Matemática I Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares
Objectivos Matrizes especiais e propriedades do produto de matrizes Matriz em escada de linhas Resolução de sistemas de equações lineares Classificação de sistemas de equações lineares
Matrizes especiais e algumas propriedades Matriz nula e matriz identidade Matriz nula É uma matriz de qualquer dimensão m n, com todos os elementos iguais a 0 (zero). Por exemplo [ ] 0 0 0 0 0 0 2 5 = 0 0 0 0 0 Matriz identidade É uma matriz quadrada, diagonal, com os elementos da diagonal todos iguais a 1. Por exemplo: 1 0 0 I 3 = 0 1 0 0 0 1
Matrizes especiais e algumas propriedades Propriedades das matrizes nula e identidade Adição e Produto de Matrizes Seja A uma matriz de dimensão m n. Então: A + 0 m n = 0 m n + A = A; A I n = A = I m A.
Matrizes especiais e algumas propriedades Matriz transposta Matriz transposta Seja A uma matriz m n. Chama-se transposta de A, e denota-se por A T, à matriz n m cujas linhas coincidem com as colunas de A. Propriedades da Matriz Transposta: ( A T ) T = A; (AB) T = B T A T. Exemplo A = [ 1 1 4 3 0 2 ] = A T = 1 3 1 0 4 2
Matrizes especiais e algumas propriedades Matrizes simétrica e anti-simétrica Uma matriz A diz-se simétrica se coincide com a sua transposta, isto é, A = A T ; A diz-se anti-simétrica se A = A T Exemplos 1 2 3 2 7 1 = A T = A é simétrica. } 3 1 {{ 0 } A 0 2 3 0 2 3 2 0 1 = 2 0 1 A anti-simétrica. } 3 1 {{ 0 } 3 1 0 A
Matriz em escada de linhas Definição Uma matriz em escada de linhas é uma matriz em que, por baixo do primeiro elemento não nulo de cada linha, e por baixo dos elementos anteriores da mesma linha, todas as entradas são nulas. Numa matriz em escada de linhas, chama-se pivot ao primeiro elemento não nulo de cada linha
Matriz em escada de linhas Exemplos 1 2 3 4 5 A = 0 0-1 2 3 ; B = 0 0 0 1 2 1 2 3 4 C = 0 0 2 5 0 0 4 6. 0 0 0 0 1 2 3 0-3 5 0 0 5 A, B são matrizes em escada de linhas; C não é. ;
Operações elementares sobre as linhas de uma matriz Operações elementares Troca de duas linhas i e j (L i L j ); Multiplicação de uma linha i por um número α diferente de zero (αl i ); Substituição de uma linha j pela que se obtém adicionando-lhe o produto de outra linha i por um número real α (L j + αl i ). Nota: De forma análoga se definem as operações elementares sobre colunas e representam-se por C i C j, αc i e C j + αc i.
Operações elementares Exemplos 1 3 1 2 0 1 L 1 L 3 3 1 1 4 3 2 0 2 1 1 2 e 4 2 0 2 0 1 6 0 6 1 4 L 2 L 3+2L 1 3 1 1 2 0 1 1 3 1 4 3 2 0 1 1 2 4 1 2 e 4 2 0 2 0 1 2 4 6
Condensação ou Eliminação de Gauss Definição A condensação ou eliminação de Gauss de uma matriz consiste em efectuar operações elementares sobre linhas e/ou colunas de modo a transformar a matriz dada numa matriz em escada de linhas.
Condensação ou Eliminação de Gauss Exemplo 1 2 0 1 2 0 1 3 L 2 2L 1 1 1 0 2 1 2 0 1 0 4 1 1 0 3 0 3 1 2 0 1 0-3 3 3 4 4 3 15 0 0 4 4 3 4 L 2 1 2 0 1 0 4 1 1 1 1 0 2 L 3+L 1 1 2 0 1 3 3 0 3 L 4 4 3+L 2 0 3 0 3
Classificação de sistemas Característica de uma matriz Chama-se característica de A, e denota-se por car(a), ao número de linhas não nulas da matriz em escada de linhas que se obtém de A através da sua condensação.
Classificação de sistemas Representação matricial de um sistema de equações lineares Os sistemas de equações lineares têm uma representação matricial. Por exemplo: onde x + y + 2z = 7 x 2y 3z = 1 x y + z = 0 A é a matriz dos coeficientes; x é a matriz das incógnitas; 1 1 2 1 2 3 1 1 1 } {{ } A b é a matriz dos termos independentes. x y z }{{} x = 7 1 0 }{{} b
Classificação de sistemas Representação matricial de um sistema de equações lineares O sistema anterior pode resumir-se na matriz ampliada do sistema 1 1 2 7 [A b] = 1 2 3 1 1 1 1 0
Classificação de sistemas Classificação usando a noção de característica Um sistema Ax = b pode classificar-se da forma seguinte: sistema possível determinado (SPD), se car(a) = car([a b]) = n o de incógnitas sistema possível indeterminado (SPI), se car(a) = car([a b]) < n o de incógnitas sistema impossível (SI), se car(a) < car([a b]).
Classificação e resolução de sistemas Algoritmo de Gauss Consiste em proceder à eliminação de Gauss da matriz ampliada [A b] (efectuando operações elementares sobre linhas e/ou troca de colunas), de modo a obtermos uma matriz em escada de linhas, ficando com um novo sistema de equações de mais simples resolução, equivalente ao inicial.
Classificação e resolução de sistemas Exemplos Classifique e resolva, quando possível, os seguintes sistemas usando o algoritmo de Gauss. x + y + 2z = 7 x 2y 3z = 1 x y + z = 0 ; x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 x 3 = 1 2x 1 + 2x 3 = 2 x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 x 1 2x 2 = 5 2x 1 4x 2 2x 3 = 1
Fim