Experênca I (aulas 01 e 02) Meddas de Tempo e Pêndulo smples 1. Objetvos 2. Introdução 3. O pêndulo smples 4. Medda do período de osclação de um pêndulo 5. Arranjo e procedmento expermental 6. Análse de dados 1. Objetvos O objetvo desta experênca consste em se realzar meddas de tempo e adqurr noções sobre ordem de grandeza nessas meddas. Atngremos esse objetvo estudando o período de osclação de um pêndulo smples. Esse sstema é de extremo nteresse na físca, pos permte um tratamento teórco precso, além de permtr a dscussão de város concetos da físca expermental, como noções de estatístca, erros aleatóros ou estatístcos, méda e desvo padrão e hstogramas. 2. Introdução (Texto baseado na apostla de Introdução às Meddas em Físca de 2004) A preocupação com a medda do tempo permea toda a hstóra da humandade. Motvações das mas dversas contrbuíram para sso, evolundo desde a smples ordenação de eventos acontecdos, passando pela prevsão de épocas de planto e colheta na agrcultura, duração de jornadas, observações astronômcas, etc., chegando aos nossos das, quando a medda do tempo regula o cotdano de grande parte da humandade. Hstorcamente, o desenvolvmento de meddores de tempo (relógos) acompanha a evolução da necessdade de se medr o tempo, adequando-se a cada estágo desse processo evolutvo. Dos relógos de Sol até o hoje popular relógo de quartzo, se pensarmos uncamente em
nstrumentos do cotdano, mutos camnhos foram trlhados. Por trás de cada nstrumento está a necessdade da época. Se para algumas cvlzações da Antgudade bastava dstngur a manhã da tarde, dversas aplcações atuas necesstam de determnações de frações muto pequenas de segundo. Ao mesmo tempo, a delmtação de ntervalos de tempo através da observação de eventos por algum dos órgãos dos sentdos também está afetada pela própra capacdade do corpo humano perceber esses eventos. A vsta humana, por exemplo, consegue dstngur eventos separados de 40 ms (1 ms = 10-3 s) aproxmadamente. É este lmte de percepção que permte o efeto cnematográfco: quando assstmos a um flme, temos a mpressão de que os movmentos ocorrem contnuamente apesar de na verdade serem projetadas fotos a uma freqüênca de 30 por segundo. Mutos dos ntervalos de tempo entre eventos que ocorrem em nosso cotdano podem ser meddos com um relógo de pulso comum, por exemplo, a duração da aula. Outros eventos, apesar de serem faclmente percebdos pelos nossos sentdos, ocorrem em ntervalos de tempos muto curtos para serem meddos dessa forma. Podemos adotar como sendo de alguns segundos o ntervalo de tempo mínmo mensurável com um relógo comum. Esse lmte é muto maor do que, por exemplo, o tempo de contato dos seus dedos com o tampo da mesa numa batucada. Tente estmar valores para: O tempo de queda de uma borracha da mesa para o chão; O tempo de chute de uma bola de futebol; O tempo entre dos toques de dedo de uma batucada; O tempo gasto para escrever a palavra tempo e para assnar o seu nome. Neste expermento, remos medr o período de osclação de um pêndulo com o ntuto de: realzar meddas de ntervalos pequenos de tempo e estudar algumas lmtações mpostas pela nossa percepção e pelos nstrumentos de medda; ntroduzr de manera prátca o conceto de erros estatístcos ou aleatóros; realzar uma prmera dscussão sobre a adequação de um modelo dealzado a um expermento real.
3. O Pêndulo Smples O estudo do período de osclação do pêndulo pode parecer algo desnteressante em um prmero momento. Porém, essa mpressão não podera estar mas errada. Galleu Galle, consderado um dos prncpas cradores do método centífco moderno, fo uma das prmeras pessoas a estudar esse sstema físco e descobrr algumas de suas nteressantes propredades. Conta a hstóra que Galleu, ao assstr à mssa na catedral de Psa todos os domngos, reparava que um candelabro balançava devdo à corrente de ar, o que o motvou a estudar o movmento osclatóro de um pêndulo. Ele percebeu que ndependentemente da dstânca percorrda pelo pêndulo, o tempo para completar o movmento é sempre o mesmo. Galleu não tnha nenhum cronômetro ou relógo que lhe permtsse medr o tempo em suas experêncas, por sso controlou o tempo com as suas pulsações. (a) (b) Fgura 2.1 - (a) candelabro na Catedral de Psa. (b) relógo de pêndulo concebdo por Galleu. O estudo do pêndulo levou-o a conclur que a duração do movmento pendular não é afetada pelo peso do corpo suspenso, mas sm pelo tamanho da corda que o suspende. Baseado nestas conclusões, Galleu desenvolveu o relógo de pêndulo, o mas precso na época.
