Fundação Centro de Ciênias e Eduação Superior a istânia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Eduação Superior a istânia do Estado do Rio de Janeiro Cálulo IV EP Aluno Objetivos Aula Integrais uplas Compreender a noção de integral dupla; Estudar algumas propriedades; Estudar o Teorema de Fubini para retângulos. No Cálulo II, voê aprendeu as integrais definidas. Agora, no Cálulo IV, pretendemos estender essa idéia para integrais duplas e triplas de funções de duas ou três variáveis. Então onsideremos uma função f : R R, onde é um onjunto fehado e limitado (também onheido omo onjunto ompato). Como é limitado, então eiste um retângulo R = a,b],d], tal que R. d = n R Δ j j R ij f ( i, j ) = R a = i i b = n Δ Vamos dividir o retângulo R em subretângulos R ij da seguinte maneira: dividimos os intervalos a,b] e,d] em n subintervalos de mesmo omprimento Δ = b a e Δ = d, respetivamente; n n traçamos ( ) retas vertiais e horizontais pelas etremidades desses subintervalos. Vamos esolher i,j Rij e formemos a soma S n = n n f ( ) n i, j ΔΔ = f ( i j), ΔA j= i= i,j= onde f ( i, j) = se ( i, j) /. Esta soma é dita soma de Riemann de f. Se eistir o lim S n = L, dizemos que f é integrável n e o número L é dito integral de f sobre e é indiado por f(,)dd ou f(,)da
Cálulo IV EP Aluno ou f da. Assim, f(,)dd = lim n i,j= n f ( i j), ΔΔ. OBS.:. Prova-se que se f é ontínua em, então f é integrável.. Se f(,) é ontínua em, então o gráfio de f (G f ) está aima do plano. Então o volume do sólido W que está abaio de G f e aima de é dado por V(W) = f(,)dd. Logo, para ahar o volume do sólido W, integramos f(,) (o teto ) sobre (o piso ). z G f : z = f(,) ( teto ) W ( piso ) ( i, j) R ij 3. Se f(,) = em então dd = dd = A() = área de. Consório CEERJ
Cálulo IV EP Aluno 3 4. Propriedades (i) (f +g)da = (ii) kf da = k (iii) = f da+ gda f da, k R f da = f da+ f da Um Método Prátio para Calular Integrais uplas Teorema de Fubini: Se f(,) é ontínua no retângulo = a,b],d], então ou f(,)dd = b a d b d ] f(,)d d = d b d b a ] f(,)d d f(,)dd = f(,)dd= f(,)dd a a }{{} integrais iteradas ou repetidas Eemplo Calule Solução: dd, sendo =,],]. Temos dd = dd. Primeiro alulamos a integral interna. Logo: dd = ] 3 3 = 3 ( )]d = 3 d = 3 ] =. 6 Consório CEERJ
Cálulo IV EP Aluno 4 Aula Cálulo de Integrais uplas em Regiões mais Gerais Objetivos Estudar uma versão mais geral do Teorema de Fubini; Calular área e volume. Suponhamos agora, que seja diferente do retângulo a,b],d]. Então vamos definir dois tipos de região. efinição izemos que é uma região do tipo I ou uma região simples vertial se for limitada à esquerda pela reta vertial = a, à direita pela reta vertial = b, inferiormente pela urva de equação = g () e superiormente pela urva = g (), onde g e g são ontínuas. As figuras que se seguem ilustram regiões do tipo I: = g () = g () = g () (,) (,) (,) = g () = g () = g () a b a b a b Logo, = {(,) R a b e g () g ()}. Prova-se que: f(,)dd = b g () a g () f(,)dd. efinição izemos que é uma região do tipo II ou uma região simples horizontal se for limitada inferiormente e superiormente por retas horizontais = e = d, respetivamente, pela esquerda pela urva = h () e pela direita pela urva = h (), onde h e h são ontínuas. Consório CEERJ
Cálulo IV EP Aluno 5 d = h () = h () d = h () = h () d = h () = h () As figuras que se seguem ilustram regiões do tipo II: Logo, = {(,) R d e h () h ()}. Prova-se que: d h () f(,)dd = f(,)dd. h () Eemplo Calule por dois métodos a integral de f(,) = sobre a região limitada pelas urvas = e =. Solução: As urvas se intereptam quando = ou ( ) =, logo = ou =. Assim, os pontos de interseção são (,) e (,). Logo, o esboço de é: = (,) = Método Enquadrando omo tipo I, temos = {(,) R e }. Então: ] dd = dd = d = ( 4 ) d = ( 3 5 ) d ] = 4 6 4 6 ( 4 6) = 6 = 4. Consório CEERJ
Cálulo IV EP Aluno 6 Método = = Enquadrando omo tipo II, temos = { (,) R e }. Então: dd = dd = ] d = ( ) d = = = = 4. ( 3 ) d 3 4 3 4 ( 3 4) ] Eemplo Calule, por integral dupla, a área da região plana limitada pelas urvas = 3 e =. Solução: O esboço de é: = / = 3 = = / = 3 Podemos desrever por : { 3 / Consório CEERJ
Cálulo IV EP Aluno 7 Então: A() = dd = / 3 dd = ( / 3) d = ] 3 3/ 4 = = 5 u.a. 4 3 4 Eemplo 3 Calule o volume do tetraedo W om faes nos planos oordenados e no plano + +z = 3. Solução: O plano + + z = 3 passa pelos pontos A = (3,,), B = (,3,) e C = (,,3). Assim, o esboço de W é: z C teto de W 3 + = 3 W = 3 A (piso) B 3 = Observemos que o teto de W é a porção do plano + +z = 3 ou z = 3 = f(,) e o piso de W é o triângulo. Então: V(W) = f(,)dd = = = = = = (3 )dd 3 3 3 3 3 = 9 u.v. (3 )dd 3 ] 3 d 3(3 ) (3 ) (3 ) (9 6+ )d 9 3 + 3 3 ] 3 ] d Consório CEERJ
Cálulo IV EP Aluno 8 Eeríio : Calule as integrais iteradas. a) e dd b) dd Eeríio : Esboe a região de integração e alule as integrais: a) 3 dd, = {(,) R, }; b) f(,)dd, = {(,) R π/, os}, f(,) = sen. Eeríio 3: Esboe a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em: a) b) f(,) dd ) f(,) dd d) 3 f(,) dd f(,) dd Eeríio 4: Calule Eeríio 5: Calule 4e dd. 5 5 ln dd. Eeríio 6: Use a integral dupla para alular a área da região limitada pelas urvas = 4 e =. Eeríio 7: Enontre o volume do sólido W limitado pelos planos =, z = = 4 e pelo ilindro parabólio z = 4. Eeríio 8: Enontre o volume do sólido W limitado pelas superfíies z =, z, =, z = e =. Consório CEERJ