3 Análie de pórtio plano de onreto armado 3.. Introdção A itemátia onenional de projeto baeia-e em proeo de análie eia, enolendo m grande número de ariáei e m grande número de erifiaçõe. Com bae no reltado de ma primeira análie, o projetita modifia a onfigraçõe de projeto ao o ritério de projeto tenham ido iolado, objetiando enontrar ma etrtra qe atenda ao referido ritério. Mito difiilmente a eolha adotada repreenta a melhor onfigração poíel, o a mai eonômia, apena repreenta ma eolha iáel. O proeo de otimização de etrtra pode er entendido omo a finalização ideal de m proeo de análie eia, qe ontinaria até qe e enontrae a etrtra mai eonômia no epaço da olçõe iáei. Na ba por ee objetio, podem-e tilizar ténia de otimização nméria. Aim, a ba por m projeto ótimo neeita da análie da etrtra. Nete trabalho erá tilizada para a análie de pórtio plano de onreto armado a mema metodologia empregada por Melo (b) qe eeta a análie nãolinear geométria e do material tendo por opção a tilização de doi tipo de elemento finito ditinto. 3.. Análie não-linear de pórtio plano 3... Conideraçõe iniiai No trabalho é adotada ma formlação não-linear para análie etátia de pórtio plano de onreto armado. O elemento finito ão elemento de etado plano de tenõe de eio reto e eção traneral ontante e retanglar.
Análie de pórtio plano de onreto armado 4 Para a diretização da etrtra foram implementado por Melo (b) doi modelo de elemento finito qe têm por diferença prinipal a aproimação tilizada para a repreentação da omponente do deloamento aial. No primeiro modelo, o deloamento aial e traneral ão aproimado por polinômio linear e úbio, repetiamente. Já no egndo elemento a aproimação da omponente aial foi ompota por m polinômio qadrátio, e a omponente traneral por m úbio. É tilizado o método iteratio de Newton-Raphon para a reolção do itema de eqaçõe não-lineare. A não-linearidade geométria é tratada oniderando a hipótee de rotaçõe moderada. No ao do materiai, ão amida a relaçõe tenão-deformação não-lineare. No trabalho não ão oniderado o efeito dinâmio, oniderando omente m ao de arga onde o proeo de arregamento é poto etátio. A arga apliada ão oniderada atando omente no ponto nodai do modelo diretizado. Cao ela etejam atando ao longo do elemento, ela ão btitída por arga nodai eqialente. 3... Caraterítia do materiai Para o dimenionamento de eçõe de onreto armado, a NBR 68 (ABN, 4) reomenda o diagrama parábola-retânglo para dereer a relação tenão deformação no onreto na região omprimida e depreza-e a ontribição do onreto para a reitênia à tração. A tenõe negatia ão oniderada de ompreão omo motra a Figra 3., de onde e têm, e d d + e ( 3.) e
Análie de pórtio plano de onreto armado 43 endo, 3,5 d,85 f d f d f k γ ( 3. ) é a deformação no onreto, é a tenão de ompreão, f d é o alor de állo da reitênia à ompreão, γ é o oefiiente de minoração ( γ, 4 ) e f k é o alor araterítio da reitênia à ompreão. d d + Figra 3. Diagrama tenão-deformação de állo do onreto. Para o aço, a mema norma reomenda ar (Figra 3.): E e ign ( ) f e > ( 3.3) onde é a tenão normal no aço; é a deformação no aço; é a deformação de eoamento de állo do aço; f é a tenão de eoamento de állo do aço; E é o modlo de elatiidade traneral do aço e ( ) ign é a fnção qe retorna o inal da fnção dada (e a fnção retorna +, ao ontrário, ela retorna -).
