Temátca Crctos Eléctrcos Capítlo nálse de Crctos Lneares CICITOS ESISTIVOS INTODÇÃO Nesta secção apresentamse dversas metodologas para resolção de crctos lneares tas como o método geral, a smplfcação do crcto por assocação sére o paralelo, a sbsttção pelos dpolos eqvalentes de Thévenn e/o de Norton e o prncípo da sobreposção. presentamse anda algns casos partclares de resolção medata. Préreqstos: Les de Krchhoff Nvel : ases de Engenhara Electrotécnca Dração estmada: hora tor: Mara José esende, Francs Labrqe ealzação : Sophe Labrqe Este projecto é fnancado pela não Eropea no âmbto de ma acção SócratesMnerva. s nformações nele contdas são da exclsva responsabldade dos ses atores. não Eropea declna toda a responsabldade relatvamente ao se so.
. MÉTODO GEL O método geral para resolção de m crcto, consste na escrta e resolção de m conjnto de eqações qe relaconam as tensões e correntes presentes no crcto. Estas eqações são obtdas tanto através das les de Krchhoff, qanto das eqações característcas dos elementos presentes no crcto. Neste capítlo, os crctos resmrseão a crctos resstvos sto é, não serão analsados crctos contendo ndtâncas nem capacdades. Os passos a segr para aplcação deste método são: Contar o número de elementos n (fontes e resstêncas) presentes no crcto. Como a cada elemento, está assocada ma tensão e ma corrente, n elementos correspondem a n ncógntas a determnar, pelo qe serão necessáras n eqações lnearmente ndependentes. Escrever as n eqações característcas resltantes dos n elementos presentes no crcto (ver Componentes Elementares) Contar o número de nós, N, presentes no crcto (ver Le dos Nós) e escrever as N eqações lnearmente ndependentes qe resltam da aplcação da Le dos Nós. Pode mostrarse qe o número M de eqações lnearmente ndependentes resltantes da aplcação da Le das Malhas se relacona com o número de elementos e de nós através da relação M n N. Fnalmente, resolver o sstema composto pelas n ( N ) M eqações obtdas O sstema é formado por: n ( N ) M n ( N ) ( n N ) eqações lnearmente ndependentes e, portanto, sfcentes para determnar as ncógntas. n n Consderese o crcto representado na Fgra : 4 4 4 Fgra Crcto
Neste crcto exstem n 5 elementos (4 resstêncas e ma fonte de tensão) o qe eqvale a dzer qe exstem n 0 ncógntas a determnar; 5 tensões (,,,, 4 ) e 5 correntes (,,,, 4 ). s 5 eqações provenentes das característcas de cada elemento são: 4 4 4 Exstem N nós neste crcto, pelo qe se podem escrever N eqações lnearmente ndependentes através da Le do Nós: 4 Exstem M n N 5 eqações lnearmente ndependentes resltantes da aplcação da Le das Malhas. ma escolha possível para estas eqações é: Mas também podera ser: 4 4 4. SSOCIÇÃO DE ESISTÊNCIS Para certos crctos de redzda complexdade, por vezes, é mas smples tlzar eqvalêncas entre assocações de resstêncas em sére (ver Les dos Nós) e em paralelo (ver Les das Malhas), do qe resolver o crcto apenas com recrso ao método geral. esstêncas em Sére Consderese ma parte de m crcto onde das resstêncas sére, tal como se representa na fgra segnte. e estão lgadas em Fgra esstêncas em sére; dvsor de tensão Sendo a tensão aos termnas da sére, como se repartrá esta tensão por cada ma das resstêncas? Pela Le das Malhas obtémse:
tendendo à eqação característca de ma resstênca, reslta: Pela Le dos Nós obtémse, pelo qe: ( ) ( ) () o qe permte afrmar qe das resstênca em sére são eqvalentes a ma resstênca cjo valor corresponde à soma dos valores de cada ma. esstêncas em sére eq expressão () é eqvalente a: o qe permte conclr qe a tensão aos termnas de cada resstênca será então: e O racocíno anteror pode ser generalzado para n resstênca em sére, sendo a tensão aos termnas da resstênca k dada por: k k... n assocação de resstêncas representada na Fgra também se denomna de dvsor de tensão, ma vez qe a tensão aos termnas da sére se sbdvde pelas dversas tensões aos termnas das resstêncas. esstêncas em Paralelo Consderese ma parte de m crcto onde das resstêncas paralelo, tal como se representa na fgra segnte. e estão lgadas em Fgra esstêncas em paralelo; dvsor de corrente 4
5 Sendo a corrente qe crcla nesta assocação paralelo, como se repartrá esta corrente por cada ma das resstêncas? Pela Le dos Nós obtémse: tendendo à eqação característca de ma resstênca, reslta: Pela Le das Malhas obtémse, pelo qe: () o, o qe é eqvalente, o qe permte afrmar qe das resstênca em paralelo são eqvalentes a ma resstênca cjo nverso do valor corresponde à soma dos nversos dos valores de cada ma. esstêncas em paralelo eq expressão () é eqvalente a: o qe permte conclr qe a corrente em cada resstênca será então: e O racocíno anteror pode ser generalzado para n resstênca em paralelo, sendo a corrente na resstênca k dada por: n k k... assocação de resstêncas representada na Fgra também se denomna de dvsor de corrente, ma vez qe a corrente qe crcla no paralelo se sbdvde pelas dversas correntes nas resstêncas.
