Estatística Descritiva EXERCÍCIOS MAT 224 () Identifique os tipos de escalas utilizadas para cada uma das seguintes características das unidades de observação, retiradas de uma tabela do Guia do Usuário do aplicativo Microsoft Ecel: (.) mês (.2) tipo de produto (.3) vendedor (.4) região do país (.5)unidades vendidas (.6) total de vendas. (2) Determinar média, mediana e moda dos seguintes conjuntos: (2.) {, 6, 9, 3, 2, 7, 4 e } (2.2) {6, 5, 5, 7, 5, 6, 5, 6, 3, 4 e 5} (2.3) {8, 4, 4, 4, 4, 6, 9, 0, 0, 5, 0, 6 e 0} (2.4) {23, 28, 35, 7, 28, 35, 8, 8, 7, 8, 8, 8, 28, 28 e 8} (3) Para os conjuntos abaio calcular as seguintes medidas: amplitude, variância, desvio padrão, coeficiente de variação. (3.) {0,04 0,8 0,45,29 2.35} (3.2) {-7/4 -/3 3/5 7/20 4/3} (4) Dados os seguintes conjuntos de valores: (a) { 3 7 9 0} (b) {20 60 40 80 200} (c) {0 50 30 70 90.} Calculando a média e o desvio padrão do conjunto em (a), determinar, através das propriedades, a média e o desvio padrão dos conjuntos em (b) e (c). (5) O conjunto de dados abaio representa uma amostra de 40 elementos: 3,67,82 3,73 4,0 4,30,28 8,4 2,43 4,7 2,88 5,36 3,96 6,54 5,84 7,35 3,63 2,93 2,82 8,45 4,5 5,28 5,4 7,77 4,65,88 2,2 4,26 2,78 5,54 6,00 0,90 5,09 4,07 8,67 0,90 6,67 8,96 4,00 2,00 2,0
(5.) Agrupe os dados em uma distribuição de freqüências, considerando o limite inferior igual a zero, o superior igual a 0 e utilizando cinco classes de mesma amplitude. (5.2) Construa o histograma de freqüências relativas. (5.3) Obtenha média, mediana e moda (5.4) Obtenha desvio padrão e coeficiente de variação (6) Um livro com 50 páginas apresentou um número de erros de impressão por página conforme tabela: (6.) Qual o número médio de erros por página? (6.2) Qual o número mediano de erros por página? (6.3) Qual o número modal de erros por página? (6.4) Qual o desvio padrão do número de erros por página? (7) Durante certo período de tempo o rendimento de 0 ações foram os seguintes: {2,59 2,64 2,69 2,62 2,57 2,55 2,6 2,50 2,63 2,64} (7.) Calcule o rendimento médio. (7.2) Calcule o rendimento mediano. (7.3) Calcule o rendimento modal. (7.4) Calcule o desvio padrão do rendimento. (7.5) Calcule o coeficiente de variação do rendimento (8) O departamento de pessoal de certa empresa fez um levantamento dos salários dos 20 funcionários do setor administrativo, obtendo os resultados da tabela: 2
(8.) Determine o salário médio dos funcionários (8.2) Determinar a variância, desvio padrão dos salários e coeficiente de variação (8.3) Determinar o salário mediano. (8.4) Determinar o salário modal. (9) A série abaio é o ICV (Índice de custo de vida ), Para resolver o eercício use o EXCEL. (9.) Para as observações não agrupadas calcule mínimo, máimo, média aritmética, geométrica e harmônica, mediana e moda, além de amplitude geral, variância, desvio padrão e coeficiente de variação, (9.2) Faça tabela de distribuição de freqüências por intervalos quando o número de classes for ma min K {5;6;8}. Utilize como amplitude de classes h i. O limite inferior da k primeira classe deverá ser o mínimo da amostra. (9.3) Para cada tabela obtida em (7,2) calcule média, mediana, moda, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. 3
