0 INSPER 01/11/00 Seu pé dieito nas melhoes Faculdades 0. Na figua a segui, ABC e DEF são tiângulos equiláteos, ambos de áea S. O ponto D é o baicento do tiângulo ABC e os segmentos BC e DE são paalelos. A áea da egião sombeada na figua é d) e) S S 8 S 6 S 3S 8 Obseve a figua do enunciado, agoa divida em 16 tiângulos equiláteos conguentes: 1. Dois imãos gêmeos, Gilbeto e Robeto, apesa de fisicamente idênticos, têm uma caacteística que os difeencia: um deles sempe fala a vedade, enquanto o outo sempe mente. Uma pessoa pecisa descobi qual deles é Gilbeto, fazendo uma única pegunta a apenas um dos dois imãos, que deveá esponde com somente uma dente duas palavas: sim ou não. Nessas condições, dente as peguntas abaixo, a única que, espondida po qualque um dos dois imãos, pemite identifica quem é Gilbeto é Você é Gilbeto?. Seu imão gêmeo se chama Gilbeto?. O Basil fica na Améica do Sul?. d) Gilbeto é mentioso?. e) O Basil fica na Euopa?. Tata-se de uma questão de simulação de situações com análise de veacidade. Não sabemos quem mente e também não sabemos a quem fazemos dietamente a pegunta, pois os dois são gêmeos. Assim, temos quato possibilidades a considea: Cenáio 1: peguntamos ao vedadeio Gilbeto (Robeto é mentioso ) Cenáio : peguntamos ao mentioso Gilbeto (Robeto é vedadeio ) Cenáio 3: peguntamos ao vedadeio Robeto (Gilbeto é mentioso ) Cenáio 4: peguntamos ao mentioso Robeto (Gilbeto é vedadeio ) Assim, a áea da egião sombeada é S. Altenativa D Note que a pegunta apesentada na altenativa D Gilbeto é mentioso? apesentaia a seguinte distibuição de espostas: C1: NÃO C: NÃO C3: SIM C4: SIM Ou seja, caso a esposta seja negativa, estaemos diante de Gilbeto; caso afimativa, estaemos diante de Robeto (note que, em ambos os casos, não é possível sabe quem é vedadeio e quem é mentioso, mas o enunciado não exige essa infomação). Altenativa D CPV ibmecnov00
Seu pé dieito nas melhoes Faculdades INSPER 01/11/00 1. A função f, de domínio eal, é dada pela lei ( ) = f x x x +, se x Î 3x, se x Ï, em que epesenta o conjunto dos númeos acionais. O númeo total de soluções eais da equação f (x) = é 4. 3.. d) 1. e) 0. Paa x Î Q, temos: f (x) = Û x x + = Û x x = 0 Û x = 1 + 3 ou x = 1 3 Como 1 ± caso. 3 Ï Q, a equação f (x) = não tem solução neste Já paa x Ï Q, temos: f (x) = Û 3 x = Û x = log 3. Como log 3 Ï Q, a equação f (x) = tem essa única solução neste caso. Logo a equação f (x) = tem uma única solução. Altenativa D 3. Em um campeonato de futebol, foam ealizadas mais de 300 patidas. Em 60% dessas patidas, não foam macados gols no 1 o tempo. Já em 40% delas, não foam macados gols no o tempo. Nessas condições, é coeto afima que, necessaiamente, o placa de nenhuma das patidas foi 0 x 0. a média de gols macados foi de, no mínimo, 1 gol po patida. o total de gols macados no o tempo foi maio do que o total de gols macados no 1 o tempo. d) não foam macados mais do que gols em uma mesma patida. e) em pelo menos uma patida, foam macados gols tanto no 1 o quanto no o tempo. Vamos faze a análise a pati de uma amosta epesentativa de 100 jogos. Temos que, em 60 deles, não houve gol no pimeio tempo (G1 = 60 Û G1 = 40). Já em 40, não foi macado gol no segundo tempo (G = 40 Û G = 60). Assim, podemos peve algumas situações: Altenativa A: NÃO-INFERÍVEL O númeo de jogos que teminaam com 0 x 0 coesponde ao númeo de jogos na categoia G1 Ç G. Note que é possível have jogos sem gols, pois 0 n (G1 Ç G) 40. Altenativa B: VERDADEIRA Vamos supo que, nos tempos em que houve gol, tenha havido somente um (o que deve minimiza a médi. Assim, teíamos um total de 40 gols macados em um pimeio tempo, e outos 60 macados em um segundo tempo, o que coespondeia a um total de 100 gols, na amosta de 100 jogos. Isso indica que a média foi de ao menos um gol po patida. Altenativas C e D: NÃO-INFERÍVEL Os dados apesentados no enunciado apenas infomam se houve ou não gols po peíodo, e não a quantidade de gols macados. Assim, as infomações popostas nessas altenativas podem se tanto falsas, como vedadeias. Altenativa E: NÃO-INFERÍVEL O númeo de jogos que tiveam gol em ambos os peíodos coesponde ao númeo de jogos na categoia G1 Ç G. Note que é possível have jogos sem gols em ambos os peíodos, pois 0 n (G1 Ç G) 40. CPV ibmecnov00