Análie de pórtio plano de onreto armado 44 f Figra 3. - Diagrama tenão-deformação de állo do aço lae A. Para a análie da repota da etrtra em termo de eforço interno oliitante, dee-e trabalhar om o alore médio da reitênia, o eja, btiti-e o f d pelo e alor médio, f m, e o f pelo e alor médio, f ym. O oefiiente de ponderação da açõe ão igai o reomendado pela NBR 68 (ABN, 4). Para o állo do eforço interno reitente egee também a NBR 68. 3..3. Deformação aial e ratra O itema de oordenada de referênia do elemento adotado etá repreentado na Figra 3.3, oniderando-e qe o arregamento apliado ata no plano -y permaneendo nete plano apó a deformação.
Análie de pórtio plano de onreto armado 45 y z l Figra 3.3 Sitema de oordenada de referênia do elemento finito. A omponente de deloamento finai de P na direçõe e y ão e, e a omponente de deloamento finai de P na direçõe e y ão e y (Figra 3.4). Figra 3.4 Configração deformada de m treho de elemento. Com bae na hipótee de Naier-Bernolli e da rotaçõe moderada, a eqação qe deree deida ao ampo de deloamento pode er erita omo o + y ( 3.4 )
Análie de pórtio plano de onreto armado 46 yχ ' + ' ( 3.5 ) χ '' onde é a deformação aial; χ é a ratra; () e () ignifiam a deriada de primeira e egnda orden em relação a. 3..4. Eforço interno no elemento Na formlação adotada por Melo (b) obtêm-e a eqaçõe de eqilíbrio não-lineare para o pórtio obtida pelo prinipio do trabalho irtai. O eforço interno para o eqilíbrio ão: a força normal N; a reltante da tenõe do onreto e do aço; e o momento M, reltante do momento prodzido pela tenõe interna do onreto e do aço em relação ao entróide da eção traneral. Utilizando-e a onençõe de inai da Figra 3.5, tem-e: M N X da X da + SI m ASI, m + Am A, m, SS, m X y da X y da SI m ysi, m ASI, m Am A, m A SS, m, SS, m y SS, m A SS, m ( 3.6) O eforço da Eqaçõe (3.6) ão definido para ma eção qalqer do elemento finito m. Aim, tem-e A SI,m, A SS,m para a armadra longitdinai inferior e perior, A,m para a área de onreto, SI,m, SS,m para a tenõe na armadra longitdinai inferior e perior e y SI,m, y SS,m para a ordenada qe ditam do entro de graidade da eção de onreto até o entro de graidade da armadra longitdinai inferior e perior, repetiamente.
Análie de pórtio plano de onreto armado 47 y N M Q entido poitio Q M N Figra 3.5 Conenção de inal para eforço no elemento. 3..5. Eqação de eqilíbrio O problema de olção da eqaçõe de eqilíbrio não-lineare (Eq. 3.7) é reolido de forma inremental pelo método de Newton-Raphon Ψ F P (3.7) endo F o etor da força nodai interna da etrtra e P o etor da força nodai eterna. O problema poi neq eqaçõe não-lineare, endo neq o número de gra de liberdade da etrtra. O proeo iteratio tiliza inremento de deloamento (Eq. 3.8) até qe a força deeqilibrada e anlem ( Ψ ). Aim têm-e a eqaçõe de eqilíbrio inrementai. + Δ ( k + ) ( k ) ( k + ) (3.8) K Ψ ( k ) ( k ) ( ) F( ) P k k ( k ) ( ) ) Δ ( + ) Ψ( ) ( ( 3.9) Onde (k ) endo K ( ) K ( k ) ( ) deeqilibrada da etrtra. F ( k ) a matriz de rigidez tangente e ( k ) ( ) ( 3.) Ψ o etor de força
Análie de pórtio plano de onreto armado 48 3..6. Modelo de elemento finito Para a diretização da etrtra foram implementado por Melo (b) doi modelo de elemento finito. Para ambo o modelo, o deloamento e ão aproimado em fnção de deloamento nodai loai generalizado { q q } q. φ q φ q ( 3.) O primeiro modelo tilizado tem o deloamento aial e traneral aproimado por polinômio lineare e úbio, repetiamente. A fnçõe de interpolação generalizada ão dada por: { ξ} φ ξ {( + ξ )( ξ ) lξ ( ξ ) ξ (3 ξ ) ξ ( ξ )} φ l ( 3.) onde ξ l é a oordenada adimenional. Com relação ao deloamento nodai generalizado q, para ete modelo tem-e q q { } { θ θ } ( 3.3) O egndo modelo tilizado tem o deloamento aial e traneral aproimado por polinômio qadrátio e úbio, repetiamente. A fnçõe de interpolação generalizada ão dada por: φ { 3ξ + ξ ξ(ξ ) 4ξ ( ξ) } {( + ξ )( ξ ) lξ ( ξ ) ξ (3 ξ ) ξ ( ξ )} φ l ( 3.4) para o deloamento nodai generalizado q, dete modelo, tem-e, q q { 3} { θ θ } ( 3.5) Atraé da fnçõe de interpolação, definem-e a matriz de rigidez tangente do elemento (k ) e o etor de força nodai interna no elemento (f), para o doi modelo implementado.
