Uma comparação entre algortmos de projeção para restauração de magens do satélte CBERS- João P. Papa Nelson D. A. Mascarenhas Lela M.G. Fonseca 2 Unversdade Federal de São Carlos - UFSCAR Caxa Postal 676-3565-905 São Carlos - SP, Brasl {jpaulo, nelson}@dc.ufscar.br 2 Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas - INPE Caxa Postal 55-220-970 - São José dos Campos - SP, Brasl lela@dp.npe.br Abstract. The man goal of ths work s to compare two restoraton projectons algorthms, for the CBERS- satellte mages, whch are based on projectons onto convex sets method, POCS: RAP (Row-Acton Projectons) and SIRT (Smultaneous Iteratve Reconstructon Technque). We used a prototype mage to calculte the ISNR (mprovement sgnal to nose rato) and evaluated the restoraton algorthms executon. Snce we have an nconsstent system of lnear equatons, due the nose measurements, the method of SIRT obtaned the best results. Palavras-chave: remote sensng, mage processng, mage restoraton, projectons onto convex sets, sensoramento remoto, processamento de magens, restauração de magens, projeções em conjuntos convexos.. Introdução As magens de sensores dgtas e fotografas aéreas apresentam a característca de agrupar um elevado número de nformações, freqüentemente não dsponíves nos mapas ofcas. Contudo, as nformações orundas do sensoramento remoto necesstam ser processadas para melhorar a qualdade radométrca dos dados. As dstorções radométrcas são causadas pelo borramento dos detalhes, lstras e manchas nas magens. As degradações na magem dmnuem a precsão, reduzndo assm, a utldade dos dados. Dentre as técncas de correção radométrca encontra-se a restauração de magens. Esse método vsa a reconstrução ou recuperação da magem que fo degradada utlzando um conhecmento a pror do fenômeno de degradação. A déa é, através da modelagem da degradação, aplcar o processo nverso para obter uma aproxmação da magem orgnal Gonzalez & Woods (2000). Numerosos métodos de restauração de magens têm sdo desenvolvdos para váras aplcações, dentre eles o fltro nverso, fltro de Wener, técncas de regularzação e métodos de programação lnear Stark (988). Outra abordagem que tem sdo amplamente referencada é a que utlza métodos de projeção Stark & Yang (998). Dentre eles podemos destacar o método de projeções em conjuntos convexos (POCS), também conhecdo como método de projeções convexas, o qual utlza nformações a pror das magens na forma de conjuntos de restrção, afm de tentar soluconar o problema Stark (988). 2. Restauração de magens A utlzação de técncas de correção de magens consttu uma das mas mportantes etapas do processamento dgtal de magens. Da mesma manera que as técncas de realce
enfatzam feções na magem, realçam também as mperfeções da mesma. Sendo assm, torna-se necessáro que ruídos e mperfeções sejam retrados ou atenuados antes da aplcação das técncas de realce Fonseca (2000). Em grande parte dos casos, as mperfeções são nerentes e dependentes do sstema sensor que faz a captura da magem, tas como sensores de satéltes e mcroscópos, fazendo com que algortmos específcos para remoção de ruídos e devdas correções sejam desenvolvdos. A restauração de magens também pode ser entendda como uma técnca utlzada para corrgr as dstorções ntroduzdas pelos sensores dos sstemas de mageamento. O efeto do sensor sobre a magem é o de suavzação (fltro passa-baxas) dos detalhes. A correção da magem é baseada nas característcas do sensor. Portanto, para cada satélte, sensor e banda espectral, exste um fltro adequado. 2. Modelo de degradação O processo de degradação é modelado como um operador ou sstema físco H, que juntamente com um termo de ruído adtvo n(x,y) opera sobre uma magem de entrada f(x,y) para produzr uma magem degradada g(x,y) Gonzalez & Woods (2000), como pode ser vsto na Fgura. Fgura Modelo do processo de degradação da magem. A restauração de magens dgtas pode ser vsta como o processo de obtenção de uma aproxmação de f(x,y), dada g(x,y) e um conhecmento sobre a degradação na forma do operador H. Exstem város tpos de degradação, sendo que podem ser destacados o borramento e o ruído. A Fgura também pode ser expressa como ( x, y) H[ f ( x, y) ] + n( x y) g =,. () Usando-se a notação matrcal, a Equação () pode ser expressa na forma g = Hf + n, (2) onde f, g e n são vetores coluna de dmensão MN x e H é a matrz bloco-crculante de dmensão MN x MN, sendo que M e N são as dmensões da magem a ser restaurada. 3. Algortmos de projeção POCS (Projectons onto Convex Sets) Város problemas podem ser descrtos na forma de restrções em conjuntos convexos. A solução para tas problemas deve, necessaramente, satsfazer todas as restrções mpostas. Entretanto, a busca pela solução desejada consste em encontrar um vetor que pertence à ntersecção de todos os conjuntos de restrção.