INSPER 01/11/00 Seu pé dieito nas melhoes Faculdades 4. Leia o texto a segui. Fifa apova fim do sistema de odízio paa Copa do Mundo ZURIQUE (Suíç O Comitê da Fedeação Intenacional de Futebol (Fif apovou nesta segunda-feia () o fim do sistema de od ızio de continentes paa a Copa do Mundo. A pati de 018, seá escolhido o país que apesenta o melho pojeto paa a ealização do mundial. Poém, ficam de foa da disputa os continentes que sediaam jogos dos dois últimos mundiais. Assim, estaão descatadas paa 018 as candidatuas de países da Áfica e da Améica do Sul, já que estes continentes sediaão as Copas de 010 e 014, espectivamente. Fonte: http://www.ipcdigital.com/b/espotes (acessado em 1/10/00) Consideando a divisão em seis continentes adotada pela Fifa (Améica do Sul, Améica do Note/Cental, Áfica, Euopa, Ásia e Oceani e as egas acima descitas, o númeo de maneias difeentes de escolhe os continentes que sediaão as Copas do Mundo de 018, 0 e 06 é igual a 4. 64. 80. d) 10. e) 16. Paa a copa do mundo de 018 temos 6 = 4 opções paa escolhe o continente, uma vez que há 6 continentes consideados e que não podeão sedia pois sediaão as copas imediatamente anteioes a 018, a sabe, as copas de 010 e 014. Analogamente, temos 4 opções paa escolhe o continente que sediaá a copa do mundo de 0 e 4 opções paa a copa de 06. Logo há 4. 4. 4 = 64 maneias distintas de escolhe os continentes que sediaão as copas do mundo de 018, 0 e 06. Altenativa B CPV ibmecnov00
Seu pé dieito nas melhoes Faculdades INSPER 01/11/00 3. Na figua, feita foa de escala, as duas cicunfeências, ambas de aio, são tangentes ente si e tangenciam os lados do paalelogamo ABCD nos pontos indicados. O ângulo BÂD mede 8. Assim, consideando que tg 6º = 4, conclui-se que a áea do paalelogamo ABCD vale 4 16 d) 10 e) 0 y G I E O O J Na figua acima, AO é bissetiz do ângulo E^AF e DO e bissetiz de G ^DE, cuja medida é 1º. x F H No tiângulo AOF: O AF = tg 6º Þ x = 4 Þ x = 4 A 14º x 6º F No tiângulo GOD: D y 6º G DG = tg 6º Þ y = 4 Þ y = 4 O Os tiângulos EDO, GDO, HBO e JBO são conguentes e a áea de cada um deles é y.. 4 = =. 8 Os tiângulos AOE, AOF, CO I e CO J são conguentes e a áea de cada um deles é x. 4 =. =. A áea do etângulo GIHF é. = 4. Áea do paalelogamo: 4. 8 + 4. + 4 = + 16 + 8 = Altenativa A CPV ibmecnov00
4 INSPER 01/11/00 Seu pé dieito nas melhoes Faculdades 6. A figua mosta uma sequência infinita de quadados (Q 1, Q, Q 3,..., Q n,...) do plano catesiano. Sabe-se que: o lado do quadado Q 1 mede 1; as medidas dos lados dos quadados Q 1, Q, Q 3,... fomam, nessa odem, uma pogessão geomética de azão positiva q; a eta, que passa pelos vétices dos quadados Q e Q 3 assinalados na figua, intecepta o eixo das abscissas no ponto ; 0 Nessas condições, q é igual a 8 d) 6 e) 3 1 q q 1 1 + q 1 + q + q A eta passa pelos pontos ; 0, (1 + q; q) e (1 + q + q ; q ). Logo: 0 1 1 + q q 1 1 + q + q q 1 = 0 Þ q + q = 0 Þ q = ou q = 0 (não convém) Altenativa A CPV ibmecnov00
Seu pé dieito nas melhoes Faculdades INSPER 01/11/00. Uma cantoa compôs músicas paa seu novo álbum. Entetanto, somente podem se gavadas no CD 14 músicas. Além disso, ela pode escolhe outas 6 que não foem gavadas no CD paa deixa no site oficial do álbum como faixas bônus. Desconsideando a odem em que as músicas seão gavadas no CD e a odem em que apaeceão no site, a quantidade de maneias distintas que ela pode escolhe quais ião paa o CD, quais ião paa o site e quais ficaão de foa é d) e) 0! 11!. 6!.! 0! 14!. 11!. 6!! 11!. 6!.!! 0!. 11!. 6!! 14!. 6!.! Total de maneias de escolhe as músicas do álbum: C,14 Total de maneias de escolhe outas 6 músicas estantes paa o site: C 11,6! 