TRIGONOMETRIA 1. AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO ÂNGULO AGUDO Considere um ângulo agudo = AÔB, e tracemos a partir dos pontos A, A 1, A etc. da semirreta AO, perpendiculares à semirreta OB. AB A1B1 AB OAB OA1B1 OAB OA OA OA 1 AB A1B1 AB A relação depende apenas do ângulo α, não depende dos comprimentos envolvidos. OA OA OA 1 AB 0 0 Convém dar um nome para esta função de α assim construída e definir, sen =, 0 90. OA A vantagem principal dessa ideia é a partir de triângulos pequenos, podemos construir uma tabela para função seno. Suponha agora que queira medir o raio da Terra, um comprimento geralmente inacessível às medidas diretas. Um processo criado pelos gregos é o seguinte: Sobe-se a uma torre de altura h e mede-se o ângulo α que faz a reta BC do horizonte de B com a vertical BO do lugar.
Pela figura R sen = R sen h sen R R h R R sen h sen R(1 sen ) h sen h sen R 1sen Se tivermos as medidas de h e α (que são acessíveis) e uma tabela de senos podemos medir o raio da terra. Usando os mesmos triângulos semelhantes Definimos as razões: OB OB OB OA OA OA 1 cos 1 AB A B A B OB OB OB 1 1 tg 1 Estas são chamadas funções trigonométricas e se relacionam por: sen cos 1 sen tg cos. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Podemos ainda definir diretamente pelo triângulo retângulo
Seja o triângulo ABC retângulo em A, conforme a figura a seguir: Definem-se: cateto oposto b Seno: sen Bˆ hipotenusa a Cosseno: ˆ cateto adjacente c cosb hipotenusa a Tangente: ˆ cateto oposto b tg B cateto adjacente c Lembre-se do macete SOHCAHTOA Podemos definir também as funções: Cotangente: ˆ c ateto adjacente c 1 cotg B cateto oposto b tg Bˆ Secante: ˆ 1 sec B cos Bˆ Cossecante: ˆ 1 cossec B sen Bˆ c Da mesma forma: sen Cˆ ; a ˆ b cos C ; a ˆ c tg C e b ˆ b cotg C. c Comparando os resultados, concluímos que sen Bˆ coscˆ ; cosbˆ sen Cˆ e tgbˆ cotgcˆ.
0 Como ˆB Cˆ 90, concluímos que: cosθ sen 90 θ senθ cos 90 θ tgθ cotg 90 θ 0 0 0 3. ÂNGULOS NOTÁVEIS 3.1. Ângulos de 30 e 60 Seja o triângulo equilátero ABC, conforme a figura a seguir: No ABM, temos: sen 60 cos60 x 3 AM 3 AB x x BM 1 AB x sen 60 3 tg 60 3 cos 60 1 sen30 1 cos60 cos30 sen 60 3 tg30 sen30 1 3 cos30 3 3
3.. Ângulo de 45 Seja o quadrado ABCD, conforme a figura a seguir: No ABC, temos: ˆ BC x sen 45 sen BAC AC x cos 45 sen 90 45 sen 45 sen 45 tg 45 1 cos 45
EXERCÍCIOS DE COMBATE 1. Para medir a largura de um rio de margens paralelas sem atravessá-lo, um observador no ponto A visa um ponto fixo B na margem oposta (suponha que AB é perpendicular às margens). De A, ele traça uma perpendicular à linha AB e marca sobre ela um ponto C, distando 30m de A (figura). Em seguida ele se desloca para C, visa os pontos B e A, e mede o ângulo BCA = 70º. Sabendo que a distância, sobre AB, de A à margem M do rio é de 3m e que tg 70º =, 75, calcular a largura do rio (figura) 0 d 3 d 3 tg 70,75 30 30 d 3 8,5 d 79,5. Um observador em uma planície vê ao longe uma montanha segundo um ângulo de 15º (ângulo no plano vertical formado por um ponto no topo da montanha, o observador e o plano horizontal). Após caminhar uma distância d em direção à montanha, ele passa a vê-la segundo um ângulo de 30º. Qual é a altura da montanha? Perceba que o triângulo ADC é isósceles pois CDA=150 graus, daí ACD=15 graus.
No triângulo DCB, chamando BD=h, temos: 0 h d 3 tg 30 h. d 3 3. (As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P conforme figura abaixo. Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC 6 3 km, então CP é, em km, igual a a) 6 3 b) 63 3 c) 9 3 d) 9 1 RESPOSTA: B Com os dados da figura, pode-se escrever: BA 3 BA tg 30 BA 6 BC 3 6 3 Ainda, pelo Teorema de Pitágoras: AC BC BA AC 6 3 6 AC 144 AC 1
E finalmente pelo teorema da bissetriz interna: BC BA 6 3 6 7 3 6 3 PC 6 PC 6 PC 1 3 7 3 PC PA PC 1 PC 7 3 1 3 6 PC 6 PC 36 3 1 3 PC 18 6 3 PC 6 3 3 1 3 1 3 4. (UNICAMP 010) Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. A figura abaixo ilustra a rampa que terá que ser vencida pela bicicleta de Laura. Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação, tal que cos =. Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura há (medida em relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas. a) 315 m b) 31,5 m c) 630 m d) 63 m e) 15,75 m RESPOSTA: B sen cos 1 sen 1 0, 99 0, 01 sen 0,1 Após 100 pedaladas a bicicleta percorre 315 m.
h sen 0,1 h 31, 5 m 315 5. (CN 009) Um triângulo retângulo, de lados expressos por números inteiros consecutivos, está inscrito em um triângulo equilátero T de lado x. Se o maior cateto é paralelo a um dos lados de T, pode-se concluir que x é aproximadamente igual a a) 6,5 b) 7,0 c) 7,5 d) 8,0 e) 8,5 RESPOSTA: C Sejam k 1, k e k + 1, k Z, os lados do triângulo retângulo. Pelo teorema de Pitágoras, temos: k 1 k k 1 k k 1 k k k 1 k 4k 0 k 0 (não convém) ou k = 4 Logo, os lados do triângulo retângulo são 3, 4 e 5. A figura a seguir representa o triângulo equilátero T e o triângulo retângulo inscrito.
DE BC ADE é equilátero AD DE 4 DE BC CFD ˆ EDF ˆ 90º DFC é retângulo ˆ DF 3 sen DCF sen 60º DC DC 3 3 DC 3 sen 60º 3 x AC AD DC 4 3 4 1, 73 7, 46 unidades de comprimento 6. (EFOMM 013) Dois observadores que estão em posições coincidentes com os pontos A e B, afastados 3 km entre si, medem simultaneamente o ângulo de elevação de um balão, a partir do chão, como sendo 30 e 75, respectivamente. Se o balão está diretamente acima de um ponto no segmento de reta entre A e B, então a altura do balão, a partir do chão, em km, é: a) b) c) d) e) RESPOSTA: E
Seja P a posição do balão e P a projeção de P sobre o segmento AB, então APP e BPP são triângulos retângulos e APP' ˆ 90 30 60 e BPP' ˆ 90 75 15. Consequentemente, o ângulo APB ˆ APP' ˆ BPP' ˆ 60 15 75 ABP ˆ. Portanto, o triângulo ABP é isósceles e AP = AB = 3. No APP, temos PP' PP' 1 3 sen 30 PP' km, que é a medida da altura do balão. AP 3