. DIPOLO DE THÉVENIN E DIPOLO DE NOTON O dpolo de Thévenn é consttído por ma fonte de tensão T em sére com ma resstênca T tal como representado na Fgra. T T Fgra Dpolo de Thévenn O dpolo de Norton é consttído por ma fonte de corrente N em paralelo com ma resstênca N tal como representado na Fgra 4. N N Fgra 4 Dpolo de Norton resolção de crctos através do so do dpolo de Thévenn o de Norton, consste na sbsttção de parte do crcto, pelo se eqvalente de Thévenn o de Norton. Exemplo de cálclo de m crcto com ma fonte de tensão Consderese o crcto representado na Fgra segnte e o respectvo dpolo de Thévenn, do ponto de vsta dos termnas : T x x x x x x T Fgra 5 Crcto com fonte de tensão e respectvo dpolo de Thévenn, relatvamente aos termnas 6
tensão T é a tensão qe estara aos termnas se aberto. x fosse sbsttído por m crcto T Pela relação do dvsor de tensão T é gal a: Fgra 6 Crcto aberto aos termnas T resstênca T é a resstênca vsta dos termnas, qando se anla a fonte de tensão, sto é, qando se sbstt a fonte de tensão por m crtocrcto. Fgra 7 Crcto aberto aos termnas Pela relação da assocação de resstêncas em paralelo T é gal a: T Exemplo de cálclo de m crcto com ma fonte de corrente Consderese o crcto representado na Fgra segnte e o respectvo dpolo de Norton, do ponto de vsta dos termnas : 7
T I x x x x x x T Fgra 8 Crcto com fonte de corrente e respectvo dpolo de Norton, relatvamente aos termnas tensão T é a tensão qe estara aos termnas se x fosse sbsttído por m crcto aberto. I T Fgra 9 Crcto aberto aos termnas tensão T é gal a: T I resstênca T é a resstênca vsta dos termnas, qando se anla a fonte de corrente, sto é, qando se sbstt a fonte de corrente por m crcto aberto. Nestas condções T é gal a: Fgra 0 Crcto aberto aos termnas T Passar do eqvalente de Thévenn ao eqvalente de Norton 8
Por comparação dos dos eqvalentes, faclmente se passa de m para o otro. T x x x T x x x N N Fgra Eqvalente de Thévenn e eqvalente de Norton Do eqvalente de Thévenn pode obterse a expressão: T x x T T Do eqvalente de Norton pode obterse a expressão: x x N T Como, do ponto de vsta dos termnas, os dos crctos são eqvalentes, conclse qe: x N e N T T O método de resolção de crctos através dos eqvalentes de Thévenn e de Norton é partclarmente nteressante qando se qer conhecer a tensão e corrente aos termnas de m determnado elemento, sem qe para sso se tenha de resolver todo o crcto. Podese sempre calclar o eqvalente de Thévenn o de Norton, excepto em dos casos partclares: Se o eqvalente de Thévenn se redz a ma fonte de tensão deal, não exste eqvalente de Norton Se o eqvalente de Norton se redz a ma fonte de corrente deal, não exste eqvalente de Thévenn No entanto, estes casos partclares, correspondem a crctos para os qas não exste necessdade de calclar os eqvalentes de Thévenn o de Norton, pos tratamse de crctos onde todos os elementos estão em sére o todos em paralelo. 4. PINCÍPIO D SOEPOSIÇÃO O prncípo da sobreposção é partclarmente útl para resolver crctos qe contenham váras fontes (de tensão e/o de corrente). 9
Consste em resolver o crcto para cada ma das fontes ndvdalmente (estando todas as otras deslgadas ) e somar as solções ndvdas assm obtdas, de forma a obter a solção do crcto resltante da acção de todas as fontes. Salentese qe ma fonte de tensão deslgada é eqvalente a m crtocrcto e ma fonte de corrente deslgada corresponde a m crcto aberto. Consderese o crcto representado na Fgra. Pretendese determnar a corrente tlzando o método da sobreposção. Fgra Crcto Exemplfcatvo Deslgando a fonte de tensão, a confgração do crcto é a representado na Fgra. Fgra Crcto exemplfcatvo com a fonte de tensão deslgada (em crtocrcto) tlzando a relação do dvsor de corrente (ver ssocação de esstêncas) obtémse: Deslgando a fonte de corrente, a confgração do crcto é a representado na Fgra 4. 0
Fgra 4 Crcto exemplfcatvo com a fonte de corrente deslgada (em crcto aberto) tlzando a relação do dvsor de tensão e da assocação em sére e paralelo das resstêncas (ver ssocação de esstêncas), a tensão aos termnas de é: ( ) Como a eqação característca de é, obtémse: ( ) corrente resltante da acção das das fontes será, então: ( ) 5. LGNS CSOS PTICLES Crcto com ma fonte de tensão e com todos os elementos em sére
Todos os elementos são percorrdos pela mesma corrente Pelo qe as tensões aos termnas das resstêncas são: Crcto com ma fonte de tensão e com todos os elementos em paralelo Todos os elementos estão sbmetdos à mesma tensão plcando a Le dos Nós a corrente será: Crcto com ma fonte de corrente e com todos os elementos em sére I Todos os elementos são percorrdos pela mesma corrente I ) I ( Pelo qe as tensões aos termnas das resstêncas são:
I I I Crcto com ma fonte de corrente e com todos os elementos em paralelo I Todos os elementos estão sbmetdos à mesma tensão I Pelo qe as correntes em cada ma das resstêncas são: