Cálcul Aplicad à Engenharia Elétrica Semestre de 013 Prf. Mauríci Fabbri 1 a Série de Exercícis Númers cmplexs 00-13 NÚMEROS COMPLEXOS - DEFINIÇÃO O PLANO COMPLEXO FORMAS RETANGULAR E POLAR 1. Esbce s seguintes númers n plan cmplex, e escreva cada um nas frmas retangular e plar. As respstas que nã frem simples devem ser dadas cm três significativs e cm a fase em graus entre 180 e 180. (a) 1 j (b) 3 5 (c) 3 j3 (d) 5 (e) 5 j3 (f) 6 j3 (g) 3 90 (h) 8 j (i) 9 π j (j) j (k) 11 spstas: Nte que númer cmplex 1 j crrespnde a pnt (,) n plan cmplex. As suas partes real e imáginária sã ( 1 ) e ( 1 ). 1 Em crdenadas plares, esse pnt crrespnde a (, 5 ) (,83 ; 5 ). 5 Escrevems entã que j 5 O cmplex 1 pde ser assciad a vetr que liga a rigem a pnt 1. 5 3 (3, 5 ),1 j,1 3 j3 (3,61, 56 ) (5, ),5 j,33 5 j3 (3,61, 1 ) 8 9 6 6 j3 (3,61, 1 ) (3, 90 ) 3j 8 j (,, 153 ) 9 π j (3,5, ) 00-13
11 -j 1-90 11 0 CONJUGAÇÃO. pita exercíci 1 para cada um ds cmplexs cnjugads de 1 a 11. spstas: j,83 5 3 5,1 j, 1 1 j3 3,61 3 56 5,5 j,33 5 j3 3,61 1 j3 6,61 1 6 3 90 3 j 8 j, 153 π j 3,5 9 j 1 90 0 11 OPERAÇÕES 3. Efetue as perações pedidas, cm s cmplexs citads n exercíci 1. Escreva resultad nas frmas retangular e plar. Esbce a peraçã n plan cmplex. (a) w 1 1 (b) w 3 (c) w 3 1 3 (d) w 1 5 / (e) w 5 3 (f) w 6 (g) w (h) w 8 3 5 11 (i) w 9 spstas: w 1 w - 3 w 3 1 1 3 R e R e R e w 1,1j,1 5,83 5 w 0,1j5,1 5,1 89 w 3 j, w 3,00j5,50 6,6 61 w 5,1j6,88,0 w 6,, 0 w,j, 90 w 8 j, w 9 0,38j,1, 0 00-13
. Efetue as perações pedidas, cm s cmplexs citads n exercíci 1, trabalhand apenas na frma retangular. (a) 1. 3 (b) w. (c) u 1 3 3 1 / 3 (d) v 1 6. 8 (e) v 6 / 8 (f) ξ 1 1. (g) ξ 1/ (h) w / (i) 8 8 p 3 spstas: (j).(j3) j6jj.6 j6j6 j w 1 (j3).(j3) 3 13 j ( j).( j3) j6 j 6 j u j 0,15 j0,69 j3 ( j3).( j3) 3 13 13 13 v 1 1 j8 v 0,1 j0,8 ξ 1 j ξ j w 0,6 j0,8 p 5 j1 5. Mstre que as seguintes identidades sã verdadeiras, utiliand s cmplexs na frma retangular u plar, cnfrme mais cnveniente: (a) w v w v (b) w v w v (c) w.v w. v (d) w / v w / v (e) w w Prcediment: Basta ntar que: na frma retangular, se a jb entã na frma plar, se M θ, entã M a θ jb 6. Efetue as perações pedidas, cm s cmplexs citads n exercíci 1, trabalhand apenas na frma plar. Esbce cada peraçã n plan cmplex, interpretand as mesmas cm rtações e dilatações. (a). (b) u / (c) v 1. (d) v / (e) ξ 1. (f) m / (f) ξ 1/ spstas:. 9 135 cm 3 90, será girad de 90 n sentid anti-hrári e multiplicad pr 3. u entã: 3 5, e será girad de 5 n sentid anti-hrári e multiplicad pr 3. u / u 1 5 3 90, entã será girad de 90 n sentid hrári e dividid pr 3. u v 1 15 5 v 0,6 165 ξ 1 15 30 m 1,6 150 ξ 1 90 j 00-13
