Simulações Numéicas do Colapso Gavitacional de um Campo Escala Sem Massa Raphael de O. Gacia, Samuel R. de Oliveia, Depto de Matemática Aplicada, IMECC, Unicamp, 13083-859, Campinas, SP E-mail: gubim@ime.unicamp.b, samuel@ime.unicamp.b Este tabalho tata de um poblema de colapso gavitacional do campo escala sem massa com simetia esféica, de acodo com as equações de Einstein com acoplamento mínimo. Desenvolvemos algoitmos simples mas com ajuste automático de enamento paa obte soluções numéicas. O enamento é necessáio paa desceve os fenômenos do colapso. Utilizamos otinas comuns paa esolve equações difeenciais odináias advindas do método das linhas aplicado às equações difeenciais paciais do modelo matemático, a sabe, otinas de Runge-Kutta e de splines cúbicas. E po m mostamos que é possível obte soluções tão póximas, o quanto se queia, da solução de Buacos Negos e da solução cítica com os algoitmos desenvolvidos e simples computadoes de mesa. 1. As Equações do Campo Consideamos o colapso gavitacional de um campo escala sem massa minimamente acoplado. O tenso enegia-momentum é T ab = a φ b φ 1 2 g ab c φ c φ (1) e a equação da matéia é a a φ = 0. (2) Paa a simetia esféica utilizamos o sistema de coodenadas adial-pola, que é uma genealização do usual sistema de coodenadas de Schwazschild paa o caso dependente do tempo, cujo elemento de linha é denido po ds 2 = α 2 (, t) dt 2 + a 2 (, t) d 2 + 2 dω 2 (3) onde α é uma função lapso tempoal, a é uma função de escala adial, que seão denominadas apenas po funções lapso e adial espectivamente e dω 2 é a mética na supefície de uma esfea unitáia, ou seja, dω 2 = dθ 2 + sin 2 θdϕ 2. As equações de Einstein, G ab = 8πT ab, (4) com a mética (3), o tenso (1) e os campos auxiliaes Φ φ e Π a α φ, são as seguintes: em que Φ = ( α a Π ) ; (5) Π = 1 2 ( 2 α a Φ ) ; (6) α α a a + 1 a2 = 0; (7) a a + a2 1 2π ( Π 2 + Φ 2) = 0; (8) 2 ȧ 4πΦΠ = 0 (9) α lim α (, t) = α 0, 0 onde α 0 é uma constante escolhida convenientemente. Tomamos α 0 = 1. A equação (9) é satisfeita automaticamente, se as equações (7) e (8) o foem. Paa que o espaço-tempo seja egula na oigem, a seguinte condição de contono é necessáia: lim a(, t) = 1. 0 Estuda a evolução tempoal desse campo escala é esolve o sistema de equações, fomado po (5), (6), (7) e (8). 679
2.Fenomenologia e algumas caacteísticas Um impotante diagnóstico geomético é a massa de Hawking m ou função pel da massa, [4]. Em sistemas com simetia esféica, a massa de Hawking é epesentada po 2m (, t) 1 = a 2. (10) Atavés da equação (10) dene-se a massa total do espaço-tempo. O esultado de lim m(, t) é a massa total do espaço-tempo, também denominada po massa de Anowitt, Desne e Misne ou simplesmente massa ADM. Se 2m, então tem-se a fomação de buaco nego. Em 1986, Chistodoulou [2] povou que, se os dados iniciais do campo escala com simetia esféica foem bem denidos, sucientemente facos e difeenciáveis, a evolução tempoal esultaá numa dispesão do campo escala, ou seja, o espaço-tempo esultante é o de Minkowski. Po outo lado, se os dados foem bem denidos, sucientemente fotes e difeenciáveis, a evolução desse campo escala esultaá na fomação de um buaco nego, ou seja, uma cuvatua innita no espaço-tempo apaeceá. Atavés de simulações numéicas, Choptuik estudou o colapso de um campo escala sem massa, com simetia esféica. Em 1993, Choptuik [1] apesentou divesos esultados focalizando famílias de soluções S, dependentes de um paâmeto abitáio p, isto é S [p], com as seguintes popiedades: 1. cada campo escala é epesentado pelo paâmeto p, que caacteiza uma medida da intensidade da auto-inteação gavitacional; 2. cada família contém todos os campos com um mesmo pel; 3. existe um paâmeto p faco tal que, paa p < p faco o espaço-tempo é assintoticamente plano; 4. existe um paâmeto p fote tal que, paa p > p fote o estágio nal é a fomação de buaco nego; 5. existe um paâmeto cítico p, que sepaa as soluções que caacteizam a fomação ou não de buaco nego. Os esultados de Chistodoulou (1986) [2] gaantem a existência dos paâmetos p faco e p fote. Choptuik (1993) [1], assumiu que p faco < p < p fote e efeiu-se a S [p < p ] e S [p > p ] como soluções subcíticas e supecíticas, espectivamente. Assim, dada uma família S [p], que possui soluções, tanto subcíticas quanto supecíticas, xam-se duas soluções, uma subcítica e a outa supecítica. Pode-se detemina o paâmeto p utilizando, po exemplo, o método da Bissecção. Como conseqüência, Choptuik deteminou o paâmeto cítico p, que estabelece a tansição ente soluções S [p < p ] e S [p > p ], e, no paâmeto cítico, tem-se a fomação do buaco nego limite. Intuitivamente, podemos associa duas escalas de medidas do campo gavitacional, a extensão adial L do pulso e o aio gavitacional de Schwazschild, R s, R s = 2M = 2 lim m (, t). (11) Quando L R s temos o pel de um campo faco: o pacote de onda deslocaá na dieção de = 0, implodiá em = 0, ocoeá autoeexão e dissipaá paa o innito, esultando no espaço-tempo de Minkowski. Po outo lado, quando L R s temos o pel do campo fote e, nesse caso, o campo possuiá auto-gavitação e a fomação de buaco nego é possível. Em coodenadas pola-adial, o campo fote pode se diagnosticado pela quantidade 2m(, t) 3. Métodos Numéicos = 1. (12) Paa a solução numéica das equações difeenciais utilizamos o método de linhas adaptativo com enamento [6]. A segui descevemos os pocedimentos efetuados. 1. Detemina as condições iniciais paa a evolução tempoal 2. Evolução tempoal (a) Obte o tamanho do passo tempoal 680
(b) Efetua a evolução tempoal dos campos auxiliaes 3. Pepaa as novas condições iniciais. No pimeio passo pecisamos esolve as equações difeenciais odináias (7) e (8), α α a a + 1 a2 = 0, onde Φ (, t i ) = Φ 0 () e Π (, t i ) = Π 0 (), e a a + a2 1 2π ( Π 2 + Φ 2) = 0, 2 paa enconta os coecientes α e a da mética denida pela equação (3). Paa isso, utilizamos o método Runge-Kutta de quata odem adaptativo, com enamento, paa esolve as equações. Paa o código fonte elaboado no MatLab, existe a subotina ode45 paa esolve equações difeenciais odináias pelo método de Runge- Kutta explicito de quata odem. Essa subotina é um algoitmo adaptativo de enamento e mantém a malha egula, Hanselman e Little- eld (2003) [5]. Nesse passo é necessáio faze uma intepolação paa conhece os valoes dos campos auxiliaes Φ e Π, nos pontos exigidos pela malha adaptativa, com enamento e egulaidade do método Runge-Kutta. Utilizamos a subotina spline do MatLab, paa faze a intepolação po spline cúbica. Após o pimeio passo, conhecemos os coecientes da mética nos pontos da malha espacial deteminados pela solução encontada atavés do método Runge-Kutta. Consequentemente, sabemos os espaçamentos i, ente os pontos da malha espacial. Agoa temos condições de inicia o segundo passo, pois podemos enconta um tamanho paa o passo tempoal que mantém o algoitmo estável. Na pate (a) do segundo passo, optamos po estabelece o passo tempoal da seguinte maneia: { } i t = 0, 8 min (13) i X i onde X i é a áea abaixo da função a 2, delimitada pelas etas y = x i, y = x i+1 e y = 0. A pate (b) do segundo passo consiste em esolve as duas equações difeenciais paciais, equações (5) e (6), ( α ) Φ = a Π e Π = 1 2 ( 2 α a Φ ), onde Φ (, t i ) = Φ 0 (), Π (, t i ) = Π 0 (), a (, t i ) = a 0 () e α (, t i ) = α 0 (), que apaece nas equações do campo. Utilizamos o método Runge-Kutta de quata odem paa faze a evolução tempoal dos campos auxiliaes Φ e Π, no intevalo [t i, t f ], onde t f = t i + t. Nesse passo a mesma subotina do MatLab é utilizada, a subotina ode45, paa faze a evolução tempoal dos campos auxiliaes até o tempo t f e enconta Φ (, t f ) e Π (, t f ). Se estivemos inteessados em continua a evolução tempoal, temos que considea os novos dados, Φ, Π e t f, à seem utilizados. O teceio passo efee-se a atualização nos dados das equações difeenciais odináias do pimeio passo e das equações difeenciais paciais, da pate (b) do segundo passo. Paa isso, basta faze t i = t f, Φ 0 () = Φ (, t f ) e Π 0 () = Π (, t i ). Feitas as atualizações, paa possegui com a evolução tempoal basta considea um laço de epetição, dos passos apesentados até um tempo t conveniente. A egião na qual temos inteesse em esolve as equações difeencias é Ω = [0, f ] [0, ), onde o intevalo [0, f ] dene o tamanho da malha espacial e f é uma constante estabelecida de foma conveniente. 4. Condições Dada uma família de dados iniciais, a evolução tempoal desses campos iniciais é deteminada pelas equações (5), (6), (7) e (8). Se desejamos, em paticula, estuda a evolução tempoal de um campo inicial que petence à família dada, devemos impo a seguinte condição inicial, φ (, 0) = φ (), nas equações do campo, onde φ () é o campo inicial dado que desejamos estuda e t i = 0. As equações do campo estão expessas pelos campos auxiliaes Φ e Π, onde Φ φ e Π a φ. α Assim, dado o valo de φ (, 0), temos as 681
condições iniciais necessáias paa a evolução tempoal dos campos auxiliaes. A pimeia condição de contono que veemos é paa = f. O ideal seia tende ao innito, mas isso é inviável paa a simulação numéica. Assim devemosestingi o domínio espacial em um intevalo nito. Uma boa escolha paa f é fundamental, pois ao estipula um valo paa f considea-se que toda a dinâmica dos campos auxiliaes está no intevalo espacial [0, f ] e que a pati de f temos apenas adiação, ou seja, temos apenas ondas saindo em f. Essa imposição sobe o domínio espacial cia a necessidade de uma condição de adiação em = f, Π ( f, t) = Φ ( f, t). Isso é necessáio paa evita que a solução seja afetada po = f, pois nesse ponto não temos ondas se popagando paa o inteio do intevalo. A outa condição de contono efee-se a oigem = 0. Aqui devemos te um cuidado edobado, pois não só temos imposições sobe Φ e Π, mas também temos que gaanti a egulaidade da mética paa cada passo tempoal, ou seja, lim α (, t) = 1 e lim a(, t) = 1. 0 0 A condição de egulaidade da mética é acescentada no algoitmo atavés das seguintes igualdades a (0, t) = 1 e α (0, t) = 1. Em = 0, o campo escala φ deve satisfaze e isso faz com que φ (0, t) = 0 Φ (0, t) = 0 e Π (0, t) = 0. Paa enconta o valo de Π (0, t), zemos uma extensão de cinco pontos, com os espaçamentos vaiados ente eles. Esses pontos incluem Π (0, t) e quato pontos conhecidos de sua vizinhança. 5. Citéios de Paada A evolução tempoal do campo escala que estamos estudando tem apenas dois estágios - nais possíveis: fomação de buaco nego e dispesão do campo. Cada um dos estágios nais possui popiedades que os caacteizam e que podemos utiliza como citéio de paada paa a evolução tempoal. Se a igualdade 2m (, t) = fo satisfeita paa algum (, t), temos a fomação de um buaco nego. Essa igualdade epesenta uma singulaidade na mética adial-pola, equação (3). No algoitmo basta apesenta o cálculo da função pel da massa (massa de Hawking), em cada evolução tempoal, atavés da equação 2m (, t) = 1 1 a 2 e veica se estamos sucientemente póximos da igualdade 2m =, a ponto de gaanti que o estágio nal da evolução tempoal de um campo escala inicial é a fomação de um buaco nego. Devido a escolha da mética e a sua egulaidade na oigem, não é possível atingi a igualdade 2m =, poém sempe sabeemos que estamos sucientemente póximos da fomação de um buaco nego, a ponto de gaanti que o estágio nal seá um buaco nego. Uma outa quantidade inteessante de acompanha, ao longo de uma evolução tempoal, é a massa total consevada na egião do espaçotempo que estamos consideando. A equação é dada po M = = f 0 f 0 dm d d [ 2 2π a 2 ( ) φ 2 + 2 α 2 ( ) ] φ 2, t [1]. Paa o caso de dispesão do campo temos α (, t) = α 0 e a (, t) = a 0, paa os coecientes da mética, onde α 0 e a 0 são constantes. Nesse caso temos como solução um espaçotempo plano e assim, podemos utilizá-los como citéio de paada. Acescentando essas condições de contono e os citéios de paada no código fonte, o algoitmo está ponto paa faze simulações numéicas de um campo escala dado. 6. Simulações Paa ealiza as simulações, utilizamos um Pentium IV com 2,8 GHz e 496 MB de memóia RAM. O sistema opeacional é um LI- 682
NUX/GNU 2.4.12 e o Softwae foi o MatLab7 (R14). Antes de inicia as simulações, investigamos as otinas de intepolação e veicamos que há um ganho no tempo de execução, sem que haja peda de pecisão, quando utilizamos a intepolação cúbica de Hemite, Gacia [3]. Assim, substituímos a spline cúbica pela intepolação cúbica de Hemite no algoitmo e efetuamos as simulações. Consideamos uma família de campos escalaes iniciais, com o pel Gaussiano ( ( ) ) ( 20) 2 φ (, 0) = φ 0.exp, (14) 4 onde φ 0 é a amplitude da Gaussiana e também o paâmeto que caacteiza a família de campos inicias. Fixamos f = 48, zemos váias simulações com difeentes valoes paa φ 0 e constuímos a tabela 1, que mosta o tempo gasto pela evolução tempoal paa atingi um dos estágios nais possíveis, Gacia [3]. φ 0 tempo em minutos 0,001 05,76 0,002 11,59 0,003 18,14 0,004 25,88 0,005 36,53 0,006 48,99 0,007 66,64 0,008 110,51 0,009 130,43 0,010 170,22 0,0125 788,06 0,020 967,48 Tabela 1: Tempo de evolução tempoal dos campos iniciais Na gua 1, podemos obseva que no caso de φ 0 = 0, 001 não temos a fomação de buaco nego, temos um exemplo de dispesão do campo. Isto é, uma pate do campo escala inicial começa a colapsa, enquanto uma outa pate se dispesa e a pati daí, a pate que colapsa implode em = 0 e depois se dispesa, a medida que o tempo passa. Além disso, não existem ondas patindo de f = 48 e indo em dieção de = 0. Isso justi- ca a escolha da