0, É IGUAL A 1?

0,999... É IGUAL A? Prof as Estela Kaufma Faiguelert Profa. Lucia Maria Aversa Villela Aluos de iiciação cietífica Alie Lebre Xavier da Rosa Douglas Duarte Jéssica dos Satos Freire Jéssika Ferada de Melo Satos Barbosa Raphael Alves dos Satos William Ewbak Piheiro Bolsistas do Projeto Joves Taletos Carolia Souza Ramos Thaisa Mello de Oliveira Não bolsistas GPEMCC / USS Resumo Este relato é uma das atividade realizadas com aluos do Esio Básico que participam do projeto A Aálise Matemática Visitado a Escola Básica, que vem sedo desevolvido pelo Grupo de Pesquisa Educação Matemática, Cultura e Cidadaia (GPEMCC), por professores da Uiversidade Severio Sombra e agora por aluos do Esio Básico ligados ao Projeto Joves Taletos, da FAPERJ, ode estamos promovedo a reflexão sobre coceitos pertietes à Aálise Matemática que são aplicados a Matemática desde a Educação Básica. Sedo um dos objetivos de osso trabalho levar o grupo à reflexão sobre coceitos pertietes à Aálise Matemática. Como por exemplo úmeros racioais a forma decimal e fracioária. Iicialmete provocamos o grupo a respoder a questão 0,999... é igual a?, estimulado-os a que justifiquem as suas cojecturas. A maioria dos Joves Taletos e aluos de Esio Básico ão bolsistas respoderam que ão era igual. Logo em seguida, alguém lembrou de um artifício de cálculo que é usado o Esio Fudametal quado se trata de determiar a fração geratriz de uma dízima periódica. Esta pesquisa cotiua em desevolvimeto e é ossa iteção discutir juto aos professores pesquisadores as difereças existetes etre as cocepções da aálise covecioal e ão covecioal. Palavras-chave: Aálise matemática úmero racioal forma decimal e fracioária Justificativa Este relato evolve uma das atividades realizadas com aluos da Educação Básica participates da Pesquisa A Aálise Matemática Visitado a Escola Básica, que vem sedo desevolvido, desde agosto de 2007, pelo Grupo de Pesquisa Educação Matemática, Cultura e Cidadaia (GPEMCC). Detre estes aluos, sete são

pesquisadores bolsistas de iiciação cietífica do Projeto Joves Taletos, da FAPERJ, e três são ão bolsistas volutários. Estes aluos, que freqüetam as séries termiais do Esio Médio em Escolas Estaduais, em Vassouras, são coordeados esta pesquisa por dois professores da Uiversidade Severio Sombra. Um dos objetivos de osso trabalho é levar o grupo à reflexão sobre coceitos pertietes à Aálise Matemática, muitos deles itroduzidos desde os aos iiciais do Esio Fudametal, como, por exemplo, idetificar as maeiras de escrevermos um mesmo úmero racioal as formas decimal e fracioária, estabelecedo a coexão etre diferetes represetações. Por meio de problemas curiosos propostos aos aluos, estamos a verdade auxiliado-os a costrução do sigificado de tais coceitos matemáticos, bem como vivedo experiêcias que servirão de suporte às reflexões que os propiciarão detectar obstáculos epistemológicos a costrução de algumas idéias básicas de Matemática, como, por exemplo, o coceito de úmero racioal. Desevolvimeto Iicialmete provocamos os participates do grupo a respoderem a questão 0,999... é igual a?, estimulado-os a que justificassem as suas cojecturas. A maioria dos aluos respodeu que ão era igual. Logo em seguida, alguém se lembrou de um artifício de cálculo que é usado o Esio Fudametal quado se trata de determiar a fração geratriz de uma dízima periódica. Este artifício costitui-se em:. Chamar de x a fração geratriz que queremos determiar: x = 0,999... () 2. multiplicar ambos os membros da igualdade por um valor coveiete, de forma a obter-se uma igualdade equivalete ode seja possível subtrair-se a igualdade () da ova igualdade, termo a termo, a fim de se elimiar a parte decimal. Assim, este caso, se multiplicarmos ambos os membros da igualdade () por 0, temos: 0. x = 0. 0,999... 0x = 9,999... (2) 3. Efetuado-se (2) (), obtemos: 9x = 9 Logo x =.

É iteressate observamos que, mesmo diate da argumetação acima, algus cotiuavam a afirmar que ão era possível isto ser verdade, porque o primeiro membro da igualdade () estava faltado alguma coisa para ser exatamete igual. Eles demostravam a isatisfação de que o fato de 0,999... represetar uma aproximação, ão garatia a igualdade. Para desfazer a opiião de que aquele artifício era coisa de mágico, optamos por costruir com o grupo outros camihos. Um deles, pela adição de um úmero ifiito de termos de uma progressão geométrica, em que o módulo da razão é maior do que zero e meor do que um: 9 9 9 9 0,9999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 +... = + + + +... 0 00 000 0000 Dessa forma, observa-se que a dízima periódica pode ser idetificada com a adição de ifiitas parcelas de úmeros racioais, quer estas estejam represetados a forma decimal ou fracioária. Esta expressão represeta a adição de um úmero ifiito de termos de uma progressão geométrica (PG) decrescete, cujo primeiro termo é a= 9 =0,9 e a razão é q = 0 0 =0,. 9 No caso da PG ser como a apresetada acima, ode a = e 0 calcular a soma de um úmero ifiito de termos 9 9 a = = 0 = 0 = q 0 0 lim S 9 q =, podemos 0 Embora estes aluos do Esio Médio aida ão coheçam a oção de limite, que sigifica a idéia do comportameto da fução a vizihaça do poto limite, isto é, a maior aproximação possível da fução a este poto, observamos que mesmo esta represetação aida ão coveceu algus aluos. Cosideramos ser relevate registrar pelo meos uma das justificativas surgidas a defesa da resposta egativa. Um dos aluos, em mais de um mometo (mesmo depois de termos feito uma revisão de como trasformávamos decimais em frações), 999999... afirmava que 0,999... era igual à fração 000000... e que portato faltava alguma coisa para que o umerador fosse igual ao deomiador. O erro a trasformação do umeral decimal em fracioário seria coceitual ou seria tetativa de argumetação,

mostrado a isatisfação diate da falta de algo? Cojecturamos que estes aluos estavam expressado, à sua maeira, a idéia dos ifiitésimos. Numa seguda etapa, o grupo decidiu sair a campo e levatar a opiião de pessoas de diferetes íveis de escolaridade, com relação a esta questão. Eis a tabulação dos resultados: 0,999... é igual a? Nível de escolaridade sim ão Esio Fudametal icompleto 3 4 Esio Fudametal completo - 5 5 Esio Médio icompleto 2 3 5 Esio Médio completo 7-7 Esio Superior icompleto 2 6 28 Esio Superior completo 7 4 Pós-Graduação icompleto 2-2 Pós-Graduação completo 3 3 6 Não especificou 2 2 Total 36 54 90 No uiverso pesquisado, fora da equipe dos aluos de iiciação cietífica, a maioria das pessoas (60%) também ão cosidera a igualdade verdadeira, discordado do que mostram os cálculos, feitos por meio de artifícios, usado coteúdos matemáticos. Tal como em osso experimeto, MILANI (2002; 2003) também explorou a mesma questão. Seu uiverso costitui-se de quatro aluos de um curso de graduação em Física e seus resultados foram semelhates aos aqui ecotrados. Refletido sobre os resultados: Historicamete é sabido que o século XIX o método dos ifiitésimos, que fora desevolvido por Leibiz em fis do século XVII, foi substituído pelo método dos limites (Cauchy) e isto redudou a aritmetização da Aálise (Weierstrass). Ficava assim solucioada a seguda grade crise do pesameto matemático e cosolidava-se a cohecida Aálise Covecioal ou Stadard. A primeira ocorrera a Atigüidade, quado os gregos perceberam o problema da icomesurabilidade, que só se solucioou com a criação dos úmeros irracioais.

