ANÁLISE DE CIRCUITOS

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1 UNIVESIDDE D BEI INTEIO DEPTMENTO DE ENGª EETOMEÂNI NÁISE DE IUITOS PONTMENTOS DS US TEÓIS JOÃO PUO D SIV TÃO FEVEEIO 9

2 Índce apítulo Defnções e Undades.... Sstema Internaconal de Undades.... arga Eléctrca orrente Eléctrca Tensão Eléctrca Potênca e Energa...6 apítulo es Expermentas e rcutos Smples...7. Elementos Eléctrcos...7. es de Krchhoff....3 rcutos com uma só malha rcutos com apenas um par de nós Dualdade ssocações de Elementos Transformação Trângulo-Estrela Dsor de Tensão e Dsor de orrente...9 apítulo 3 Técncas Smples de nálse de rcutos Número de Equações Independentes Método dos Nós Método das Malhas neardade e Sobreposção...5

3 apítulo 4 Técncas de Smplfcação de rcutos Fonte de Tensão e Fonte de orrente eas Fontes Equalentes Teoremas de Théenn e de Norton Transferênca Máxma de Potênca...36 apítulo 5 mplfcador Operaconal aracterístcas Ideas do mplfcador Operaconal aracterístcas eas do mplfcador Operaconal rcuto Inersor rcuto Não Inersor...44 apítulo 6 Snas Função Escalão Untáro Função Impulso Untáro Função ampa Untára Função Exponencal Função Snusodal...47 apítulo 7 apacdade e uto-indução ondensador Bobna...5

4 apítulo 8 rcutos de Prmera Ordem rcutos e Smples rcutos Dferencador e Integrador esposta ompleta de rcutos e...58 apítulo 9 rcutos de Segunda Ordem rcuto...6

5 Defnções e Undades apítulo Defnções e Undades. Sstema Internaconal de Undades Undades Báscas (7) m (metro) dstânca kg (qulograma) massa s (segundo) tempo (mpere) corrente eléctrca K (Keln) temperatura mol (mole) quantdade de matéra cd (candela) ntensdade lumnosa Undades Suplementares () rad (radano) ângulo plano sr (esterradano) ângulo sóldo lgumas egras Não se dee usar plural dos nomes (ou dos símbolos). Os símbolos de undades com nomes de pessoas deem ser escrtos com letras maúsculas, mas o nome da undade não necessaramente.

6 Defnções e Undades Nota O caso do kg (qulograma) é sngular pos é a undade básca do SI para massa e é múltplo de uma outra undade, o g (grama), que fo a undade básca de massa do sstema GS, que o SI eo a substtur. Múltplos e Submúltplos deca (da) dec (d) hecto (h) qulo (k) cent (c) 3 ml (m) 3 mega (M) 6 mcro (μ ) 6 gga (G) tera (T) peta (P) exa (E) zeta (Z) yota (Y) 9 nano (n) pco (p) 5 fento (f) 8 ato (a) zepto (z) 4 yocto (y) lguns Exemplos e ontra-exemplos h h. hs mm μ TJ km 6 m, nm, e não, mμ m (não se dee usar mas de um prefxo) GHz, e não kmhz (não se dee usar mas de um prefxo) μ m, e não μ (um prefxo assoca-se sempre a uma undade) kg, e não k (um prefxo assoca-se sempre a uma undade) m/s ou m.s -, mas não m/s/s N.m ou Nm

7 Defnções e Undades Undades usadas no SI sem lhe pertencerem mn (mnuto) 6 s h (hora) 6 mn 36 s d (da) 4 h 864 s º (grau) ( π /8) rad (mnuto) (/6)º ( π /8) rad (segundo) (/6) ( π /648) rad l, (ltro) dm 3-3 m 3 t (tonelada) 3 kg Undades deradas do SI (usadas em nálse de rcutos) Hz (Hertz) s - p/ frequênca N (Newton) kg.m/s p/ força J (Joule) N.m p/ trabalho, energa W (Watt) J s - p/ potênca V (Volt) J/ p/ tensão ou dferença de potencal Ω (Ohm) V/ p/ resstênca eléctrca (Mho) Ω - p/ condutânca eléctrca (oulomb).s p/ quantdade de energa eléctrca H (Henry) V.s / J/ p/ ndutânca eléctrca F (Farad) /V 3 s / J p/ capactânca eléctrca. arga Eléctrca É uma propredade ntrínseca da matéra. epresenta a quantdade de electrcdade responsáel por fenómenos eléctrcos. Undade: (oulomb) em homenagem a harles oulomb, centsta francês (736-86); carga de um electrão,6 9 ; pelo que, representa a carga combnada de cerca de 6,4 8 electrões. Símbolo: Q (quando não ara no tempo); q ou q(t) (quando ara no tempo). 3

8 Defnções e Undades Tem magntude e polardade ( ou - ); cargas guas repelem-se, cargas dferentes atraem-se. arga eléctrca em momento representa uma corrente eléctrca..3 orrente Eléctrca Taxa de aração, no tempo, da carga eléctrca que passa por um determnado ponto de referênca. Undade: (mpere) em homenagem a ndré-mare mpere, centsta francês ( ). Símbolo: (t) dq (t) /s d t Tem magntude e sentdo. 3-3 (a seta ndca o sentdo do fluxo de corrente) elação carga - corrente eléctrca: carga eléctrca transferda entre os nstantes t e t pode ser expressa como q(t) q(t ) q t t t t dt carga eléctrca total transferda ao longo de todo o tempo é obtda t q(t) dt q(t) t lguns tpos de corrente eléctrca: (t) t orrente contínua (corrente que crcula sempre no mesmo sentdo com uma ntensdade constante) 4

9 Defnções e Undades (t) t orrente alternada (corrente de sentdo aráel).4 Tensão Eléctrca onsdere o segunte elemento: Termnal corrente pode entrar ou sar de um elemento por dos camnhos dferentes: de para B; de B para. Termnal B tensão eléctrca é o trabalho (ou energa) necessáro para moer uma carga posta de atraés do elemento, de um termnal para o outro. Undade: V (Volt) Símbolo: V ou (t) d w (t) V J/ dq Tem magntude e drecção. Pode ser posta ou negata. - B B B - B B - os snas e -, ou a seta, ndcam o sentdo posto da dferença de potencal 5

10 Defnções e Undades energa dspendda para fazer a corrente passar pelo elemento pode manfestar-se de áras formas: armazenada para ser usada (bateras); calor (resstêncas); energa acústca; luz (lâmpadas)..5 Potênca e Energa (t) (t) - B Potênca: p (t) (t) (t) ou p Undade: W (Watt) em homenagem a James Watt, nentor escocês (736-89). potênca mede a taxa de aração, no tempo, da energa transformada. d w d w dq p (t). W J/s d t dq d t onenção passa: Se a corrente atraessa o elemento de para B, a tensão crada a ter o pólo posto em, e o pólo negato em B; neste caso, a potênca p dz-se como sendo absorda pelo elemento, se for posta; de outro modo, dz-se que a potênca é fornecda pelo elemento. - - p potênca absorda ( ) potênca absorda p p potênca fornecda 6

11 es Expermentas e rcutos Smples apítulo es Expermentas e rcutos Smples. Elementos Eléctrcos Elementos ctos São elementos que, normalmente, fornecem potênca para outros elementos do crcuto. Exemplos: Fontes de Tensão; Fontes de orrente. Elementos Passos São elementos que absorem potênca. Exemplos: esstêncas. Fonte de Tensão (deal) s tensão nos termnas do elemento (.e., da fonte de tensão) é totalmente ndependente da corrente que passa por ele. Portanto, se s (t) t V, então, em t s, s (t) V; em t s, s (t) 4 V, seja qual for o fluxo de corrente que passa pelo elemento. Potênca fornecda pela fonte de tensão: p s Fonte de tensão constante ou batera 6 V ou 6 V 7

12 es Expermentas e rcutos Smples V V batera está a fornecer batera está a absorer 4 W de potênca 4 W de potênca (descarregar) (recarregar) Fonte de orrente (deal) s corrente que atraessa o elemento (.e., a fonte de corrente) é totalmente ndependente da dferença de potencal nos seus termnas. Se s é constante fonte de corrente contínua. esstênca e de Ohm: esstênca constante de proporconaldade Undade: Ω (Ohm) em homenagem a George Smon Ohm, físco alemão ( ); Ω V/. Potênca absorda pela resstênca: p / Um curto-crcuto corresponde a uma resstênca nula fo deal; um crcuto aberto corresponde a uma resstênca nfnta. 8

13 es Expermentas e rcutos Smples ódgo de cores para as resstêncas: os alores das resstêncas dsponíes no mercado são dentfcados por um conjunto de rscas colordas obedecendo a uma codfcação pré-defnda. Tolerânca 3ª cor ª cor ª cor or ª e ª or Preto astanho Vermelho aranja 3 marelo 4 Verde 5 zul 6 Voleta 7 nzento 8 Branco 9 or Prateado Dourado 3ª or (nº de zeros) Tolerânca % 5% ondutânca /G condutânca é o nerso da resstênca: G / Undade: (Mho) ou S (Semens) Ω - e de Ohm fca: G ; potênca absorda pela resstênca: p G / G lgação de dos ou mas elementos denomna-se rede. Se a rede possu pelo menos um camnho fechado, de modo a que a corrente eléctrca possa flur contnuamente, denomna-se crcuto eléctrco. Portanto, todo o crcuto é uma rede, mas nem toda a rede é um crcuto. rede que possu pelo menos um elemento acto denomna-se rede acta. Se a rede não contém qualquer elemento acto denomna-se rede passa. 9

14 es Expermentas e rcutos Smples Um nó é um ponto onde dos ou mas elementos se conectam. Uma malha ou crculação é um percurso fechado quando nós amos de nó em nó, começando e acabando no mesmo nó. Um ramo é um camnho com apenas um elemento. Ou seja, um ramo consste em um elemento e os dos nós (um em cada termnal). Um camnho é um percurso sem repetr o mesmo nó. Uma malha ndependente é uma malha que não nclu no seu nteror nenhuma outra crculação. Um grafo orentado do crcuto consste num redesenho do crcuto com cada ramo substtuído por uma lnha que contém apenas o sentdo da corrente segundo a conenção passa. 3 Fontes Dependentes Uma fonte dependente fornece uma tensão/corrente de saída que depende de alguma outra aráel do crcuto. ssm, podemos ter: s s s s α β γ δ onde,, e são tensões e correntes em outra parte do crcuto. segunte notação também pode ser usada: s s s s α β γ δ

15 es Expermentas e rcutos Smples aracterístcas Tensão-orrente esstênca Díodo tg θ / θ O díodo permte efectuar a rectfcação da corrente eléctrca. O díodo dexa passar a corrente num dos sentdos e mpede a sua passagem em sentdo nerso. partr de um dado alor posto da tensão o díodo começa a conduzr, mas não de uma forma lnear. Fonte de Tensão (deal) Fonte de orrente (deal) U I I U

16 es Expermentas e rcutos Smples. es de Krchhoff s duas es de Krchhoff são as ferramentas báscas para a análse de crcutos, e as suas aplcações smplfcam esta análse. Geralmente faz-se uso dessas les para encontrar correntes e tensões desconhecdas. e dos Nós (K) Baseada na conseração de cargas,.e., não há acréscmo ou desaparecmento de cargas num nó; no nó a carga é constante: B B D soma das correntes que entram em D um nó é gual à soma das correntes que saem desse mesmo nó Equalentemente: (consderando postas as correntes B D ou (ce-ersa) B D que entram e negatas as que saem) Ou seja, a e dos Nós fca: N n n e das Malhas (KV) conseração da energa requer que por qualquer percurso fechado, ou malha, a soma algébrca das tensões seja gual a zero: Ou seja, a e das Malhas fca: N n n