Toda haste, fo ou outro objeto qualquer, suspenso por um de seus pontos e sujeto à ação da gravdade executará um movmento osclatóro, se for momentaneamente afastado do seu ponto de equlíbro (desde que o ponto de fxação não concda com o centro de massa do corpo). O período deste movmento é uma grandeza físca característca do sstema. A versão mas smples de um pêndulo consste de um objeto de massa pequena suspenso por um fo nextensível e de massa desprezível. Um modelo bastante comum utlzado para relaconar o período T de um pêndulo com seu comprmento L é chamado de modelo do pêndulo smples e basea-se nas seguntes hpóteses: a. o pêndulo é consttuído por um ponto materal suspenso por um fo nextensível e sem massa; b. apenas as forças peso e tração agem sobre o ponto materal; c. utlza-se ângulos de abertura pequenos ( < 15 o ), tal que seja válda a aproxmação sen(θ) ~ θ (em radanos), onde θ é o ângulo entre o fo e a vertcal, durante a osclação (fgura 2.2). Fgura 2.2 - pêndulo smples e L: Baseado nessas hpóteses pode-se deduzr a segunte relação entre T T 2 L g (1)
onde g é a aceleração da gravdade. 4. Medda do período de osclação de um pêndulo A fm de medr o período de osclação do pêndulo, deslocamos de um certo ângulo o ponto materal que o compõem e medmos o tempo que esse ponto leva para retornar ao mesmo ângulo deslocado ncalmente. Para medr esse tempo, utlzaremos um cronômetro cuja resolução, ou seja, a menor undade de medda, é 0,01 s. Como toda medda, precsamos atrbur uma ncerteza ao valor obtdo. Fará parte do nosso expermento refletr sobre a melhor estmatva possível para essa ncerteza. Na experênca anteror ldamos com a medda de comprmentos de objetos bem defndos e utlzamos equpamentos analógcos. As ncertezas nas meddas foram estmadas como sendo as ncertezas nstrumentas dos equpamentos de medda, que normalmente eram a metade da menor dvsão do equpamento (lembre-se que para o paquímetro, a ncerteza nstrumental é a menor dvsão). Por se tratar de um equpamento dgtal, a ncerteza nstrumental do cronômetro deve ser dada pelo fabrcante. Na ausênca de um valor fornecdo pelo fabrcante, podemos consderar a ncerteza como sendo a menor dvsão do equpamento, ou seja, 0,01 s. Porém, se você repetr a medda váras vezes, você espera obter o mesmo valor para o período do pêndulo? A varação nos valores de período obtdos será em torno de 0,01 s? Realze essa medda algumas vezes com o pêndulo próxmo a você e verfque o resultado. Após a observação desses resultados, já deve estar claro para você que o valor meddo do período vara muto mas que o erro nstrumental atrbuído. Por que sso ocorre? Qual será o valor do período de osclação do pêndulo e, prncpalmente, qual será o valor da ncerteza dessa medda? Dante desta constatação, fca claro que o erro nstrumental não é o únco a afetar o resultado e a ncerteza de uma medda. Exstem outros tpos de ncerteza que precsam ser consderados. Nesta aula, remos estudar a ncerteza aleatóra ou estatístca. Lea o capítulo 4 da apostla Introdução à Teora de Erros de J. H. Vuolo para uma extensa dscussão sobre os tpos de ncerteza mas comuns que remos encontrar. 5. Arranjo e Procedmento Expermental Para que a equação 1 seja aplcável, é necessáro que as condções expermentas possam ser aproxmadas pelas hpóteses e lmtações do
modelo. Assm, utlza-se como ponto materal uma bolnha de chumbo, e o fo de um materal de baxa densdade e pouca elastcdade. Adota-se anda, pequenos ângulos de osclação máxma (no caso de θ max ~ 10 o, o erro percentual da aproxmação da hpótese c é menor que 1%). É necessáro ter em mente que, estrtamente, o pêndulo smples não exste na natureza, mas o modelo pode ser tão próxmo da realdade, que as dferenças são encobertas pelas ncertezas expermentas. Parte I: Incalmente, realzaremos a medda do período de osclação de um pêndulo colocado na frente da sala de aula, próxmo à mesa do professor. Ele rá deslocar o pêndulo do seu ponto de equlíbro, fazendo-o osclar e todos os alunos medrão o período de osclação desse pêndulo com o cronômetro fornecdo a cada um. Antes de ncar a medda, teste o seu cronômetro. Acone e pare o cronômetro medatamente váras vezes. Que valores você obteve? Esse valor representa o tempo mínmo que você consegue medr com o cronômetro. Como esse tempo se compara ao período de osclação do pêndulo? Se os dos tempos forem muto semelhantes, como você acha que