condição de adiação Π ( f, t) = Φ ( f, t), pois não desejamos que essas ondas inteam na solução numéica. Figua 1: Gáco da evolução tempoal da distibuição da massa no espaço-tempo, paa φ 0 = 0, 001. Os gácos da gua 2 ilustam as mudanças no coeciente adial da mética e na função pel da massa. Figua 2: A esqueda temos o gáco do coe- ciente adial da mética e a dieita temos a evolução tempoal da função pel da massa. O campo escala inicial com amplitude φ 0 = 0, 02 é um campo fote cuja solução está póxima da solução de buaco nego. Nas guas 3 e 4, pode-se obseva que uma pate do campo se dispesa e a outa começa a colapsa até atingi 2m =. Figua 3: Gáco da evolução tempoal da distibuição de matéia no espaço-tempo, paa φ 0 = 0, 02. Um outo compotamento caacteístico de simulações que atingem soluções póximas de 683
Figua 4: Nesse gáco estão epesentados o gáco da eta y = e a função pel de massa no último tempo atingido pela simulação. soluções de buaco nego, é o gáco da função adial da mética. A gua 5 mosta que temos uma peda de suavidade na função adial epesentada po um pico no gáco. Esse compotamento ea espeado devido a equação (10). Figua 5: A esqueda temos o gáco do coe- ciente adial da mética e a dieita temos a evolução tempoal da função pel da massa. Na tabela 1, temos as amplitudes dos campos escalaes que zemos simulações. Com campo escala inicial de amplitude φ 0 = 0, 0125, obtivemos a solução mais póxima da solução cítica que epesenta a tansição ente S [p < p ] e S [p > p ]. Assim denimos o paâmeto cítico como sendo apoximadamente (φ 0 ) = 0, 013, Gacia [3]. As guas 6 e 7 efeem-se a essa simulação. Figua 6: Gáco da evolução tempoal da distibuição de matéia no espaço-tempo, paa φ 0 = 0, 0125. Figua 7: Nesse gáco estão epesentados a função pel da massa, no último tempo atingido pela simulação e o gáco da eta y =. 7. Conclusões O algoitmo desenvolvido foi suciente paa ealiza simulações númeicas de campos escalaes e obte soluções tão póximas quanto se queia da solução de buacos negos. Também conseguimos uma solução numéica póxima da solução cítica. Paa a família de campos escalaes iniciais escolhida, equação (14), obtivemos um valo apoximado paa o paâmeto cítico (φ 0 ) = 0, 013. O Método de Linhas adaptativo, com enamento e egulaizado, foi fundamental paa o desempenho das simulações. O ponto cucial do algoitmo é quando o Método Runge-Kutta necessita faze intepolações paa consegui esolve as equações do campo, as quais estão elacionadas com a obtenção dos coecientes da mética. Uma outa constatação que se fez é que é possível obte essas soluções numéicas utilizando algoitmos desenvolvidos em MatLab, paa simples computadoes de mesa. Refeências [1] M. W. Choptuik, Univesality and scaling in gavitational collapse of a massless scala eld, Phys. Rev. Lett., v. 70, n. 1, p. 9-12, Jan. 1993. [2] D. Chistodoulou, The poblem of a selfgavitating scala eld, Comm. Math. Phys., 105, p. 337-361, 1986. [3] R. O. Gacia, Simulações Numéicas do Colapso Gavitacional de um Campo Escala Sem Massa, Tese de Mestado, IMECC-Unicamp, 2007. 684
[4] C. Gundlach, Citical phenomena in gavitational collapse, Physics Repots, 376, p. 339-405, 2003. [5] D. Hanselman, B. Littleeld, MatLab 6 - Cuso completo. Pentice Hall, São Paulo, 2003. [6] P. Saucez, A. V. Wouwe, W. E. Schiesse, Adaptive Method of Lines. Chapman & Hall/CRC, Floida, 2001. 685