17 es Expermentas e rcutos Smples.3 rcutos com uma só malha onsdere o segunte crcuto smples, com uma só malha (): () s resstêncas nos fos são desprezáes ou estão ncluídas nas resstêncas e. Os alores de,, e são conhecdos. Pretende-se determnar: tensões e ; corrente que passa por cada elemento; potênca absorda por cada elemento. Pelas e dos Nós, a corrente é a mesma para todos os elementos deste crcuto. Pelo que, Elementos em Sére têm a "mesma" corrente. plcando a e das Malhas (consderando o sentdo dos ponteros do relógo como sendo posto), e a e de Ohm, obtém-se: Se 3 Ω, 5 Ω, V, 3 V, então:, 6 V, 3 V. Potênca absorda pela fonte de V: Potênca absorda pela fonte de 3 V: p ( ) 4 W (fornece 4 W) p 3 6 W Potênca absorda pela resstênca de 3 Ω : 6 W p ou p 3 W Potênca absorda pela resstênca de 5 Ω : 3 6 W p ou p 5 6 W Potênca total absorda pelos 4 elementos do crcuto: W É mportante obserar que se a corrente tesse sdo escolhda com o sentdo contráro, sso não ra alterar as respostas obtdas: o resultado sera o mesmo. 3

18 es Expermentas e rcutos Smples.4 rcutos com apenas um par de nós onsdere o segunte crcuto smples, com apenas um par de nós (-B): G G G G B Os alores de,, G e G são conhecdos. Pretende-se determnar: correntes G e G ; tensão nos termnas de cada elemento; potênca absorda por cada elemento. Pelas e das Malhas, a tensão é a mesma para todos os elementos deste crcuto. Pelo que, Elementos em Paralelo têm a "mesma" tensão. plcando a e dos Nós (consderando, para o nó, postas as correntes que entram e negatas as que saem), e a e de Ohm, obtém-se: G G G G G G Se G 3 Ω, G 5 Ω,, 3, então: V, G 6, G 3. Potênca absorda pela fonte de : Potênca absorda pela fonte de 3 : Potênca absorda pela condutânca de p ( ) 4 W (fornece 4 W) p 3 6 W 3 Ω : 6 W p G ou p G 3 W Potênca absorda pela resstênca de 5 Ω : 3 6 W p G ou p G 5 6 W Potênca total absorda pelos 4 elementos do crcuto: W É mportante obserar que se a tensão tesse sdo escolhda com a polardade contrára, sso não ra alterar as respostas obtdas: o resultado sera o mesmo. 4

19 es Expermentas e rcutos Smples.5 Dualdade O estudo de um crcuto smples está sempre lgado a uma dualdade. De facto, se substturmos correntes por tensões (e ce-ersa), resstêncas por condutâncas (e ce-ersa), par de nós por malha únca (e ce-ersa), e dos Nós por e das Malhas (e ce-ersa), paralelo por sére (e ce-ersa), obtemos num e noutro caso as mesmas equações, as mesmas conclusões e até os mesmos resultados numércos. Esta propredade que acompanha permanentemente a análse de crcutos desgna-se por dualdade. dualdade ajuda-nos a melhor compreender e assmlar as técncas de análse de crcutos..6 ssocações de Elementos esstêncas em Sére 3 3 plcando a e das Malhas e a e de Ohm, obtém-se: 3 3 ( 3) eq Portanto, as resstêncas em sére (, e 3 ) podem ser substtuídas no crcuto por: eq 3 De forma geral, a resstênca equalente a um conjunto de resstêncas em sére é dada por: I eq 5

20 es Expermentas e rcutos Smples Fontes de Tensão (deas) em Sére s fontes de tensão em sére também podem ser combnadas, deendo-se ter em conta a polardade da tensão. onsdere, por exemplo, o segunte crcuto: 3 Este crcuto pode ser representado, de manera equalente, por: eq sendo: eq 3 esstêncas em Paralelo 3 3 plcando a e dos Nós e a e de Ohm, obtém-se: eq 6

21 es Expermentas e rcutos Smples Portanto, as resstêncas em paralelo (, e 3 ) podem ser substtuídas no crcuto por: eq 3 Em termos de condutânca, têm-se: G eq G G G3 De forma geral, a resstênca equalente a um conjunto de resstêncas em paralelo é dada por: eq I No caso partcular de apenas duas resstêncas em paralelo, tem-se: eq Fontes de orrente (deas) em Paralelo s fontes de corrente em paralelo também podem ser combnadas, deendo-se ter em conta o sentdo da corrente. onsdere, por exemplo, o segunte crcuto: 3 Este crcuto pode ser representado, de manera equalente, por: eq sendo: eq 3 7

22 es Expermentas e rcutos Smples 8 B α α β γ β γ 3.7 Transformação Trângulo-Estrela Trângulo Estrela ( ) B // β α β α ( ) B // γ β 3 γ β ( ) B // γ α 3 γ α Para que os dos crcutos sejam equalentes, tem-se que: ( ) B B ( ) 3 B B ( ) 3 B B ssm, uma lgação em trângulo pode ser substtuída por uma lgação em estrela, e ce-ersa, atendendo a que: B B 3 3 B B 3 3 B B 3

23 es Expermentas e rcutos Smples s relações anterores podem ser obtdas pelas duas regras seguntes: Transformação Υ Δ : Qualquer resstênca do trângulo é gual à soma dos produtos, dos a dos, das resstêncas da estrela, ddda pela resstênca da estrela que lhe é oposta. Transformação Δ Υ : Qualquer resstênca da estrela é gual ao produto das duas resstêncas adjacentes do trângulo, dddo pela soma das três resstêncas do trângulo..8 Dsor de Tensão e Dsor de orrente Dsor de Tensão plcando a e de Ohm, obtém-se: resstênca equalente é dada por: eq ogo: eq De forma semelhante: Dsor de orrente 9

24 es Expermentas e rcutos Smples plcando a e de Ohm, obtém-se: resstênca equalente é dada por: eq ogo: eq ou G G G De forma semelhante: ou G G G

25 Técncas Smples de nálse de rcutos apítulo 3 Técncas Smples de nálse de rcutos 3. Número de Equações Independentes onsdere um determnado crcuto em que: N nº de nós B nº de ramos nº de elementos rcuto Planar Se é possíel desenhar o dagrama do crcuto numa superfíce plana de tal forma que nenhum ramo cruze outro ramo. Teorema Exstem exactamente ( N ) equações ndependentes extraídas da e dos Nós aplcada em ( N ) nós do crcuto. Teorema Todas as tensões nos ramos podem ser expressas em termos de apenas ( N ) tensões nodas ndependentes. Teorema 3 Exstem exactamente ( B N ) Malhas aplcada em ( B N ) equações ndependentes extraídas da e das malhas do crcuto. Se o crcuto é planar, então corresponde ao número de malhas ndependentes.