4 Mês-Ano Jan-95 Feb-95 Mar-95 Apr-95 May-95 Jun-95 Jul-95 Aug-95 Sep-95 Oct-95 Nov-95 Dec-95 Jan-96 Feb-96 Mar-96 Apr-96 May-96 Jun-96 Jul-96 Aug-96 Sep-96 Oct-96 Nov-96 Dec-96 Jan-97 Feb-97 Mar-97 Apr-97 May-97 Jun-97 Jul-97 Aug-97 Sep-97 Oct-97 Nov-97 Dec-97 Jan-98 Feb-98 Mar-98 Apr-98 May-98 Jun-98 Jul-98 Aug-98 Sep-98 Oct-98 Nov-98 Dec-98 Jan-99 Feb-99 Mar-99 Apr-99 May-99 Jun-99 Jul-99 Aug-99 Sep-99 Oct-99 Nov-99 Dec-99 ICV 95,68 84,69 02,8 89,73 04,3 09,88 9,3 25,92 2,3 3,09 27,37 5,37 0,74 93,78 00,79 99,53 5,55 5,33 33,29 35,62 26,63 34,93 2,5 09,79 03,95 88,2 99,46 05,22,99 7,25 32,74 36,36 40,65 43, 2,2,36 0,67 92,32 02,3 02,57 2,58 25,52 40,47 38,75 35,9 35,6 3,06 2,08 98,9 89,77 07,46 04,98 26,52 29,8 36,54 48,3 43,4 42,99 30,43 5,05
(0) O que acontece com a média e o desvio padrão de um conjunto de dados quando: (0.) Cada valor é multiplicado por 2. (0.2) Soma-se o valor 0 a cada valor. (0.3) Subtrai-se a média de cada valor. (0.4) De cada valor subtrai-se a média e em seguida divide-se pelo desvio padrão () Uma comunidade A tem 00 motoristas profissionais cujo salário médio é de 5 sm. A comunidade B, com 300 desses profissionais, remunera-os com uma média de 4 sm. (.) É correto afirmar que A remunera melhor seus motoristas profissionais que B? (.2) Diante das informações disponíveis há garantia que os 00 salários individuais de A são maiores que os 300 de B? Por que? (2) A média aritmética entre dois valores positivos é igual a 5 e a média geométrica igual a 4. Qual a média harmônica entre estes dois valores? (3) Um concurso público, para um certo cargo, consiste em uma prova, dividida em quatro áreas. Cada área contém 20 questões. Para aprovação é preciso que o candidato obtenha média harmônica ponderada no mínimo igual a 3. Um candidato apresentou o seguinte desempenho: Área Peso No. de acertos Português 3 7 Matemática 3 7 Conhecimentos Gerais 2 6 Informática 4 Calcule as médias aritmética, geométrica e harmônica. O candidato foi ou não aprovado? (4) Sejam as seguintes anotações de pesos de bovinos (em kg): {508 543 560 562 2500} (4.) Calcule a média aritmética e a mediana (4.2) A média aritmética é representante adequado da amostra? E a mediana? (5) Seja a amostra de número de pessoas por domicílio: {5; 6; 3; 3; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 3; 2; 7; 4} (5.) Calcule média, variância e desvio padrão (5.2) Escreva cada observação na forma X K S 5
(6) O problema do truncamento de números: os valores seguintes são espessuras em mm de chapas de alumínio: { 6,34 6,38 6,40 6,38 6,36 6,36 6,38 6,20 6,42 6,28}. (6.) Obtenha média, desvio padrão e coeficiente de variação. (6.2) Se o valor do somatório dos quadrados for arredondado para décimos, qual o valor resultante para variância e coeficiente de variação? Houve diferença, por que? (7) Os operários de um setor industrial têm, em uma época, um salário médio de 5 salários mínimos (sm) e desvio padrão de 2 sm. Um acordo coletivo prevê, para uma época 2, um aumento linear de 60%, mais uma parte fia correspondente a 70% de um salário mínimo. Calcule a média e o desvio padrão dos salários na época 2. (8) Abaio você encontra duas distribuições que refletem os comportamentos de e y (tamanhos de famílias) em duas comunidades. Utilize tais informações para uma análise que indique qual das duas comunidades tem famílias maiores. (9) Identifique, justificando, qual é a variável mais homogênea. Distribuição A : n 00; f 5000; 2 f 256400 Distribuição B: X 50; f 0000 ; f X 7200 Números Índices 2 (20) A Deltour espera, para o próimo ano, um aumento de 50% na procura de seus pacotes turísticos. Quanto deverá aumentar os preços se desejar dobrar seu faturamento? (2) Se a Deltout esperasse, para o próimo ano, uma queda de 5% na procura de seus pacotes turísticos. De quanto deveria aumentar os preços para manter inalterado seu faturamento? 6