sso va afetar a suas meddas? Como mnmzar a nfluênca dessa lmtação nas suas meddas? Ao nvés de medr o tempo de uma osclação, não sera mas precso medr o tempo de mas osclações, ou seja, ntervalos de tempo maores? Por quê? Cada aluno rá medr o período de osclação do pêndulo 5 vezes. Como a classe tem em torno de 20 alunos, teremos uma amostra de cem meddas e poderemos comparar os valores obtdos entre todos os alunos. O tratamento que daremos aos dados será dscutdo na seção 6. Parte II: (Texto baseado na apostla de Introdução às Meddas em Físca de 2004) Nesta parte do expermento, vamos avalar o seu tempo de reação a estímulos audtvo e vsual. Para melhor compreensão vamos classfcar o tempo de reação de acordo com a nossa percepção sensoral em tempo de reação motora (T m ), tempo de reação audtvo (T a ) e tempo de reação vsual (T v ) (não se tratam de defnções rgorosas do ponto de vsta médco). Para med-los usaremos novamente um cronômetro com resolução de 0,01s. As meddas serão realzadas com expermentos relatvamente smples e têm como prncpal objetvo a famlarzação do uso do cronômetro. Além dsso, você poderá notar que além do tempo de cada
evento exste um tempo extra assocado à percepção sensoral do observador que manpula o cronômetro e este tempo extra vara conforme a percepção de cada ndvduo. Medção do tempo de reação motora (T m ) Aqu medremos de forma smples o tempo necessáro entre dos dsparos do cronômetro. Para ncar a medda, pressone o botão de dsparo com o dedo e, medatamente após o dsparo (tente o mas rápdo que puder) pressone o mesmo botão para parar a medção do tempo de sua reação (T m ). Repta 7 vezes no mínmo anotando os valores de T m meddos. ATENÇÃO: não conduza esta medda de tempo como uma "competção entre colegas" para não danfcar os cronômetros, pos são nstrumentos delcados de precsão! Medção do tempo de reação audtva (T a ) Esta medção de tempo deverá ser realzada em dupla. O colega de grupo va soltar uma bolnha de metal da altura da bancada do laboratóro e dexá-la car até atngr um recpente metálco (uma lata por exemplo) no chão. Mas, antes de começar o expermento, com o auxílo de uma trena, meça a altura de onde a bolnha será solta. A medda será feta a partr da superfíce da bancada até a superfíce a ser atngda no chão. Meça com o cudado de anotar até a casa dos mlmetros. Você que va marcar o tempo estará de costas para o expermento e aconará o cronômetro quando seu colega dzer "já!" e aconará novamente o cronômetro quando escutar a bolnha car no recpente. Repta 7 vezes no mínmo anotando os valores de T a meddos. Medção do tempo de reação vsual (T v ) Repta o expermento anteror, mas desta vez você aconará o cronômetro ao ver o colega dexar car a bolnha de metal da mesma altura anteror. Agora a bolnha va atngr o solo sobre duas folhas de papel dobradas ao meo e emplhadas. Ao ver a bolnha atngr as folhas de papel, dspare novamente o cronômetro para parar a medção. Repta 7 vezes no mínmo anotando os valores de T v meddos. Não esqueçam de medr novamente a altura entre a posção em que a bolnha será solta e superfíce das folhas de papel que será atngda. Comparação dos resultados dos tempos T m, T a e T v
Até este ponto, as meddas de tempo de reação audtva e tempo de reação vsual vão nclur, alem dos tempos de reação, o própro tempo de queda da bolnha, que é relatvamente maor que o tempo médo de reação das pessoas. A partr da equação do movmento unformemente acelerado, calcule o tempo teórco de queda da bolnha (T q ) para cada stuação (tempo de reação audtva e tempo de reação vsual) utlzando o valor da aceleração da gravdade (tabelado no laboratóro) e as alturas meddas. Podemos agora ter os tempos de reação corrgdos (levando em conta também o tempo de reação motora): T a = T a - (T qa + T m ) T v = T v - (T qv + T m ) Como os valores dos tempos de reação audtva e vsual comparamse entre s? E como eles se comparam com o período de osclação do pêndulo? Parte III: Em seguda, cada grupo usará um pêndulo dferente e medrá o seu período de osclação utlzando dos equpamentos dferentes: o cronômetro de resolução de 0,01 s e seu própro relógo de pulso de resolução de 1 s. O que você espera obter para a ncerteza em cada um dos casos? Elas serão semelhantes? Por quê? 6. Análse de dados Como você deve ter notado, o valor obtdo para o período nas dversas meddas vara muto mas que o erro nstrumental