Análise Dinâmica de Sistemas Mecânicos e Controle Unidade 2 Representação de sistemas Através de Diagramas e Espaço de Estados Prof. Thiago da Silva Castro thiago.castro@ifsudestemg.edu.br
1. Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 2. Representação via Diagrama de Fluxo de Sinal 3. Modelagem no Domínio do Tempo - Espaço de Estados 4. Lista de Exercícios Sumário 2
Um sistema de controle pode ter vários componentes. Para mostrar as funções que são executadas em cada um desses componentes utilizase uma metodologia chamada Diagrama de Blocos. Verificando os modelos para sistemas complexos, pode-se notar que eles são resultantes de subsistemas ou elementos, cada qual com sua função de transferência. Os diagramas em blocos podem ser usados para representar cada um destes subsistemas, e o arranjo agrupado e conectado, num sistema como um todo. 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 3
O Diagrama de blocos de um sistema é a representação das funções desempenhadas por cada um desses componentes, e o fluxo de sinais entre eles. Os diagramas descrevem o inter-relacionamento que existe entre esses componentes A operação funcional de um sistema pode ser melhor visualizada utilizando um diagrama de blocos do que o próprio sistema físico. Fácil construção de todo o sistema pela interligação dos blocos componentes, de acordo com o fluxo de sinais, e permite-se avaliar a contribuição de cada componente para o desempenho global. 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 4
O diagrama em blocos contém vários itens na sua representação. São estes: 1. Seta É usada para representar o sentido do fluxo de sinal. Normalmente o sentido de um bloco segue o sentido da esquerda para a direita, onde as entradas estão a esquerda e as saídas a direita. Em alguns casos, realimentações, ou envio de informações para outro ponto do sistema pode-se enviar o sinal em sentidos diferentes. 2. Bloco Funcional Um símbolo de operação matemática sobre o sinal de entrada do bloco que produz a saída. Normalmente representado por uma função de transferência no domínio de Laplace O sinal passa no sentido das setas. Pode ter uma ou mais entradas. Pode ter uma ou mais saídas. U(s) Y(s) Y s = G s. H(s) 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 5
3. Ponto de soma, somador ou detector de erro. O círculo com uma cruz é o símbolo que indica uma operação de soma. O sinal mais ou menos determina se o sinal deve ser adicionado ou subtraído. Deve se certificar que os valores somados devem estar na mesma unidade de medida, ou dimensão. Pode-se representar também através de um bloco funcional de soma. 4. Ponto de junção É um ponto a partir do qual o sinal proveniente de um bloco vai para outros blocos ou pontos de soma. A informação é replicada nas várias junções, ou seja, o sinal dividido apresentará uma cópia do sinal original. A informação entra em um ponto de junção e é replicada para as outras ramificações. Ponto de Junção U1(s) U2(s) Y(s) U(s) Y(s) 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos R(s) 6
U(s) Y(s) 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 7
1. Planta Modelo matemático de um elemento, ou de um sistema como um todo. Normalmente um sistema a ser controlado. 2. Realimentação, ou Retroalimentação. Ação do sinal de saída sobre um sinal de referência ou um sinal de entrada Positiva (+) ou Negativa (-) 3. Sistema de Malha Aberta A saída não interfere no sinal de entrada Não pode realizar compensações para quaisquer perturbações que sejam adicionadas ao sinal de acionamento do controlador Não efetuam correções por causa das perturbações e são comandados simplesmente pela entrada. Normalmente não Realimentado 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 8