26 Técncas Smples de nálse de rcutos Teorema 4 Todas as correntes nos ramos podem ser expressas em termos de apenas ( B N ) correntes de malha ndependentes. Um crcuto pode ser resoldo por um sstema de ( N ) equações, se usarmos o Método dos Nós, ou por um sstema de ( B N ) equações, se usarmos o Método das Malhas. Ou seja, dependendo da topologa do crcuto, pode ser mas fácl resolê-lo pelo Método dos Nós ou pelo Método das Malhas. Estes métodos são segudamente descrtos em mas pormenor. 3. Método dos Nós Um crcuto com N nós terá ( N ) tensões nodas como ncógntas e ( N ) equações. onsdere, por exemplo, o segunte crcuto com 3 nós: 5 Ω 3 Ω Ω Vamos enumerar os nós e defnr tensões nodas como ncógntas: é a tensão entre os nós e 3; é a tensão entre os nós e 3. ssm, o nó 3 é desgnado por nó de referênca, o que nos permtrá smplfcar a representação das tensões no crcuto. 5 Ω 3 Ω Ω

27 Técncas Smples de nálse de rcutos tensão entre os nós e é dada por: ( ); a tensão entre os nós e é dada por: ( ); a tensão entre os nós 3 e é dada por: ; a tensão entre os nós 3 e é dada por:. plcando a e dos Nós para os nós e, temos: ( ) 5 ( ) 5 3 ou seja:,7,,, 3 o que dá o segunte resultado: 5 V ;,5 V e a tensão entre os nós e é: ( ),5 V gora qualquer corrente ou potênca assocadas com elementos deste crcuto podem ser determnadas. Por exemplo, a corrente na resstênca de,5 Ω é dada por: sendo a potênca absorda pela resstênca de p,5 W Ω dada por: 3

28 Técncas Smples de nálse de rcutos 3.3 Método das Malhas Um crcuto com N nós e B ramos/elementos terá ( B N ) como ncógntas e ( B N ) crcuto com malhas ndependentes: correntes de malha equações. onsdere, por exemplo, o segunte 6 Ω 4 Ω 4 V 3 Ω V Neste crcuto tem-se B 5 e N 4, pelo que,. Vamos defnr correntes de malha como ncógntas: é a corrente na malha da esquerda; é a corrente na malha da dreta. 6 Ω 4 Ω 4 V 3 Ω V corrente na resstênca de a corrente na resstênca de 3 Ω, no sentdo descendente, é dada por: ( ); 3 Ω, no sentdo ascendente, é dada por: ( ). Pelo que, a corrente de ramo é a combnação algébrca das correntes de malha que passam nesse ramo. plcando a e das Malhas para as duas malhas ndependentes deste crcuto temos: 4 3 ( ) ( ) 4

29 Técncas Smples de nálse de rcutos ou seja: o que dá o segunte resultado: 6 ; 4 e a corrente na resstênca de ( ) 3 3 Ω, no sentdo descendente, é dada por: gora qualquer tensão ou potênca assocadas com elementos deste crcuto podem ser determnadas. Por exemplo, a tensão na resstênca de V 3 Ω é dada por: sendo a potênca absorda pela resstênca de p W 3 Ω dada por: 3.4 neardade e Sobreposção Um crcuto lnear que contenha duas ou mas fontes ndependentes pode ser analsado para obter as áras tensões e correntes nos ramos fazendo com que as fontes actuem uma de cada ez e daí sobrepondo os resultados. O Prncípo da Sobreposção afrma então que a resposta (uma determnada corrente ou tensão) em qualquer elemento de uma rede lnear, contendo mas de uma fonte, pode ser obtda pela soma das respostas produzdas por cada fonte actuando soladamente. Este prncípo aplca-se dedo à relação lnear entre corrente e tensão. 5

30 Técncas Smples de nálse de rcutos Fontes de tensão que são suprmdas, enquanto uma únca fonte actua, são substtuídas por curto-crcutos. Fontes de corrente que são suprmdas, enquanto uma únca fonte actua, são substtuídas por crcutos abertos. sobreposção não pode ser drectamente aplcada ao cálculo da potênca, sto que, a potênca é proporconal ao quadrado da corrente ou ao quadrado da tensão, não sendo assm lnear. onsdere, por exemplo, o segunte crcuto com 3 nós: 5 Ω a Ω Ω b plcando a e dos Nós para os nós e, temos: ( ) ( ) 5 5 a b ou seja:,7,,, a b e a solução destas equações dá-nos as tensões e. Estas mesmas equações, e portanto, o mesmo resultado sera obtdo se resolêssemos o problema separadamente com a (crcuto aberto), e depos com b (crcuto aberto), e fnalmente somássemos. 6

31 Técncas Smples de nálse de rcutos Para a : Para b : ' ' ' '' '' '' ( ) ( ) ' ' ' ( ) 5 5 b '' 5 '' '' ( ) 5 a ou seja: ou seja:,7 ', ', ', ' b,7 '', '', '', '' a o que nós dará ' e ' o que nós dará '' e '' s tensões e do crcuto completo podem ser obtdas somando-se: e ' '' ' '' e sto pode ser erfcado somando-se as equações anterores:,7, ' '' ' '' ( ), ( ) ' '' ' '' ( ), ( ) que é o sstema de equações do crcuto completo. a b 7

