DE ONDE VEM A UNIDADE RADIANO E POR QUE SEU USO É NECESSÁRIO?

DE ONDE VEM A UNIDADE RADIANO E POR QUE SEU USO É NECESSÁRIO? Welleson Quintaneio wellesonsilva@ig.com.b CEFET - RJ / Pogama de Pós-Gaduação em Ensino de Matemática - UFRJ Victo Gialdo Instituto de Matemática UFRJ Mácia Fusao Pinto Instituto de Matemática UFRJ Resumo: Nesse tabalho, obsevamos o desenvolvimento do que hoje conhecemos como tigonometia em duas pincipais vetentes. Po um lado, com os egípcios, no estudo de azões de lados de tiângulos semelhantes, paa a solução de poblemas envolvendo, po eemplo, constução de piâmides. Po outo lado, com os babilônios, elacionando acos e codas de uma cicunfeência, em estudos de astonomia, envolvendo, po eemplo, cálculo da distância da Lua e do Sol à Tea, e a medida desses planetas. Notamos que podemos elaciona esses dois momentos de desenvolvimento da Matemática, utilizando o aio como unidade de medida da meia coda e do aco, pois paa medi a meia coda (cateto oposto) com o aio (hipotenusa) semi coda cateto oposto fazemos a azão, isto é,. Vimos que podemos considea aio hipotenusa adiano como medida (de compimento) de um aco quando o aio do cículo é tomado como unidade. Como, em um cículo fiado, cada aco detemina um único ângulo, o adiano pode se consideado também como uma medida angula. Em outas palavas, se tomamos o aio como unidade, o conceito de adiano é uma foma possível de unifica medidas angulaes e lineaes. Assim, temos que a utilização do adiano tange não só questões envolvendo cálculos, como a facilitação da deivada do seno, mas também aticula sobe tigonometia no tiângulo etângulo e no cículo tigonomético. Consideamos ao final que é justamente po esses motivos que adiano deve se usado como unidade padão no estudo de funções tigonométicas. Palavas-chave: Históia da Matemática, Tigonometia e Radiano. 1. PROBLEMÁTICA Nos livos didáticos basileios, encontam-se difeentes maneias de conceitua as noções de seno e de função seno. No entanto, não é sempe que as conceituações tatadas em um mesmo volume são consistentes ente si, do ponto de vista matemático ou do ponto de vista pedagógico. Obseva-se comumente em livos didáticos, desde, o início do estudo de senos e cossenos no cículo tigonomético, que estes são definidos

2 como funções cuja vaiável é um númeo eal de tal foma que a volta completa está associada ao valo 2 mesmo que, poucas páginas antes, as palavas seno e cosseno estivessem associadas a gandezas angulaes, medidas em gaus. Alguns autoes mencionam as palavas aco e ângulo sem qualque distinção, sem deia clao que a unidade adiano pode epessa uma medida linea (compimento do aco subentendido pelo ângulo). Nesse tipo de abodagem, são omitidas algumas questões impotantes, tais como: Po que o uso da unidade adiano é necessáio? Como é possível que um mesmo conceito matemático possa se definido de fomas difeentes? Possivelmente, o ideal seja um tatamento segundo o qual as abodagens geomética, tigonomética e funcional estivessem elacionadas em luga de divegi. Aceditamos que tal abodagem possa apesenta uma intenção de facilita o tabalho dos alunos, poupando-os das dificuldades ineentes à essência do pópio conceito, emboa isso possa esulta em fatoes de conflito potencial i. Ao tata oa de seno de gandezas angulaes medidas em gaus, oa de seno de gandezas lineaes medidas em adianos, sem justificativa paa esta passagem, os livos didáticos podem favoece implicitamente a idéia de que, em Matemática, a consistência das definições não é um impeativo. Isso pode se convete em um fato de conflito potencial, que mais tade iá pejudica a compeensão da idéia função seno. Tal tatamento indisciminado de ângulos e acos pode leva quem estuda a função f :R R, f ( ) sen( ) (de domínio eal) a esponde, po eemplo, que f ( 30º ) 0, 5. O objetivo deste tabalho não é discuti, de um ponto de vista opeacional, aquilo que é enfocado pelos livos. Antes, este tabalho tem po objetivo investiga e popo uma foma de apesentação do conceito de seno que aticule difeentes contetos matemáticos, de modo que os conflitos potenciais que possam emegi não se constituam em obstáculos paa a apendizagem. 2. OBJETIVOS E METODOLOGIA Em Matemática, se não nos cecamos bem do que falamos, tudo pode paece ou acaba em uma gande confusão, paa nós mesmos paa quem nos ouve. Isto é, a estutua fomal da matemática eige, em algum momento, um efinamento peciso dos conceitos, como ocoe em qualque ciência que faz uso da linguagem técnica. Paecenos tivial, e ao mesmo tempo de suma impotância, uma definição em Matemática,

