médio e T o tempo de passagem pelo perigeu. (1) () O movimento médio é obtido a partir da equação (3) µ n = 3 a (3) Em que µ é o parâmetro gravitacional, dado por µ = GM, a é o semi eixo maior, G a constante gravitacional e M a massa da Terra. Segundo oy (198), o problema direto de posicionamento de um satélite consiste em obter as coordenadas cartesianas, a partir dos elementos keplerianos da orbita (a, e, i, Ω, ω, M) e do tempo t. esumidamente: 1. A partir do semi eixo maior (a) e do parâmetro gravitacional (µ) calcula-se o valor do movimento médio utilizando a terceira lei de Kepler:. Dados t e T, utilizando a equação (), calcula-se o valor da anomalia média. 3. esolver a equação de Kepler, equação (1), para se obter a anomalia excêntrica u. 4. Calcular o valor de r via 5. Obter X i e utilizando as equações (4) e (5) e as relações (6). X = A (cos u e) + B sin u i i a X& n i = ( Ai sin u + Bi cosu) r i (4) (5) Que são determinados fazendo i = 1,, 3, corresponder respectivamente a x, y, z, utilizando A = a ; x 11 B = a x 1 e 1 A = a ; y 1 B = a y 1 e (6) A = a ; z 31 B = a z 1 e 3 Em que os valores para ij, são obtidos a partir da matriz de rotação (Ω, i, ω), dada por (7): Ω (, i, ω) = (7) 3o Workshop em Engenharia e Tecnologia Espaciais - 4, 5 e 6 de Junho de 1 3

4 Sendo: = cosω cosω sinω sinω cosi = sin ω cosω cosω sinω cosi = sinω sin i = cosω sinω + sin ω cosω cosi = sin ω sinω + cosω cosω cosi = sin i cosω = sin ω sin i = cosω sin i = cosi Assim, obtemos as equações (8) e (9): r = + v = 1/ ( X + Y Z ) ( X& + Y& + Z& ) 1/ (8) (9) O problema inverso de posicionamento de um satélite baseia-se em, dados os valores das variáveis de estado calcular os elementos keplerianos da órbita (a, e, i, Ω, ω, M). O processo é descrito pelas seguintes etapas: 1. Dados os valores das variáveis de estado, podemos determinar r² e v².. Calcular o valor do semi eixo maior utilizando a equação da vis-viva dada por (1) 1 v = µ r a 3. Por meio da terceira lei de Kepler calcula-se o movimento médio utilizando a equação (11) (1) n = µ 3 a (11) 4. A excentricidade pode ser encontrada a partir da equação (1): 1 rr& r e = 1 + na a Sendo r r& = XX& + YY& + ZZ& (1) 5. Obtidos os valores para u e e, calcula-se a anomalia média utilizando a equação(1) 6. A ascensão reta Ω e a inclinação i são dadas por (13) e (14), respectivamento: hx Ω = arctan h i = arctan Y ( h + h ) X h Z Y 1 (13) (14) 3o Workshop em Engenharia e Tecnologia Espaciais - 4, 5 e 6 de Junho de 1 4

5 Sendo h x, h y e h z as componentes do momento angular específico. r r r h = v = YZ& YZ & iˆ + ZX& ZX & ˆj + XY& XY & ˆ ( ) ( ) ( )k 7. O argumento do perigeu pode ser calculado da seguinte forma: θ = ω + f Em que f = arcsin ( 1 e ) 1 sin u 1 e cosu Logo, obtemos a equação (15): f cosu e = arccos 1 e cosu cosi sinωx + cosi cosωy + sin iz tanθ = cosωx + sinωy 3 esultados A seguir serão apresentados os resultados de quatro diferentes simulações, em que foram variados os valores para anomalia verdadeira das regiões de aplicação dos arcos. Para todos os casos, a simulação ocorre com aplicação de propulsão tangencial a partir de 5 s até 14 s. A magnitude do empuxo de referência é de 6 N. No entanto, o propulsor tem a capacidade de modular o empuxo aplicado em, até no máximo, 1 N. O caso em que os propulsores foram mantidos desligados não será exposto, visto que não ocorrem desvios nos elementos keplerianos e nem nas variáveis de estado, não havendo empuxo aplicado, nem consumo de propolente. Também não serão expostos os gráficos obtidos para a inclinação e a longitude do nodo ascendente, pois por se tratar de uma trajetória coplanar, ou seja sem variação do plano orbital, não ocorre variação nos valores encontrados, que mantém-se, durante a órbita, em 63,4º e 3º, respectivamente. Os arcos são definidos da seguinte forma: a aplicação do empuxo inicia-se 5º antes do valor estipulado para a anomalia verdadeira e finaliza 5º após, totalizando 1º de arco propulsivo. A primeira simulação foi realizada com aplicação de propulsão durante dois arcos, localizados em torno de f = 9º e f = 7º. Na segunda simulação, foram aplicados três arcos localizados em torno de f = 4º, f = 16º e f = 8º. A terceira simulação é feita com aplicação de propulsão durante cinco arcos, localizados em torno de f =, f = 8º, f = 16º, f = 4º e f = 3º. Na quarta, e última, simulação foram utilizados nove arcos, em torno de f =, f = 4º, f = 8º, f = 1º, f = 16º, f = º, f = 4º, f = 8º e f = 3º. Com o objetivo de organizar melhor os resultados obtidos e facilitar a visualização dos resultados, primeiramente serão apresentadas as tabelas com os valores obtidos para o desvio das variáveis de estado e dos elementos keplerianos, altitude alcançada pelo satélite, período orbital e número de órbitas. Em sequência, os gráficos dos elementos keplerianos, massa de propelente, empuxo e desvio de velocidade de cada simulação feita. 3.1 Tabelas As Tabelas 1 a 1, presentes nos itens a seguir, apresentam os valores obtidos na simulação que caracterizam a órbita realizada pelo satélite quando aplicados arcos. Simulação 1: Aplicação de propulsão durante arcos de 1º Localização dos arcos: f = 9 o e f = 7º 3o Workshop em Engenharia e Tecnologia Espaciais - 4, 5 e 6 de Junho de 1 5

6 Tempo de Simulação 144 s Massa de propelente (kg), Altitude (km) 694, Período (s) 5835, Órbitas, Tabela 1. Dados orbitais quando aplicados arcos x -, y -, z -, , , , Tabela. Desvio das variáveis de estado quando aplicados arcos Semi eixo maior (m) -, Excentricidade -, Inclinação (graus) -, Ascensão reta do nodo ascendente (graus) -, Argumento do perigeu (graus), Anomalia média (graus), Tabela 3. Desvio dos elementos keplerianos quando aplicados arcos Simulação : Aplicação de propulsão durante 3 arcos de 1º Localização dos arcos: f = 4 º, f = 16º e f = 8º Tempo de Simulação 144 s Massa de propelente (kg) 1, Altitude (km) 74, Período (s) 5847, Órbitas, Tabela 4. Dados orbitais quando aplicados 3 arcos 3o Workshop em Engenharia e Tecnologia Espaciais - 4, 5 e 6 de Junho de 1 6

7 x -, y -, z, , , , Tabela 5. Desvio das variáveis de estado quando aplicados 3 arcos Semi eixo maior (m) 14, Excentricidade -1, x 1-5 Inclinação (graus) -4, x Ascensão reta do nodo ascendente (graus) -, x 1 Argumento do perigeu (graus), Anomalia média (graus) -, Tabela 6. Desvio dos elementos keplerianos quando aplicados 3 arcos Simulação 3: Aplicação de propulsão durante 5 arcos de 1º Localização dos arcos: f =, f = 8º, f = 16º, f = 4º e f = 3º Tempo de Simulação 144 s Massa de propelente (kg) 1, Altitude (km) 78, Período (s) 5854, Órbitas, Tabela 7. Dados orbitais quando aplicados 5 arcos x -, y -, z, , ,

8 -, Tabela 8. Desvio das variáveis de estado quando aplicados 5 arcos Semi eixo maior (m) 1, Excentricidade -1, x 1 Inclinação (graus) -9, x 1-7 Ascensão reta do nodo ascendente (graus) -4, x 1-6 Argumento do perigeu (graus), Anomalia média (graus) -, Tabela 9. Desvio dos elementos keplerianos quando aplicados 5 arcos Simulação 4: Aplicação de propulsão durante 9 arcos de 1º Localização dos arcos: f =, f = 4º, f = 8º, f = 1º, f = 16º, f = º, f = 4º, f = 8º e f = 3º Tempo de Simulação 144 s Massa de propelente (kg), Altitude (km) 74, Período (s) 5876, Órbitas, Tabela 1. Dados orbitais quando aplicados 9 arcos x -, y -, z, , , , Tabela 11. Desvio das variáveis de estado quando aplicados 9 arcos Semi eixo maior (m) 5,

9 Excentricidade -1, x Inclinação (graus) -9, x 1 Ascensão reta do nodo ascendente (graus) -4, x 1-5 Argumento do perigeu (graus) -, Anomalia média (graus), Tabela 1. Desvio dos elementos keplerianos quando aplicados 9 arcos 3. Gráficos As Figuras 1 a X, apresentam os resultados obtidos na simulação para os elementos keplerianos, consumo de propelente e desvio da velocidade, que caracterizam a órbita realizada pelo satélite quando aplicados arcos. Semi-eixo maior Figura 1. Semi-eixo maior quando aplicados arcos 7.7 x Figura. Semi-eixo maior quando aplicados 3 arcos 7.16 x semi-major axis(m) semi-major axis(m) Figura 3. Semi-eixo maior quando aplicados 5 arcos 7.5 x Figura 4. Semi-eixo maior quando aplicados 9 arcos 7.4 x semi-major axis(m) semi-major axis(m) Podemos perceber que a cada aumento do número de arcos de propulsão aumentam também a quantidade de degraus presentes na curva formada pelo semi eixo maior tempo e a medida do semi eixo maior. O 9

10 primeiro arco é aplicado quando o satélite está com valor de semi eixo maior de 7 x 1 6 m e os próximos são aplicados em valores pré determinados da anomalia verdadeira. Excentricidade Figura 5. Excentricidade quando aplicados arcos Figura 6. Excentricidade quando aplicados 3 arcos eccentricity eccentricity Figura 7. Excentricidade quando aplicados 5 arcos Figura 8. Excentricidade quando aplicados 9 arcos 1.15 x x eccentricity eccentricity A cada aplicação do arco propulsivo ocorre uma pequena variação na excentricidade. 1

11 Anomalia Média Figura 9. Anomalia média quando aplicados arcos Figura 1. Anomalia Média quando aplicados 3 arcos mean anomaly (deg) 5 15 mean anomaly (deg) Figura 11. Anomalia média quando aplicados 5 arcos 4 35 Figura 1. Anomalia média quando aplicados 9 arcos mean anomaly (deg) 5 15 mean anomaly (deg) Já que semi eixo maior do satélite aumenta com o passar do tempo, a cada volta o satélite demora mais tempo para passar sobre o mesmo ponto da superfície terrestre, o que é justificado com o aumento do período orbital. 11

12 Argumento do Perigeu Figura 13. Argumento do perigeu quando aplicados arcos Figura 14. Argumento do perigeu quando aplicados 3 arcos perigee argument (deg) perigee argument (deg) Figura 15. Argumento do perigeu quando aplicados 5 arcos perigee argument (deg) Figura 16. Argumento do perigeu quando aplicados 9 arcos perigee argument (deg) Da mesma forma que a anomalia média, o aumento da altitude do satélite causa um aumento no período orbital. Podemos perceber que o aumento no número de arcos aumenta a variação no valor do argumento do perigeu ao longo de cada órbita. Na média percebe-se que existe uma tendência do argumento do perigeu aumentar. 1

13 Desvio da Velocidade Figura 17. Desvio da velocidade quando aplicados arcos velocity deviation(m/s) Figura 18. Desvio da velocidadequando aplicados 3 arcos velocity deviation(m/s) Figura 19. Desvio da velocidade quando aplicados 5 arcos Figura. Desvio da velocidade quando aplicados 9 arcos velocity deviation(m/s) velocity deviation(m/s) As Figuras mostram o desvio na velocidade sofrido pelo satélite durante a manobra. Sendo o desvio a diferença entre as variáveis de estado (posição e velocidade) real e de referência, notamos que cada arco gera um pico de desvio na velocidade, que passa por um regime transitório do sistema de controle, toda vez que o propulsor é acionado ou desligado, ou seja a cada início e fim dos arcos. Massa Total de Propelente 13

14 Figura 1. Massa total de propelente quando aplicados arcos Figura. Massa total de propelente quando aplicados 3 arcos total propellant mass (Kg) total propellant mass (Kg) Figura 3. Massa total de propelente quando aplicados 5 arcos Figura 4. Massa total de propelente quando aplicados 9 arcos total propellant mass (Kg) total propellant mass (Kg) A cada aplicação do arco propulsivo ocorre um expressivo consumo de combustível, que se estabiliza até a aplicação do próximo arco. Notamos que quanto menos arcos de propulsão aplicados no satélite ao longo de toda a trajetória, menor é o consumo de combustível, mas também menor é a alteração do semi eixo maior e da altitude do satélite. 14

15 Empuxo Aplicado Figura 5. Empuxo quando aplicados arcos Figura 6. Empuxo quando aplicados 3 arcos x axis y axis z axis thrust applied thrust (N) - applied thrust (N) x axis y axis z axis thrust Figura 7. Empuxo quando aplicados 5 arcos Figura 8. Empuxo quando aplicados 9 arcos x axis y axis z axis thrust 1 x axis y axis z axis thrust applied thrust (N) 5 applied thrust (N) Como o objetivo da simulação é aplicar empuxo a valores pré determinados da anomalia verdadeira, aumentar a quantidade de arcos por órbita implica em aumentar também a quantidade de empuxos. A magnitude dos empuxos aplicados não apresenta o mesmo valor pois ela é função da posição dos arcos de propulsão. 4 Conclusões Os resultados obtidos comprovaram que o programa Spacecraft Trajectory Simulator, desenvolvido para analisar missões espaciais utilizando controle de trajetória em malha fechada e propulsão contínua é capaz de controlar a trajetória de veículos espaciais quando consideramos que o sistema propulsivo é acionado apenas em determinadas regiões da órbita. Podemos observar que os desvios nas variáveis de estado foram sempre valores pequenos, ou seja, o sistema de controle foi capaz de reduzir o erro nas variáveis de estado por meio da atuação dos propulsores. Deve-se ressaltar que considerou-se que os propulsores são capazes de modular o empuxo aplicado além de fornecerem a direção adequada para a aplicação do empuxo, determinada pelo controlador. Essa é uma característica construtiva do veículo estudado que pode variar para cada missão. No entanto, não faz parte do escopo deste trabalho a definição das características construtivas de uma missão em particular, mas sim um estudo genérico do controle de trajetória orbital por meio da utilização do empuxo contínuo limitado a determinadas regiões da órbita. 15

16 Os resultados mostraram que o modelo é capaz de determinar o comportamento dos elementos keplerianos e das variáveis de estado, o consumo de propelente, o empuxo aplicado e os desvios nos elementos orbitais e nas variáveis de estado de uma nave espacial, devido aos distúrbios aplicados. Os gráficos gerados para a excentricidade, argumento do perigeu, anomalia média e desvio na velocidade mostram que o processo é cíclico. Tal resultado foi obtido pelo fato de os arcos terem sido distribuídos de forma uniforme ao longo da órbita do satélite ao redor da Terra. Os gráficos para o semi eixo maior mostram que o aumento do número de arcos causa aumento na medida do semi eixo maior. Os valores para o semi eixo maior, até o tempo estipulado para a simulação, encontram-se na Tabela 13. Número de arcos Semi eixo maior 75461, m ,61489 m , m ,65746 m Tabela 13. Valores obtidos para o semi-eixo maior Conclui-se que com a aplicação de nove arcos de propulsão foi atingido um valor de semi eixo maior quase 33 km maior do que quando aplicado arcos, ou seja, aproximadamente,5%. Porém, como podemos ver nas Tabelas 1 e 1, a aplicação de 9 arcos exige um consumo de combustível cerca de 5,84 vezes maior do que quando aplicados arcos, ou seja, é necessário um consumo de aproximadamente 48% a mais de propelente. Por meio do ajuste de parâmetros de entrada do ambiente de simulação STS, diferentes casos ainda podem ser explorados podendo-se realizar, por exemplo, o estudo das posições ótimas para a aplicação de manobras, maximizando ou minimizando o efeito nos elementos keplerianos. Na figura foram aplicados arcos de propulsão em valores de anomalia verdadeira em torno de f = e f = 18º. Como observado na Figura J, em que os arcos foram aplicados em torno de f = 9º e f = 7º, nota-se que existe relevante diferença entre os valores máximos obtidos para o semi eixo maior, com praticamente o mesmo gasto de combustível, como é visto nas Figuras K e L. Desta forma percebe-se que a análise da localização dos arcos é de grande importância, o que justifica a continuidade deste trabalho. eferências KUGA, H. K., AO, K.., CAAA, V. Introdução à mecânica orbital.. ed. São José dos Campos: INPE, p. (INPE-5615-PUD/64). OCCO, E.M., 8, Perturbed Orbital Motion with a PID Control System for the Trajectory, XIV Colóquio Brasileiro de Dinâmica Orbital, Águas de Lindóia. OY A.E., Orbital motion.. ed. Bristol: Adam Hilger Ltd, Printed in Great Britain by J W Arrowsmith Ltd,198 16