Se supusermos que exstem n conjuntos de restrção, representados por C ( =,2, K, n), a solução para o problema está na ntersecção dos conjuntos, representado pela Equação (3): C 0 I n C = =. (3) Se adotarmos a hpótese de que exstem n conjuntos de restrção, representados por C ( =,2, K, n), a solução para o problema está na ntersecção dos conjuntos, representado pela Equação (3). 3. Algortmos de POCS Se os conjuntos C ( =,2, K, n) são fechados e convexos e a sua ntersecção, C0, é nãovaza, as sucessvas projeções nos conjuntos rão convergr a um vetor que pertence à ntersecção. A Equação 4 representa um algortmo de POCS seqüencal, sendo que representa a estmatva ncal: x 0 x k + = PC k = N C2 C k K P P x 0,,2,3,K (4) O algortmo de POCS também pode ser mplementado em sua forma paralela. Neste método, o vetor é projetado smultaneamente, sendo assumdo um peso a cada projeção. A Equação (5) descreve o algortmo de POCS paralelo. n xk + = xk + w ( PC xk ) k = 0,,2,3,K (5) = n w = = (6) 3.2 Conjuntos de Restrção Convexos 3.2. Row-Acton Projecton -RAP O modelo lnear para restauração de magens pode ser descrto pela Equação (2) porém, o mesmo, sem a estmatva do ruído, pode ser representado pela Equação (7): g = Hf. (7) A Equação (7) descreve um sstema lnear, onde cada lnha de g denota uma equação que pode ser representada por um hperplano, o qual é um conjunto convexo, e sua solução pode ser encontrada pelo método de POCS. Se a ntersecção entre esses conjuntos é não-vaza, o objetvo é encontrar esse conjunto de ntersecção, o que pode ser resolvdo através do método de projeções em conjuntos convexos. O uso de POCS para solução de sstemas lneares através de projeções ortogonas teratvas entre os hperplanos descrtos por cada equação é também chamado de algortmo de Row- Acton Projectons, RAP, o qual fo ncalmente desenvolvdo por Kaczmarz Mammone (992). Segundo Kuo & Mammone (992) o algortmo de POCS é uma generalzação do RAP, no qual os hperplanos são substtuídos por outros conjuntos convexos. O método converge na ntersecção dos hperplanos, sendo a equação de RAP dada por
T ( k + ) ( k ) g h f = f + 2 ( k ) f λ h, (8) h T onde λ é o parâmetro de relaxação, é o -ésmo elemento do vetor g, é a -ésma lnha da g ( matrz H e k +) (k ) f é a projeção de f no hperplano correspondente. Pela defnção, a projeção x de um vetor x no conjunto C é o ponto em que C é o mas próxmo de x Stark & Yang (998). Dessa forma, o projetor do tpo sstema lnear, baseado na Equação (8), é dado por P P P x PC = x + R 2 h x para um conjunto de restrção g h x = λ h. (9) h Tendo o operador de projeção, para obter a solução do sstema de equações lneares basta escolher um x ncal e utlzar a Equação (4) teratvamente, até que se verfque a convergênca. O sucesso da mplementação do método de RAP depende da condção ncal utlzada, do número de terações e do valor de λ 3.2.2 Conjunto de Restrção de Ampltude Lmtada Além dos