exercícios de teoria de úmeros 1 1. Usado os axiomas mostre que: (a) a (b + c) = a b + a c (b) (a + b) = a + a b + b (c) a + (b + c) = (c + a) + b (d) (b a) + (c b) + (a c) = 0. Use os axiomas para mostrar que: (a) ( 1) a = a (b) (a b) = a ( b) (c) ( a) ( b) = a b (d) (a + b) = ( a) + ( b) 3. Use os axiomas para mostrar que a b = 0 =) a = 0 _ b = 0: 4. Mostre que, se a, b e c são iteiros, com a > b e b > c, etão a > c. 5. Determie os valores de: 3 (a) 4 1 (b) 4 (c) 7 (d) [ ] (e) [3] (f) [ ] 6. Qual o valor de [x] + [ x], para qualquer úmero real x? 7. Mostre que [x] + [x + 1=] = [x]. 8. Mostre que [x + y] [x] + [y]. 9. Use idução matemática para mostrar que, sempre que é um iteiro positivo, se tem <. 10. Ecotre uma fórmula que permita calcular a soma dos primeiros úmeros pares e demostre a sua validade usado idução. 1 1 11. Ecotre uma fórmula que permita calcular A com A =, para qualquer 0 1 iteiro positivo e demostre a sua validade usado idução. 1. Os úmeros de Fiboacci de em-se recursivamete por f 1 = f = 1; f = f 1 + f ; para 3: P Ecotre uma expressão que permita calcular f k e mostre a sua validade usado idução. k=1
exercícios de teoria de úmeros 13. Use o segudo pricípio de idução matemática para mostrar que qualquer úmero de Fiboacci, para 3, satisfaz f >, com = 1 + p 5. 14. Se for = 1 + p 5 15. Mostre que f 1, para. e = 1 p 5, mostre que f = p, para Z +. 5 Q 16. Ecotre uma fórmula para calcular k. 17. Mostre que P k=1 k=1 ( 1) k 1 k = ( 1) 1 ( + 1). 18. Mostre que: 3j99; 5j145; 7j343; 888j0. 19. Mostre que 1001 é divisível por 7, por 11 e por 13. 0. Dos seguites iteiros quais são divisíveis por : 0; 144; 1716; 19544; 85714; 195518? 1. Mostre que se a e b são iteiros tais que ajb, etão a k jb k, para qualquer iteiro positivo k.. Mostre que se m e > 0 são iteiros, etão: 8 h m + 1 < m i se m 6= k 1 para qualquer iteiro k = h : m i + 1 se m = k 1 para algum iteiro k 3. Demostre que a soma dos cubos de 3 iteiros cosecutivos é divisível por 9, usado idução e sem usar idução. 4. Demostre que 5 é divisível por 5, para qualquer iteiro positivo, usado idução e sem usar idução. h 5. Mostre que, sempre que é um iteiro ão egativo, + p 3 i é impar. 6. Coverta (ABCDEF ) 16, (DEF ACED) 16 e (9A0B) 16 para biário. 7. A represetação de iteiros em computador é feita usado grupos de k bits para cada iteiro. O bit mais à esquerda represeta o sial, 0 para positivo e 1 para egativo. A seguir aparece o valor absoluto do úmero, se este for positivo, ou o complemetar de cada bit se for egativo (O complemetar de 0 é 1 e de 1 é 0). Por exemplo, para um computador que trabalhe com sequêcias de 6 bits, 8 represeta-se por 0011000 e 8 por 110111. (a) Ecotre a represetação, usado sequêcias de 6 bits, dos seguites iteiros: ; 31; 7; 19. (b) Que iteiros são represetados, em sequêcias de 5 bits, por: 11001; 01101; 10001; 11111?
exercícios de teoria de úmeros 3 8. Efectue as seguites operações: (a) (101111011) + (1100111011) (b) (11111101011111) (10001000111101) (c) (11101) (110001) 9. Ecotre o quociete e o resto quado (110011111) é dividido por (1101). 30. Uma dúzia são 1 uidades e uma grosa são 1 dúzias. Usado aritmética de base 1, resolva os problemas: (a) Se 3 grosas, 7 dúzias e 4 ovos são retirados de uma prateleira ode há 11 grosas e 3 dúzias de ovos, quatos lá cam? (b) Se 11 grosas, 10 dúzias e 6 ovos tiverem que ser divididos em três partes iguais, quatos ovos há em cada lote? 31. Mostre que um iteiro positivo a base b tem [log b ] + 1 algarismos. 3. Determie quais dos seguites iteiros são primos: 101; 103; 107; 111; 113; 11; 01; 03; 07; 11; 13; 1. 33. Use o crivo de Erastótees para ecotrar todos os primos iferiores a 00. 34. Ecotre todos os primos que sejam a difereça da quarta potêcia de dois iteiros cosecutivos. 35. Mostre que ão há ehum primo da forma 3 + 1 à excepção de. 36. Mostre que se a e são iteiros positivos e a 1 é primo, etão é primo e a =. 37. Seja um iteiro maior do que 1. Seja p o meor factor primo de. Mostre que, se p > 3p, etão ou é primo ou é 1. p 38. Mostre que os úicos 3 primos da forma p, p +, p + 4 são 3, 5 e 7. 39. Veri que a cojectura de Goldbach para os seguites valores de : 50; 98; 10; 144; 00;. 40. Goldbach também cojecturou que qualquer iteiro impar maior do que 5 é a soma de 3 úmeros primos. Veri que-o para os seguites valores de : 7; 17; 7; 97; 101; 199. 41. É possível mostrar que: () = ( ( p ) 1) + + + + + + + + p 1 p p p 3 p r 1 p r + + + + p 1 p p 3 p 1 p p 4 p r p r 1 p r p 1 p p r + com p 1, p,..., p r primos meores ou iguais a p e ( p ) = r. Use esta expressão para calcular (00) e compare com o resultado obtido o exercício 33.