(22) Para a tabela a seguir calcule os índices de Laspeyres e Paasche. produtos unidade Janeiro (data 0) Agosto (data t) Preço(p0) quantid(q0) Preço (pt) Quantid(qt) Carne Kg 8,8 4,5,2 4,3 Arroz Kg,7 5,7 5 Feijão Kg 2,9 2 3,2 2 Fubá Kg 3,2 3 3 Óleo Lata 2,9 5 2,3 3 Sal Kg 0,42 0,54 Leite Litro 0,7 23 0,95 2 Café Kg 8,4 0,5 9,5 0,5 Açúcar Kg,3 5,5 5 Pão 50 gr 0,08 60 0, 55 Manteiga Pote,58 3,6 2 Alface Unid 0,5 3 0,65 4 Batata Kg 3,4 5 4,5 4 Cebola Pacote 3,7 3,9 Laranja Dúzia 2,4 3 2,4 2 (23) Em relação ao eercício anterior obtenha os índices de Fisher. Fundamentos da Probabilidade (24) As placas de automóveis contêm 3 letras seguidas de 4 números. Quantas placas diferentes podem ser formadas com esta combinação se for: (24.) sem números ou letras repetidas (24.2) com repetição (25) Quatro moedas são lançadas e observa-se a seqüência de caras e coroas obtida. Qual o espaço amostral do eperimento. (26) Considerando dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral, epresse em termos de operações entre eventos: (26.) A ocorre, mas B não ocorre; (26.2) Eatamente um dos eventos ocorre; (26.3) Nenhum dos eventos ocorre. 7
(27) sejam P(A) = 0,3, P(B) = 0,8 e P(A B) = 0,5. (27.) A e B são mutuamente eclusivos? Justifique. c c (27.2) Qual P( B ) e P( A )? (27.3) Quais os valores de P(A/B) e P(B/A) (27.4) Determine P(AUB), P( A c B ), P( A B c ) e P( A c B c ) (28) Uma turma é composta de 9 alunos de Economia, 4 de Administração e 2 de Contábeis. Deseja-se eleger ao acaso uma comissão de dois alunos dessa turma. Calcule a probabilidade de que esta comissão seja formada por: (28.) Alunos só da Economia. (28.2) Um aluno da Economia e outro de outro curso. (28.3) Um aluno da Economia e outro da Contábeis. (28.4) Dois alunos da Administração ou dois da Contábeis. (29) Suponha-se que são retiradas duas bolas de uma caia contendo 3 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. Determine todos os resultados possíveis e suas respectivas probabilidades supondo etração: (29.) sem reposição (29.2) com reposição. (30) Considere um congresso onde compareceram 35 engenheiros, 25 matemáticos e 5 físicos. Se for formada, ao acaso, uma comissão de 0 membros, qual a probabilidade de que esta seja constituída de: (30.) 5 engenheiros, 3 matemáticos e 2 físicos em qualquer seqüência? (30.2) Eclusivamente de engenheiros, ou de matemáticos, ou de físicos? (3) Considere uma urna contendo 5 bolas brancas, 4 verdes e 3 pretas. Uma pessoa retira, sem reposição, 3 bolas. Qual a probabilidade: (3.) ocorrer a seguinte seqüência de cores: verde, preta e branca? (3.2) saírem três cores diferentes? (3.3) ocorrer pelo menos uma branca? (3.4) sabendo-se que na ª etração saiu uma verde, qual a probabilidade de saírem mais duas verdes? (30.5) todas de mesma cor? 8
(32) Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa e um prato à base de carne. 20% dos fregueses do seo masculino preferem salada; 30% das mulheres escolhem carne; 75% dos fregueses são homens. Considere os seguintes eventos: H: o freguês é homem A: O freguês prefere salada M: O freguês é mulher B: O freguês prefere carne Calcular: (32.) P(H) (32.2) P(B/H) (32.3) P(B/M) (32.4) P(A H) (32.5) P(AH ) (32.6) P(M/A) (33) Duas lâmpadas queimadas foram misturadas acidentalmente com seis lâmpadas boas. As lâmpadas são testadas, sem reposição, até encontrar as duas queimadas. (33.) Escreva o espaço amostral (33.2) Qual a probabilidade de encontrar as duas queimadas em 4 ensaios? (33.3) Qual a probabilidade de encontrar as duas queimadas em 7 ensaios? (34) Num teste com duas marcas que lhe são apresentadas em ordem aleatória, um eperimentador de vinhos faz três