. Efetue as perações pedidas. Escreva resultad nas frmas retangular e plar. 3j (a) ( j3)( j3) (b) ( j3)(3 j) ( 3 j) (c) 5 j3 1 j 3 5 (d) 3 5 (e) 3 5 (f) (g) 30 8 5 60 150 spstas: (a) 13 (b) 3 j9 9,9 8 (c),5 j0,5,53 6 (d) 1,1 j3,85,01 (e) 5,80 j1,55 6,00 165 (f) 0,388 j 1,5 1,50 5 (g) 1,3 j1,50,9 1 8. Efetue as perações pedidas, cm s cmplexs citads n exercíci 1. Escreva resultad nas frmas retangular e plar. (a) 1 8 (b) (c). 1 3 5 (d).. spstas: (a) 0,0 j0,63 0,896 11 (b) 0,0 j0,0 1,00 135 (c),00 j,00,83 135 (d) 1, j 0,66 1,80 15 9. Determine vetr resultante nas smas abaix, interpretand-s cm númers cmplexs. (encntre s valres de A e de φ). A φ 150 15 1 A 150 φ 15 spstas: A 13,9 φ 1 A, φ 3 00-13
POTÊNCIAS E RAÍZES DE EQUAÇÕES. Utiliand a identidade de Euler, determine tds s cmplexs distints tais que: (a) 3 1 (b) 1 (c) 5 3 (d) 15j0 (e) 3 j spstas: (a) 1 0 1 (b) 1 5 0,0 j0,0 (c) 36 1,6 j1,18 1 0.500 j0.866 1 135 0,0 j0,0 8 0.618 j1,90 1 0 0.500 j0.866 1 5 0,0 j0,0 180,00 1 315 0,0 j0,0 5 0,618 j1,90 3 1,6 j1,18 (d) 5, j, (e) 1 30 0,866 j0,500 5 0, j, 1 150 0,866 j0,500 1 0 j 11. Determine valr de w de md que cmplex (1j) seja rai de f() 3 w. spsta: w j FUNÇÕES EXPONENCIAIS, TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS 1. Mstre as seguintes identidades: (a) sen(a jb) sen(a).csh(b) jcs(a).senh(b) (c) senh(a jb) senh(a).cs(b) jcsh(a).sen(b) (b) cs(a jb) cs(a).csh(b) jsen(a).senh(b) (d) csh(a jb) csh(a).cs(b) jsenh(a).sen(b) Utilie as definições e as fórmulas: csh(a) a a e e senh(a) a a e e jθ jθ e e cs( θ ) sen( θ ) e jθ e j jθ 13. Calcule s seguintes valres, escrevend resultad nas frmas retangular e plar. (a) e j (b) e,j (c) sen(j) (d) 5cs(,5j) (e) tan(1j) (f) senh(j) (g) 6csh(0,50,j) (h) tanh(1j) spstas: (a) 0,16 j0,909 1 1 115 (b) 0,1 j0,16 0,36,9 0,36 169 (c) 1,18j 1,18 90 (d) 3,05 j,19 3,5 36 (e), j,8 11, (f) 1,68j 1,68 90 (g) 6,63 j0,61 6,66 15 (h) 1,08 j0, 1,1 1 00-13
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES 1. Obtenha um cmplex tal que: (a) e 1 (b) e 1j (c) e 5 É necessári lembrar que (1) td númer cmplex pde ser escrit na frma Me jθ j 1 () se dis cmplexs M θ j e M θ sã iguais, nde M 1 0, M 0 e θ 1 e θ sã reais, 1e entã θ 1 θ kπ, nde k 0, ±1, ±, ±3,... e spstas: (a) j(π kπ), k 0, ±1, ±,... π (b) ln j kπ, k 0, ±1, ±,... (c) ln5 jkπ, k 0, ±1, ±,... 15. Verifique que s cmplexs da frma kπ jln( ± 3) equaçã sen(). π, nde k é um númer inteir, satisfaem a 00-13 Mauríci Fabbri MCT/INPE: http://www.las.inpe.br/~fabbri Universidade Sã Francisc USF Itatiba/Campinas http://www.safrancisc.edu.br Sã Paul - Brail Permitid us livre para fins educacinais, sem ônus, desde que seja citada a fnte. 00-13