32 Técncas de Smplfcação de rcutos apítulo 4 Técncas de Smplfcação de rcutos 4. Fonte de Tensão e Fonte de orrente eas onsdere a fonte de tensão deal de V abaxo ndcada: V Se k Ω, Se Ω Se m Ω Se µ Ω Na prátca, no mundo físco real, não exste uma fonte que se comporte desta forma. Na prátca, somente para correntes ou potêncas relatamente pequenas é que a fonte se comporta como deal. Fonte de Tensão (real), Ω V consdera-se uma resstênca em sére, embutda, que absore parte da tensão que a para a carga. 8

33 Técncas de Smplfcação de rcutos V fonte deal 6 V fonte real,,,3,4,5 Neste exemplo, quando a carga é gual à resstênca nterna de, Ω, a tensão de V dde-se em 6 V para a resstênca nterna e 6 V para a carga. Portanto, na prátca, representa-se uma fonte de tensão real como uma fonte de tensão deal com uma resstênca nterna : s Fonte de Tensão arga s s pelo que, quando anda, s Uma fonte de corrente deal também não exste. Na prátca, a corrente que a para a carga a decrescendo à medda que a carga aumenta. 9

34 Técncas de Smplfcação de rcutos Fonte de orrente (real) s ' consdera-se uma resstênca em paralelo, embutda, que absore parte da corrente que a para a carga. fonte deal s s fonte real ' ' 3 ' 4 ' 5 ' ' ' s pelo que, s quando ' anda, ' ' s 4. Fontes Equalentes Duas fontes são equalentes se elas produzem correntes e tensões dêntcas, e portanto potêncas dêntcas, para qualquer carga lgada aos seus termnas. 3

35 Técncas de Smplfcação de rcutos ssm, para cargas guas, a fonte de tensão e a fonte de corrente reas são equalentes se: s ' ' s ou s ' ' s então: ' e s s Por exemplo: Ω 6 V é equalente a: 3 Ω orrente de urto-rcuto ( ): cc cc s s Se forçarmos que seja gual para as duas fontes, tem-se: s cc s, ou seja, s s Tensão de rcuto berto ( ): s ca s ca Se forçarmos que seja gual para as duas fontes, tem-se: ca s s 3

36 Técncas de Smplfcação de rcutos 4.3 Teoremas de Théenn e de Norton Os Teoremas de Théenn e de Norton permtem realzar uma análse parcal do crcuto, nomeadamente, determnar a corrente, a tensão e a potênca absorda por uma smples resstênca. O Teorema de Théenn dz que é possíel substtur tudo menos a resstênca por um crcuto equalente que contém apenas uma fonte de tensão em sére com uma resstênca. onsdere, por exemplo, o segunte crcuto: 3 Ω 7 Ω V 6 Ω B Se transformarmos prmero a fonte de V com a resstênca de 3 Ω em sére temos o crcuto: 7 Ω 4 3 Ω 6 Ω B gora transformando a fonte de 4 com a resstênca de Ω (3 Ω // 6 Ω) em paralelo temos o crcuto: Ω 7 Ω 8 V B 3

37 Técncas de Smplfcação de rcutos O crcuto anteror equale a: 9 Ω 8 V B ou seja, a parte do crcuto orgnal fo substtuída por uma fonte de tensão (8 V) em sére com uma resstênca (9 Ω) crcuto Equalente-Théenn. Do ponto de sta da carga o crcuto Equalente-Théenn é equalente à parte do crcuto orgnal. tensão em e a potênca absorda são dadas por: 9 8 p Se (crcuto aberto), 8 V. O Teorema de Norton é semelhante ao Teorema de Théenn, na erdade é um coroláro deste. Dz que é possíel substtur tudo menos a resstênca por um crcuto equalente que contém apenas uma fonte de corrente em paralelo com uma resstênca. onsderando o exemplo anteror, tem-se: Ω B 33

38 Técncas de Smplfcação de rcutos ou seja, a parte do crcuto orgnal fo substtuída por uma fonte de corrente (8/9 ) em paralelo com uma resstênca (9 Ω) crcuto Equalente-Norton. Do ponto de sta da carga o crcuto Equalente-Norton é equalente à parte do crcuto orgnal. corrente em é dada por: Se (curto-crcuto), 8/9. ssm, tem-se que: Qualquer rede lnear acessíel atraés de dos termnas pode ser substtuída por um crcuto equalente à rede orgnal, consstndo em uma fonte de tensão ( ca ) em sére com uma resstênca ( Th ) Equalente de Théenn. Qualquer rede lnear acessíel atraés de dos termnas pode ser substtuída por um crcuto equalente à rede orgnal, consstndo em uma fonte de corrente ( cc ) em paralelo com uma resstênca ( Th ) Equalente de Norton. O Equalente de Théenn é dado por: Th ca em que ca é a tensão de crcuto aberto, e O Equalente de Norton é dado por: Th é a resstênca de Théenn. cc Th em que cc é a corrente de curto-crcuto, e Th é a resstênca de Théenn. 34

39 Técncas de Smplfcação de rcutos ssm, o Equalente de Théenn e o Equalente de Norton podem ser obtdos um a partr do outro por transformação da fonte: ca Th cc resstênca de Théenn, Th, é a resstênca equalente obtda quando todas as fontes são suprmdas (as fontes de tensão são substtuídas por curto-crcutos, enquanto que as fontes de corrente são substtuídas por crcutos abertos). No caso de redes onde exstem fontes ndependentes e dependentes, ser calculada atraés de: cc, sendo Th apenas pode ca Th. Pelo que, neste caso é necessáro determnar ca cc obtda pela equação anteror. Th e No caso de redes onde exstem apenas fontes dependentes, consderando: Uma fonte externa de corrente de nos termnas da rede: Th pode ser calculada ede sendo Th Uma fonte externa de tensão de V nos termnas da rede: ede V sendo Th 35