3. Sistema de Malha Fechada Sinal de saída comparado com um sinal de referência, dando origem a um sinal de comando. Apresentam realimentação de estados. A resposta é insensível a distúrbios externos e variações dos parâmetros. r sinal de referência e sinal de comando ou de erro y sinal de saída 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 9
SMA Sistemas Estáveis em Geral. Não apresenta problemas com estabilidade. Mais simples de se construir. Necessário se conhecer o comportamento da entrada. Facilmente afetados por distúrbios. Necessário regulagem periódica. SMF Controle preciso (mesmo com componentes baratos) Robustos com distúrbios ou variações na entrada. Problemas com estabilidade Mais complexos (mais componentes) 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 10
Pode-se construir um diagrama de blocos a partir de um conjunto de equações. Os passos para a construção de um DB são os seguintes: 1. Escrever as equações do sistema no domínio de Laplace 2. Desenhar um DB para cada equação 3. Unir os diagramas obtidos. Dado o circuito abaixo, construí o respectivo DB Entrada Saída 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 11
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 12
Exercícios: Saída Entrada Saída Saída Entrada Entrada 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 13
Um diagrama de blocos mais complexo, com um número maior de laços pode ser simplificado ou reorganizado pela combinação de dois ou mais blocos em um só. Isto será feito sob regras que não alterem a dinâmica do sistema original. A medida que o diagrama vai sendo simplificado, o número de blocos funcionais vai diminuindo e a complexidade das funções de transferência vai aumentando devido ao aparecimento de novos pólos e zeros. REGRAS PARA REDUÇÃO DE UM DIAGRAMA DE BLOCOS 1. Alteração da ordem das parcelas, redução de somadores ou desmembramento: 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 14
2. Blocos em Cascata 3. Blocos em Paralelo 4. Mover um bloco para depois do somador 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 15
5. Mover um bloco para antes de um somador 6. Mover um bloco para antes de um ponto de junção 7. Mover um bloco para depois do ponto de junção 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 16
8. Forma Canônica de um sistema de realimentação Definindo G(S) função de transferência de canal ou ramo direto. H(S) função de transferência de realimentação. G(S).H(S) função de transferência de malha aberta FTMA. Definindo: B s E s = G s H s Função Transferência de Malha Aberta Chegamos a: F s = C s R s = G s 1 G s H s 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos Função Transferência de Malha Fechada 17
Propriedade Todo diagrama de blocos de um sistema monovariável pode ser reduzido a um único bloco funcional. Exemplo: Reduzir o DB abaixo a um único bloco funcional e determinar a função de transferência do sistema 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 18
As regras para redução de diagrama de blocos podem ser também, em alguns casos, aplicadas em sistemas multivariáveis para simplificar o diagrama original. Em um sistema multivariável lidamos com matrizes de transferência e, portanto não é possível reduzir o DB a um único bloco funcional. Exemplo: Dado o DB abaixo, determine a matriz de transferência: 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 19
Exemplo: Dado o DB abaixo, determine a matriz de transferência: 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 20
O diagrama de blocos de um sistema é um tipo de modelo matemático amplamente usado no estudo dos sistemas de controle. Entretanto quando lidamos com sistemas com vários laços ou seja muitas interconexões, a aplicação das regras para simplificação do diagrama pode acabar se transformando em um trabalho complexo. 2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 21