atrbuído à medda. Isso ocorre pos não é apenas o nstrumento de medda que nfluenca no resultado da mesma. Nas aulas anterores, estávamos medndo objetos muto bem defndos e estátcos, em uma stuação que nos permta comparar o comprmento a ser meddo com o padrão de medda de manera bastante cudadosa. Neste caso, o mesmo não ocorre. A medda do período do pêndulo sofre nfluênca de dversos fatores, que estão fora do nosso controle. Para ctar alguns exemplos: o mecansmo de aconamento do cronômetro não é nstantâneo devdo à mecânca de funconamento do mesmo; o reflexo humano não é nstantâneo, ou seja, leva um certo ntervalo de tempo para o expermentador perceber a passagem do pêndulo pelo ponto desejado, reagr e aconar o botão do cronômetro;
a própra defnção expermental do período do pêndulo está sujeta a ncertezas. Que ponto do espaço corresponde exatamente ao ponto de nversão do movmento do pêndulo? Dante de todos esses fatores, fca claro que ao repetrmos a medda do período de osclação do pêndulo, remos obter sempre valores dferentes. Conseqüentemente, nos resta decdr qual valor numérco deve ser usado para representar o período de osclação do pêndulo e como podemos estmar a ncerteza dessa medda. Como dscutdo na seção 4.3 da apostla Introdução à Teora de Erros de J.H. Vuolo, a varação nos valores meddos do período é chamada de erro aleatóro ou estatístco, pos ela ocorre devdo a dversos fatores aleatóros, que não podem ser controlados durante o expermento. Na seção 5 dessa mesma apostla, é mostrado que o valor que melhor representa o resultado expermental de váras meddas ( ) fetas em crcunstâncas estatístcas é a méda, dada por: N 1 N onde N é o número de medções fetas. A ncerteza nesse valor pode ser estmada a partr da flutuação dos dados, ou seja, a partr da varação ou desvo dos dados em relação à méda, onde defnmos o desvo de uma medda pela expressão: d (3) A prncípo, poderíamos tomar o valor médo dessa grandeza para estmar a ncerteza. Porém, devdo à própra defnção de méda, o valor médo de d será sempre zero. Portanto, ncalmente, podemos nos lvrar do snal defnndo a varânca dos dados que é dada por: 2 1 N 1 N 1 2 A varânca é uma méda do quadrado do desvo. A raz quadrada da varânca é chamada de desvo padrão (σ) e é dado por: 1 N 1 N 1 2 Podemos dzer que o desvo padrão é uma medda de quanto os dados em méda se desvam da méda. A partr do formalsmo da (2) (4) (5)
chamada Teora de Erros, podemos demonstrar que a ncerteza do valor médo será dada pelo desvo padrão da méda (σ m ), defndo como: m N Para o propósto desta dscplna, vamos apenas assumr esta expressão como correta (sem demonstrar sso) e utlzá-la para estmar a ncerteza aleatóra ou estatístca de todas as meddas que realzarmos daqu em dante. (6) Parte I: De posse dos dados, vamos estudar como os valores de período meddos pelos város alunos da classe se comportam. Calcule a méda, o desvo padrão e o desvo padrão da méda dos dados. Uma manera bastante efcente de se estudar os dados é fazendo um hstograma dos mesmos. Na seção 5 do capítulo IV da apostla da dscplna é explcado como construr um hstograma. Utlzando os dados meddos por todos os colegas de classe construa um hstograma. Em seguda, nterprete o resultado obtdo. Que nformações o hstograma pode lhe fornecer? Como você pode extrar a méda e o desvo padrão a partr do hstograma? Os valores obtdos numercamente concordam com os valores obtdos grafcamente? Parte II: Obtenha a méda e o desvo padrão dos dados de reação audtva e vsual. Compare o valor obtdo por você com os dos outros colegas. Compare os valores para a sua reação audtva e vsual. Compare com o valor do desvo padrão das meddas do período de osclação do pêndulo. O que você pode conclur? Parte III: Calcule a méda, desvo padrão e desvo padrão da méda dos dados obtdos tanto com o cronômetro quanto com o relógo de pulso. Compare os valores obtdos a partr desses dos equpamentos. Compare também esses resultados com os valores obtdos na prmera parte e com os valores obtdos pelos colegas. A partr do comprmento meddo do seu pêndulo e do valor da aceleração da gravdade, calcule o período esperado para o pêndulo utlzado, assumndo que o modelo do pêndulo smples é váldo para este
caso. Os dos valores são guas? Como é possível compará-los? A medda de comprmento tem ncerteza? Como você acha que sso va afetar o valor do período obtdo pela fórmula 1?