j^qbjžqf`^^mif`^a^ N Walter tinha dinheir na pupança e distribuiu uma parte as três filhs A mais velh deu / d que tinha na pupança D que sbru, deu /4 a filh d mei A mais nv deu / d que restu ^ Que prcentagem da quantia inicial fi distribuída? P Na gaveta da czinha, Maria tinha guardad duas ntas de 0 reais, duas ntas de 0 reais e duas ntas de 0 reais Durante a nite, n escur, Francisc, filh de Maria retiru a acas duas ntas Determine a prbabilidade de que Francisc tenha retirad mens de 0 reais _ Qual ds filhs recebeu mais? Éëçäì ç Seja dinheir da pupança de Valter igual a O filh mais velh recebeu e sbraram 4 O filh d mei recebeu sbraram 4 4 O filh mais nv recebeu distribuíds da pupança Respstas: O ^ _ Cm fram distribuíds Assim, fram Fi distribuída 60% da quantia inicial da pupança Os três filhs receberam quantias iguais Brun e Carls sã irmãs e pssuem junts 78 medas de real Brun, que pssuía mais medas, deu a Carls dbr d númer de medas que Carls pssuía Nesse mment, Carls ficu cm mais medas que irmã e deu a Brun 0 medas N final dessas duas transações, Brun ficu cm duas medas a mais d que Carls Determine quantas medas cada um tinha inicialmente Éëçäì ç Cm eles tinham junts, 78 medas, n final Brun terminu cm 40 medas e Carls cm 8 medas Sejam e y s númers de medas que Brun e Carls tinham, respectivamente, n iníci De acrd cm enunciad, Carls inicialmente triplicu seu númer de medas e depis deu 0 a irmã Entã y 0 8, u seja, y 6 Cnsequentemente, 78 6 6 Inicialmente Brun tinha 6 medas e Carls tinha 6 medas Éëçäì çn Retirand uma nta após utra, Francisc nã pde retirar nenhuma nta de 0 reais em nenhuma das duas retiradas Na primeira retirada a prbabilidade de que Francisc, nã 4 tenha pegad uma nta de 0 reais é de 6 Na segunda retirada a prbabilidade de que Francisc, nã tenha pegad uma nta de 0 reais, dad que a primeira nã fi de 0 reais, é de A prbabilidade de que Francisc, nã tenha pegad uma nta de 0 reais em nenhuma das duas retiradas é p 40% Éëçäì ço Sejam A e A as ntas de 0 reais, B e B as ntas de 0 reais e C e C as ntas de 0 reais O númer de maneiras de retirar duas dessas seis ntas é C 6 Para retirar mens de 0 reais Francisc deve pegar duas ntas entre A, A, B e B O númer de maneiras de Francisc retirar duas dessas ntas é C 6 4 6 A prbabilidade pedida é p 40% Q Uma vela, cm cm de altura, é fabricada de tal md que, a ser acesa, ela derrete primeir centímetr em 0 segunds, segund centímetr em 60 segunds, terceir centímetr em 90 segunds, e assim sucessivamente, gastand sempre 0 segunds a mais para derreter próim centímetr d que gastu para derreter centímetr anterir Calcule temp ttal, em hras, minuts e segunds, necessári para que a vela derreta tda após ser acesa Éëçäì ç Os temps gasts para derreter cada centímetr frmam uma PA de primeir term 0 segunds e razã 0 segunds Assim, para derreter últim centímetr temp necessári é 0 + 4 0 70 segunds O temp ttal é, (0 + 70) prtant, 970 segunds, u seja, hras, 4 minuts e 0 segunds
R A figura abai mstra a trajetória de Renat cm seu barc S Em um departament de uma universidade, trabalham 4 prfessras e 4 prfessres e, entre eles, estã Astreia e Gastã, que sã casads Um grup de desses prfessres(as) deverá ir a um cngress, send, pel mens, um hmem Obrigatriamente, um ds elements d casal deverá estar n grup, mas nã ambs De quantas maneiras diferentes esse grup pderá ser rganizad? ÉëçäìÅ ç Listams, a seguir, tdas as pssibilidades Renat saiu d pnt A e percrreu 0 km em linha reta, até pnt B, numa trajetória que faz 0 cm a direçã nrte N pnt B, viru para leste e percrreu mais 0 km em linha reta, chegand a pnt C Calcule a distância d pnt A a pnt C Dads: sen 0 0, 4, cs 0 0, 940 a) Astreia + hmem + mulher: 9 pssibilidades b) Astreia + hmem + hmem: C pssibilidades c) Gastã + hmem + hmem: C pssibilidades d) Gastã + hmem + mulher: 9 pssibilidades e) Gastã + mulher + mulher: C pssibilidades Há 7 maneiras d grup ser frmad Éëçäì ç Observand a figura abai tems DBA ˆ 0, ABC ˆ 40 e CAB ˆ BCA ˆ 0 Fazend AC tems, pela lei ds sens, 0 sen40 sen0 sen 40 sen 0 0 sen0 cs0 0 sen0 Assim, 0 cs0 0 0,94 8, 8 AC 8,8 km