40 Técncas de Smplfcação de rcutos No caso anteror (apenas fontes dependentes), o Equalente de Théenn não tem fonte de tensão ( ac ), e o Equalente de Norton não tem fonte de corrente ( cc ). Ou seja, ambos os Equalentes de Théenn e de Norton são consttuídos apenas por Th. 4.4 Transferênca Máxma de Potênca onsdere o segunte crcuto: Th ca potênca absorda pela resstênca é dada por: p O alor da resstênca para o qual a potênca absorda é máxma é determnado atraés de: p ( ) Sendo ca tem-se que: Th ca Th ca ( ) Th ( Th ) ( ) Th 4 ( ) ( ) ( ) Th Th Th 3 36

41 Técncas de Smplfcação de rcutos 3 ( ) ( ) Th Th Th Th Th Pelo que, a transferênca máxma de potênca ocorre quando Th potênca máxma é então dada por: ca ca p Th p Th p Th p Th Th Th 4 Th Th ca p 4 ca Th p 4 ca Th Th 37

42 mplfcador Operaconal apítulo 5 mplfcador Operaconal 5. aracterístcas Ideas do mplfcador Operaconal O mplfcador Operaconal (MPOP) é um crcuto ntegrado acto com ganho eleado. O MPOP pode ser sto como uma fonte dependente de tensão, em que a tensão de saída é a amplfcação da "tensão-dferença" de entrada. lmentação (5V) Entrada nersora Entrada não nersora o o lmentação (5V) ( ), sendo o ganho do MPOP O MPOP deal tem as seguntes característcas: esstênca de entrada nfnta ( ); esstênca de saída nula ( o ); Ganho de tensão nfnto ( ); argura de banda nfnta (BW );.e., o MPOP responde gualmente para todas as frequêncas, sendo o ganho ndependente da frequênca; Tensão de offset nula;.e., quando Drft nulo;.e., quando Tempo de resposta nulo. te c tem-se que ( ) tem-se que o ; te o c ; 38

43 mplfcador Operaconal Destas característcas deas podemos deduzr duas propredades muto mportantes: Tensão dferencal de entrada nula ( ); orrente nos termnas de entrada nula ( e ). prmera propredade determna que os termnas de entrada estão ao mesmo potencal,.e., em curto-crcuto. ontudo, a segunda propredade faz o curto-crcuto como não condutor de corrente, ou como sendo um crcuto aberto. Pelo que, dz-se um curto-crcuto rtual, sendo um conceto muto mportante na análse de crcutos com MPOP s. 5. aracterístcas eas do mplfcador Operaconal No MPOP real nem a resstênca de entrada é nfnta nem a resstênca de saída é nula. Tpcamente, a resstênca de entrada apresenta alores que ão desde alguns M Ω até aos T Ω, enquanto a resstênca de saída apresenta alores que ão desde algumas centenas de Ω até apenas alguns Ω. O ganho a que se referu anterormente é o chamado ganho em malha aberta,.e., o ganho do amplfcador em s. O alor do ganho pode ser modfcado por conenentes lgações exterores, obtendo-se nesse caso o chamado ganho em malha fechada. Obamente um ganho nfnto não é possíel, mas esse ganho é efectamente muto eleado: tpcamente, entre e. nda, dee notar-se que a tensão de saída é lmtada pela tensão de almentação: não podemos ter uma tensão de saída com uma ampltude maor do que a. Os alores de são, em geral, nferores a V: tpcamente 5 V. Quando a tensão de saída atnge ou ela satura e aí permanece, e quanto maor for o ganho mas depressa satura. 39

44 mplfcador Operaconal Por exemplo, seja 5 e a tensão de almentação ± 5 V. máxma aração permtda à tensão de entrada, antes de se entrar em saturação, é portanto neste caso dada por: 5 5,5 mv Se o ganho fosse 4, a tensão de entrada já podera ser ezes superor,.e.,,5 mv. Portanto, para se ter um funconamento lnear de um MPOP, a tensão de entrada tem que ser da ordem dos mv. Segudamente, é apresentada a característca de transferênca de um MPOP,.e., o traçado da tensão de saída em função da tensão de entrada: o Saturação posta decle da recta (Ganho) Saturação negata Zona de funconamento lnear < ( ) ; zona de funconamento lnear; > ; MPOP saturado postamente; < ; MPOP saturado negatamente. 4

45 mplfcador Operaconal O ganho do MPOP pode traduzr-se numa dstorção do snal à entrada, sendo tanto maor essa dstorção quanto maor for o ganho. ontudo, o alor do ganho poderá ser controlado medante lgações externas, dando assm ao MPOP maor flexbldade. No MPOP real a largura de banda (espectro de frequêncas ao longo do qual o MPOP funcona com as suas característcas nomnas) é fnta. lém dsso, não se pode ter num MPOP real um ganho eleado com uma largura de banda também eleada. lás, estas duas característcas são naturalmente ncompatíes. Verfca-se no entanto que em geral, para cada MPOP, o produto do ganho pela largura de banda é senselmente constante, consttundo um parâmetro característco: factor de mérto (gan bandwdth). nterormente fo referdo que o MPOP amplfca a "tensão-dferença" entre as entradas não nersora e nersora. ontudo, se exstr uma componente comum às duas entradas, de acordo com a equação ( ) apareca na saída. essa componente não Na realdade a tensão de saída depende não só da dferença das tensões de entrada, mas também da sem-soma das tensões de entrada. ssm, num MPOP real tem-se que: ( ) d c sendo d o ganho de modo dferencal e c o ganho de modo comum. O facto da tensão de saída depender de procura ter c é tpcamente ndesejáel, pelo que se d >> c de modo a mnmzar a nfluênca de c na tensão de saída. razão entre os dos ganhos é denomnada de factor de rejeção do modo comum (M ommon Mode ejecton ato): M d c 4