conjuntos de restrção expressos pela Equação (7) é possível também consderar algum conhecmento a pror da magem a ser restaurada. Este conjunto descreve o lmte superor e nferor para os valores dos pxels da magem a ser restaurada. A Equação (0) descreve este conjunto, onde α é o lmte nferor, β é o lmte superor e Ω é a regão onde se encontra a magem. C AL { h h H e α h( β para Ω} = :, (0) onde H é o espaço de Hlbert. A regra de projeção no conjunto C AL é descrta pela Equação (). PC AL α, x( = x(, β, se x( < α se α x( β se x( > β () 3.2.3 Smultaneous Iteratve Reconstructve Technque(SIRT) O algortmo de SIRT (Smultaneous Iteratve Reconstructve Technque) é a mplementação paralela do algortmo RAP. Neste, caso a projeção é feta em todos os conjuntos ao mesmo tempo sendo que, como cada conjunto possu o mesmo peso, a equação (5) pode ser modfcada, de tal modo a obter-se a Equação (2), a qual representa a mplementação deste algortmo, sendo que os conjuntos e os projetores foram os mesmos utlzados no algortmo RAP, sendo apenas o projetor, para o caso do SIRT, denomnado P CS.
n xk + = xk + ( P xk xk ) k = 0,,2, L (2) n = Neste caso, n representa o número de hperplanos ou conjuntos de restrção descrtos pela Equação (7). 4. Resultados Foram comparados dos algortmos de restauração de magens utlzando projeções em conjuntos convexos: RAP e SIRT. Como ambos os métodos não levam em consderação o ruído nerente às magens do satélte CBERS-, optamos por utlzar mas um conjunto de restrção, o de ampltude lmtada, descrto pela Equação (0), com valores para α = 0 e β = 255, a fm de contornar o efeto do mal condconamento, vsto que, tanto o algortmo de RAP bem como o SIRT, tendem a ter o seu resultado aproxmado ao do fltro pseudo-nverso Mammone (992), ou seja, ( f K ) lm = H g. (3) k Dessa forma, os algortmos utlzados para os métodos de RAP e SIRT são, respectvamente, descrtos pelas Equações (4) e (5), tas que x k + = PC PC xk (4) AL R x k + = PC PC x AL S k, (5) onde P representa a projeção no conjunto de restrção de ampltude lmtada, P e as C AL projeções nos conjuntos de restrção dados pelos algortmos de RAP e SIRT. Em ambos os métodos os vetores foram projetados nos hperplanos descrtos pela Equação (7). Para o algortmo de RAP o valor do parâmetro de relaxação que obteve convergênca mas rapdamente, segundo testes prevamente estabelecdos, fo λ = 0.3. Para o algortmo de SIRT fo utlzado λ = 256. Embora a convergênca dos métodos ctados acma seja garantda, desde que a ntersecção de todos os conjuntos de restrção seja não vaza, na prátca optamos por utlzar um crtéro de parada. Desta forma, o crtéro adotado consste em, dado um ε > 0, nterromper o processo teratvo caso a Equação (6) abaxo for satsfeta Katsaggelos (99), C R P C S f ( n) f f ( n) ( n ) ε, (6) (n) onde f corresponde a uma estmatva na magem do n-ésmo passo. A Tabela apresenta os valores deε utlzados para ambos os algortmos.