identificações corretas em três tentativas. Assuma independência entre as identificações. (34.) Qual a probabilidade disto ocorrer, se na realidade ele não possui habilidade alguma para distinguir? (34.2) E se a probabilidade de distinguir corretamente é de 90% em cada tentativa? (35) Três máquinas A, B e C apresentam respectivamente: 0%, 20% e 30% de defeituosos na sua produção. As três máquinas produzem igual quantidade de peças. Retiramos uma ao acaso da produção global e verificamos que é defeituosa. Qual a probabilidade de: (35.) ter sido produzida pela máquina A? (35.2) ter sido produzida pela máquina B? (35.3) ter sido produzida pela máquina C? (36) Cada objeto manufaturado é eaminado com probabilidade 0,55 por um fiscal e com probabilidade 0,45 por outro fiscal. A probabilidade de passar no eame de acordo com os fiscais é de 0,90 e de 0,98 respectivamente. Achar a probabilidade de que um objeto aceito tenha sido eaminado: (36.) pelo primeiro fiscal? (36.2) pelo segundo? 9
Variáveis aleatórias discretas (37) Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retira-se 3 bolas, sem reposição, e seja a variável aleatória X = número de bolas pretas retiradas. (37.) Identifique o modelo (37.2) Escreva a f.m.p de X. (38) O tempo T, em minutos, para que um operário processe certa peça é uma v.a. discreta com função massa de probabilidade dada na tabela abaio. (38.) Calcule o tempo médio de processamento, variância e desvio padrão (38.2) Para cada peça processada o operário ganha um fio de R$ 2,00, mas se processa a peça em menos de 6 minutos, ganha R$ 0,50 para cada minuto poupado. Por eemplo, se ele processa a peça em 4 minutos, recebe a quantia de R$,00. Obtenha a fmp da v.a. G quantia ganha por peça ( 38.3) Obtenha média, variância e desvio padrão de G. (39) Um agente quer aplicar no mercado financeiro com o objetivo de fazer muitas aplicações mensais sucessivas. Ele dispõem de duas opções, mas usará a de maior rentabilidade. Ele deve optar entre: I - CDB com renda de 3% ao mês II - Bolsa de valores com renda de 6% ao mês com probabilidade 0,46, 4% com probabilidade 0,45 ou prejuízo de 5% ao mês com probabilidade de 0,09. Qual a opção mais lucrativa para o agente? 0
(40) Seja X o número de faces cara em 3 lançamentos de uma moeda tal que á face cara é três vezes mais provável de ocorrer. Escreva a função massa de probabilidade. (4) Seja f() = 0, a função massa de probabilidade da variável aleatória com conjunto de resultados ={, 2, 3, 4 }. X (4.) Faça uma tabela para a fmp (4.2) Obtenha E(X) e Moda (4.3) Obtenha Var(X), DP(X) e CV (42) Seja a função massa de probabilidade de uma v.a. C 2 f ( ) 0, c. c., ;2;...; N (42.) Obtenha a constante C (42.2) Usando (42.) obtenha a esperança (43) Marca A Marca B Marca C Tipo de defeito Custo do Conserto(X) Probab. de Falha Custo do Conserto() Probab. de falha Custo do Conserto(Z) Probab. de falha Mecânico 33 0,50 32 0,48 34 0,45 Elétrico 34 0,20 36 0,2 35 0,27 Hidráulico 50 0,30 47 0,3 5 0,28 Uma fábrica opera com 3 marcas de máquinas: A, B, C. O gerente deseja saber qual marca tem menor custo médio de manutenção. (44) Em 8 lançamentos de uma moeda equilibrada, qual a probabilidade: (44.) Eatamente duas caras? (44.2) No máimo 2 caras? (44.3) No mínimo 6 caras? (44.4) Entre 3 (incluso) e 7(incluso) caras? (45) A probabilidade de um parafuso produzido por uma empresa ser defeituoso é 0,03. Seja X a variável: número de parafusos defeituosos em envelopes de 500 parafusos. (45.) Calcule E(X) e V(X). (45.2) Suponha que se compre 00 destes envelopes. Quantos defeituosos devem-se esperar?