46 mplfcador Operaconal Um eleado M é partcularmente mportante quando se pretende amplfcar pequenas dferenças de snal na presença de um eleado snal comum,.e., na presença de eleados alores de ruído. suposção de que nos termnas de entrada do MPOP não há corrente também não é real. Os alores típcos para esta corrente aram entre 3 e 5 n. Um caso partcular do funconamento em modo comum é aquele em que os termnas de entrada são curto-crcutados. Nessas condções sera de esperar que a tensão de saída fosse nula. Na prátca tal não acontece, pelo que dee ser aplcada uma tensão dferencal à entrada de modo a fazer com que a tensão de saída seja nula. esta tensão que aparece sobreposta a qualquer snal de saída do amplfcador dá-se o nome de tensão de desequlíbro à entrada (nput offset oltage). Esta tensão é aráel com a temperatura, sendo denomnada nput offset oltage drft. Num MPOP deal a tensão de saída segue, sem atraso, a tensão de entrada. Num MPOP real há sempre atrasos,.e., taxas de crescmento temporal lmtadas. É costume defnr uma grandeza (slew rate) que traduz a elocdade máxma de resposta da saída a snas de grande aração. Por exemplo, um slew rate de sgnfca que o MPOP demora,5 V / μ s μ s a arar V a sua tensão de saída. O efeto do slew rate é dstorcer o snal quando este ultrapassa a capacdade de resposta do MPOP. Dada a mportânca das montagens de MPOP s com realmentação (feedback), apresentam-se a segur algumas montagens, que serem para exemplfcar como se pode obter a relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada. Deste modo, consegue-se que as característcas de um MPOP dependam de componentes passos e não de componentes actos (cujas característcas são sempre mas dfíces de controlar). ontudo, o ganho com realmentação é menor do que sem realmentação. 4

47 mplfcador Operaconal 5.3 rcuto Inersor o onsderando o MPOP deal, tem-se: V tendendo ao curto-crcuto rtual, tem-se: o Pelo que, obtém-se: o o o ssm, o ganho é exclusamente defndo por componentes externos ( e ) e não depende do própro MPOP,.e., das suas característcas e componentes nternos. O MPOP funcona na zona lnear (.e., não está saturado) quando: o < < < / realmentação permte então projectar o ganho para o alor desejado, muto embora com redução do ganho global, além de permtr uma tensão de entrada correspondentemente maor, sem saturação. 43

48 mplfcador Operaconal 5.4 rcuto Não Inersor 3 3 o onsderando o MPOP deal, tem-se: tendendo ao dsor de tensão, tem-se: o Pelo que, obtém-se: o o o O MPOP funcona na zona lnear quando: o < < < 44

49 Snas apítulo 6 Snas 6. Função Escalão Untáro (t), V, t < t > (t) V t Escalão untáro: u (t) mpltude 6. Função Impulso Untáro (t) V, t t, t < e t > t 45

50 Snas (t) V t t Impulso t e V Impulso untáro: u (t) Área 6.3 Função ampa Untára (t), k t, t < t (t) t ampa untára: u (t) Decle s funções sngulares podem ser expressas em função de u (t), u (t) e u (t). nda, de notar que: d u(t) u (t) d t d u(t) u (t) d t 46

51 Snas 6.4 Função Exponencal (t), V e at, t < t > (t) V t 6.5 Função Snusodal (t) V sn(wt θ) (t) V -V t 47

52 apacdade e uto-indução apítulo 7 apacdade e uto-indução 7. ondensador d. ε ε d sendo: apactânca Undade: F (Farad) em homenagem a Mchael Faraday, centsta brtânco (79-867) q F /V Área das placas d Dstânca entre placas ε Permtdade ou constante deléctrca para o azo: ε 9 36π F/ m tendendo a que: q e dq (t) a corrente é dada por: d t d (t) d t 48

53 apacdade e uto-indução ssm, se a tensão é constante, a corrente é nula. Neste caso, o condensador é um crcuto aberto. Por outro lado, a tensão não pode arar nstantaneamente, pos sto exgra uma corrente nfnta. tensão é dada por: t (t) dt (t t ) potênca é dada por: p p d d t energa armazenada no condensador é dada por: t t d p dt W dt W t d t d W [ (t) (t )] (t) W t ( t ) assumndo que (t ), então tem-se que: W ondensadores em Sére 3 3 plcando a e das Malhas, obtém-se: t t t 3 dt (t) dt (t) dt 3(t) t t t 3 consderando: (t ) (t ) (t ) (t ), tem-se que: 3 49

54 apacdade e uto-indução t t dt (t) dt (t) t t 3 eq Portanto, os condensadores em sére (, e 3 ) podem ser substtuídos no crcuto por: eq 3 De forma geral, o condensador equalente a um conjunto de condensadores em sére é dado por: eq I No caso partcular de apenas dos condensadores em sére, tem-se: eq ondensadores em Paralelo 3 3 plcando a e dos Nós, obtém-se: d d d d 3 3 ( 3) d t d t d t d t eq d d t Portanto, os condensadores em paralelo (, e 3 ) podem ser substtuídos no crcuto por: eq 3 De forma geral, o condensador equalente a um conjunto de condensadores em paralelo é dado por: I eq 5

55 apacdade e uto-indução 7. Bobna l N μ N l sendo: Indutânca Undade: H (Henry) em homenagem a Joseph Henry, centsta norte-amercano ( ) H V.s / μ Permeabldade para o azo: μ 4π 7 H / m N Número de espras Área secconal l omprmento tensão é dada por: d (t) d t ssm, se a corrente é constante, a tensão é nula. Neste caso, a bobna é um curto-crcuto. Por outro lado, a corrente não pode arar nstantaneamente, pos sto exgra uma tensão nfnta. corrente é dada por: t (t) dt (t) t 5

56 apacdade e uto-indução potênca é dada por: p p d d t energa armazenada na bobna é dada por: [ (t) (t )] d W t t ( t) p dt W dt W d W t t ( t ) d t assumndo que (t ), então tem-se que: W Bobnas em Sére 3 3 plcando a e das Malhas, obtém-se: d d d 3 3 ( 3) d t d t d t eq d d t d d t Portanto, as bobnas em sére (, e 3 ) podem ser substtuídas no crcuto por: eq 3 De forma geral, a bobna equalente a um conjunto de bobnas em sére é dada por: I eq 5