Uma forma alternativa para se lidar com diagramas de blocos mais complexos é usar o denominado diagrama de fluxo de sinal DFS. Este tipo de diagrama é mais simples e mais adequado a operação computacional (fórmula de Mason), que permite determinar a função de transferência de um sistema sem usar as regras de redução de DB já vistas. Um Diagrama de fluxo de Sinal DFS, é então um DB simplificado e é basicamente constituído por: NÓ É a representação gráfica de uma variável ou sinal. RAMO É a representação gráfica de uma operação, às vezes denominada de transmitância. O ramo liga dois nós e é orientado. A transmitância corresponde à função de transferência de um bloco funcional. 2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 22
1. Caminho ou percurso É uma trajetória constituída por ramos e percorrida no sentido indicado pelas setas. 2. Nó de Entrada É aquele que só possui ramos de saída. 3. Nó de Saída É aquele que só possui ramos de chegada. 4. Nó Misto É aquele que possui ramos de entrada e ramos de saída 5. Caminho Direto É uma trajetória que liga um nó de entrada a um nó de saída e não cruza nenhum nó mais de uma vez 2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 6. Ganho de um caminho É o produto da transmitâncias ao longo do mesmo. 7. Laço É um caminho que termina no mesmo nó que começou e não cruza nenhum nó mais de uma vez 8. Laços que não se tocam São laços que não possuem nós em comum 23
Caminhos: 1-2-3; 3-4-5-6 Nó de entrada: 1 Nó de saída: 7 e 8 Nó misto: 2, 3 4 5 6. Caminho direto: 1-2-3-4-5-6-7, 1-2-3-8 e 1-2-6-7 Laço 1: 2-3-2 Laço 2: 4-5-4 Laço 3: 2-3-4-5-2 Laços que não se tocam: 1 e 2 2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 24
A fórmula de ganho de Mason tem como objetivo calcular a função de transferência, F(S), entre um nó de entrada e um nó de saída em um diagrama de fluxo de sinal. Sendo assim, para sistemas multivariáveis, será aplicada m x r vezes onde m o número de entradas e r o de saídas. 2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 25
1. Considere um nó de entrada e um de saída. Identifique os caminhos diretos e calcule os respectivos ganhos. 2. Identifique os laços do diagrama e calcule os respectivos ganhos; 3. Calcule 4. Calcule D. L a, L b L c, L d L e L f, 5. Para cada caminho direto, calcule os respectivos cofatores 6. Calcule F(S) para o nós de entrada e saída considerados: 7. Se o sistema for multivariável determine as demais funções de transferência e escreva a matriz de transferência G(S). NOTA : Os itens 2, 3 e 4 são calculados uma única vez se o sistema for multivariável. 2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 26
Para construir um diagrama de fluxo de sinal a partir de um diagrama de blocos observe que : 1. Entrada e a saída de um bloco funcional transformam-se em nós; 2. Bloco funcional transforma-se em um ramo; 3. Somadores e pontos de junção transformam-se em nós mistos Exemplo 2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 27
Exemplo 1 2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 28
Exemplo 2 2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 29
Exemplo 3 Sistema multivariável 2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 30
Exemplo 3 Sistema multivariável (cont) 2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 31
Exemplo 3 Sistema multivariável (final) 2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 32
Exemplo 3 Sistema multivariável (final) 2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais 33
Duas abordagens estão disponíveis para análise e o projeto de sistemas de controle com realimentação. 1. Abordagem clássica: Técnica no domínio da frequência Conversão das equações diferencias em funções de transferência Representação algébrica Simplificação de subsistemas individuais Rápida análise de estabilidade e resposta transitória Limitação: aplicada a apenas sistemas lineares ou invariantes no tempo. 2. Abordagem moderna: técnica de análise no domínio do tempo. Representação de sistemas não lineares. Representação de sistemas variantes no tempo Sistemas mutivariáveis Análise numérica dos resultados Além das análises permitidas pela abordagem clássica. 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 34