(46) Considere um jogo que consiste em lançar três vezes uma moeda, tal que P( C) p e P( K) p q. Em cada lançamento o jogador ganha,00 se ocorrer C ou perde,00 se for K. Qual o ganho esperado desse jogador nesses três lançamentos? (47) Uma distribuição binomial tem média igual a 3 e variância igual a 2. Calcule P(X = 2). (48) Se X tiver uma distribuição de Poisson com parâmetro, e se P(X = 0) = 0,20, calcular P(X > 2). (49) As chegadas de petroleiros a uma refinaria a cada dia ocorrem segundo uma distribuição de Poisson com parâmetro 2. As atuais instalações podem atender, no máimo, a 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 aportarem por dia o ecesso é enviado para outro porto. (49.) Qual o número médio e qual o desvio padrão do número de petroleiros que chegam por dia? (49.2) Qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto? (49.3) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias? (50) Suponha que 40% dos moradores de um município são favoráveis à implantação de um novo sistema de coleta e reciclagem de lio. Se cinco pessoas forem entrevistadas (independentemente), qual a probabilidade de: (50.) Nenhum ser favorável (50.2) No máimo 2 serem favoráveis (50.3) No mínimo 4 serem favoráveis (50.4) Entre 2 (incluso) e 5 (ecluso) serem favoráveis (5) Suponha que um comprador queira decidir se vai aceitar ou não um lote de itens. Para isso, ele retira uma amostra de tamanho n 20 do lote, e conta o no. de defeituosos. Se 2 ele aceita o lote, caso contrário é rejeitado. Qual a probabilidade de aceitar um lote quando a proporção de defeituosos for: (5.) p 0, 20 (5.2) p 0, 0 (5.3) p 0, 05 (5.4) qual valor de p tal que P ( X 2) 0,95? 2
(52) Uma fábrica produz válvulas hidráulicas para banheiro, das quais 20% são defeituosas. As válvulas são vendidas em caias de 0 unidades. Se a caia não conter nenhuma defeituosa, o preço de venda será 0,00 u.m.; uma defeituosa será 8,00, duas ou três defeituosas será 6,00; mais que três será 2,00. (52.) Qual o preço médio de venda da caia? (52.2) Qual o valor de p tal que o preço médio de venda seja 9? (53) Determinado tipo de parafuso é vendido em caias de 000 peças. É uma característica da fabricação produzir 0% defeituosos. Normalmente, cada caia é vendida por 3,50 u.m. Um comprador faz a seguinte proposta: de cada caia, ele escolhe uma amostra de 20 peças, se a caia tiver nenhum defeituoso, ele paga 20,00; ou 2 defeituosos ele paga 0,00; 3 ou mais ele paga 8,00. Qual alternativa é mais vantajosa para o fabricante? (54) Manutenção de estoques. Os pedidos diários de baterias de automóveis nos últimos 20 dias estão na tabela abaio: Dia 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 No de baterias 3 28 29 27 26 29 30 30 3 30 3 32 30 32 3 3 30 3 3 30 3
(54.) Faça a estimativa do número médio de baterias por dia. Usando (54.),assuma modelo de Poisson e calcule P ( X ), P ( 2 X 2 ) (54.3) Qual deve ser o estoque tal que atenda a todos os pedidos em pelo menos 98% dos dias? Variáveis aleatórias contínuas (55) O problema do encontro: duas pessoas marcaram um encontro na praça no horário entre 2h e 3 h. Combinaram que o primeiro a chegar vai esperar no máimo 20 minutos. Qual a probabilidade do encontro de fato acontecer? (56) Seja uma v.a. contínua com a seguinte função densidade: 0; 0 C;0 / 2 f ( ) C( );/ 2 0, (56.) Encontre a constante C 3 (56.2) Obtenha P X ; P X e P X 2 4 4 4 (57) A demanda diária de arroz em um supermercado, em centenas de quilos, é uma v.a. X com fdp dada por: 2 ;0 3 f ( ) ; 3 3 0, c. c. 4