3 visto que esta fundamenta o início de um pocesso (uma vez que a pati dela podemos defende algo, estutua uma teoia) e o momento em que ele temina (enegando definição como síntese de um gande desencadeamento de idéias). Desse modo, paa melho acessa um conceito em Matemática faz-se necessáio não só entende os esultados implicados po esse conceito, mas também entende o motivo pelo qual o conceito foi apesentado de uma deteminada foma. Obsevamos nos livos didáticos que, dado o conceito de adiano, paa compeensão dos esultados, são apesentadas popiedades e teoemas, assim como, em alguns casos, a justificativa desses esultados. No entanto, sentimos necessidade de ecoe a beves passagens da históia da Matemática paa que justifica a necessidade desse conceito e a azão pela qual assim foi definido. Assim, neste tabalho, nosso objetivo geal é desceve alguns momentos de desenvolvimento da tigonometia, que nos levam à compeensão do po que e paa que usamos adiano. Fizemos tal levantamento históico com base no teto Developing the Radian Concept Undestanding and the Histoical Point of View de Kupková (2008) e do livo Históia da Matemática de Boye (1996). 3. CONTEXTO HISTÓRICO 3.1. Tigonometia, algumas idéias sobe o sugimento e o desenvolvimento. Boye comenta que, mesmo sem o conceito de medida de ângulo no peíodo péhelênico, já eistia um estudo do que hoje econhecemos como tigonometia, que elacionava azões de lados de tiângulos semelhantes. Já com os gegos apaece uma sistematização de acos de uma cicunfeência e segmentos que os subentendem. Mesmo assim, é dito que: Nas obas de Euclides não há uma tigonometia no sentido estito da palava, mas leis ou fómulas tigonométicas específicas (Boye, página 108) As poposições II.12 e II.13 de Os Elementos, po eemplo, são leis de cossenos paa ângulos obtuso e agudo, espectivamente, enunciados em linguagem geomética ao invés de tigonomética e cujas povas são desenvolvidas po meio semelhante ao usado po Euclides paa o teoema de Pitágoas. No entanto cada vez mais astônomos gegos

4 na Aleandia tatavam de poblemas que indicavam a necessidade de elações mais sistematizadas ente acos e codas. Enquanto, po um lado, os egípcios se peocupaam com as azões de lados de tiângulos paa as constuções de piâmides; po outo, lado alguns matemáticos gegos, em destaque Aistaco (po volta de 310-230 a.c.) e Eastótenes (po volta de 276-194 a.c.), se dedicaam a calcula as distâncias do Sol e da Lua à Tea e o tamanho desses planetas. É ceditada à Hipaco (po volta de 180-125 a.c.), matemático Gego, a pimeia tabela tigonomética. Tal fato leva Hipaco a se conhecido como pai da tigonometia. Não se sabe ao ceto como Hipaco fez suas tabelas pois suas obas se pedeam. A maioia do que sabemos vem de Ptolomeu, que ceditava a Hipaco váias idéias de tigonometia e astonomia, incluindo elações ente acos e codas. O método de Hipaco paa elaciona acos e codas, como descito po Ptolomeu, é o seguinte: a cicunfeência de um cículo é dividida em 360 pates e o diâmeto é dividido em 120 pates. Cada pate da cicunfeência e do diâmeto é dividida em 60 pates, e cada uma dessas em mais 60, e assim po diante. Então paa deteminado Aco AB, com seu compimento epesso em unidades de cicunfeência, Hipaco dá o númeo de unidades de coda coespondente a AB. Po eemplo: Figua 1 Desse modo o aco AB de apoimadamente 93 unidades de cicunfeência coesponde a coda AB de 87 unidades de diâmeto. Onde cada Ud (unidade de diâmeto) é igual a 1/120 do diâmeto e cada Uc (unidade de cicunfeência) coesponde a 1/360 da cicunfeência. Não se sabe ao ceto o poquê da divisão da cicunfeência em 360 pates, mas aceditase em motivações astonômicas baseadas na cença segundo a qual a tea completa uma volta ao edo do sol numa tajetóia cicula em 360 dias. As demais subdivisões seagesimais são paa facilita a mensuação, pois, quanto meno a unidade, mais facialmente apoimamos a medida po inteios. Boye ainda menciona que:

5... sempe que os estudiosos da antiguidade queiam um sistema peciso de apoimação, eles adotavam a base sessenta paa a pate facionada; isto levou as epessões fações astônomas e fações físicas paa distingui as fações seagesimais das comuns. (Boye 2006, página 114) Obseve, na figua anteio, que o ângulo ACB coesponde ao que hoje chamamos de 93º, visto que está associado ao aco que tem medida de 93/360 da cicunfeência. Aistaco já sabia que a azão do aco paa a coda, quando o aco diminui, tende a um valo póimo a 1, não ultapassando deteminados valoes menoes que 1. Tal fato pode se obsevado com as tabelas atibuídas a Hipaco e pode se eploada aqui utilizando um softwae de geometia dinâmica, como o Tabulae ii. A oba tigonomética mais influente e significativa da antiguidade foi a Syntais matemática, oba de teze livos de Ptolomeu (po volta do século II D.C.). Devido ao tamanho do tabalho a oba ficou conhecida como Almagesto ( o maio ). De impotância cental paa o cálculo de codas em uma cicunfeência ea uma poposição geomética ainda hoje conhecida como teoema de Ptolomeu, que elacionava codas que eam lados e diagonais de um quadiláteo inscito em uma cicunfeência. De um caso especial do teoema de Ptolomeu conclui-se o que hoje conhecemos como as fómulas de seno e cosseno da soma, difeença e aco metade. Assim, com agumentos puamente geométicos Ptolomeu ciou a possibilidade de se constui uma tabela de codas muito pecisa. Com o tabalho de Ptolomeu, a questão passa a não se mais como se deam as medidas das codas?, mas sim em que unidade melho se deam, isto é, melho atendeam às necessidades da Matemática, essas medidas com o passa do tempo?. No tabalho de Ptolomeu, ainda tínhamos as subdivisões de Acos e codas como popunha Hipaco (cículo em 360 pates e diâmeto em 120 pates). Segundo Kupková (2008), no peíodo de 200 1200 D.C. os hindus fizeam avanços em tigonometia. É mencionado que Vaahamihia usava 120 unidades paa o aio, desse modo, a tabela de Ptolomeu de codas se tonou uma tabela de meia coda, mas ainda associada ao aco inteio. Após isso, Ayabhata associou metade da coda à metade do aco. Mais tade, ele tabalhou com o aio tendo 3438 unidades.

6 É impotante essalta que a divisão do aio em 3438 é um esfoço paa medi o aio e o aco com uma unidade comum. Ao dividi o aio em 3438 unidades, chamemos de U (unidade de aio), temos que cada unidade tem o compimento apoimado do aco de um minuto iii, já que 3438 é o valo apoimado de 36060/2π. Pois sendo temos U 3438 1.2.. 360 60 360 60 2 Essa é a medida do aco de 1 minuto. U 1 C,onde 360 60 1 C 360 60 3438.U, Paa essas unidades a figua 1 pode se mensuada novamente no modo ao lado. Ou ainda, o meio aco de 2790 minutos coespondendo à meia coda de 2490 unidades.. 3.2. Sugimento da Noção de Radiano O temo adiano (adian) apaece impesso pela pimeia vez no dia 5 de junho de 1873, em eames de James Thonson na faculdade de Queens, nos Estados Unidos. Em 1871, Thomas Mui da Univesidade de Andew, também nos Estados Unidos, já tinha hesitado ente ad, adial e adian (adiano). Em 1874, Mui adotou adian depois de uma consulta a Thonson. Os temos acima descitos povavelmente são inspiados pela palava adius (aio). A poposta de adiano, como nos é apesentada hoje, é a de usa o aio como unidade de medida comum paa o aco e meia coda. Po eemplo, considee a figua abaio em que o aio, o aco AB e o segmento AD medem apoimadamente 3,5, 4 e 3,2 iv, espectivamente. Sendo a unidade o aio da cicunfeência temos que o aco AB tem medida 4 1, 14 aios e o segmento AD tem 3,5 3,2 medida de 0, 91 aios. 3,5

