1 RELATIVIDADE ESPECIAL AULA N O (paradoos - empo próprio - elocidade momeno) Vamos agora coninuar a er os efeios decorrenes da Transformação de Lorenz com relação às leis da Física, nos diersos sisemas de referência em moimeno relaio enre si. Durane odo o desenolimeno do assuno, iremos uilizar, quando for coneniene, o arifício de considerar a elocidade da luz igual à unidade ( ), a fim de faciliar os cálculos, para depois reornar o alor de à equações, araés de uma análise dimensional. Como já imos, as equações que definem a Transformação de Lorenz segundo a qual a elocidade da luz permanece inariane em odos os sisemas de referência que se moem com elocidade relaia uniforme enre si são dadas por: V ' V ' ' V V 1 1 c c V V ' ' ' c e c V V 1 1 c c ' ' z ' z z ' z As coordenadas perpendiculares à direção do moimeno, e, como podemos er nas equações, não se aleram na Transformação de Lorenz. Para podermos er por que iso ocorre, basa imaginarmos, em cada um dos sisema, uma régua colocada na direção perpendicular à direção do moimeno relaio, considerando que o sisema A esá em repouso (em relação a nós) e que o sisema B esá se moendo com elocidade em relação ao sisema A. Quando as réguas passam uma pela oura, queremos saber se suas eremidades coincidem ou não. Se elas coincidem, enão os comprimenos delas deem permanecer inalerados para odos os obseradores nos diersos sisemas. O argumeno que nos reela a confirmação dese fao é dado pelo seguine raciocínio. Imaginemos um erceiro sisema, C, moendo-se com a meade da elocidade relaia de B em relação a A. Nese caso, o obserador em C ê os sisemas A e B afasando-se em direções oposas e com a mesma magniude de elocidade, ou seja. Se considerarmos que o obserador C esá a meio caminho denre A e B, ambos siemas moendo ao enconro de C, enão ele esará endo os sisemas A e B em condições oalmene siméricas, moendo-se em direções oposas com a mesma elocidade. Dessa forma, o obserador em C irá er as duas réguas se aproimarem com a mesma elocidade, numa condição de complea simeria, de modo que ele obrigaoriamene erá as suas eremidades coincidirem no insane do cruzameno enre A e B, pois, caso conrário, ele seria capaz de perceber alguma assimeria enre A e B. Esa é a razão pela qual a ransformação das coordenadas na direção perpendicular ao moimeno apresena a forma simples de e. Vejamos agora uma oura forma de escreer as Transformações de Lorenz, a qual nos pode dar uma isão geomérica melhor para ermos como esas equações funcionam. Iremos usar a elocidade da luz uniária ( ). Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind Uniersidade de Sanford
' V 1V ; ' V 1V Somando esas duas equações, oberemos: 1V 1V V 1V1V V V ' ' 1V 1 ' ' 1V 1V S nós agora subrairmos esas duas equações, eremos de forma análoga: ' ' 1V 1V Se, em ez de rabalharmos com as coordenadas e, uilizarmos um noo sisema de coordenadas no espaço-empo, dadas por e, esas duas equações irão represenar a ransformação maemáica para um ouro sisema de referência B, de coordenadas e. Graficamene, eremos: 45 0 Podemos er enão que ese noo sisema de coordenadas, quando submeidos a uma ransformação de Lorenz, são simplesmene muliplicados por um faor dependene da elocidade relaia enre os sisemas, sendo ese faor um o inerso do ouro para cada um dos sisemas. Vemos que assim a figura maemáica da ransformação de um sisema para ouro se reduz a um encolhimeno da coordenada 1V 1V pelo faor, sendo cada faor o inerso do ouro. 1V 1V e ao alongameno da coordenada Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind Uniersidade de Sanford pelo faor É imporane noar que, nese caso, a ransformação não alera o ângulo de 45 0 enre os eios das noas coordenadas. Iso significa que a elocidade da luz permanece inariane no noo sisema de coordenadas. Vejamos agora o conceio de empo próprio. Newon consideraa um empo uniersal absoluo, sincronizado em odos os sisemas de referência. Como já sabemos, iso não é erdadeiro segundo a eoria da relaiidade. O empo próprio é o empo medido em uma mesma posição de um sisema de referência.