(57.) Qual a probabilidade, em um dia escolhido ao acaso, de se vender menos do que 50 kg? (57.2) Qual a quantidade de arroz que deve ser deiada à disposição do público diariamente para que não falte arroz em 95% dos dias? (58) Uma variável aleatória contínua tem a seguinte fda: 0, 0 3 F ( ) K,0, (58.) encontre K. (58.2) Calcular P ( X 2 / 5), P ( X / 3) e P ( / 4 X 3/ 4). (59) Uma variável X é uniformemente distribuída no intervalo [0, 20]. Determine: (59.) E(X), Mediana e Moda (se eistir) (59.2) Var(X), DP(X) e CV. (59.3) P(2,3 < X < 6,50), P(X>8,2), P(X<7,6) (60) Considere um relógio circular de ponteiros. O relógio pode parar, por falta de bateria, em qualquer quadrante. Defina X o ângulo formado pelo ponteiro maior quando o relógio parar. Determinar: (60.) função densidade de probabilidade (60.2) função de distribuição acumulada (60.3) probabilidade do ponteiro parar entre -90 e 0 graus (6) Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempo de duração T (em unidades de 000 horas) que é considerado uma variável aleatória com fdp dada por: 0, t 0 f ( t) ep t, t 0 ; 0 5
(6.) Identifique o modelo (6.2) Obtenha sabendo que E ( T ), 5 (6.3) Suponha que o custo de fabricação de um item seja 2,00 u.m. e o preço de venda seja 5,00 u.m. O fabricante garante total devolução se T t. Qual o lucro esperado por item? (6.4) Em (6.3), qual deverá ser t tal que T t levará ao lucro esperado de 0,5 u.m. (62) Uma lâmpada tem duração de acordo com a seguinte densidade de probabilidade: 0, t 0 f ( t) ep 000 000 t, t 0 (62.) Identifique o modelo Determine a probabilidade de que uma lâmpada dure: (62.2) mais do que 200 horas. (62.3) menos do que sua duração média. (62.4) entre 900 e 00 horas (63) Se X ~ N( 0, 2). Calcular: (63.) P(8 < X < 0); P(8 X 2) (63.2) P( X < ); P(X < 8 ou X > ) (64) Para uma distribuição N( ; ), encontre: (64.) P(X < 2 ) (64.2) P( X - ) (64.3) O número a, tal que P( a X a ) = 0,90 (64.4) O número a, tal que P(X > a ) = 0,95 6
(65) O diâmetro de certo tipo de anel industrial é uma variável aleatória com distribuição normal de média 0,0 cm e desvio padrão 0,02 cm. Se o diâmetro do anel diferir da média, em módulo, mais do que 0,03 cm, então ele estará fora da especificação da fábrica. (65.) Se anéis fora da especificação são vendidos por R$ 5,00, e dentro da especificação por R$ 0,00, qual o preço médio de venda de cada anel? (65.2) Para ter um preço médio de 0 u.m., em quanto deve ser fiado o preço de venda se o anel estiver dentro da especificação? (66) Uma máquina de envasar garrafas de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 000 cm 3, com desvio padrão de 0 cm 3. Pode-se admitir que a distribuição da variável seja normal. (66.) Qual a percentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm3? (66.2) Qual a percentagem de garrafas