A Aálise de Cauchy-Weierstrass - agora Aálise Real foi cosolidada e edificada sobre dois alicerces fudametais: os coceitos de úmero real e de ifiito - tedo a operação de limite, tal como Weierstrass a defiiu, sua operação fudametal. Assim, observado que o cojuto dos úmeros reais R satisfaz ao axioma de Arquimedes (que estabelece que dados dois úmeros positivos a,b com a<b, é sempre possível ultrapassar o segudo por adição sucessiva de termos iguais ao primeiro) pode-se perceber porque os ifiitesimais ão foram bem vidos a essa ova aálise e baidos temporariamete do mudo acadêmico da matemática. (REZENDE, 2002, p. 260) Na década de sesseta do século XX, Abraham Robiso retoma a oção dos ifiitésimos e surge a Aálise Não-Stadard, que trabalha o cojuto dos hiper-reais. Lembramos que a Aálise Stadard (o cojuto dos reais, com base em Cauchy) é a que usualmete é trabalhada em ossos cursos e livros. A teoria matemática que susteta e fudameta o pesameto ifiitesimal dos estudates é chamada de Aálise Não-Stadard, que formaliza os ifiitésimos trabalhados desde os tempos de Leibiz. Essa teoria foi criada por Abraham Robiso, por volta de 960. Os ifiitésimos são elemetos do cojuto dos hiper-reais, *R, que iclui os úmeros reais. Um úmero hiper-real é defiido como uma classe de equivalêcia de seqüêcias de úmeros reais, cuja relação é dada por ( a ) ~ ( ) } U, ode U é um ultra-filtro. Um ifiitésimo é um hiper-real, cujo módulo é meor que qualquer real positivo, por exemplo,. b { / ( a ) ( b ) (MILANI, 2003, p. 4) Mas ão podemos esquecer que a cocepção da Aálise Não-Stadard é usada hoje em muitos campos profissioais. Pessoas que atuam com automação, por exemplo, usam esta visão. Cabe a ós - formadores de professores de Matemática - atualizar ossos currículos de Cálculo e Aálise (ÁVILA, 200; BALDINO, CABRAL, 2002; IEZZI, HAZZAN, 2002; MILANI, 2002, 2003; REZENDE; 2002) e, miimamete, avetarmos a existêcia de tal teoria, uma vez que ela está batedo às ossas portas até mesmo para um aluo de Esio Médio que esteja freqüetado determiados cursos técicos ode, devido à precisão de istrumetos, 0,999... ão é igual a. Não basta afirmarmos, mesmo que com prova matemática baseada o cojuto dos reais, que 0,999... é igual a. Há que levatarmos a questão, com bases históricas e cietíficas, adequado a explaação ao ível de ossa clietela. Cometários sobre as etapas já viveciadas: Por meio desta atividade observamos algus resultados parciais:

a) Por meio de problemas curiosos propostos a estes aluos estamos a verdade auxiliado-os a resgatar ou a costruir os coceitos matemáticos, bem como vivedo experiêcias que servem de suporte aos professores pesquisadores do grupo. b) Observamos também que a deomiação de fração geratriz é apeas usada para as frações que geram dizimas periódicas, quado esta deomiação deve ser aplicada também o caso das frações gerarem decimais exatas. c) Muitos dos aluos aida ão tiham costruído o coceito de úmero racioal. Esta pesquisa cotiua em desevolvimeto e é ossa iteção discutir juto aos professores pesquisadores as difereças existetes etre as cocepções da aálise covecioal e ão covecioal. Referêcias bibliográficas: ÁVILA, Geraldo Aálise Matemática para Liceciatura, Editora Edgard Blücher Ltda., 200 BALDINO, R. R.; CABRAL, T. C. B. Cocepções ifiitesimais a matemática. Rio Claro:Departameto de Matemática/IGCE/UNESP, 2000. (Relatórios Iteros, 56/00) IEZZI, Gelso; HAZZAN, Samuel Fudametos de Matemática Elemetar, Atual Editora, 2002 MILANI, R. Cocepções Ifiitesimais em um Curso de Cálculo. 2002. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Istituto de Geociêcias e Ciêcias Exatas, Uiverisdade Estadual Paulista, Rio Claro, 2002. MILANI, R. O Pesameto Ifiitesimal de Aluos de Cálculo. Comuicação Cietífica o Ecotro Gaúcho de Educação Matemática, 8.,2003Dispoível em 5/3/2008, o site http://ccet.ucs.br/evetos/outros/egem/cietíficos/cc63.pdf.pelotas: UCPel, 2003 REZENDE, W. M. O Esio de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese de Doutorado. São Paulo: FE-USP, 2003. Dispoível, em 28/06/2007, o site http://www.professores.uff.br/wmrezede/arquivos/tese_doutorado.zip.