UNIVERSIDADE DE LISBOA FACULDADE de CIÊNCIAS DEPARTAMENTO de MATEMÁTICA Problems de Máimos e Míimos Belmiro d Silv Ferreir Mestrdo Mtemátic pr Professores Lisbo 0
UNIVERSIDADE DE LISBOA FACULDADE de CIÊNCIAS DEPARTAMENTO de MATEMÁTICA Problems de Máimos e Míimos Belmiro d Silv Ferreir Dissertção orietd pel Professor Doutor: A Cristi Brroso Mestrdo Mtemátic pr Professores Lisbo 0
Resumo Os problems de máimos e de míimos suscitm grde iteresse os mtemáticos, priciplmete por resultrem muits vezes de situções do di di. São presetdos problems clássicos e outros visdo percorrer diverss áres d mtemátic, sem os distcirmos d su plicção o esio d mtemátic o secudário. As resoluções presetds, bseds um peque fudmetção teóric, têm preocupção de brcr diferetes bordges e proporcior o relciometo de coceitos. Plvrs chve: máimo, míimo, derivd, otimizção.
Abstrct Problems of mim d miim re very iterestig to mthemticis, i prt becuse they rise i everydy situtios. We preset some clssicl problems d others spig vrious res of mthemtics, keepig i mid their pplictio i the techig of secodry school mthemtics. The solutios preseted here, for which we provide short theoreticl bsis, ited to cover differet pproches d llow the possibility of reltig cocepts. Keywords: mimum, miimum, derivtive, optimiztio.
Ídice Itrodução.... Prelimires..... Fuções de um vriável..... Fuções de dus vriáveis... 5... Etremos livres... 7... Etremos codiciodos... 8. Refleão e Refrção... 9.. Problem de Héro... 9... Resolução Geométric... 0.. Feómeo d refrção.... Problem de Dido..... Áre de um polígoo regulr em fução do úmero de ldos... 7 4. Áre de um região trigulr... 0 4.. Triâgulo de áre máim e perímetro fio... 4... Estudo usdo um fução de um só vriável... 4... Estudo usdo um fução de dus vriáveis... 4 5. As belhs e mtemátic... 7 5.. Porque é que os lvéolos ds belhs são hegois?... 8 5.. Porque rzão o fudo dos lvéolos ão é plo?... 9 5... Cálculo do âgulo diedro dos losgos, qudo áre é míim.... 4 5... Âgulo de iclição dos losgos do topo... 4 6. Produto máimo... 44 6.. Som fi... 44 6... Estudo usdo um fução de um só vriável.... 44 6... Estudo usdo um fução de dus vriáveis... 44 6.. Som dos qudrdos fi... 45 6... Estudo usdo um fução de um só vriável... 45 6... Estudo usdo um fução de dus vriáveis... 46 7. Outros problems... 49 8. Médis... 70 8.. Médis pr mis de dois úmeros... 7 8.. Aplicções ds desigulddes ds médis... 7 Bibliogrfi... 78
Agrdecimetos Apreseto os meus grdecimetos à Professor Doutor A Cristi Brroso por sempre se ter mostrdo bstte iteressd e dispoível, pelo que, su orietção foi importtíssim elborção deste meu trblho.
Itrodução Os problems de máimos e de míimos desde de muito cedo despertrm teção dos mtemáticos. Por eemplo, os gregos o século III.C. já sbim que de tods s curvs com igul perímetro, que evolvi mior áre er o círculo. Cotudo estes problems erm resolvidos utilizdo processos egehosos, ão hvedo um form sistemátic de os solucior. Só o século XVII, Fermt desevolveu o primeiro método gerl pr determição de máimos e míimos. No etto este método er um procedimeto lgorítmico desprovido de qulquer fudmetção demostrtiv. A geerlizção d resolução deste tipo de problems prece com o trblho de Newto e Leibiz o desevolvimeto do Teorem Fudmetl do Cálculo. O iteresse deste tipo de problems reside sobretudo form como são dptdos o quotidio e situções d vid rel, permitido modulr e iterpretr feómeos à oss volt. Com iúmers plicções em diverss áres, como Físic ou Egehri, têm tmbém um grde importâci ível pedgógico. Aplicáveis vários coteúdos d mtemátic, pr lém de desevolver o estudo do cálculo diferecil, proporciom trblhr coceitos reltivos fuções, trigoometri, geometri etre outros. Após um peque revisão de coceitos teóricos que permitem e fudmetm resolução dos problems de máimos e míimos, form seleciodos diversos problems, visdo cobrir um grde áre de coteúdos mtemáticos e diferetes forms de bordgem. De referir que grde miori dos problems presetdos são de plicção diret ou de fácil dptção o esio secudário, omedmete º o. Algums ds resoluções são eriquecids com mis do que um bordgem e por vezes prece um resolução usdo fuções de dus vriáveis. Por fim, fugido um pouco o método clássico, são plicds proprieddes ds médis o cálculo de soluções ótims de lgus problems, que utilizdo outros métodos serim de difícil resolução.
. Prelimires.. Fuções de um vriável Cosideremos um fução rel f ( ) defiid um itervlo I. A t de vrição médi d fução etre dois potos A, f e, M f com f f, Ie, é dd por A t de vrição d fução o poto A é o limite qudo d rzão icremetl f f A t de vrição médi d fução etre dois potos A e M é o declive d ret AM, secte o f f gráfico d fução os potos A e M. A ret t cujo declive é igul o lim tgete o gráfico d fução o poto A., diz se Defiição. Diz se que um fução f, rel de vriável rel, defiid um vizihç de um poto f f, é difereciável em, se eiste e é fiito o limite: lim derivd de f o poto e represet se por f f f h f f lim lim h0 h. A este limite chm se. Diz se que f é derivável ou difereciável à esquerd em se eiste e é fiito o limite: f f f h f lim lim f e h0 h. Diz se que f é derivável ou difereciável à direit em se eiste e é fiito o limite: f f f h f lim lim f d h0 h Se f f etão f é derivável ou difereciável em e tem se f f f e d e.. d
Defiição. Diz se que fução f : D é um fução derivável ou difereciável o berto D se for derivável em todo o poto de D. À ov fução f: D, f( ), chm se derivd de f. Not. Se f é difereciável um poto, o declive d ret tgete o gráfico de f o poto A, f é igul f y f f.. A ret tgete o gráfico esse poto tem por equção Proposição.4 Se f : D é um fução derivável em it esse poto. D, etão f é cotíu Demostrção. Pr D, com temos f f lim f( ) f( ) lim ( ) f( ) 0 0. Ou sej lim f ( ) f ( ), que prov que fução f é cotíu em. f ( ) f f f, pelo que Proposição.5 Um fução f defiid um itervlo berto I é difereciável um poto I se e só se eiste um úmero l tl que se tem um vizihç de em que f f l r (.) r é um fução cotíu e ul o poto (ifiitésimo o poto ) tl que O úmero l é úico e igul f. r lim 0 (.) 4
Demostrção. Ns codições do eucido de (.) deduz se que pr f f dode em cosequêci de (.), vem lim e que f l. se tem, f f r l, l, o que prov que f é difereciável em Reciprocmete, se f é difereciável o poto, escrevedo, obtemos (.) com l f. A fução r f f f r verific s codições d proposição, pois é difereç de dus fuções cotíus, logo é um fução cotíu, é r f f ul o poto e verific (.), um vez que lim lim f0. Lemos relção (.) dizedo que r é desprezável ou muito peque em comprção com um vizihç de e escreve se, usdo otção de Ldu: r o. (.) As relções (.) e (.) d proposição.5 podem sitetizr se um úic iguldde: f f f o. (.4) Teorem.6 Sejm f, g: D fuções deriváveis em it D; etão. f g. f g ; é derivável em e f g ( ) f ( ) g ( ) ; é derivável em e f g ( ) f ( ) g( ) g ( ) f( ). f é derivável em e f ( ) f ( ) f( ), ; 4. Se g () 0, f g é derivável em e f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g g f. g g ( ) 5