em que o volume do líquido não se desvia da média (em módulo) em mais do que dois desvios padrões? (66.3) O que acontecerá com a percentagem do item (46.2) se a máquina for regulada de forma que a média seja 200 cm3 e o desvio padrão 20 cm3? (67) Em Psicologia eistem testes que procuram mensurar a capacidade intelectual de pessoas. Um desses testes utiliza o Índice de Compreensão verbal (ICV), criado por Weshley. A Teoria diz que em adultos a classificação do ICV segue a seguinte classificação: Classificação Intervalo de ICV Probabilidades Muito inferior < 70 inferior médio inferior médio médio superior superior Muito superior 70 a 80 80 a 90 90 a 0 0 a 20 2030 >30 De acordo com estudos realizados ficou estabelecido que a distribuição de probabilidade do ICV em adultos segue uma normal de média igual a 00 e desvio padrão 4,8957. Calcule as probabilidades em cada classificação do ICV. 7
(68) Os depósitos efetuados por clientes de um banco têm distribuição normal com média 00,00 e desvio padrão 5,00 unidades monetárias. Um cliente é selecionado ao acaso. Qual a probabilidade de que o depósito efetuado por ele seja: (68.) 00,00 u.m. ou menos? (68.2) pelo menos 0,00 u.m.? (68.3) um valor entre 20,00 e 50,00 u.m.? (68.4) maior que 40,00 u.m.? (69) As alturas de 0000 alunos de uma escola têm distribuição normal de média 70 cm e desvio padrão 5cm. (69.) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 65 cm? (69.2) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos? (70) As notas da disciplina de Direito Tributário de uma determinada faculdade tem distribuição segundo uma normal de média 6,4 e desvio padrão 0,8. Os conceitos são atribuídos de acordo com a seguinte graduação: Notas 0 X 5 5 X 7,5 7,5 X 9 9 X 0 Conceito D C B A Em uma classe de 80 alunos, qual o número esperado de conceitos A,B,C e D? 8
Variáveis aleatórias bidimensionais (7) A tabela abaio consta a distribuição conjunta de (X,) X 2 3 0 0, 0, 0, 0,2 0 0,3 2 0 0, 0, (7.) Determine as distribuições marginais (7.2) Obtenha esperança e variância de X e (7.3) Verifique se X e são independentes (7.4) Calcule X 0 P 2 X 3 X 2 P X 2 P e (7.5) Calcule P e (72) Seja a distribuição conjunta a seguir X 2 3 0, 0, 0 2 0, 0,2 0,3 3 0, 0, 0 (72.) Obtenha ( X, ) (72.2) Mostre que embora E(X)= (EX) ( E), X e não são independentes (73) Assuma independência entre as variáveis X e. X 2 3 Total 0,0 2 0,20 3 Total 0,30 0,50 (73.) Complete a tabela ( 73.2) Obtenha E(X), E(), D.P(X), D.P() e Cov(X,) 9
20 (74) A distribuição Multinomial é uma etensão da Binomial. A função massa de probabilidade é dada por k k k k p p p n f 2 2 2 2!!! ),,, ( k,,, 2 são inteiros não negativos tais que k i i n 0 i p, k i p i Um produto é tal que 30% é produzido pela Marca X e 70% pela marca. Dez pessoas foram entrevistadas. Calcule a probabilidade de que desses dez, 4 são fiéis à marca X e 6 à marca. (75) Normal bidimensional 2 ), ( ep 2, 2 y Q y)= f( X 2 2 2 2 ), ( X X X X y y y Q ), ( y Q é dita forma quadrática R y, ; R X ; ; 0 ; X e é o coeficiente de correlação entre X e (75.) Como fica a função densidade se a correlação for nula, 0 X X (75.2) As variáveis são independentes? Justifique.