T A figura abai mstra um trnc de pirâmide regular frmad pr dis quadrads ABCD e A B C D de centrs O e O cntids em plans paralels e quatr trapézis cngruentes Os quadrads sã as bases d trnc e a sua altura é a distância O O h entre s plans paralels U A figura abai mstra um quadrad ABCD e s pnts médis de cada um ds lads Traçand s segments que unem cada pnt médi as dis vértices d lad pst d quadrad, frma-se a estrela que está smbreada na figura a seguir A área da estrela representa que prcentagem da área d quadrad? Se S e S sã as áreas das bases de um trnc de pirâmide de altura h, vlume desse trnc é dad pela h fórmula V ( S + S + SS ) Sã dadas, em decímetrs, as medidas das arestas: AB, A B 6, A A 9 Calcule vlume desse pliedr em decímetrs cúbics e dê um valr aprimad usand algum ds dads abai Éëçäì çn Esclhems cm unidade de medida, a metade d lad d quadrad Send E e F s pnts médis ds lads AB e BC, respectivamente, cnsidere s segments DE e AF que se crtam em P (figura abai) Dads:, 4,, 7,, 4, 7, 6 Éëçäì ç O O A A é um trapézi retângul nde OA 6 e O A Traçand A M perpendicular a OA e fazend O O h MA triângul retângul A MA frnece h 9 ( ) 6 7 7,9 O vlume d trnc é 7,9 7,9 V ( + 6 + 6 ) 7,9 84 668 dm Os triânguls DAE e ABF sã cngruentes Assim, DEA + FAB DEA + EDA 90 e, prtant, s segments DE e AF sã perpendiculares Os triânguls APE e ABF sã semelhantes Daí, cm b c AF e fazend PA b e PE c tems, u sejam, b e c Assim, a área d triângul APE é s bc e a 8 área S da estrela é igual a S 8 4 A razã que esse valr representa da área d quadrad é 60% 4
Éëçäì ço Pdems adtar um sistema de crdenadas cartesianas cm a rigem em A, ei X sbre AB e ei Y sbre AD Os ceficientes angulares das retas AF e DE sã m e m, respectivamente Assim, a reta AF tem equaçã y e a reta DE tem equaçã y + e a interseçã delas é pnt P Cm, da primeira equaçã y tems, substituind na segunda, y y + e, prtant, y AE y A área d triângul APE é s A área da estrela segue cm na primeira sluçã Éëçäì çp V Um alun precisava estimar a área S da regiã sb gráfic da funçã y lg (lgaritm decimal de ) entre as abscissas e 6 que se vê na figura a seguir Para bter um valr aprimad de S, alun pensu na estratégia que as figuras abai mstram Ele calculu a área S ds três retânguls da figura da esquerda, e calculu a área S ds três retânguls da figura da direita Ele imaginu que uma ba aprimaçã para a área que S deseja bter é + S S Dads lg 0, 0 e lg 0, 477, btenha um valr para S, usand a estratégia descrita acima Seja pnt R em que prlngament de AF crta lad CD Da semelhança de PRD e APE, a altura de APE é tal que h h Lg, h A área de APE é 4 4 8 Lg a fraçã da área smbreada é 60 % 4 0 Éëçäì ç Tds s retânguls pssuem base igual a Assim, S lg + lg4 + lg lg 4 lg60 S lg4 + lg + lg6 lg4 6 lg0 Prtant, S + S S S ( (lg60 + lg0) lg60 0 (lg00 + lg + S,9 + lg7) ( + lg ) lg) ( + 0,90 + 0,94) lg700 4
NM A figura abai mstra s gráfics de duas funções quadráticas f e g que sã simétrics em relaçã a pnt P (, ) Sabend que g ( ) Éëçäì çn f ( ), determine uma epressã para Os gráfics sã simétrics entã sã cngruentes Cm ceficiente de em f é igual a entã ceficiente de em g é igual a Assim, g ( ) + b + c Cm vértice d gráfic de f é a rigem entã vértice d gráfic de g é pnt (, ) Assim b ( ) e, prtant, b 4 Cm gráfic da funçã g ( ) + 4 + c passa pel pnt P (, ) cnclui-se que c Assim, g ( ) + 4 Éëçäì ço g( ) [ f ( ( )) ] f ( ) ( ) 4 + 4 + 4 Fim da Prva de Matemática Aplicada