7 Esses valoes, apoimadamente 1,14 e 0,91 indicam, espectivamente, os valoes de abscissa e odenada de um ponto da função seno modena. Podemos destaca duas pincipais necessidades de se tabalha com o aio como unidade de medida paa o aco e meia coda. Pimeia necessidade de se tabalha com o aio como unidade de medida: Se utilizamos uma unidade de medida comum paa o aco e paa a meia coda v temos que sen lim 1. Veja: 0 sen tg 1 1 1 sen tg sen 1 cos. Como lim cos 1 0 sen vem lim 1 0. vi Note agoa que, se deiamos só os segmentos tendo como unidade o aio e dividíssemos a cicunfeência não mais pelo aio, mas sim em 360 pates, teíamos a medida paa o aco AB na unidade 1/360 da cicunfeência da seguinte foma: o aco tem medida de aios (.) denotemos po, -- e a nova unidade tem medida de 2... Dividindo o aco pela unidade, encontaemos a medida do aco nessa unidade 360 denotemos po c.. Potanto, aco AB tem medida c. 180 Temos que a desigualdade sen tg c. 180 ou 2.. 360 vale quando as tês linhas (os dois segmentos e o aco) estão sendo medidas na mesma unidade. Mas, se a unidade que mede o aco fo 1/360 da cicunfeência, a desigualdade se faz limite pode se ecalculado da seguinte foma: sen c tg, e o 180

8 sen c tg 180 sen 180 1. cos c Como lim cos 1 vem 0 1 1 sen c 180 1 tg sen cos 180 180 sen lim. 0 180 c É eatamente esse limite que temos na azão sen, quando tende a 0, se consideamos o ciclo tigonomético tendo aio 1, em gaus, e seno de a medida da pojeção no eio vetical. Desse modo, não obteíamos d d sen cos. Visto que se sen lim 0 180 vem d d sen( h) sen sen lim h 0 h h h 2sen.cos 2 2 lim h 0 h h sen 2 h lim.lim cos cos h0 h h0 2 180 2 Logo, a deivada do seno seia acompanhada de uma constante. Segunda necessidade de tabalha com o aio como unidade de medida: está em aticula a tigonometia de acos e codas com a tigonometia anteio aos Elementos de Euclides, que elacionavam azões de lados de tiângulos semelhantes. Note que se o aio é a unidade de medida, o compimento da meia coda (isto é o seno) tona-se uma azão ente lados do tiângulo etângulo. Assim, toda tigonometia feita em tiângulos etângulos elacionando ângulos a azões de segmentos equivale a elações ente acos e codas feitas na cicunfeência (no pimeio quadante). Obseve que podemos acessa o conceito de seno nos seguintes modos:

9 1º Modo 2º Modo 3º Modo No pimeio modo, temos que seno de sen 0,87 0,77, em que a unidade do aco e a semi-coda é o aio. Ainda, 0,87 e 0,77 coespondem à abscissa e odenada, espectivamente, da função seno cuja deivada é d/d(sen) = cos. No segundo modo temos que seno de sen 50 0,77, em que a unidade do aco é 1/360 da cicunfeência e a unidade da semi-coda é o aio. Ainda, 50 e 0,77 coespondem à abscissa e odenada, espectivamente, da função seno cuja deivada é d/d(sen) = (180/π)cos. Nos pimeio e segundo modos tatamos de seno de acos. 2,3 No teceio modo, já eplicitado seno de medida de ângulo, temos sen 50º 0, 77. 3 Isto é, cateto oposto dividido pela hipotenusa. Obseve que, nos segundo e teceio modos temos os mesmos valoes, apenas com escitas difeentes, visto que o aco de 50Uc coesponde ao ângulo de 50º. Há, potanto, sentido em tatamos de seno de medidas angulaes e lineaes. Talvez a escolha deva-se a melho estatégia pedagógica, dados os objetivos. 3.3. Definição de adiano Radiano como medida linea Podemos defini adiano como sendo uma unidade de medida identificada com o compimento do aio da cicunfeência. Dessa foma, a função seno f ( ) sen( ), em que está em adiano, se daá da foma descita anteiomente, em que a unidade o aco é o aio. Há de se obseva nesse conteto que estaemos calculando seno de medidas lineaes vii.