57 apacdade e uto-indução Bobnas em Paralelo 3 3 plcando a e dos Nós, obtém-se: t t t 3 dt (t ) dt (t) dt 3(t) t t t 3 consderando: (t ) (t ) (t ) (t ), tem-se que: 3 t t dt (t) dt (t) t t 3 eq Portanto, as bobnas em paralelo (, e 3 ) podem ser substtuídas no crcuto por: eq 3 De forma geral, a bobna equalente a um conjunto de bobnas em paralelo é dada por: eq I No caso partcular de apenas duas bobnas em paralelo, tem-se: eq 53

58 rcutos de Prmera Ordem apítulo 8 rcutos de Prmera Ordem 8. rcutos e Smples Quando um crcuto é comutado de uma condção para outra ocorre um período de transção. Depos desse período transtóro, dz-se que o crcuto atnge o estado estaconáro. aplcação das es de Krchhoff a um crcuto que contenha elementos capazes de armazenar energa resulta em uma equação dferencal. Segudamente, é analsada a resposta transtóra ou resposta natural de crcutos smples e (com energa armazenada na bobna, para o crcuto, e no condensador, para o crcuto ) e sem fontes. rcuto Smples plcando a e das Malhas, obtém-se: d d d t d t 54

59 rcutos de Prmera Ordem resolendo a equação dferencal, obtém-se: (t) I t t τ e (t) I e (t) I τ t I () representa a energa armazenada τ é a constante de tempo energa total transformada em calor na resstênca é dada por: W I que corresponde à energa total armazenada na bobna no nstante ncal t. rcuto Smples plcando a e dos Nós (para o nó superor), obtém-se: d d d t d t 55

60 rcutos de Prmera Ordem resolendo a equação dferencal, obtém-se: (t) V t t τ e (t) V e (t) V τ t V () representa a energa armazenada τ é a constante de tempo energa total transformada em calor na resstênca é dada por: W V que corresponde à energa total armazenada no condensador no nstante ncal t. 8. rcutos Dferencador e Integrador rcuto Dferencador o 56

61 rcutos de Prmera Ordem onsderando o MPOP deal, tem-se: V tendendo ao curto-crcuto rtual, tem-se: o nda: d d t o d d t Pelo que, obtém-se: d d t o o d d t Se tem-se: o d d t Deste modo, a tensão de saída é proporconal à derada da tensão de entrada. rcuto Integrador o 57

62 rcutos de Prmera Ordem onsderando o MPOP deal, tem-se: V tendendo ao curto-crcuto rtual, tem-se: o o nda: d d t d d t o Pelo que, obtém-se: d d t o o o t d t d t dt (t ) Se e (t) tem-se: o t t dt Deste modo, a tensão de saída é proporconal ao ntegral da tensão de entrada. 8.3 esposta ompleta de rcutos e resposta completa de um crcuto é composta de duas partes: resposta natural ou resposta transtóra; resposta forçada ou resposta estaconára. resposta natural é a solução geral da equação dferencal que representa o crcuto, quando a entrada é nula. resposta forçada é a solução partcular da equação dferencal que representa o crcuto. Segudamente, são consderadas dos tpos de entradas, constante e aráel. 58

63 rcutos de Prmera Ordem Entrada onstante Deem usar-se os Equalentes de Théenn e de Norton para smplfcar a análse do crcuto. Posterormente, um de dos tpos de crcutos pode ser consderado: rcuto de prmera ordem com condensador Th ca (t) Neste caso, a tensão no condensador é dada por: (t) ca τ ( () ) e sendo: resposta completa (t) ; ca resposta forçada ; t ca τ ( () ca ) e resposta natural ; τ rcuto de prmera ordem com bobna t cc Th Neste caso, a corrente na bobna é dada por: (t) cc τ ( () ) e sendo: resposta completa (t) ; cc resposta forçada ; t cc τ ( () cc ) e resposta natural ; τ t 59

64 rcutos de Prmera Ordem Entrada Varáel equação dferencal que descree um crcuto ou é representada de forma genérca por: d x(t) a x(t) y(t) d t solução genérca é dada por: a t a t a t x K e e y e dt x x n x f resposta natural é sempre dada por: x n a t K e ; K obtém-se das condções ncas. resposta forçada é dada por: M x f, se y (t) M a b t e b t xf, se y (t) e a b x f sn wt B coswt, se y(t) M sn(wt θ) 6

65 rcutos de Segunda Ordem apítulo 9 rcutos de Segunda Ordem 9. rcuto Neste capítulo é determnada a resposta completa de um crcuto com dos elementos capazes de armazenar de energa ( e ). Este crcuto é descrto por uma equação dferencal de segunda ordem, que pode ser dada genercamente por: d d t d x(t) α x(t) ω d t em que: x(t) f (t) α é o coefcente de amortecmento ω é a frequênca de ressonânca Usando o operador dferencal: n s n d d t n, obtém-se a equação característca de um crcuto de segunda ordem, dada por: s α s ω Esta equação característca tem duas soluções: s e s. Estas soluções são denomnadas de frequêncas naturas do crcuto de segunda ordem. Um crcuto de segunda ordem pode ser caracterzado como: Sobreamortecdo, se s e s são reas e dferentes, ou, α > ω ; rtcamente amortecdo, se s e s são reas e guas (pólo duplo), ou, α ω ; Subamortecdo, se s e s são complexos conjugados, ou, α < ω. 6

66 rcutos de Segunda Ordem resposta completa de um crcuto de segunda ordem é a soma da resposta natural com a resposta forçada: x x n xf resposta natural depende das frequêncas naturas do crcuto. No caso de um crcuto: Sobreamortecdo, s, s α ± α ω st st x n e e ; rtcamente amortecdo, αt s, s α x n ( t) e ; Subamortecdo, s,s α ± j ω α α ± j ω d αt x ( cosω t senω t) e n. d d resposta forçada depende da entrada do crcuto, sendo dada por: x f, se f (t) K (constante) x f Bt, se f (t) K t (rampa) cosωt Bsenωt, se f (t) Kcosωt ou f (t) Ksenωt (snusodal) x f xf bt e, se f (t) bt K e (exponencal) 6