Vamos er a epressão para o empo próprio e erificar que se raa de um inariane segundo a Transformação de Lorenz. Suponhamos dois eenos, sendo um deles definido pela coincidência das origens e dos empos enre os dois sisemas A e B, em moimeno relaio enre si, onde B em elocidade V em relação a A. Em relação ao sisema ao sisema B, o gráfico espaço-empo é represenado por: 3 De um modo análogo à disância enre dois ponos no espaço que não depende da orienação dos eios coordenados e é dado pela raiz da soma dos quadrados das componenes façamos agora a subração enre os quadrados do empo e do espaço para o eeno E em relação ao sisema B. ' V V ' 1V 1V ' ' V V V V 1V 1 1 V V ' ' ' ' 1V Iso significa que a quania é um inariane, sendo a mesma para odos os sisemas de referência. Ese inariane, assim como odo inariane, é imporane e recebe o nome de empo próprio. TEMPO PRÓPRIO = (enre a origem e o eeno E: ' ' 0, ' ' 0 ' ) Vamos er os possíeis alores que o empo próprio pode assumir. Se, iso significa que esamos falando de ponos siuados na região do espaço-empo em que : Região de ipo empo E Região de ipo espaço OBS: Se esiássemos rabalhando no espaço ridimensional, a fórmula para o empo próprio seria dada por z Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind Uniersidade de Sanford
4 Ao longo do cone de luz o empo próprio é zero ( ). Nese caso, diferene daquilo que se passa com as disâncias normais no espaço, que, quando são nulas, significam ponos coincidenes, podemos er dois ponos não coincidenes, mas cujo ineralo de empo próprio é zero, basando para isso que eles esejam siuados ao longo do cone de luz. Se considerarmos um relógio siuado na origem do sisema, eremos para o seu empo próprio: Porano o empo próprio é o empo medido pelo próprio relógio, quando ese esá parado no sisema de referência. 0 Se o relógio esier em moimeno, eremos: 0 Nese caso, nós podemos considerar o princípio da relaiidade, considerando que o relógio esá em repouso e que o sisema se afasa dele na direção oposa. Teremos enão o mesmo resulado para o empo próprio. Quando emos, o empo próprio se orna imaginário. Traa-se de ponos siuados em uma região de ipo espaço. Vamos esudar a relação enre o empo medido pelo sisema e o empo próprio. V 0 Nese caso, o que desejamos saber é qual será em função de e. ' ' ', que é a famosa fórmula da dilaação do empo. Segundo esa fórmula, o empo do relógio em moimeno é menor que o empo do relógio no sisema em repouso, de modo que um obserador no sisema em repouso erá o relógio no sisema em moimeno com um rimo mais leno. É muio imporane noar que iso não significa que um obserador do sisema em moimeno irá er o relógio do sisema em repouso com um rimo acelerado! O que aconece é que, pela lei da relaiidade, o obserador em moimeno irá er o relógio em repouso ambém com um rimo reardado, da mesma forma como seu relógio foi iso pelo ouro. Iso pode parecer conradiório, mas o relógio em moimeno não em a sua linha de empo na direção horizonal. Desse modo, esamos comparando quanidades diferenes. Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind Uniersidade de Sanford
Vamos er agora o paradoo dos gêmeos. Dois gêmeos nascem na origem de um sisema no empo 0. Um deles permanece em repouso em A e o ouro segue em ala elocidade por um deerminado empo, para em seguida reornar na mesma elocidade para a origem do sisema, onde esá o seu irmão. Enão eles comparam os seus respecios empos. T V T 0 T T ' T V T T ' T 1V Para sabermos a diferença, basa calcularmos o empo próprio ao longo das rajeórias percorridas. Para o gêmeo no sisema esacionário, o empo decorrido será. Para o obserador em moimeno, o empo próprio decorrido será, que equiale a T 1 V, cujo alor é menor do que aquele em repouso. Mas será que isso, pelo fao de não apresenar simeria, represena um paradoo? Será que ambos poderiam afirmar que o ouro enelheceu? Não! O gêmeo que