10 Radiano como medida angula Podemos defini adiano como sendo o ângulo cujo aco coespondente é igual ao aio da cicunfeência... Como o aco de uma cicunfeência é dado po A 180º e sendo A= e α = 1ad temos 180 o = ad ou 180º 1 ad 57º18'. Dessa foma a função seno f ( ) sen( ), onde está medido adiano se daá do mesmo modo que a função cujo o adiano é o compimento do aio, pois cada unidade de adiano angula coesponde a uma unidade de aio linea. Há de se obseva nesse conteto que estaemos calculando seno de medidas angulaes. viii Kupková (2008) comenta que, emboa o conceito de adiano apaeça com Thomson e Mui (1871 e 1873), a medida de adiano (não com esse nome) em substituição ao gau paa medi ângulos é ceditado a Roge Cotes, em 1714, que econheceu sua natualidade como medida angula. 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS Obseve que nas duas definições de adiano se peseva a idéia de usa o aio como unidade de medida. Isto é, a motivação de adiano em matemática, o valo de uma função quando acessada pode se pensada com fação do aio cículo, independe se 180º definimos 1ad = aio ou 1 ad. Aceditamos que, no ensino médio, usa adiano como medida angula ajude a faze coespondência com os estudos de tigonometia no tiângulo etângulo, visto que continuaemos falando de seno de medidas angulaes. Também temos que, se a unidade de medida é o aio, tona-se conveniente tomá-lo igual a 1. Justifica-se assim a escolha do cículo tigonomético com sendo o de aio unitáio. Note ainda que dividi o aio em 36060/2π ( 3438) pates paa medi a meia coda e dividi a cicunfeência em 36060 pates (1 minuto) paa medi o aco, como poposto sen po matemáticos hindus, também acaeta em lim 1, já que temos uma unidade 0 de medida comum paa aco e meia coda. Mas só tomando o aio como unidade de

11 medida da meia coda é que podemos visualiza seno como azão ente lados de um tiângulo. Resumidamente, pecisamos toma aio como unidade de medida da meia coda paa elaciona a tigonometia na cicunfeência e a do tiângulo etângulo, e aí independe a sen unidade que estamos usando no aco. Mas, se quisemos que lim 1, temos então 0 que toma, paa o aco, a mesma unidade de medida da meia coda. Desse modo, considea o aio como unidade de medida paa a meia coda e aco é a única maneia de atende simultaneamente às duas necessidades descitas. Emboa centais estes aspectos não ecebem em geal gande enfoque nos livos de ensino médio. REFERÊNCIAS BOYER, C. B. Históia da Matemática. 2 ed. São Paulo: Bluche, 1996. KUPKOVÁ, E. Developing the Radian Concept Undestanding and the Histoical Point of View. Itália: Scienze Matematiche, 2008 QUINTANEIRO, W., GIRALDO, V., FUSARO, M. Funções Tigonométicas: Investigação Conceitual. Goiânia: Ebapem, 2009. adian: Definition and Much Moe fom Answes.com http://www.answes.com/topic/adian, Retieved. Último acesso em 31/10/2009. NOTAS DE FIM DE TEXTO i Conflito potencial no sentido de Tall e Vinne (1981) ii O Tabulae é um pogama de Geometia Dinâmica desenvolvido no Instituto de Matemática da Univesidade Fedeal do Rio de Janeio (UFRJ), desde 1998. iii Nessa altua minuto não é necessaiamente uma medida angula, minuto indica somente 1/60 de uma unidade. Assim, teia sentido fala de um minuto do aio como sendo 1/60 da unidade que mede o aio. iv Consideando esses valoes em medidas lineaes em uma unidade qualque (cm, m, etc.). v Note que até o momento só mencionamos elação ente aco e meia coda. Desse modo, chamando a meia coda de seno, então os valoes obtidos são senos dos acos. Ainda não fizemos menção de seno de ângulos. vi A demonstação consideou apenas o caso paticula de > 0. vii Nesse caso dizemos que (o aco de) π ad coesponde ao ângulo de 180º. viii Nesse caso dizemos que (o ângulo de) π ad é igual a 180º.