Fundamentos de Probabilidade
A probabilidade de chuva é de 90% A probabilidade de eu sair é de 5%
Conceitos Básicos
Conceitos Básicos 1. Experiência Aleatória (E) Processo de obtenção de uma observação ou resultado eventual A experiência é aleatória por não podermos antecipar o que irá resultar Exemplo: lançamento de um dado de 6 faces para verificar a face voltada para cima
Conceitos Básicos 2. Espaço Amostra (S) Conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória Exemplo: no lançamento de um dado S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Conceitos Básicos 3. Evento (A) Subconjunto gerado a partir de um espaço amostra Combinação de resultados eventuais Exemplo: evento que consiste na ocorrência de ponto par, no lançamento de um dado A = {2, 4, 6}
Experiência Aleatória Seleção de uma pessoa para saber sua despesa com consumo de energia elétrica
Alguns Exemplos Experimento Espaço Amostral Jogar uma moeda Jogar duas moedas Selecionar uma carta Jogar uma partida de futebol {Cara, Coroa} {Ca Ca, Ca Co, Co Ca, Co Co} {Vermelha, Preta} {Ganha, Perde, Empata} Inspecionar uma peça Consumo de energia [0 ; [ {Defeituosa, Perfeita}
Diagrama de Venn Espaço Amostra 3 A 5 2 1 S 6 4 Evento A Resultado Eventual
Evento certo impossível contrário (complementar) mutuamente exclusivos independentes 1.5 0 Certo Impossível
Eventos Especiais 1. Evento Certo ocorrência de Cara ou Coroa no lançamento de uma moeda
Eventos Especiais 2. Evento Impossível ocorrência de Paus & Ouros na mesma carta
Eventos Especiais 3. Eventos Contrários Para o evento A, todos os eventos não A: A c ou A. Ex: Se A for a ocorrência de Cara no lançamento de uma moeda, então o evento contrário, Coroa, será A c.
Eventos Especiais 4. Eventos Mutuamente Exclusivos (ME) São eventos que não ocorrem simultaneamente. Ex: Cara e Coroa são eventos ME porque não podem ocorrer ao mesmo tempo (ou ocorre Cara ou Coroa).
Eventos Especiais 5. Eventos Independentes São eventos cuja a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Ex: Se lançarmos dois dados, o resultado do primeiro não afeta o segundo.
Conceitos Básicos Fenômeno Determinístico X Fenômeno Probabilístico
Fenômeno Determinístico C = 5F 160 9 Fenômeno Probabilístico
Fim da 2ª Sessão
Noção de Probabilidade Experimento Aleatório Resultados Possíveis Probabilidade [0,1]
Abordagem Freqüencial Considere o lançamento de uma moeda para observar a ocorrência de Cara. lim f ' ( A ) P(Cara) = n, onde f (A) é a freqüência relativa da ocorrência de Cara.
Abordagem Freqüencial # de lances realizados Freqüência de Caras absoluta relativa 20 8 0,40 60 32 0,53 90 48 0,53 100 52 0,52
Abordagem Freqüencial Total Caras # de Jogadas 1.00 muitas repetições! 0.75 0.50 0.25 0.00 0 25 50 75 100 125 # de Jogadas (n)
Abordagem Clássica # de casos favoráveis N[A] P(A) = = # de casos possíveis N[S] Exemplo: observar um Ás em um baralho de 52 cartas P(A) = 4 / 52 = 0,077
Abordagem Axiomática 1. A probabilidade do evento certo é 1 P(S) = 1 2. A probabilidade varia entre 0 & 1 0 P(A) 1 3. P(A B) = P(A) + P(B) se A e B forem mutuamente exclusivos
Probabilidade do Evento Complementar Evento A Espaço Amostra 5 S 3 A 2 1 A 6 4 Evento A A A = S
Regra da Adição 1. Usada para calcular a probabilidade da União de Eventos P(A OU B) = P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) 2. Para eventos mutuamente exclusivos: P(A OU B) = P(A B) = P(A) + P(B)
Regra da Adição - Diagrama de Venn B A S Evento (A B)
Probabilidade Condicional 1. Probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento tenha ocorrido P(A B) = P(A e B) P(B)
Probabilidade Condicional usando o Diagrama de Venn B Casos Possíveis A S B (S) Casos Favoráveis
Regra da Multiplicação 1. Usada para calcular a probabilidade da Interseção de Eventos 2. P(A e B) = P(A B) = P(A) * P(B A) = P(B) * P(A B) 3. Para Eventos Independentes: P(A e B) = P(A B) = P(A) * P(B)
Interseção de Eventos: Diagrama de Venn B A S A B
Independência A ocorrência de um evento NÃO afeta a ocorrência de outro evento Ex.: Lançar 1 moeda duas vezes P(A B) = P(A) P(A e B) = P(A) * P(B)