Algortmo Valor deε RAP 0.00 SIRT 0.000000 Tabela Valores de ε utlzados para ambos os algortmos. Os resultados dos algortmos de projeção foram avalados através do ISNR (mprovement sgnal to nose rato), dado pela segunte fórmula: 2 [ g(, f (, g) ], j ISNR = 0 log0, (?) 2 f (, f (, g), j onde g (,, f (, e f (, representam, respectvamente, as magens degradada, orgnal e restaurada. Para obtenção de tal medda fo utlzada uma magem protótpo, a qual corresponde ao olho esquerdo da Lena. A mesma magem fo degradada pela função de borramento correspondente à banda 2 do sensor CCD do satélte CBERS-, e adconado ruído. Ambas são representadas pela Fgura 2. (a) (b) Fgura 2 (a) Imagem protótpo orgnal utlzada. (b) Imagem protótpo degradada. 4. Restauração A Fgura 3 mostra as magens protótpos restauradas pelos métodos de RAP e SIRT. (a) (b) Fgura 3 (a) Imagem protótpo restaurada pelo método de RAP. (b) Imagem protótpo restaurada pelo método de SIRT.
Como já fo menconado anterormente, os resultados dos algortmos de projeção foram avalados através do ISNR, os quas estão demonstrados pela tabela abaxo: Algortmo ISNR RAP.025 SIRT 4.2673 Tabela 2 Valores do ISNR obtdos após aplcação dos algortmos de restauração. Os algortmos em questão foram aplcados em uma magem da banda 2 obtda pelo sensor CCD do satélte CBERS-, sobre a regão da cdade de São Paulo-SP, a qual é representada pela Fgura 4. Fgura 4 Imagem da banda 2 obtda pelo sensor CCD do satélte CBERS-. Aplcando ambos os algortmos na magem acma, obtvemos bons resultados, que podem ser comprovados tanto vsualmente quanto pelos respectvos perfs radométrcos. As magens restauradas são representadas pela Fgura 5. Os respectvos perfs radométrcos podem ser vsualzados através da Fgura 6. (a) (b) Fgura 5 (a) Imagem restaurada pelo método de RAP. (b) Imagem restaurada pelo método de SIRT.
(a) (b) (c) Fgura 6 (a) Perfl radométrco da magem orgnal (degradada). (b) Perfl radométrco da magem restaurada pelo método de RAP. (c) Perfl radométrco da magem restaurada pelo método de SIRT. 5. Conclusão Analsando os valores obtdos pelo ISNR, bem como comparando as magens restauradas pelos métodos de RAP e SIRT e seus respectvos perfs radométrcos, nota-se um melhor desempenho do algortmo de SIRT, o que já era esperado. Em sstemas lneares nconsstentes, ou seja, na presença de ruído, o algortmo de RAP oscla através dos conjuntos de restrção, ao passo que o método de SIRT procura a solução através da méda das projeções smultâneas, assegurando um melhor resultado. 6. Agradecmento Os autores gostaram de agradecer à CAPES pelo suporte fnancero. Referêncas Fonseca, L.M.G. Apostla de Processamento Dgtal de Imagens. CAP-224. São José dos Campos: INPE, 2000. Gonzalez, R C. & Woods, R. E. Processamento Dgtal de Imagens. São Paulo: Edgard Blücher, 2000. 50p. Katsaggelos, A. K. Dgtal Image Restoraton. Sprnger Seres n Informaton Scences, Vol. 23. Sprnger-verlag: Berlm, 99. Kuo, S. S. & Mammone, R. J. Image restoraton by convex projectons usng adaptatve constrants and the L norm. IEEE Transactons on Sgnal Processng, Vol. 40, pp. 59-68, 992. Mammone, R.J.Computaton Methods of Sgnal Recovery and Recognton. John & Sons, 992. 46p. Stark, H. Theory of convex projectons and ts applcaton to mage restoraton. IEEE Internatonal Symposum on Crcuts and Systems, Vol., pp. 963-964, 988. Stark, H. & Yang, Y. Vector Space Projectons. Wley, 998. 408p.