A representação no Espaço de Estados consiste em um modelo matemático de um sistema físico composto de um conjunto de variáveis de entrada, de saída e de estado relacionadas entre si por meio de equações diferenciais de primeira ordem. Para abstrair-se do número de entradas, saídas e estados, as variáveis são expressas em vetores e as equações diferenciais e algébricas são escritas na forma matricial (esta forma é possível somente quando o sistema dinâmico é linear e invariante no tempo). Adotando as seguintes abordagens: Será escolhido um subconjunto particular de todas as possíveis variáveis do sistema e chamamos esse conjunto de variáveis de estado Para um sistema de ordem n, escreve-se n equações diferenciais simultâneas de primeira ordem em função das variáveis de estado. Para resolver as equações diferenciais de forma simultânea é necessário conhecer a condição de todas as variáveis de estado em t 0 3) Espaço de Estados 35
Considere o circuito ao lado: Entrada: F(t) Saída: y(t) Desenvolvendo y(t) F t = M dy2 dy dt2 + D dt + Ky F t = M y + D y + Ky Isolando a derivada de mais alta ordem. y = K M y D M y + 1 F t M Considerando agora as seguintes variáveis auxiliares: x 1 = y x 1 = y x 2 = dy dt x 2 = d2 y dt 2 x 1 = x 2 3) Espaço de Estados 36
Substituindo y = K M y D M y + 1 F t M x 2 = d2 y dt 2 A equação fica: x 1 = y x 2 = dy dt x 2 = K M x 1 D M x 2 + 1 M F t onde x 1 = x 2 Escrevendo na forma de matriz: x 1 x 2 = 0 1 K M D M x 1 x 2 + 0 1 M F(t) Solução das equações auxiliares y = 1 0 x 1 x 2 Solução para o deslocamento y do bloco 3) Espaço de Estados 37
Definição: ESTADO: Conjunto mínimo de informações que se deve ter a respeito do sistema em um instante 0 t para que juntamente com o conhecimento da excitação a partir deste instante, seja possível determinar a resposta em um instante t > t 0. O conhecimento do estado do sistema é então mais abrangente que o simples conhecimento da saída. EQUAÇÕES DINÂMICAS: Equações que descrevem unicamente as relações entre entrada, estado e saída são denominadas equações dinâmicas. Essas equações representam todas as idéias desenvolvidas no conceito de estado. Para o caso de sistemas lineares invariantes no tempo, as equações dinâmicas serão da forma: x = Ax + Bu y = Cx + Du x 0 = x 0 (1a) (1b) 3) Espaço de Estados 38
Definições: 1. A equação 1a é chamada de equação de estado 2. A equação 1b é chamada de equação de saída 3. Vetor de estados x t = x 1 t x 2 t x n t 4. Vetor de entradas u t = u 1 t u 2 t u m t 5. Vetor de saídas y t = y 1 t y 2 t y r t 6. A n n : matriz de evolução do sistema 7. B n m : matriz de entrada 8. C r n :matriz de saída x = Ax + Bu y = Cx + Du x 0 = x 0 9. D r m :matriz de transmissão direta 10. Ao conjunto de todos os estados que podem caracterizar um sistema denominamos de ESPAÇO DE ESTADOS (1a) (1b) 11. O Espaço de Estados é um espaço vetorial. 3) Espaço de Estados 39
Considere agora o circuito ao lado: Entrada: e(t) Saída: i(t) Desenvolvendo e t = Ri + L di dt + e c Isolando a derivada L di dt = e t Ri e c (I) onde Aplicando as variáveis estado em I e II i t = C de c (II) dt Variáveis de estado x 1 = i t x 1 = di dt x 2 = e c t x 2 = e c dt Saída y = i(t) x 1 = 1 L e t R L x 1 1 L x 2 x 2 = 1 C x 1 Matricialmente x 1 x 2 = R L 1 C 1 L 0 x 1 x 2 + 1 L 0 e(t) 3) Espaço de Estados y = 0 1 x 1 x 2 40
Considere agora o mesmo circuito. Entrada: e(t) Saída: i(t) Desenvolvendo e isolando, escolhendo outras variáveis de estado e t = e R + L di dt + e c (i) i t = C de c dt (iii) x 1 = e R t x 2 = e c t x 1 = de R dt x 2 = e c dt Tem-se também: i t = e R R Substituindo (ii) De (i) De (ii) De (ii) e (iii) 3) Espaço de Estados di t dt = 1 R e t = x 1 + L R x 1 + x 2 y = 1 R x 1 de R dt di t dt C x 2 = 1 R x 1 = 1 R x 1 Matricialmente x 1 x 2 = R L 1 RC R L 0 y = 1 R 0 x 1 x 2 x 1 x 2 + R L 0 e(t) 41