11!! Total: C,14. C 11,6 =. = 14! 11! 6!! 14! 6!! Altenativa E 8. Numa noite das féias escolaes, Leo, Gil e Bia disputaam divesas patidas de um jogo pela intenet. Em cada patida, apenas um deles fazia a jogada inicial, os tês disputavam, mas apenas um ganhava, sem empates. Eles combinaam que o vencedo da noite seia aquele que acumulasse tês patidas ganhas. Foi uma noite bastante competitiva, dado que: I. Ninguém que tenha feito a jogada inicial de uma patida, o que confeia vantagem ao jogado que o fizesse, conseguiu ganha a espectiva patida. II. Leo fez a pimeia jogada inicial, depois foi a vez de Gil, seguido de Bia, voltando a Leo e epetindo-se esta sequência até alguém se o vencedo da noite. III. O ganhado da pimeia patida não conseguiu se o vencedo da noite. IV. Ninguém conseguiu ganha duas patidas consecutivas. Conclui-se coetamente das infomações acima que Gil ganhou a teceia patida e foi o vencedo da noite. Bia ganhou a segunda patida e foi a vencedoa da noite. Leo ganhou a teceia patida e foi o vencedo da noite. d) Gil não ganhou a pimeia patida e não foi o vencedo da noite. e) Bia não ganhou a quata patida e não foi a vencedoa da noite. 1 o o 3 o 4 o o 6 o o L não não não G não não B não não Nota-se que no máximo seão ealizadas patidas (caso de jogadoes com vitóias e 1 com 3 vitóias). Pela disposição das patidas e afimação (IV), Leo não pode se campeão. Caso Bia ganhe a 1 a odada, pela afimação IV Gil também não seia campeão, sobando apenas Bia paa se campeã, contadizendo a afimação III. Potanto, Gil ganhou a pimeia odada, sobando apenas Bia paa se a campeã e obigatoiamente ganhando a a odada Altenativa B CPV ibmecnov00
6 INSPER 01/11/00 Seu pé dieito nas melhoes Faculdades. Numa família, tem-se os seguintes paentescos: João é avô de Tiago e de Felipe, mas não de Joge. Antonio é avô de Felipe e de Joge, mas não de Tiago. Tiago, Joge e Felipe são filhos únicos. Antonio e João têm apenas dois filhos cada um. Sabendo-se que Daniela e Reinaldo são tios consanguíneos de Felipe, é coeto afima que, necessaiamente, (Considee que tio ou tia consanguíneo de uma pessoa é aquele ou aquela que é imão ou imã de um dos pais da pessoa. Esposas e maidos de tios consaguíneos não se incluem nesta categoia.) Daniela é mãe de Joge e tia consanguínea de Tiago. Se Reinaldo é pai de Joge, então Daniela é mãe de Tiago. Se Daniela não é mãe de Joge, então é filha de Antonio. d) Reinaldo e Daniela são imãos. e) Reinaldo e Daniela têm o mesmo paentesco com Joge. Há dois únicos modos possíveis de elaciona os elementos apesentados, em vista das estições do enunciado: JOÃO ANTÔNIO [Daniela OU Reinaldo]?? [Reinaldo OU Daniela] Tiago Felipe Joge A única altenativa compatível com esses dois possíveis cenáios é a B Se Reinaldo é pai de Joge, então Daniela é mãe de Tiago. Altenativa B 60. Numa festa: (A1) Rita viu todos que não viam Teo e mais ninguém. (A) Teo viu todos que não viam Rita e mais ninguém. (A3) Cis viu todas as pessoas que viam Rita e viam Teo. Considee as seguintes afimações: I. Se Cis viu Teo, então não viu Rita. II. Se Teo e Rita viam Robson, então Robson não os viu. III. Cis viu Teo e Rita, mas não se viu. Seguem-se necessaiamente de (A1), (A) e (A3) apenas I. apenas II. apenas III. d) apenas I e II. e) apenas II e III. Diagamando os condicionais lógicos apesentados, temos: A1. X não viu Teo «Rita viu X A. X não viu Rita «Teo viu X A3. (X viu Teo Ù X viu Rit Cis viu X Logo, podemos analisa as infomações sugeidas: I. não-infeível (veifique A3; Cis viu Teo não implica automaticamente nad II. coeto, Rita viu Robson bi-implica Robson não viu Teo (confome A1); e Teo viu Robson bi-implica Robson não viu Rita (confome A). III. não-infeível (sem falsos condicionais, não é possível avalia qual infomação é vedadeia, apenas especula sobe quais paes de infomações podem se vedadeias). Altenativa B CPV ibmecnov00