Demostrção.. f g f g f g f g f g ( ) lim lim f f gg lim lim f( ) g( ). Queremos mostrr que: f g ( ) f ( ) g( ) g ( ) f( ) f g f g f g f g f g ( ) lim lim Adiciodo e subtrido f g o umerdor, vem f g f g f g f g f g ( ) lim f f ggg f lim f f g g lim g f f g g f um vez que lim em. g g, porque g é derivável em e por cosequêci é cotíu. Vmos provr por idução que Pr f ( ) f 0 f f f ( ) f ( ) f( ), Proposição Verddeir Hipótese de idução Supohmos pr um certo p, que: p p f ( ) p f ( ) f( ) Queremos mostrr que p p f ( ) p f ( ) f( ) 6
Usdo propriedde tem se p p p p f ( ) f f f f f f ( ) p p ( ) ( ) f f f p f f p p p f f p f ( ) f( ) p f ( ) f( ). HI.. 4. Como g 0 e g é cotíu em eiste um berto I cotedo tl que g 0, I D. gg g g f f f g f g f g g ( ) lim lim g f g f g lim diciodo e subtrido f g o umerdor, vem: f g f g f g f g gg f f g gg f f g g f gg gg g f ( ) lim g g g f g g f f g lim lim um vez que lim e lim f f por cosequêci cotíus em. g g, porque f e g são deriváveis em e Proposição.7 (Derivção d fução compost). Sejm f e g fuções reis defiids em itervlos bertos J e I de, respetivmete, tis t0 g I J. Etão, se g é difereciável um poto I e f é difereciável o poto correspodete gt, f g é difereciável em t e 0. f g t f g t 0 0 0 0 0 Demostrção. Como f é difereciável em 0, pode se escrever f f f o ou sej 0 0 0 0 7
, em que f f f Substituido por 0 0 0 0 g t, vem lim 0. 0 0 0 0 0 f g t f g t f g t g t g t g t g t f g t f g t0 f 0 g t g t g t0 dividido mbos os membros por t t0 obtemos f g t f g t g t g t tt t t 0 0 f 0 g t 0 0 pssdo o limite qudo t t0, vem f g t f g t g t g t 0 0 lim lim f 0 g t tt0 tt tt 0 0 tt0 ou sej f g t f g t, um vez que gt 0 0 0 tt0 lim 0 por cotiuidde de g em t 0. Proposição.8 (Derivção d fução ivers). Sej f um fução difereciável e ijetiv defiid um itervlo I. Sej 0 y f( ) e f y0. f 0 0 I tl que f ( 0 ) 0 0 ; etão : f f I I é difereciável em Demostrção. Sej f um fução difereciável e ijetiv defiid um itervlo I. Sej y f, como Etão podemos escrever f é ijetiv se y y0 f y f y0 0. f y f y0 y y y y 0 0 f f y f 0 f y f y0 f y 0. Como f é difereciável, logo cotíu e está defiid um itervlo, su ivers portto y y f y. 0 0 f é cotíu e 8
Pssdo o limite temos: lim f y f y0 lim y y f f y f f f y 0 yy 0 yy 0 0 0 0 Defiição.9 Sej f : D e D reltivo) se eiste 0 tl que f f, tem em um míimo locl (ou reltivo) se eiste 0 Diz se que f tem em um máimo bsoluto se f f que f tem em um míimo bsoluto se f f, D.. Diz se que f tem em um máimo locl (ou V D. Do mesmo modo, diz se que f tl que f f, V D., D. Do mesmo modo, diz se Se fução possui um máimo ou míimo (reltivo ou bsoluto) dizemos que fução tem um etremo (reltivo ou bsoluto). Proposição.0 Sej f um fução difereciável em 0. ) Se f 0 0 etão f h f f h, h 0 suficietemete pequeo. 0 0 0 ) Se f 0 0 etão f h f f h, h 0 suficietemete pequeo. 0 0 0 Demostrção. ) Por defiição tem se que f f k f 0 0 0 lim. k0 Como f 0 0 usdo defiição de limite sbemos que eiste 0 tl que se 0 k etão dode Em prticulr, f k f 0 0 k k f f 0 0 f 0k f 0 f 0k f 0 f 0 f0 f00 f0. k k f k f k 0 0 0, 0 k. Tomdo 0 h tem se 0 h e 0 h logo 9
f h f 0 0 h 0 f h f e 0 0 f h f 0 0 h 0 f h f 0 0. A demostrção de ) fz se de form álog. Teorem. (Fermt) Sej f : D um fução com derivd em it. em um etremo locl, etão f 0 D. Se f tem Demostrção. Supohmos que f tem em um máimo locl (o outro cso é álogo). Como it D, eiste 0 tl que se, etão D temos f f 0. Logo, e f f. Portto, pr f f f d lim 0. (.5) Por outro ldo, pr temos Ms como, por hipótese, eiste f. De (.5) e (.6) vem f 0 f f 0. Portto, f f f e lim 0. (.6), temos f f f. d e Note se que o recíproco deste resultdo é flso. Por eemplo, fução f verific f 0 0 ms sedo um fução estritmete crescete ão tem etremo em 0. Teorem. (Weierstrss) Um fução cotíu um itervlo fechdo b,, tem máimo e míimo bsolutos esse itervlo. 0
Teorem. (Rolle) Sej f :, b, com b, um fução cotíu o itervlo limitdo e fechdo b, e com derivd fiit em todos os potos do seu iterior b,. Se etão eiste pelo meos um poto b, tl que f 0 f f b. Demostrção. Sedo f cotíu o itervlo fechdo e limitdo b,, f tem máimo e míimo esse itervlo pelo Teorem de Weierstrss. Se o máimo e o míimo são tigidos os etemos do itervlo, como, tem se f costte e portto pr qulquer c, b, f c 0 f f b No cso do máimo ou do míimo ser tigido um poto iterior b,. de Fermt que f 0. tem se pelo teorem Teorem.4 (Vlor Médio de Lgrge). Sej f :, b, com b, um fução cotíu o itervlo limitdo e fechdo b, e com derivd fiit o iterior b,. Etão, eiste pelo meos um poto c, b tl que f b f b fc. Geometricmete o teorem do vlor médio estbelece que se um fução f for cotíu em b, e derivável em b,, etão eiste pelo meos um poto c etre e b ode tgete o gráfico de f é prlel o segmeto de ret que ue os potos B b, f b. A, f e Demostrção. Sej f b f g f. b Devido às hipóteses sobre f result que fução g é cotíu em b, e difereciável em b,. Tem se id que f b f f b f gb f b b f b b b b f b f f b f f b f f b b f g b b b
portto o Teorem de Rolle grte que c, b tl que gc fc Logo f b f f cb. f b f 0. b Corolário.5 Sej f :, b um fução cotíu em, Se f 0, b, etão f é costte o itervlo, b e difereciável em b,. b. Demostrção. Pr b,, fução f stisfz s codições do teorem de Lgrge em,. Etão pelo referido teorem, eiste pelo meos um poto c, tl que f f f c. Ms por hipótese f 0, b,, logo fc 0 e como tl f f, b, Por cotiuidde de f em b coclui se que f é costte em b,.. Corolário.6 Sej f :, b um fução cotíu em, ) Etão f 0, b, f é crescete em b,. f 0, b, f é decrescete em b,. ) Tem se id f 0, b, f é estritmete crescete em, f b e difereciável em b,. b. 0, b, f é estritmete decrescete em, b. Demostrção. Sej f um fução s codições do eucido e tomemos y, b, Teorem de Lgrge c, y tl que f y f y f c. Etão fc 0 f y f 0 (respetivmete f c f y f é crescete (respetivmete estritmete crescete) em b,. A demostrção pr o cso decrescete é álog., com y. Pelo 0 0) ou sej, f
Sej f :, b um fução moóto crescete, isto é,. Como f é derivável em c, b y, b,, y f f y f f c pr c, coclui se que fclim 0. c c e Do mesmo modo, se f é moóto decrescete e derivável em c, b, f c 0 f f c c. 0, Observções. O recíproco de ) do último corolário é flso. Tome se mis um vez como eemplo fução f ( ), que é estritmete crescete. No etto f 0 0.. A hipótese d cotiuidde de f o itervlo fechdo b, é muito importte, pois se ão se verificr o resultdo é flso, como podemos ver o seguite eemplo: f f, se 0, se 0 pr todo 0, O corolário ão pode ser plicdo porque e o etto, f ão é crescete em0,. f ão é cotíu o poto. Result imeditmete do corolário terior que:. Se Teorem.7 Sej f um fução difereciável um vizihç do poto c tl que f c 0 eiste 0 tl que: i) f 0, c, c e f 0, c, c etão locl. ii) f 0, c, c e f 0, c, c etão f c é um máimo f c é um míimo iii) locl. f tem o mesmo sil em c, c c, c etão f c ão é etremo locl.
Teorem.8 (Vlor Médio de Cuchy) Sejm, :, itervlo limitdo e fechdo b, e com derivd fiit em b,, eiste pelo meos um poto c, b f g b, com b, fuções cotíus o tl que b,. Etão, se g 0 f b f f c. g b g g c, Demostrção. Note se que gbg 0, porque cso cotrário pelo teorem de Rolle eistiri c, b. que g c 0 Sej Tem se f b f h f g g b g. f b f f b f hb f b gb f b gbgg g b g g b g f b f f b f f b f b f g f gh g b g g b g tl h é cotíu em b, e difereciável em b,, porque f e g são cotíus em b, e difereciáveis em b,. Etão pelo teorem de Rolle, eiste c, b tl que f b f h c f c g c g b g 0 f b f f b f f b f f c Logo fc gc0 gc fc. g b g g b g g b g g c. Defiição.9 Sej f : D um fução difereciável em D e sej it D. Se f é difereciável em etão diz se que f é dus vezes difereciável em. A segud derivd de f em represet se por f f e é dd por: f f lim. Se eistem ordem em : f f, f,..., f em D e lim f é derivável em, etão diz se que f tem derivd de f f. 4
A fução f diz se de clsse C em D e escreve se f C D, se tods s derivds de f té à ordem forem cotíus em D. Proposição.0 Sej f :, b um fução dus vezes difereciável um poto c, b. Etão, tl que f c 0 ) se f c0 c é poto de míimo locl. ) se f c0 c é poto de máimo locl. Demostrção. ). Supohmos que f c 0 Pelo corolário.6 plicdo f, 0 tl que, se c c c etão f f c f. tem se Como f c 0 f 0, c, c e f 0, c, c, logo teorem.7. f c é míimo locl, coforme o Alogmete se provri )... Fuções de dus vriáveis Defiição. Sej f : D um fução defiid um prte D de. Sej poto iterior D. Diz se que f tem derivd prcil em ordem o poto b, f eiste b,, f, e o úmero rel b, f h b f b, lim h0 h de f em ordem o poto b,. Pode se id defiir derivd prcil de f em ordem y o poto b,, como: f y,, f b k f b b, lim. k0 k b, um qudo chm se derivd prcil 5
As derivds prciis de ª ordem de um fução f, pelos símbolos: y de dus vriáveis, são represetds f f, f f y y, f f y y, f f. y y y Defiição. Um fução f : A cotíu em A ; diz se que f é de clsse qudo eistirem tods s derivds prciis de ordem, diz se de clsse k C em A,,,... 0 C o berto A qudo f for k k, e escreve se f C A, k de f em A e forem tods cotíus em A ; f diz se de clsse C k em A, qudo f C A pr qulquer 0,,,,... k. Teorem. (Schwrz) Se f : A é de clsse C o berto A, etão f f y y em todos os potos de A. Defiição.4 Sej f : D um fução defiid um prte D de e sej b, um poto iterior D. Supohmos id que f tem derivds prciis de primeir ordem em b,. Etão chm se grdiete de f o poto b, o vetor cujs compoetes são s derivds prciis de primeir ordem de f clculds o poto f b,. Assim, b,. Represet se por grd f, f f f b, b,, b, y Os potos ode o grdiete de f se ul desigm se potos de estcioridde de f. b ou Defiição.5 Sej f : D um fução defiid um prte D de e sej poto iterior D. Diz se que f é difereciável em b, se e só se eiste tl que:,,,, f h bh f b h h o h h, oh, h em que fução oh, h, stisfz codição h, h 0,0 h, h Pode se mostrr que eiste um úico vetor lim 0. ests codições e que f b,. b, um 6
... Etremos livres As oções de etremo presetds defiição.9 geerlizm se de form turl às fuções de dus vriáveis. O resultdo seguite é cosequêci do teorem.. Teorem.7 (Fermt) Sej f : D D. Etão, se f tem um etremo em, um fução difereciável o poto, b, tem se f b, 0. b, iterior Defiição.8. Sej f : D e b, itd, um poto de estcioride de f. Se f ão tem um etremo em b,, etão b, diz se um poto de sel. Apresetmos em seguid eemplos de gráficos de fuções que possuem um míimo, um máimo e um poto de sel em (0,0). A fução f y y, possui um míimo em (0,0) A fução f y, y possui um máimo em (0,0) A fução f y y, possui um poto sel em (0,0) Defiição.9 Se f for um fução de clsse C o poto b,, chm se mtriz hessi de f em b, e represet se por H b, à mtriz dd por H, b f f y f y b, b, f y b, b,. Trt se de um mtriz qudrd do tipo, simétric, coforme o Teorem de Schwrz. 7
Teorem.0 Sej f : A de clsse C defiid um berto A e sej b, um poto de estcioridde de f. f, 0 ) Se b f, 0 b) Se b e H, b 0 etão f tem um míimo locl em, b. e H, b 0 etão f tem um máimo locl em, c) Se H, b 0 etão f tem um poto sel em, b. b. d) Se H, b 0 ão podemos firmr d cerc d turez do poto de estcioridde b,. Pr mostrr que o cso de d) d se pode cocluir, cosideremos os eemplos bio, cujs fuções verificm codição H (0,0) 0, ms: 4 4 f y, y, tem míimo em g, y 4 y 4 0,0, 0,0,, tem máimo em 4 4 h, y y, tem um poto de sel em 0,0.... Etremos codiciodos Sejm f, g: A defiids um berto A de e supohmos que querímos estudr os etremos de f, y com vriável, y codiciod à relção g, y 0. Dizemos que temos um problem de etremos codiciodos, sedo g, y 0 codição que estão sujeits s vriáveis e y. O problem resume se clculr os etremos d fução f restrit o cojuto ão vzio C y A g y Supodo que,, y, :, 0, represetd por f. C f g são fuções de clsse C A e que g, y 0,0 A tl que g, y 0, temos o seguite: pr qulquer Teorem. (Lgrge) Se fução F, y f, y g, y b,. f tem um etremo em b, C C, etão pr um certo,, defiid em A, tem um poto de estcioridde em 8
. Refleão e Refrção.. Problem de Héro Dd um ret, r, e dois potos A e B do mesmo ldo d ret, ecotrr um poto M de r, de modo que som ds distâcis AM e MB sej míim. Resolução. Sejm A 0 e B 0 s projeções ortogois de A e B, respetivmete, ret r. Sejm bc,, 0, em que AA0 AB 0 0 c., BB0 b, Sejm e os âgulos formdos pel rets r e MA e pels rets r e MB, respetivmete. Logo, 0,. Desigemos AM 0 Pr 0, c., desigemos por MA d, MB d e o cmiho AMB por d, em que d d d. d d d b c d b c d b c 0,c., trt se de um fução cotíu o itervlo c d b c c d0 b c, elevdo mbos os membros o qudrdo, obtemos: b c c b c c b c c b b c c b c c ou sej, b c (.) 9
Portto tg tg. De (.) vem que o poto de estcioridde é c c b c b b c b c b d c b c b c c b c c b c b c b b c b c b c c 0 c Como tl d 0 b e portto c b é miimizte de d. c b Um vez que d0 b c, dc c b e d b c cocluímos que c d b é o míimo bsoluto de d em 0,c.... Resolução Geométric Este problem pode ser resolvido geometricmete. Pr tl vmos cosiderr um referecil crtesio com origem projeção do poto A ret r. As coordeds de A e B são A(0, ), Bcb (, ). Sej B' c, b ds bcisss. o simétrico de B em relção o eio Como sbemos, distâci míim etre dois potos do plo é o comprimeto do segmeto de ret que os B ' é o ue. Assim o cmiho mis curto de A segmeto de ret AB '. Ms MB MB ' pelo que 0
o poto M procurdo é iterseção d ret temos: AB ' com o eio O, pois pr outro poto M ' de r AM ' BM ' AM ' M ' B' AB' AM MB usdo s proprieddes d simetri e desiguldde trigulr. Pr determir s coordeds de M, vmos escrever equção reduzid de iterseção com o eio dos. O declive d ret AB ' é m AB' b e su equção reduzid é : c AB ' e clculr su b y. De modo que c pr y 0, vem b c. Portto, como determido teriormete, M é ddo c b por M c,0 b... Feómeo d refrção Sejm P e Q dois potos situdos respetivmete os semiplos y 0 e y 0 de Oy. Supohmos que um poto mteril se desloc de P pr Q segudo um lih quebrd PMQ, em que M é um poto do eio dos. Se v é velocidde o semiplo y 0 e v velocidde o semiplo y 0, vmos mostrr que o poto si v M pr o qul é míimo o tempo de deslocmeto o logo de PMQ é tl que si v sedo (respetivmete ) o âgulo de vértice M, formdo pelo segmeto PM (respetivmete MQ ) com verticl o eio dos em M. Sejm P 0 e Q 0, respetivmete, s projeções ortogois de P e Q sobre o eio dos. Sej Q projeção ortogol de Q sobre verticl e sej Q ' projeção ortogol de Q ret PP 0. Sej PM d, MQ d, PP0, PQ 0 ' b, QQ ' c e QQ '.
Ds leis d físic sbemos que, um movimeto uiforme de um poto mteril, d vt, ode d é distâci percorrid, v velocidde e t o tempo decorrido. d Assim temos d vt t, em que t é o tempo ecessário pr percorrer PM, v e d v t t, em que v d t é o tempo ecessário pr percorrer MQ. Aplicdo o teorem de Pitágors, temos e d b c d. Desigdo por T o tempo ecessário pr o poto mteril percorrer lih quebrd PMQ, T Derivdo, v b c v c T v v b c O vlor de pr o qul T é míimo verific codição T 0. c c T0 0 v v v b c v b c Ms si e si c b c, Dode temos que: si si si v v v si v.
. Problem de Dido O problem de Dido é cohecido como o mis tigo ssocido à determição de máimos e míimos, ou sej o primeiro problem do cálculo vriciol. Segudo mitologi rom, Dido er um prices, filh do rei Mutto d cidde feíci de Tiro e csd com Siqueu, o homem mis rico de todo o reio. Qudo o rei fleceu, Pigmlião, o irmão de Dido, ocupou o troo. Com o objetivo de se poderr ds riquezs do seu cuhdo, Pigmlião ssssiou o. Dido, jutmete com obres tírios, prte um log vigem, vido refugir se cost do Mediterrâeo, o orte de Afric. Aí chegdos form muito bem recebidos pelos idíges e Dido pr se estbelecer pediu lhes um porção de terr, tt quto el coseguisse cercr com pele de um boi. Os idíges cederm tl pedido, pois pele de boi cobri um prcel isigificte de terr. Dido cortou o couro em tirs fis, ligou s pels etremiddes formdo um semicírculo o logo do mr, coseguido dest form obter um vst áre que se veio torr o estdo de Crtgo, tul Tuísi, em 850. C.. O problem de Dido resume se ecotrr mior áre que se pode delimitr com um curv de comprimeto ddo, por isso tmbém chmdo problem isoperimétrico. Iicilmete vmos pesr que Dido coseguiu obter um determido polígoo. Ms que tipo de polígoo? Zeodorus, mtemático grego que se pes ter vivido etre o século III.C e o século I d.c, mostrou que de todos os polígoos de ldos com um perímetro ddo, se eistir um com mior áre, etão este tem os ldos iguis e os âgulos iguis. Pr mostrr este resultdo, Zeodorus bseou se em dois lems. Lem. Um polígoo de ldos com áre máim tem ldos iguis. Ates de os debruçrmos sobre demostrção covém ter presete o fcto de um polígoo ão coveo ão poder ser o que tem mior áre e perímetro fio. Com efeito, cosideremos o polígoo PPP... P. Supodo que mplitude do âgulo PPP é mior que 80º, cosiderdo PP ' P P com mior áre que o polígoo PPP... P ' reflecção de P trvés d ret PP, obtemos o polígoo... P e igul perímetro.
Demostrção do Lem. Sej PPP... P um polígoo com áre máim, como vimos este polígoo é coveo. Com vist um cotrdição vmos supor que os ldos ão são todos iguis. Sejm PP e PP dois ldos djcetes de comprimeto diferete. Sej r ret que pss em P e é prlel PP. Aplicdo o problem de Héro à ret r e os potos P e P, vmos ecotrr um poto M de r que miimize som ds distâcis PM PM. Como sbemos, os âgulos e em M são iguis, dode se coclui que o âgulo MPP é igul MPP, por serem âgulos lteros iteros e. Isto sigific que o triâgulo PMP é isósceles e portto M é diferete de P. Além disso, áre do triâgulo PMP é igul à do triâgulo PPP, pois possuem igul bse e ltur. A som do comprimeto dos ldos PM e MP é meor que som dos ldos do polígoo PP e PP, visto que M é solução do problem de Héro e M P. Vmos gor costruir o triâgulo isósceles PP ' P de modo que PP ' P' P PP PP. A su áre é, clro, mior que áre do triâgulo PPP, um vez que ltur P ' C é mior que ltur MC. Ms isso sigific que áre do polígoo PP ' P... P é mior que do polígoo PPP... P e têm igul perímetro, o que cotrdiz hipótese. Lem. Um polígoo de ldos com áre máim tem os âgulos iguis. Demostrção. Sej PPP... P um polígoo com áre máim. Sbemos que é coveo e pelo Lem. que os seus ldos são iguis. Com vist chegr um bsurdo, vmos supor que os seus âgulos ão são todos iguis. Como tl eistem e dois âgulos djcetes diferetes. Vmos provr que isto implic que eistem dois âgulos ão djcetes diferetes. 4
Cosideremos,,,,,... âgulos cosecutivos do polígoo. Se ou, etão prov está complet, um vez que e (ou e ) são ão djcetes. Se, e, etão sequêci de âgulos é,,,,,..., e prov está complet, pois o primeiro e o qurto âgulo são ão djcetes. Dqui coclui se que eistem dois triâgulos DEF e PQR com iteriores disjutos, cd um formdo por vértices djcetes do polígoo com ldos e em que o âgulo E é meor que o âgulo Q. Visto que, desiguldde etre os âgulos E e Q implic que DF PR. A prtir de DE EF PQ QR E e Q trçmos EG e QT perpediculres respetivmete DF e PR. Costruímos o triâgulo ET' P ' cogruete com o triâgulo QTP. Agor cosidermos o problem de Héro pr ret em que S é o poto em TG ' e os potos TG ' tl que som ds distâcis P ' e F. Sej S solução do problem de Héro, P' S e SF sej míim. Um vez que mplitude de PET ' ' (metde do âgulo Q) é mior que do âgulo FEG (metde do âgulo E ), o poto S ão coicide com E e S ecotr se o segmeto EG. Agor vmos tomr ret QT o segmeto TU de comprimeto igul o segmeto T ' S e cosiderr os triâgulos DSF e PUR. A som dos comprimetos dos ldos desses triâgulos é meor que som dos comprimetos dos ldos dos triâgulos origiis DEF e PQR, um vez que DS SF PU UR SF SP ' FE EP ' DE EF PQ QR. Usámos o fcto dos triâgulos serem isósceles e de S ser solução do problem de Héro. Por outro ldo, áre do PES ' é mior que áre do ESF, um vez que s sus lturs são PT ' ' PR e FG DF e tíhmos mostrdo que DF PR. Em cosequêci, som ds áres dos triâgulos DSF e PUR é mior que som ds áres dos triâgulos DEF e PQR. De fcto, temos A A A A A A A A DSF PUR DEF ESF PQR P' ES DEF PQR 5
Isto sigific que o polígoo DSF... PUR... tem meor perímetro e mior áre que o polígoo origil DEF... PQR.... Agor podemos trtr cd triâgulo (DSF ou PUR ) como trtmos o triâgulo PMP demostrção do Lem., ssim podemos umetá lo pr obter um polígoo isoperimétrico com o polígoo DEF... PQR.... Como áre do ovo polígoo é mior que áre do polígoo DSF... PUR..., é certmete mior do que áre do polígoo DEF... PQR.... Isto cotrdiz hipótese do polígoo...... demostrção do Lem., ssim como do teorem de Zeodorus. DEF PQR ter mior áre e complet Pode se mostrr que: Lem. De todos os polígoos com ldos eiste um com áre máim. Em cosequêci dos lems.,. e., temos: Teorem.4 Um polígoo de ldos e áre máim é regulr. Podemos gor completr resolução do problem isoperimétrico. Sej p o perímetro de um polígoo regulr com ldos e A su áre. Sbemos d geometri que p Rse, ode R é o rio d circuferêci circuscrit e p A r, ode r é o rio d circuferêci iscrit. Temos r Rcos. Jutdo estes resultdos, temos p Atg 4 0. O teorem.4 implic que se p é o perímetro de um polígoo de ldos rbitrário e A su áre, etão p Atg 4 0. (.) A iequção tg (válid pr 0 ) e (.) implic desiguldde pr um polígoo de ldos, qulquer que sej. p 4 A 0, (.) 6
Note se que pr qulquer círculo temos iguldde em que p é o perímetro do círculo e A su áre. p 4 A 0 (.) É válido o seguite resultdo. Lem.5 Pr cd curv fechd do plo de comprimeto * p evolvedo um áre * A e pr cd 0, eiste um polígoo de ldos com perímetro p e áre A, tl que * p p, * A A. Cosideremos etão um curv fechd do plo de comprimeto * p, evolvedo um áre O lem.5 e relção (.) implicm que pr cd eiste um polígoo de ldos com perímetro p e áre A tl que * * * * 4 A 4 A 4 p 4 p 4 p p 4. Como é rbitrário, chegmos filmete à desiguldde * * 4 A p. Tl como visto em (.) temos um iguldde o cso do círculo, o que mostr que áre é máim qudo curv é um circuferêci de perímetro * p. * A. As cosiderções cim coduzem filmete o seguite resultdo. Teorem.6 A áre evolvid por um curv fechd rbitrári de comprimeto ddo ão ecede áre de um círculo de igul perímetro. Este resultdo complet resolução do problem isoperimétrico... Áre de um polígoo regulr em fução do úmero de ldos Um polígoo regulr de ldos, com vértices P, P,., P e perímetro p, pode ser decomposto em triâgulos isósceles iguis. A bse de cd triâgulo mede p e o âgulo oposto à bse rd. 7
Desigdo por h ltur de cd um destes triâgulos, temos: p p p p tg tg h ou sej h h h tg tg p p tg Ai 4 tg p, em que A i é áre do triâguloopp i i, com i,...,. Assim áre de um polígoo regulr de ldos é dd em fução de, por A p p 4tg 4tg (.4) Teorem. Cosiderdo todos os polígoos regulres de igul perímetro, tem mior áre o que tiver mior úmero de ldos. Demostrção. Pr demostrr este resultdo vmos cosiderr fução de vriável rel, A p, com 4tg 4 4tg cos 4cos tg 4 p A p p 4tg 4tg cos 6 tg p 4cos se 4 4 se se p p 6se 6se 8se Iteress estudr o sil do umerdor, um vez que 8se 0,, se se Sej fução de vriável rel,, f y y sey, com y 0. e p 0 8
Como f y cos y, vem f y 0. f y é crescete tedo como míimo bsoluto f 0 0. Coclui se que 0 ysey 0. Fzedo Portto y, vem se 0. p se 0. 8se f y, ou sej Como A ( ) é cotíu e A() 0, podemos cocluir que A ( ) é crescete pr, pelo que sucessão dd em (.4) tmbém é crescete pr. O resultdo terior permite os firmr que pr os polígoos regulres, quto mior é o úmero de ldos, mior su áre. Estuddo gor o limite de lim A A, temos: p lim, fzedo mudç de vriável 4tg y, vem: y p y pycos p lim lim (.5) y04tg y y0 4si y 4 Em qulquer círculo temos : P P r, dode r, logo A P P 4 Por (.5) cocluímos que umetdo o úmero de ldos do polígoo regulr, su áre tmbém umet tededo pr áre de um círculo de igul perímetro. 9
4. Áre de um região trigulr Fórmul 4. (Héro) Se os ldos de um triâgulo medirem bc,,, áre do triâgulo é dd por p p p p A b c, em que p é o perímetro do triâgulo. Demostrção. Cosideremos um triâgulo de bse e ldos b e c. Os ldos b e c têm projeções ortogois, idicds por m e, sobre o ldo. Tomdo h como medid d ltur do triâgulo, reltiv o ldo, segue se que áre d região h trigulr será dd por A. Temos formção de mis dois pequeos triâgulos retâgulos e com eles podemos etrir s três relções: b m h (4.) c h (4.) m (4.) Subtrido (4.) (4.) vem: b c m m m b c m, ou de form equivlete: b c m (4.4) De (4.) e (4.4) obtemos:. Usdo (4.) podemos escrever b c b c m m e Como bc p, obtemos: bcbcc p c cbbcb p b bcbc p c b c b 0
Tedo presete que De (4.) vem A h, vmos em primeiro lugr estbelecer o vlor d epressão 4 h b m bm b m Substituido m e, obtemos: h b c b c b b c b b c b b 4 4 4 b b c b b c b c c b 6 6 bcbccbcb ppcpbp 6 6 p p c pb p p p p p c b h Dode se coclui que p p p p e cosequetemete A b c p p p p A b c 4.. Triâgulo de áre máim e perímetro fio De todos os triâgulos com um ddo perímetro p 0, quis são queles de mior áre? 4... Estudo usdo um fução de um só vriável Em primeiro lugr vmos cosiderr o problem de determir os triâgulos com mior áre, tedo perímetro p e um dos ldos de comprimeto ddo. Admitido que um dos ldos mede e é ddo, e os outros supohmos que medem b e c. Como o perímetro é p, temos pb c, ms como o perímetro tmbém é ddo, ficmos com bc k, em que k é um costte. Ms k p p k.
Pretedemos mimizr áre do triâgulo, ou sej fução p p p p A b c, p pel fórmul de Héro. A é um fução cotíu em 0, logo tige um máimo bsoluto este itervlo. Como A 0, mimizr A será igul mimizr p p p p A b c. Substituido os vlores de e c, temos: A, ou sej mimizr p p p p p p p p A b pk b k b A b k b k b p p p p p p p p A b k b k b A b k k bk b p p Derivdo obtemos: A b k kb p p pk p k p p A b 0 k kb 0bk 0b k 0 4 k p p k b 0 k b p0 pk p 0 é um codição impossível, um vez que p é o perímetro do triâgulo. p p p k p, o que tmbém é impossível pel desiguldde trigulr. Portto A b 0 b k p p p p A b k pk p k p Pel desiguldde trigulr tem se bc pk k pk k de ode se coclui que A k 0 e portto fução A b tem um máimo pr k b.
Trt se de um máimo bsoluto de p A em 0, um vez que Nesse cso, como b c k, temos b c b, ou sej b c. Cocluímos que o triâgulo é isósceles. p 0 0. A A Cosideremos gor um triâgulo de perímetro p e áre máim. Pelo que foi visto teriormete este triâgulo é isósceles, digmos que tem bse e ldos b. p Como perímetro p b, temos pb b. Aplicdo Fórmul de Héro vem p p p p p p A 4 6 8, que é um fução cotíu vriável, p 0,. Derivdo A p p. 8 8 A, obtemos Clculdo os potos de estcioridde de A temos p A 0 p p0 p p 0 p0 p 8 8 8 8 O úico poto de estcioridde é A p ou sej, A p 8 4 temos A p p e é mimizte de 4 p p 4 A A, p p p p 0 8 4 8 A. p 0 0 logo A p é o máimo bsoluto de p A em 0,. Pr p temos perímetro pbb b pelo que se cocluí que o triâgulo é equilátero.
4... Estudo usdo um fução de dus vriáveis Ddo um triâgulo de perímetro fio, digmos p, e ldos,b, c,que relção deve eistir etre os ldos pr que áre triâgulo sej máim? Pel fórmul de Héro sbemos que áre é dd por p p p p A b c, ms mimizr A é equivlete mimizr p p p p. A b c Como o perímetro é p, temos bc pc p b. Assim o que pretedemos mimizr é fução de dus vriáveis e b, dd por p p p p p p p p f, b b pb bb defiid p p D 0, 0,. Note se que f é cotíu logo tige um máimo bsoluto este domíio. N froteir de D tem se f 0. em Clculemos s derivds prciis f p p p p p p p p bb b bpb f p p p p p p p p b b pb b p p b p b f(, b) p p p b p p b p b 0 f(, b) 0 p p p b 0 4
D ª equção vem p0 pbb p p 0 é impossível, porque esse cso o triâgulo teri perímetro 0. pbc b, o que é impossível pel desiguldde trigulr. Substituido b p outr equção, obtemos: p p 0 p p p p pp40 p0 p p Ms como vimos p 0 é impossível. Se p, vem 0 b, tedo se f,0 0. Rest os o cso em que p, dode se coclui que p p etremo de f o iterior de D é o pr b,,. Clculemos etão s derivds de ª ordem: b p. Portto o úico cdidto f p p b f p p b f p p p p p p b b b p p p p p p p p p p p 6 H, p p p p p p p p p 6 p p 4 4 p p 6 p p H, 0 p p 6 44 6 5
Como f p p p, 0 6 p p e H, 0, cocluímos que f b, tem um máimo locl p p pr b,,. Como D. p p p p p p p p p f, 0 trt se do máimo bsoluto de f em 6 p Um vez que c pb, cocluímos que o triâgulo de perímetro p com mior áre é o p triâgulo equilátero de ldo. 6
5. As belhs e mtemátic As belhs são us seres muito curiosos ível orgizciol, compleidde de meios de comuicção usm, que lhes permite por eemplo silizção perfeit dos locis ótimos de colheit de póle. No que toc à produção de mel e cer, costrução dos fvos tmbém prece obedecer um plo elbordo com bse em cálculos mtemáticos. O estudo dos lvéolos ds belhs suscitou o iteresse de vários sábios, como por eemplo Pppus de Aledri e Johes Kepler. Pppus de Aledri (0 d.c.) foi o primeiro iteressr se pelo problem e estudou lvéolos em form de prisms de secção trigulr, qudrd e hegol, cocluido que o hegol poderi rmzer mis mel dos que os outros dois. Esmus Brtholi, pelo que se cohece, foi o primeiro dmitir hipótese que o trblho ds belhs d tih ver com um questão de ecoomi, ms que resultv d impossibilidde de costruírem predes que ão fossem pls, devido à pressão eercid por outrs belhs. Johes Kepler deduziu, prtir dum estudo de ocupção do espço, que todos os âgulos diedros deverim ser de 0º. Cerc de 700, Reé Atoie Ferchult (68 757), fmoso físico frcês, defedeu que se trtv de um problem de máimo e de míimo, que s belhs resolverim com o ituito de miimizr utilizção de cer. Pr lém de usr form hegol, o fudo de cd lvéolo é costituído por três losgos iguis, formdo um bse poliédric cove. Este tipo de fudo, em vez de fudo plo, permite ecoomizr um lvéolo em cd ciquet, que em milhões e milhões de lvéolos represet um ecoomi iclculável. Reé costtou que o âgulo gudo dos losgos do fudo do lvéolo er costte. Esse fcto levou o ivestigr lvéolos d Alemh, Suiç, Iglterr e Cdá e todos presetvm losgos com o mesmo âgulo. Domiique Mrldi (709 788) mediu com mior precisão o tl âgulo gudo e chou 70º em todos os lvéolos. Etão, itrigdo, Reé decidiu cosultr o seu migo e otável mtemático Smuel Köig (7 757), propodo lhe o seguite problem: É ddo um prism hegol regulr. Esse prism é fechdo um ds sus etremiddes por três losgos iguis. Pergut se: Qul deve ser o âgulo desse losgo de modo que se obteh pr o prism um volume máimo com mior ecoomi de mteril? Köig descoheci s pesquiss feits pelo seu migo Reé e o trblho de Mrldi, resolveu o problem, firmdo que o âgulo dos losgos er 70º 4. A comuidde cietífic frces ficv impressiod, s belhs errvm, ms o seu erro míimo. Aliás o erro do âgulo, em dois miutos, só poderi ser precido com istrumetos de precisão. Ms o fcto mis impressiote resultou de um estudo de um mtemático iglês, Coli Mc Luri (698 746), que retomou o problem e o resolveu com recurso cálculo diferecil cocluido que 7
o âgulo do losgo que torv o lvéolo mis ecoómico deveri medir 70º, ou sej s belhs estvm certs. Mc Luri defedeu Köig, firmdo que este tih errdo devido o uso de um tábu de logritmos que cotih um erro e idicou ode estv o erro. Provv se etão que s belhs resolvim um problem de lt mtemátic. 5.. Porque é que os lvéolos ds belhs são hegois? Os fvos são costruídos com cer que s belhs produzem, pelo que vism costruir um úmero máimo de lvéolos, gstdo o míimo possível de cer. No século XVIII Rémur firmv que s belhs resolvim um grde problem cuj solução er difícil pr os mtemáticos d époc: No meor espço, costruir céluls regulres e iguis, com mior cpcidde e solidez, empregdo meor qutidde de mtéri possível. Se pesássemos um fvo isoldo, o problem ão é mis do que um problem isoperimétrico, cuj solução é, como sbemos, o círculo. O que levrá etão s belhs optrem pelos heágoos regulres em detrimeto dos círculos? A primeir rzão que slt à vist prede se com ecessidde de justpor os fvos e se estes tivessem form de círculo, hveri etre eles espço desperdiçdo. Abdodo o círculo, opção iri recir um polígoo regulr que permitisse pvimetção do plo, que permitisse cobri lo sem deir espços vzios em hvedo sobreposição. Tl codição implicv que o âgulo itero deveri ser um divisor de 60º, pelo que s hipóteses possíveis serim o triâgulo equilátero, o qudrdo e o heágoo regulr. Como visto teriormete, de todos os polígoos regulres com igul perímetro, tem mior áre o que possuir mior úmero de ldos. Por coseguite escolh ds belhs só poderi ser o heágoo regulr. De fcto, como com qulquer polígoo que permit pvimetr, o usrem heágoos cd prede é prtilhd por dois fvos. No esquem o ldo podemos perceber que o costruir todos os fvos em redor, s belhs ghm o fvo do meio sem usrem ehum qutidde diciol de cer. 8
5.. Porque rzão o fudo dos lvéolos ão é plo? O fudo dos lvéolos ão é plo, ms sim formdo por três losgos de âgulo costte. Pr determir o volume e áre vmos seccior o lvéolo segudo os plos AA' O e correspode um terço do iicil. CC ' O obtedo o sólido ABCOA' B C ' O que Admitido que o ldo do heágoo d bse mede l e o ldo do losgo do topo mede, temos: e OO ' l pelo que como B ' B l OO ' 0 e BB ' 0, podemos cocluir que OO ' BB '. Assim podemos firmr que o volume do sólido A' BCOO ' ' ' é igul o volume do sólido A' OCBB ' ' ', dode se coclui que o volume do prism trucdo ABCOA' B C ' O é igul o volume do prism ABCOA' B ' C ' O '. Isto sigific que o volume do prism trucdo ão depede do âgulo do losgo do topo. Determir áre do losgo A' OC' B Cosiderdo o triâgulo A' BC ' ', temos AC ' ' se60º l A' C ' l OB tg OB A' C ' tg l tg AC ' ' com 0 e 0 9
AC ' ' OB AAOC ' ' B l tg Áre do trpézio BCC ' B Vmos desigr por I, o poto de iterseção ds digois do losgo A' OC' B. O poto I é o poto médio de A ' C ' é tmbém iterseção ds digois do losgo A' OCB ' ' '., como tl, o poto I Cosiderdo o triâgulo retâgulo em B ', B BI, temos pelo teorem ' de Pitágors: OB BO ' ' l l l BB ' BB ' tg BB ' tg 4 4 4 e como BB ' 0, vem l BB ' tg. D iguldde l 4 result que tg 0 ' tg BB ou sej que tg. Ms como 0, vem 0 e temos tg, portto 6. Etão áre do trpézio BCC ' B é l h tg BBCC ' h B ' Bh ABCC ' B BC l l l l h tg ode estmos usr h CC'. Áre totl do lvéolo BCC ' B A' O C ' B l 9 A 6A A lh tg l tg, 40
Cálculo do míimo derivdo em ordem se tg cos l 9l l 9l A 4 tg 4cos tg 4cos se 9l tg 9l 9l, 4 cos tg 4cos 4cos tg iguldo zero tg tg 9l A 0 0 4cos tg tg tg tg, como os dois membros d equção terior são positivos e elevdo mbos o 6 qudrdo temos tg tg tg tg tg rctg rctg, rd 70º ' rctg A 0 A míimo 4
Como l 9 A l h tg l tg obtemos o vlor míimo d áre l 9 Arctg l h l 6hl l. Cso bse fosse pl áre totl seri bse com losgos áre é meor. A 6hl l e como tl comprov se que usdo 5... Cálculo do âgulo diedro dos losgos, qudo áre é míim. Sej o âgulo diedro dos losgos. Tomdo o triâgulo retâgulo OGB GB se OB Coforme visto teriormete, OB ltg, temos: Qudo áre é míim, tg 6l, logo vem OB. Tmbém já sbemos que: AC ' ' l tg OB 6 l 4 dode si cotg. Aplicdo um vrite d fórmul fudmetl d trigoometri temos: cotg se. se se Como 0, temos 6 se. 4
Etão 6 GB 6l 6 6l GB GB l. Tomdo gor o triâgulo isósceles B GD, cocluímos, um vez que os potos B e D pertecem um plo prlelo à bse, que BD BD A' C' l, dode BD l se BG l e como 0, temos 60º 0º. O âgulo efetudo pelos losgos que permite otimizr áre é, tl como Kepler tih firmdo, 0º. 5... Âgulo de iclição dos losgos do topo Ns codições que grtem áre míim do lvéolo, podemos clculr mplitude do âgulo que os losgos do topo fzem com ltur do lvéolo. Desigdo por o âgulo pretedido e plicdo trigoometri, temos se BO BO, coforme figur o ldo. B O BO De cálculos feitos teriormete, qudo áre é míim sbemos que 6 OB l, dode l 6 se se se, 6 6 l pelo que 54,76º. 4
6. Produto máimo 6.. Som fi Problem 6. Ddos dois úmeros reis ão egtivos e y com som fi, qul será o seu produto máimo? 6... Estudo usdo um fução de um só vriável. Digmos que y c, em que c é um costte positiv de. Pretedemos mimizr p y, ms como y c, fução mimizr vem p c c, 0, c Como fução. p é cotíu pelo teorem de Weierstrss sbemos que fução tem um máimo e míimo bsolutos em 0,c. Derivdo obtemos pc, 0 c. 0 0 p c 0 0 e Como p pc c c c c p c c, 4 cocluímos que fução tem míimo bsoluto igul 0, em 0 e c e máimo bsoluto igul c 4 em c. c c Como y c, cocluímos que, s codições do eucido, o produto é máimo qudo os úmeros forem iguis. 6... Estudo usdo um fução de dus vriáveis Vmos gor resolver o mesmo problem trblhdo com fuções de dus vriáveis e plicdo o método dos multiplicdores de Lgrge. Sej g, y y c. Vmos determir os etremos de p, y y sujeits à codição g, y 0. y, com s vriáveis e 44
Cosidermos fução P, y y y c, e o sistem P 0 y 0 P 0 0 y y c g, y 0 D ª equção si que equção obtemos c P, y que stisfz y, substituido ª obtemos y. Substituido gor ª. E portto o pr y g, y 0. Como s vriáveis e y estão sujeits à codição g, y 0, fução p, y fic restrit um segmeto de ret o º qudrte cujos etremos têm coordeds 0,c e c,0 c c,, é o úico poto de estcioridde de. Pelo teorem de Weierstrss, como fução p é cotíu um cojuto limitdo e fechdo el possui máimo esse cojuto. 0,,0 0 e Como p c pc c, c c p 4, cocluímos que fução tem um máimo igul c 4 c c pr y,,. 6.. Som dos qudrdos fi Problem 6. Ddos dois úmeros reis e y com som dos seus qudrdos fi, qul será o seu produto máimo? 6... Estudo usdo um fução de um só vriável Digmos que y c, em que c é um costte positiv de. Pretedemos mimizr p y Fzedo c cost e y c set, com t 0,, fução mimizr será 45
c p t c t t t cos se se, t 0, Como p é cotíu e t 0, bsolutos em 0,. cos, t 0, p t c t, pelo teorem de Weierstrss fução p tem míimo e máimo p t t c t t t k k t k 5 7 t, k t0, t t t t 4 4 4 4 4 0 0, cos 0 0,, 0, Clculdo os vlores d fução os potos froteiros do itervlo temos, c p0 se00 c p se 0 5 c Por outro ldo p p 4 4 e 7 c p p, dode se cocluí que fução 4 4 tem máimo bsoluto igul c em t ou 4 5 t e míimo bsoluto igul 4 c em t 4 7 ou t. 4 Pr t, temos 4 c e y c 5 e pr t obtemos os seus vlores simétricos, 4 c e y c. 6... Estudo usdo um fução de dus vriáveis De form álog sej gor p, y g, y y c e vmos determir os etremos de y, com s vriáveis e y sujeits à codição g, y 0. O fcto ds vriáveis estrem sobre um circuferêci e de p ser um fução cotíu grte os pelo teorem de Weierstrss que fução tem um máimo e um míimo bsolutos o cojuto y g y, :, 0. 46
Cosidermos fução P, y y y c P 0 y 0 P 0 y 0 y y c g, y 0, e o sistem Se 0, d ª equção sí que y 0. Etão pel ª equção cocluímos que c 0 cotrdiz hipótese. Como 0, d ª equção si que y y y y y y 0 0 y y c y c y c y, substituido ª equção, o que obtemos c Se, y. Substituido gor ª equção obtemos c y e se c, obtemos igulmete c y. c, ou sej c. c c Etão os pres ordedos,, c, c, c, c e c, c, são os g, y 0. potos de estcioridde de P, y que stisfzem Clculdo s imges d fução os potos de estcioridde, temos c c c c c p, p, e c c c c c p, p,, c c dode se coclui que fução tige máimos os potos de coordeds, e c c c c, e míimos os potos de coordeds, e c, c. 47
Do poto de vist geométrico, cosiderdo e y positivos, este problem será equivlete sber qul o retâgulo de mior áre que se pode iscrever um circuferêci. A respost será um qudrdo cuj digol é igul o diâmetro. 48
7. Outros problems Problem 7. Determie s dimesões do retâgulo de mior perímetro que pode ser iscrito elipse y, b, 0. b Cosiderdo, y um poto d elipse tl que y, 0, pel simetri d elipse, o perímetro do retâgulo el iscrito, coforme figur o ldo, vem ddo por p4 4y. De y b, vem y b b y b y e como y 0, temos b p 44 b, 0. Etão Como p é cotíu em 0,, pelo teorem de Weierstrss, bsolutos em 0,. Derivdo, p 44 b Pr 0,, 0. b b p044 0 b Elevdo mbos os membros o qudrdo b b e como 0, temos b dode 4 4 4 b b b y. p possui máimo e míimo 4 b b b b b b b y b b b b b 49
Tem se, p 0 4b 4 p 4 4 b 4 b 4 4 p b b b b b 4 4 4 b b 4 b b 4 4b 4 4 4 b b b b b b Como 4 4 4 d fução cotiu b e 4 4 4 p restrit o itervlo b b b coclui se que 0,. 4 b é o máimo O retâgulo de mior perímetro que pode ser iscrito elipse comprimetos b e b b. y b tem ldos de Resolvedo o problem usdo um fução de dus vriáveis e plicdo o método dos multiplicdores de Lgrge, pretedemos mimizr p, y 4 4y restrit o cojuto, :, 0 0 0, com g, y b y b C y g y y Sej P, y 4 4y b y b soluções do sistem., pr 0 e y 0. Vmos determir s P 0 4b0 P 0 4y0 y b y b g, y 0 Como 0 d ª equção si e substituido ª equção obtemos b 4y 4y b 4 0 4yb y. b b Substituido gor ª equção temos 50
b b b b b b b b 4 4 b b Como 0, vem b 4 4 4 4 dode b b y y b b. Comprdo os vlores de p,0 4, p 0, b 4b e b b p, 4 4 b b b b, cocluímos que o máimo d fução p restrit o cojuto C é 4 b. Problem 7. Qul é o retâgulo de perímetro máimo iscrito um circuferêci de rio r? Este problem é um cso prticulr do problem terior em que b r. Vimos resolução do problem terior que p b 4, tigido qudo b b y e o que o perímetro máimo er. Como este cso b r, efetudo s substituições cocluímos que o perímetro máimo será p 4 r r 4 r e que tl cotece r r r r qudo r e y r r. r r r Assim, e tedo em cosiderção o problem 6., podemos firmr que o retâgulo de perímetro máimo e áre máim que se pode iscrever um circuferêci é um qudrdo cuj digol é igul o diâmetro. Problem 7. Determie s dimesões do retâgulo de mior áre que pode ser iscrito elipse y, b, 0. b 5
A áre é dd por A 4y, ode como foi visto o problem terior. A4 b, 0 b b A 4 4 b y, 0 0 A Elevdo o qudrdo 4 4 4 4 Como 0, vem b b y b Um vez que A0 0 A 0 A b cocluímos pelo teorem de Weierstrss que b é o máimo d fução cotíu A, o itervlo 0,. O retâgulo de mior áre que pode ser iscrito elipse y b tem ldos de comprimetos e b. Resolvedo o problem com um fução de dus vriáveis e plicdo o método dos multiplicdores de Lgrge, pretedemos mimizr A y, 4y restrit o cojuto, :, 0 0 0, com g, y b y b C y g y y. 5
pr 0 e y 0. Vmos determir s soluções Sej F, y 4y b y b do sistem F 0 4 y b 0 F 0 4 y 0 y b y b g, y 0 y Como 0 d ª equção si e substituido ª equção obtemos b 4y b 4 0 4 y 4b y b, ms como y 0 b temos y. Substituido gor ª equção temos b b b b b b b b b b. Como 0 vem e b y y b. Clculdo A,0 0 A 0, b 0 A, b b e comprdo os vlores cim cocluímos que fução cotíu A restrit o cojuto C, tige um máimo o poto de coordeds, b. Problem 7.4 Fz se girr um triâgulo retâgulo de hipoteus h em toro de um dos seus ctetos, gerdo um coe circulr reto. Qul o volume máimo do coe? Sejm e y os ctetos do triâgulo, em que será o rio d bse do coe, y ltur e cosiderdo rotção em toro de y. O volume do coe será v y. 5
Pelo teorem de Pitágors temos: ms como o osso cso y 0, vem h y y h y h. v h, 0 h. Substituido o volume obtemos fução cotíu Derivdo vem h h v h h h h Resolvedo equção h v0 0 h h h 0h, 0 h ms um vez que 0, só os iteress solução positiv. Portto o úico poto, do domíio cosiderdo, ode derivd do volume se ul é Estudemos etão mootoi d fução que trduz o volume. 6 h. 0 6 h h v 0 v 0 máimo 0 O volume do coe é máimo em 6 h e por cosequêci 6 y h h h. O vlor máimo do volume é 6 v h h h h h. 7 Podemos tmbém resolver este problem recorredo à trigoometri. Sej o âgulo que hipoteus fz com o cteto que será ltur do coe. 54
Assim temos hse e y hcos, 0,, pelo que o volume será v h se cos. Tomemos gor fução cotíu f h se cos, 0,. Derivdo obtemos f h secos h se h secos se hsecos. Iguldo zero vem f0 h secos 0 se 0cos se 0cos. Pr 0, úic solução possível é cos rccos. D fórmul fudmetl d trigoometri temos se cos se se e como 0,, vem 6 se, dode outro ldo rccos. f rccos h h. Por 7 f 0 0 e f 0, pelo que fução f tige o vlor máimo em Como v é fução f restrigid 0,, cocluímos que pr rccos obtemos o máimo do volume igul v rccos h h. 7 55
Resolvedo usdo um fução de dus vriáveis, plicdo o método dos multiplicdores de v, y Lgrge, pretedemos mimizr, :, 0 0 0, com g, y y h C y g y y tem se pr y, 0: Sedo V, y y y h V y V y y h y Procurmos s soluções do sistem V 0 y 0 V 0 y 0 y g, y 0 y h Como 0, d ª equção vem y 0 y. Ou sej o osso cso y. Substituido gor ª equção temos h y y h y h y dode si y h e 6 h. y restrit o cojuto. y e substituido ª equção obtemos O poto de estcioridde de V que stisfz g, y 0 é o poto de coordeds 6 h, h e temos,0 0 v 0, h 0 e v h, 6 v h, h h 7 dode se cocluí que h é volume máimo. 7 56
Problem 7.5 Determie o volume do mior cilidro circulr reto que pode ser iscrito um esfer de rio r. Um ds forms de bordr este problem é recorrer o problem terior. Imgiemos um coe obtido pel rotção de um triâgulo retâgulo, cuj hipoteus é o rio d esfer, em toro de um dos seus ctetos, idicdo por y figur. O rio d bse do coe de volume máimo será igul o rio d bse do cilidro de volume máimo. Do problem terior vem que o coe com vértice o cetro d esfer de volume máimo tem rio d bse 6 r e ltur y r. Portto o cilidro de volume máimo tem rio d bse 6 r e ltur y r dode se coclui que o volume máimo do cilidro é 6 4 V r r r, ou sej 9 do volume d esfer. Problem 7.6 Qul o coe de volume máimo que se pode iscrever um esfer de rio R? Sej h ltur do coe, r o rio d bse do coe e R o rio d esfer. O volume do coe é v hr ms pelo teorem de Pitágors r R h R r hr h e v h h hr h hrh, 0h R. Derivdo pr 0h R 4hR h vh 57