Análie de pórtio plano de onreto armado 49 k f q ( 3.6) N M k N d m dq dq dq dq dq dq dq lm m m m m m m m + + + ( 3.7) f m l m N + q q + M d q ( 3.8) Aim, a matriz de rigidez tangente da etrtra (K ) e o etor de força nodai interna da etrtra (F), para o doi modelo implementado ão: onde K F nel ( k m ) m m m ( 3.9) nel ( m f m ) m ( 3.) m é a tranpota da matriz de tranformação do elemento m qe é definida a partir da relaçõe geométria entre o deloamento generalizado do elemento (q) no eio loai y e o deloamento generalizado da etrtra no eio globai XY. o en en o o en en o 66 ( 3.) A Figra 3.6 motra o eio globai XY, o eio loai y e o gra de liberdade globai para ada modelo de elemento finito tilizado.
Análie de pórtio plano de onreto armado 5 θ y (a) l θ θ y 3 3 l (b) Y θ X Figra 3.6 (a) Modelo e (b) modelo om e repetio eio de referênia e gra de liberdade loai. 3.3. Carga rítia Para m elemento reto de onreto armado bmetido à fleo-ompreão, erifia-e qe, ob a ação de arregamento reente, podem er alançado doi tipo diferente de falha, impoibilitando a tilização: rptra do material, qe oorre qando algm do ritério de falha do material é iolado em algm ponto da etrtra; olapo por intabilidade do elemento o da etrtra, qe e arateriza pela perda de eqilíbrio. Bando etimar o oefiiente de olapo da etrtra para ambo o ao, Melo (b) apreenta a análie da arga rítia de intabilidade (λ * ) e o állo da arga rítia de rína por falha do material (λ r ).
Análie de pórtio plano de onreto armado 5 M Momento fletor M Momento fletor Rína por rptra Rína por intabilidade Rína por rptra Deloamento a Deloamento a (a) (b) Figra 3.7 (a) Rína por rptra e (b) rína por perda de etabilidade. Na Figra 3.7(a) ializa-e m eemplo onde ma eção de onreto armado bmetida à fleo-ompreão monotoniamente falha por não atender o * r ritério de reitênia ( λ λ ), e na Figra 3.7(b) a etrtra atinge o olapo por intabilidade ante de oorrer a falha por não atender o ritério de reitênia * r ( λ <λ ). Nete trabalho é tilizado o algoritmo implementado por Melo (b) qe eeta ma ba de ordem zero para a determinação da arga rítia, baeada na inpeção do inal do determinante da matriz de rigidez tangente. Partindo-e de λ, eeta-e o proedimento de bieção até determinar o interalo qe ontém o alor rítio e, em egida, faz-e ma ba pelo método da eção área até identifiar λ *. Verifiaçõe na eçõe de etremidade do elemento ão realizada drante o proeo para ontatar e hoe falha no ritério de reitênia da eçõe.