Conclusões e Discussões: Existem várias, (infinitas), possíveis escolhas de variáveis de estado para representar um sistema. Uma representação no espaço de estado consiste nas equações diferenciais de primeira ordem simultâneas a partir das quais pode ser obtida as soluções para equações de estado. Equação geral apresenta no espaço de estados x = Ax + Bu y = Cx + Du x 0 = x 0 (1a) (1b) 3) Espaço de Estados 42
É uma maneira de representar as equações que descrevem o comportamento de um sistema através de diagrama de blocos. Composto basicamente por a) Integrador Ideal b) Amplificador Ideal c) Somador Ideal 3) Espaço de Estados 43
Princípio básico para obter o diagram de simulação: Isolar e integrar sucessivamente a derivada de mais alta ordem da saída Exemplo 1: Construir o diagrama de simulação para a função: d 2 y dy + a. + b. y t = u(t) dt2 dt 3) Espaço de Estados 44
Exemplo 2: Construir o diagrama de simulação para a expressão no espaço de estados: x = 1 1 2 1 + 1 2 u y = 2 3 + 2 u 3) Espaço de Estados 45
Sistemas multivariáveis. Exemplo y 1 + 3 y 1 + 2y 2 = y 2 + y 1 + y 2 = u 2 u 1 + u 1 3) Espaço de Estados 46
Mostrar a representação no espaço de estados para: y 1 + y 2 = u 1 + u 2 y 2 + y 2 y 1 = u 1 + u 2 3) Espaço de Estados 47
Considere o seguinte sistema: x = Ax + Bu y = Cx + Du x 0 = x 0 (1a) (1b) Pela transformada de Laplace tem-se que: sx s x 0 = AX(s) + BU(s) Y(s) = CX(s) + DU(s) Logo si A X s = B. U(s) Se o sistema é relaxado, x 0 = 0; X s = si A 1 B. U s Por substituição Y(s) = C si A 1 B. U s + DU(s) Y s = C si A 1 B + D. U(s) 3) Espaço de Estados 48
Logo, o sistema descrito no espaço de estados tem sua resposta no domínio da frequência conforme equação abaixo: x = Ax + Bu y = Cx + Du x 0 = x 0 (1a) (1b) Y s = C si A 1 B + D. U(s) A matriz de transferência é a relação entre a saída e entrada de um sistema. Dessa forma Y s = G s U s G s = si A 1 B + D 3) Espaço de Estados 49
Exemplo: Determinar a matriz de transferência do seguinte sistema: x = 1 0 1 2 + 1 0 1 1 u y = 1 1 + 1 1 u 3) Espaço de Estados 50
Exercícios 1: Dado o circuito ao lado, encontre: Representação no espaço de estados. Diagrama de Simulação. Com auxílio do simulink, plote o gráfico de e 0 quando a entrada for: a) e i t = 10. U 0 t mv b) e i t = 180 cos 2. π. 60. t V c) e i t = 10 cos 1000. t V 3) Espaço de Estados 51
Exercícios 2: Dado o sistema mecânico ao lado, encontre: Representação no espaço de estados. Diagrama de Simulação. Com auxílio do simulink, plote o gráfico de q(t) quando a entrada for: a) f t = 0,5. U 0 t N b) f t = cos 2. π. t V 3) Espaço de Estados 52
Nesse capítulo serão tratados de ferramental algébrico que irão auxiliar a resolução de problemas matriciais e operações lineares. A modelagem utilizando espaço de estados simplifica os problemas uma vez que reduz a grau das equações diferenciais. Por se modelar na forma matricial, existem formas diferentes de representação, algumas explicitando os pólos, e outras explicitando o polinômio característico. Como a modelagem é linear, será mostrado que a transformação linear sobre uma modelagem no espaço de estados poderá permitir analises diretas na matriz de estados, envolvendo estabilidade, envolvendo controlabilidade do sistema. Quaisquer dúvidas poderão ser acompanhadas em bibliografia própria de álgebra linear. 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 53
Sejam X e Y conjuntos arbitrários, onde x e y são elementos desse conjunto. É possível associar cada elemento de A em B dessa forma: T é chamado de função de transformação de A em B, uma regra que associa esses dois subespaços. Transformação linear é uma função de transformação sobre um corpo F de tal forma que: T α. x 1 +β. x 1 = α. T x 1 + β. T(x 2 ) 1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos 54
Livro NISE: Diagrama de Blocos Capitulo 5: Diagrama de Fluxo de Sinal Capítulo 5: Espaço de Estados Capítulo 3: