Geometria anaĺıtica e álgebra linear Francisco Dutenhefner Departamento de Matematica ICEx UFMG 22/08/13 1 / 24
Determinante: teorema principal Teorema: Se A é uma matriz quadrada, então o sistema linear AX = B possui uma única solução quando A é invertível. Neste caso, a solução do sistema é X = A 1 B. Nem toda matriz tem inversa. Como saber se uma matriz é invertível sem apelar para o cálculo da inversa? Vamos associar a cada matriz A um número, chamado determinante. Este número será definido de modo que seja verdadeiro o seguinte resultado. Teorema: Seja A uma matriz quadrada. Então A tem inversa se, e somente se, det(a) 0. 2 / 24
Determinante: casos particulares 1 o caso: matrizes 1 1 A matriz A = [a] tem inversa se a 0. Definimos det(a) = a. 2 o caso: matrizes [ 2 2] a b A matriz A = tem inversa quando ad bc 0. c d Neste caso [ ] A 1 1 d b = ad bc c a Definimos det(a) = ad bc. 3 / 24
Determinante: casos particulares 3 o caso: matriz triangular superior a 11 a 12 a 13 A = 0 a 22 a 23 0 0 a 33 Tem inversa quando a 11 0, a 22 0 e a 33 0. Ou seja, quando a 11 a 22 a 33 0. Neste caso, definimos det(a) = a 11 a 22 a 33. De modo geral, o determinante de uma matriz triangular é o produto dos números da diagonal principal. Em todos os casos analisados, A tem inversa se, e somente se, det(a) 0. 4 / 24
Escalonamento Determinante Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L j, então det(b) = det(a). Se B foi obtida de A pela operação elementar L i αl i, então det(b) = α det(a). Se B foi obtida de A pela operação elementar L i L i + αl j, então det(b) = det(a). Como toda matriz pode ser escalonada até uma matriz triangular, como sabemos calcular o determinante de uma matriz triangular, usando estas propriedades, podemos calcular o determinante de qualquer matriz quadrada. 5 / 24
Determinante: exemplo 1 Calcule o determinante de A = 2 1 0 6 2 1 4 8 1 Solução: L 2 L 2 3L 1 e L 3 L 3 + 2L 1 2 1 0 A 1 = 0 5 1 det(a 1 ) = det(a) 0 10 1 L 3 L 3 + 2L 2 A 2 = 2 1 0 0 5 1 0 0 3 det(a 2 ) = det(a 1 ) = det(a) det(a 2 ) = 2 ( 5) 3 = 30 = det(a). 6 / 24
Determinante: exemplo 1 Para matriz 3 3 deve ser utilizada a Regra de Sarrus. A = 2 1 0 6 2 1 4 8 1 det(a) = 4 4 + 0 (0 + 16 + 6) = 8 22 = 30 7 / 24
Atenção! det(a) = 4 4 + 0 (0 + 16 + 6) = 8 22 = 30 A regra de Sarrus só vale para matrizes 3 3 8 / 24
Determinante: exemplo 2 Calcule o determinante de A = 0 1 5 3 6 9 2 6 1 Solução: L 1 L 2 A 1 = 3 6 9 0 1 5 2 6 1 det(a 1 ) = det(a) L 1 1 3 L 1 A 2 = 1 2 3 0 1 5 2 6 1 det(a 2 ) = 1 3 det(a 1) = 1 3 det(a) 9 / 24
Determinante: exemplo 2 A 2 = 1 2 3 0 1 5 2 6 1 L 3 L 3 2L 1 1 2 3 A 3 = 0 1 5 0 10 5 det(a 2 ) = 1 3 det(a 1) = 1 3 det(a) det(a 3 ) = det(a 2 ) = 1 3 det(a) L 3 L 3 10L 2 1 2 3 A 4 = 0 1 5 0 0 55 det(a 4 ) = det(a 3 ) = 1 3 det(a) Chegamos em uma matriz triangular. Podemos parar. 10 / 24
Determinante: exemplo 2 A 4 = 1 2 3 0 1 5 0 0 55 det(a 4 ) = det(a 3 ) = 1 3 det(a) Como A 4 é matriz triangular, det(a 4 ) = 1 1 ( 55) = 55. Portanto det(a) = 3 det(a 4 ) = 3 ( 55) = 165 11 / 24
Determinante - exemplo 3 Suponha que a matriz B = 1 0 0 0 2 3 0 0 2 1 1 0 3 5 8 2 tenha sido obtida de A aplicando-se sucessivamente as seguintes operações elementares: (a) Troca da linha L 3 com a linha L 4 ; (b) Substituição da linha L 2 por L 2 3L 1 ; (c) Substituição da linha L 3 por 1 2 L 3. Calcule o determinante da matriz A. 12 / 24
Determinante - exemplo 3 Solução: Foram aplicadas as operações elementares (a) L 3 L 4. (b) L 2 L 2 3L 1. (c) L 3 1 2 L 3. Se A 1 é a matriz obtida de A pela primeira operação elementar, então det(a 1 ) = det(a). Se A 2 a matriz obtida de A 1 pela segunda operação elementar, então det(a 2 ) = det(a 1 ). Finalmente, B é a matriz obtida de A 2 pela terceira operação elementar. Daí det(b) = 1 2 det(a 2). Daí det(a) = 2 det(b). 13 / 24
Determinante - exemplo 3 det(a) = 2 det(b) B = 1 0 0 0 2 3 0 0 2 1 1 0 3 5 8 2 Como B é uma matriz triangular, o seu determinante é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal: det(b) = 1 ( 3) ( 1) ( 2) = 6 Portanto det(a) = 2 ( 6) = 12. 14 / 24
Determinante: teoremas importantes O determinante foi definido para que seja verdadeiro o seguinte resultado. Teorema: Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, det(a) 0. Da aula passada sabemos que: Teorema: Um sistema linear quadrado AX = B tem solução única se, e somente se, A é invertível. Neste caso, X = A 1 B. Teorema: Se A é uma matriz quadrada, as seguintes afirmações são equivalentes. (a) A tem inversa. (b) det(a) 0. (c) O sistema linear AX = B tem solução única. (d) O sistema homogêneo AX = 0 só admite a solução trivial X = 0. 15 / 24
Cálculo do determinante via cofatores Dada uma matriz quadrada A, o menor do elemento a ij, denotado por Ãij, é a matriz obtida de A pela eliminação da linha i e da coluna j. Por exemplo se A = 5 1 4 2 8 3 7 6 9 então 16 / 24
Cálculo do determinante via cofatores O cofator do elemento a ij, denotado por ã ij, é o número real ) ã ij = ( 1) i+j det (Ãij. Por exemplo se A = 5 1 4 2 8 3 7 6 9 então 17 / 24
Cálculo do determinante via cofatores O determinante pode ser calculado recursivamente do seguinte modo. Seja dada uma matriz quadrada A n n. Escolha uma linha i qualquer de A. Então det(a) = a i1 ã i1 + a i2 ã i2 + + a in ã in. Deste modo, para o cálculo do determinante de A n n é necessário o cálculo de n determinantes de matrizes (n 1) (n 1). Podemos então ir diminuindo a ordem da matriz até chegar em uma 3 3 onde pode ser aplicado Sarrus, ou ainda, até uma de tamanho 2 2, onde det = ad bc. 18 / 24
Exemplo 2 Calcule o determinante de A = Solução: Escolhendo a primeira linha, 2 1 0 6 2 1 4 8 1 det(a) = 2 ã 11 + 1 ã 12 + 0 ã 13 [ det(a) = 2( 1) 1+1 2 1 det 8 1 ] [ + 1( 1) 1+2 det 6 1 4 1 ] det(a) = 2 ( 10) 1 10 = 20 10 = 30 19 / 24
Exemplo 2...que coincidência. Dá o mesmo resultado aplicando a regra de Sarrus det(a) = 4 4 + 0 (0 + 16 + 6) = 8 22 = 30 20 / 24
Exemplo 3 Calcule o determinante de A = Solução: Escolhendo a terceira linha, det(a) = 4( 1) 3+2 det 2 3 0 3 2 2 1 2 2 2 1 3 0 3 1 2 2 0 4 0 3 1 0 2 2 + 3( 1) 3+4 det 2 1 3 3 1 2 1 0 2 det(a) = 4 8 3 ( 5) = 32 + 15 = 17 21 / 24
Determinante - propriedades Se A tem uma linha nula, então det(a) = 0. Se A tem duas linhas iguais, então det(a) = 0. det(a t ) = det(a). Daí o desenvolvimento do determinante por cofatores tambem pode ser feito fixada uma coluna de A. Se A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho, det(ab) = det(a) det(b). Se A tem inversa, então det(a 1 ) = 1 det(a). 22 / 24
Exercícios Ex 1. Se A e B são matrizes 3 3 tais que det(a) = 3 e det(b) = 2, calcule det(2a), det( A 2 ) e det(3a 1 B 2 ) Ex 2. Considere a matriz A = 2 2 2 0 2 0 0 1 3 (a) Determine todos os valores de λ para os quais o sistema linear homogêneo (A λi 3 )X = 0 tem solução não trivial. (b) Para cada λ, dê a solução geral do sistema linear homogêneo do item anterior.. 23 / 24