esaa em moimeno ee que eperimenar acelerações para cumprir o seu rajeo, e iso quebra a simeria enre os dois, de modo que não há nenhum paradoo. Vejamos agora a quesão da conração do espaço. É sempre imporane fazer um gráfico espaço-empo, para compreender bem os problemas da relaiidade. Consideremos uma régua de comprimeno em repouso no sisema A. Agora queremos saber o comprimeno que um obserador, moendo-se no sisema B, com elocidade em relação a A, irá medir para a régua. Para medir a régua, o obserador em B precisa efeuar medias no mesmo insane no sisema B. 5 O L L VL ' ' ' V L L ' L 1 V L' L 1V Também aqui eise simeria, de modo que que cada obserador ê a régua que esá-se moimenando conrair-se por um faor 1 V. Vamos er agora ouro aparene paradoo na relaiidade, sempre fazendo um diagrama espaço-empo, o que ajuda a eiar ceras impressões inuiias, nas quais esão as causas de de muias inerpreações erradas nesas quesões. Vamos imaginar uma garagem esacionária no sisema A e uma limusine se deslocando em direção à enrada da garagem. Na siuação de repouso no sisema A, a limusine em um comprimeno maior do que a garagem. A quesão é: será possíel a limusine, se ela andar rápido o suficiene, conrair-se o suficiene para caber na garagem? Ese raciocínio considera que a limusine sofrerá em relação à garagem uma conração de Lorenz, o que ornará possíel ela caber na garagem. Mas, por ouro lado, segundo o pono de isa do carro, sofrerá uma conração, piorando ainda mais a siuação! Vejamos primeiramene que o fao de a limusine caber na garagem ou não é dado pela condição de que suas eremidades coincidem com as eremidades da garagem ao mesmo empo (simulaneamene no Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind Uniersidade de Sanford
6 referencial em repouso). Ese é o pono chae das inerpreações na relaiidade: o conceio de simulaneidade! Vamos desenhar o diagrama espaço empo para o caso em quesão. Conforme emos no diagrama, eise um ineralo de empo no referencial da garagem, no qual as eremidades da limusine, P e Q, esarão simulaneamene, para o referencial da garagem, denro da garagem, de modo que, nese referencial, a limusine esará menor do que a garagem. No gráfico, emos que a frene da limusine enra na garagem no pono R, enquano Q S a raseira enra na garagem no pono P. Vemos ambém P L que a frene da limusine só alcança o final da garagem no pono Q, udo isso no referencial da garagem! No gráfico, podemos er claramene que, no ineralo de empo, o comprimeno L, segundo o qual a garagem ê a limusine, fica odo conido na garagem. Mas, ao mesmo empo, emos que para o obserador na limusine, quando a sua raseira esá no início da garagem, a sua frene já esá fora da garagem, como nos mosra o pono S, que, para o obserador na limusine, esá siuado na linha de mesmo empo, ou seja, na linha que define a simulaneidade para o obserador na limusine! Vemos, enão, que não há paradoo algum, sendo udo apenas uma quesão de enender o conceio de simulaneidade. Ese é o pono comum para odos os paradoos aparenes da relaiidade. Vamos er agora como, segundo a relaiidade, funcionam as leis da física, em relação, por eemplo, à força e ao momeno de Newon. Para isso, olaremos à Transformação de Lorenz, para desenoler um pouco de maemáica. Na relaiidade, emos quaro dimensões: as rês espaciais e o empo. Uma noação compaca e coneniene para lidar com quaro dimensões é a seguine: 0 1 3,,,,,, z onde,,, z ou 0,1,,3 Esa represenação ambém pode ser feia como. Conenciona-se chamar cada uma das represenações como: CONTRAVARIANTE COVARIANTE Na forma coariane,, esamos agora represenando o objeo: 0 1 3,,,,,, z Porano, quando o índice passa para baio, as componenes espaciais rocam de sinal. Podemos escreer enão que: 0 1 3 0, 1,, 3,,, OBS: A mudança de sinal nas coordenadas esá associada à merica da ransformação de Lorenz, que é dada por ds d d d dz. Esa noação é basane concisa e eficiene na relaiidade. Vamos considerar a seguine epressão: 0 1 3 z z 0 1 3 z L R G Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind Uniersidade de Sanford
Esa úlima equação represena a DISTÂNCIA PRÓPRIA no espaço-empo, consiuindo um INVARIANTE segundo a ransformação de Lorenz (Nese caso, a disância é enre um deerminado pono no espaço-empo e a origem do sisema). Ese ipo de epressão,, aparece com ana frequência na Teoria da Relaiidade, que Einsein criou uma regra para faciliar a escria. Segundo esa regra, sempre que iermos dois índices repeidos, um superior e ouro inferior, enão a epressão dee ser somada nese índice, que dee ariar de 0 aé 3. Assim, segundo a Conenção de Soma de Einsein emos: (Disância ou Tempo Próprio) Como já imos, a Transformação de Lorenz combina o espaço e empo junos, como por eemplo um obserador se moe ao longo do eio e emos as coordenadas e misuradas na ransformação para e. O princípio da relaiidade é um princípio de simeria, segundo o qual as equações da Física deem ser siméricas, não mudando quando se faz uma Transformação de Lorenz. Uma das ouras simerias conhecidas é aquela que se refere à roação de um sisema no espaço. De fao, se nós combinarmos a Transformação de Lorenz com a ransformação de roação,obeeremos uma gama muio maior de ransformações, que formam basicamene odo o conjuno de ransformações da Física Relaiísica. Se supusermos apenas duas dimensões espaciais, eremos graficamene: Como sabemos, para um obserador moendo-se na direção, a Transformação de Lorenz é dada por: V V ' ; ' ; 1V 1V Se quisermos saber a ransformação para um obserador moendo-se na direção de, basa rocarmos e eremos: V V ' ; ' ; 1V 1V Mas iso corresponde a uma roação de 90 o, de modo que o eio coincide agora com o eio anerior. Sendo assim, emos que para uma direção qualquer na qual o obserador se moa, deemos primeiramene deerminar o noo eio, decorrene da roação, para em seguida aplicar a Transformação de Lorenz nese eio. Com esas duas ransformações, podemos represenar qualquer sisema em moimeno relaio. Vamos esudar enão como se realiza a ransformação de roação, que não em nada a er com a relaiidade de Einsein. Para os eios e, uma roação de um ângulo resula na seguine ransformação: cos sen sen cos Segundo esa ransformação, a disância enre dois ponos quaisquer não se alera. Porano deemos ober como consequência: cos cos sen sen sen cos sen cos 7 Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind Uniersidade de Sanford
8 cos sen sen cos Vamos epressar a ransformação de roação araés de marizes: cos sen sen cos Esa epressão ambém pode ser epressa da seguine forma: i i j j M i 1,,3 1 1 1 1 M cos ; M sen ; M sen ; M cos Vemos, enão, que esas ransformações êm sempre uma mariz associada a elas. Vejamos agora qual a mariz associada à ransformação de Lorenz. V ' V 1 z c ' 1 V V 0 0 ' 1V 1V ' c z ' 0 1 0 0 V 1 ' V 1 c 0 0 ' 1V 1V z' z Diso resula que: z ' 1 V 0 0 ' 1 V 1 V z' 0 1 0 0 z ' V 1 0 0 1V 1V Em noação simbólica, iso pode ser represenado por: ' ' L z z' ' Da mesma forma, eremos para uma roação: ' ' R z z' ' Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind Uniersidade de Sanford
Assim, se quisermos fazer uma Transformação de Lorenz ao longo de um eio qualquer, primeiramene fazemos uma roação para alinhar o eio do sisema com aquela direção e, depois, aplicamos a Transformação de Lorenz. Com isso, obemos uma mariz que é o resulado do produo de oura duas marizes: ' ' LR z z' ' Se as leis da Física forem inarianes segundo qualquer ransformação de roação e segundo a ransformação de roação e segundo a Transformação de Lorenz na direção de um deerminado eio, enão elas serão inariáeis segundo a Transformação de Lorena em odas as direções. Vamos er agora a uilização da muliplicação de marizes para o caso de composição de elocidades. Ese é o caso de um sisema C que se moe com uma elocidade em relação a um sisema B, enquano o sisema B se moe com uma elocidade em relação a um sisema A. Queremos saber, nese caso, qual a Transformação de Lorenz do sisema C para o sisema A, em função das elocidades e. Vamos nos resringir apenas ao empo e à coordenada para ese problema. Para a ransformação de B em relação a A emos: ' 1 1 V ' 1 V V 1 Para a ransformação do sisema C em relação ao sisema B, emos: '' 1 1 V ' '' 1 U V 1 ' Diso resula enão: '' 1 1 V 1 V '' 1 V 1 U V 1 V 1 '' 1 1UV V U '' 1 V 1 U U V 1UV Surge aqui a quesão sobre a possibilidade de se epressar esa ransformação na mesma forma da Transformação de Lorenz, ou seja, na forma: '' 1 1 W '' 1 W W 1 Para erificarmos que iso aconece de fao, amos pegar os dois ermos da primeira linha da mariz obida pela composição e igualá-los aos dois ermos da primeira linha da mariz desejada (os ouros dois ermos diferem apenas pelo sinal e, por isso, não acrescenam nenhuma informação noa). 1UV 1 1V 1U 1W U V W 1V 1U 1W Subsiuindo o alor de 1 1 W, dado pela primeira equação, na segunda: U V W 1UV 1V 1U 1V 1U U V Daí obemos: W 1 UV Para recolocarmos a consane c da elocidade da luz na equação, uilizamos a análise dimensional, de modo que, para ornar o ermo adimensional (para ser somado com 1 ), deemos diidi-lo por : 9 Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind Uniersidade de Sanford
10 W U V (Noe-se que, se e forem iguais, enão ) 1 UV c Vejamos agora o conceio de elocidade na Teoria da Relaiidade. Porém, anes de enrar no assuno, amos falar sobre quadrieores ou 4-eor. É eidene que um pono no espaço-empo pode ser imaginado como um eor de quaro dimensões ou 4-eor, com, sendo suas quaro componenes. Vamos represenar esas quaro componenes por:. Um 4-eor se ransforma segundo a Transformação de Lorenz, de modo análogo à ransformação das coordenadas. 0 1 3,,, 0 1 3 0, 1,, 3,,, O conceio de comprimeno no empo-espaço quadridimensional, associado ao conceio de empo próprio ou disância própria, é dado pelo produo escalar. Desse modo, o quadrado da magniude de um deerminado 4-eor (a disância, segundo a Transformação de Lorenz enre a sua eremidade e a origem do sisema), será dada por: Podemos ambém pensar no produo escalar enre dois 4-eores, de modo análogo ao caso em rês dimensões: w w Esas quanidades são inarianes segundo a Transformação de Lorenz, como já imos. Vejamos enão o conceio de elocidade. Na Mecânica newoniana, a elocidade em rês componenes, porém, na eoria da relaiidade, udo que em rês componenes em ambém uma quara componene, dada pelo empo! E a elocidade é enão um 4-eor na relaiidade. De acordo com o conceio radicional, as componenes da elocidade são: d ; d ; dz z d d d Nese caso, qual seria a quara componene? Ceramene não seria d d, pois assim eríamos um alor fio 1! Vemos que essa não é uma definição álida para a elocidade relaiísica, pois não se adequa à Transformação de Lorenz. Vejamos enão qual o conceio de elocidade de uma parícula segundo a eoria da relaiidade. Vamos começar por um paricular sisema de coordenadas, e, no qual pode assumir os alores de e de conjunamene, permiindo assim represenar udo em um diagrama bidimensional: P d d μ Q μ Quando uma parícula se moe ao longo da Linha do Unierso, do pono P para o pono Q, ela passa por ponos de ariadas coordenadas. Podemos, no enano, considerá-la deslocando-se no plano, de modo que, em um deerminado pono da rajeória, ela irá percorrer a disância, onde, ou seja, quaro deslocamenos. Normalmene, nós diidiríamos ese deslocameno pelo ineralo de empo decorrido no sisema de referência. Porém, ao inés de usar ese ineralo, amos usar o ineralo de empo próprio ( ) da parícula. Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind Uniersidade de Sanford
Deemos noar que o ineralo de empo próprio da parícula é um inariane e, porano, não depende do sisema de referência. Porano, se diidirmos por, oberemos um 4-eor que se ransforma da mesma maneira que se ransforma, pois ou ransformam-se segundo Lorenz e é d um inariane. Assim eremos para a elocidade relaiísica a epressão: u d Vamos er a relação da elocidade relaiísica com a elocidade clássica. Precisamos saber primeiro qual é a epressão para a deriada. Já sabemos que d d d d dz. Diidindo esa epressão por u, obemos enão: d 1 1 d d d 1 Daí podemos ober as seguines relações: 1 d d d u u d d d 1 u u 3 d d d u d d d 1 dz dz d u d d d 1 z z d d 1 z 0, ou seja: A quara componene é dada por: d d. Porano u 1 1 u Temos assim as quaro componenes do 4-eor elocidade relaiísico, que se ransforma segundo as equações de Lorenz. Oura forma de inerprear a elocidade relaiísica é fazendo uma analogia com a deerminação do eor uniário angene a uma rajeória no espaço Euclidiano. Vejamos como é isso. 11 z dr ds Vemos que o comprimeno da rajeória faz o mesmo papel do empo próprio. Temos assim uma analogia enre a angene uniária no espaço Euclidiano e a elocidade relaiísica angene no espaço-empo quadridimensional. Logicamene podemos deriar a elocidade em relação ao empo próprio para obermos a aceleração própria. Araés da aceleração própria, podemos enender como as equações de Newon deem ser modificadas segundo a eoria da relaiidade. Vamos ilusrar o conceio de momeno. Traa-se de um conceio imporane em mecânica, o qual em seu significado ampliado na relaiidade. Na física clássica, o momeno é um eor. Na física relaiísica, o momeno é uma pare de um quadrieor. Segundo Newon,, onde e são eores e a massa é apenas um número. A propósio, na física moderna não se fala que a massa muda com a elocidade. A massa é considerada apenas como uma caracerísica da parícula, chamada de massa de repouso. Dee-se pensar, porano, que a massa é uma caracerísica associada à parícula em si, e não à sua elocidade. Assim, quando consulamos uma abela para saber qual a massa de um eléron, enconramos simplesmene a sua massa, e não alguma função da elocidade do eléron. Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind Uniersidade de Sanford
1 O análogo do momeno clássico é enconrado araés da muliplicação da massa pela elocidade relaiísica. Assim emos: (4 componenes!). Uma ez que o momeno é conserado, iso nos permie preer o comporameno de parículas que ineragem enre si ou sofrem alguma inerferência. É imporane noar que a conseração é relaia às quaro componenes do momeno, e não a apenas rês: m ; para p mu c p m, ocorrendo de modo análogo para as ouras componenes 1 espaciais, e. Vejamos agora a componene, relaia ao empo. Traa-se de ENERGIA, que ambém é conserada, sendo a quara componene do momeno: 0 m p p 1 Na erdade, a quara componene é proporcional à energia, sendo o faor de proporção dado por. Porano: mc c p (energia conserada) 1 Vejamos como a energia esá relacionada com a energia clássica. Para isso, faremos uma aproimação para a epressão da energia relaiísica, aplicando o Teorema do Binômio de Newon, segundo o qual, para um pequeno, emos:. Com isso obemos: 1 mc 1 1 1 1 mc mc mc m 1 c Vemos que a quara componene do momeno relaiísico, ou seja, a energia relaiísica, fica reduzida ao acréscimo de um ermo à energia cinéica clássica de uma parícula em elocidades normais. Ese ermo é. Uma ez que se raa de uma consane, a pare significaia da energia, nese caso, esá na energia cinéica, conforme a mecânica clássica. Quando o momeno sofre uma ransformação de Lorenz, as suas componenes de momeno e de energia são misuradas, da mesma forma como aconece com as coordenadas de espaço e empo. Assim, pode ocorrer que um sisema eja apenas energia, enquano ouro sisema ê energia e momeno, mas em odos os sisemas o momeno é conserado. Porano, em um sisema isolado, odas as quaro componenes do momeno relaiísico, são conseradas anes e depois de uma colisão. Noas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Susskind Uniersidade de Sanford