Método de Diferenças Finitas Câmpus Francisco Beltrão Disciplina: Professor: Jonas Joacir Radtke
Aplicações Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a uma equação diferencial. Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Além das equações diferenciais ordinárias sujeitas a condição inicial temos equações diferenciais ordinárias e parciais sujeitas a condições de contorno. Para tais problemas abordamos o Método de Diferenças Finitas. Discretização do Domínio No Método de Diferenças Finitas (MDF) o domínio do problema, contínuo, é substituído por uma série de pontos discretos, ou nós, nos quais são calculadas as incógnitas do problema. Essa substituição do contínuo pelo discreto denomina-se discretização.
Discretização da Equação Uma vez efetuada a discretização do domínio do problema, discretiza-se a equação diferencial aplicando-se o MDF para a determinação das incógnitas. As derivadas, que aparecem na equação original, são substituídas (ou aproximadas) por fórmulas discretas de diferenças. A aplicação dessas fórmulas aos pontos do domínio discretizado gera um sistema de equações algébricas, cuja solução fornece os valores das incógnitas do problema nesses pontos discretos.
Derivadas de Primeira Ordem: Diferença Progressiva Por definição a derivada de uma função φ(x) em um ponto x i é dada por: dφ φ(x i + h) φ(x i ) = lim dx h 0 h onde h = x. De forma aproximada, utilizando-se um incremento h pequeno, porém finito, podemos escrever: dφ dx φ(x i + h) φ(x i ) h A aproximação definida acima é denominada diferença progressiva porque utiliza um ponto a frente de x i, o ponto x i + h.
Alternativamente, podemos deduzir a aproximação com diferença progressiva utilizando a série de Taylor. A expansão em série de Taylor do valor de φ em x = x i + h em torno do valor de φ em x = x i é: φ(x i + h) = φ(x i ) + h dφ dx + h2 d 2 φ 2! dx 2 + h3 d 3 φ 3! dx 3 +... (1) A expressão (1) pode ser reescrita como: dφ dx = φ(x i + h) φ(x i ) h d 2 φ h 2! dx 2 h2 d 3 φ 3! dx 3... Como h é pequeno podemos truncar a série no ponto indicado. Logo, desprezando-se os termos relativos às derivadas de ordem igual ou superior a dois, obtém-se a expressão da aproximação com diferença progressiva.
Derivadas de Primeira Ordem: Diferença Regressiva Analogamente, a expansão em série de Taylor do valor de φ em x = x i h em torno do valor de φ em x = x i é: φ(x i h) = φ(x i ) h dφ dx + h2 d 2 φ 2! dx 2 h3 d 3 φ 3! dx 3 +... (2) A expressão (2) pode ser reescrita como: dφ dx = φ(x i) φ(x i h) h d 2 φ h 2! dx 2 + h2 d 3 φ 3! dx 3... Ao desprezar-se os termos relativos às derivadas de ordem dois ou superiores, obtém-se a expressão da aproximação com diferença regressiva.
Derivadas de Segunda Ordem: Diferença Central As derivadas de segunda ordem também podem ser obtidas através da série de Taylor, as expressões (1) e (2) podem ser somadas, resultando em: φ(x i +h)+φ(x i h) = 2φ(x i )+ 2h2 2! d 2 φ dx 2 + 2h4 d 4 φ 4! dx 4 +... A expressão acima pode ser reescrita como: d 2 φ dx 2 = φ(x i + h) 2φ(x i ) + φ(x i h) h 2 2h2 4! d 4 φ dx 4... Desprezando os termos com derivadas de ordem igual ou superior a quatro obtemos a aproximação para a derivada de segunda ordem. A aproximação obtida é do tipo diferença central.
Forma Simplificada das Aproximações As aproximações em diferenças finitas podem ser escritas de forma simplificada como: φ i φ i+1 φ i h φ i φ i φ i 1 h φ i φ i 1 2φ i + φ i+1 h 2 (Diferença Progressiva) (Diferença Regressiva) (Diferença Central) onde: h = b a n, x i = a + i h φ i+1 = φ(x i + h), φ i = φ(x i ), φ i 1 = φ(x i h)
Exemplo: Resolva a equação de condução de calor unidimensional pelo método de diferenças finitas com n = 4. d 2 T dx 2 = 0 em 0 x 1 T (0) = 10 T (1) = 30 Exercício Resolva a equação de difusão-reação unidimensional de um poluente utilizando o MDF com n = 5: d 2 C + C dx 2 = x em 0 x 1 C(0) = 0 C(1) = 0
Exercício Resolva a equação de advecção-difusão unidimensional de um poluente utilizando o MDF com n = 6: 50 d 2 C dx 2 + 2dC dx = 30 em 0 x 3 C(0) = 12 C(3) = 25
Exercício Implemente um programa computacional para resolver o problema unidimensional de advecção-difusão-reação com termo fonte contante dado por α d 2 y dx 2 + β dy dx + γy = q em 0 x L y(0) = y 1 y(l) = y 2 onde α, β e γ são os coeficientes de difusão, advecção e reação, respectivamente; e L, y 1 e y 2 são, respectivamente, o comprimento do domínio físico e as condições de contorno esquerda e direita; Juntamente como o valor de N, todos estes são dados de entrada do programa.
Exercício Resolver pelo método de diferenças finitas as seguintes equações: (a) Equação de advecção-difusão D d 2 C dx 2 v dc dx = 0 c(0) = 0,8 c(100) = 0 D = 100m 2 /s n = 10 v = 0,5m/s (b) Equação de condução de calor com termo fonte T (0) = 20 o C k d 2 T dx 2 = q T (0,1) = 30 o C q = 5 10 6 W /m 3 k = 400W /(m K) n = 5