exercícios de teoria de úmeros 4 4. Ecotre o máximo divisor comum dos seguites pares de úmeros: 15 e 35; 0 e 111; 1 e 18; 99 e 100; 11 e 11; 100 e 10; 90 e 100; 7 e 45. 43. Seja a um iteiro positivo. Qual o máximo divisor comum de a e a? 44. Seja a um iteiro positivo. Qual o máximo divisor comum de a e + a? 45. Seja a um iteiro positivo. Qual o máximo divisor comum de a e 1 + a? 46. Desevolva em fracção cotíua o úmero 105 38 47. Mostre que, sedo f(x) = a x + a 1 x 1 + ::: + a 1 x + a 0, etão há um iteiro y tal que f(y) ão é primo. Sugestão: Supor f(x) = p primo, para qualquer x e cocluir que pjf(x + kp) para qualquer k iteiro. Tome em cosideração que um poliómio de grau toma cada valor o máximo vezes. 48. Seja um iteiro maior do que 3 e seja p um primo tal que 3 p ão divide. < p <. Mostre que 49. Determie mdc(a + b ; a + b), sedo a e b primos etre si. 50. Mostre que, se a e b são iteiros ão simultaeamete ulos e se c ão é ulo, etão mdc(ca; cb) = jcjmdc(a; b). 51. Ecotre um cojuto de três iteiros primos etre si que ão sejam primos dois a dois. 5. Ecotre o máximo divisor comum de cada um dos cojutos: f8; 10; 1g; f5; 5; 75g; f99; 9999; 0g; f6; 15; 1g; f 7; 8; 35g; f0; 0; 1001g. 53. Mostre que, se k é iteiro, etão 6k 1, 6k + 1, 6k + 3, 6k + 5 são primos etre si dois a dois. 54. Mostre que todo o iteiro maior do que 6 é uma soma de dois úmeros primos etre si maiores do que 1. 55. Mostre que, se a, b, c e d são iteiros tais que b e d são positivos e mdc(a; b) = mdc(c; d) = 1 e a b + c é iteiro, etão b = d. d 56. Use o algoritmo de Euclides para determiar o máximo divisor comum de: 45 e 75; 10 e ; 666 e 1414; 0785 e 44350. 57. Expresse o máximo divisor comum de cada par de iteiros do exercício aterior como combiação liear desses iteiros. 58. Ecotre o máximo divisor comum de: 15, 35 e 90; 300, 160 e 5040; 140, 6660, 15540 e 19980. 59. Expresse o máximo divisor comum de cada grupo de iteiros do exercício aterior como combiação liear desses úmeros. 60. Ecotre a factorização em factores primos de 4849845. 61. Quais os iteiros positivos que têm exactamete 3 divisores? E 4 divisores?
exercícios de teoria de úmeros 5 6. Mostre que se a e b são iteiros positivos e a 3 jb, etão ajb. 63. Se p a divide e p a+1 ão divide, diz-se que p a divide exactamete e escreve-se p a jj. Mostre que, se p a jjm e p b jj, etão p a+b jjm. 64. Mostre que se a e b são iteiros positivos etão mdc(a; b)jmmc(a; b). Quado é que mdc(a; b) = mmc(a; b)? 65. Resolva, se possível as seguites equações diofatias lieares (a) 17x + 13y = 100 (b) 1x + 14y = 147 (c) 60x + 18y = 97 66. Um merceeiro compra maçãs e larajas e gasta 839 uidades moetárias. Se cada maçã custa 5 u.m. e cada laraja 18 u.m., quatas peças de fruta ele compra? 67. Um merceeiro compra maçãs e larajas e gasta 549 uidades moetárias. Se cada maçã custa 33 u.m. e cada laraja 18 u.m., qual o úmero míimo de peças de fruta que ele compra? E o máximo? 68. Costrua a tabuada de adição módulo 6. 69. Costrua a tabuada de multiplicação módulo 6. 70. Qual a hora marcada por um relógio (a) 9 horas depois das 11? (b) 100 horas depois das? (c) 50 horas depois das 6? (d) 549 horas depois das 10? 8 x (mod 5) >< x 1(mod 3) 71. Resolva o sistema de cogruêcias x (mod 4) >: x (mod 7) 8 x 0(mod ) >< x 0(mod 3) 7. Resolva o sistema de cogruêcias x 1(mod 5) >: x 6(mod 7) 73. Determie a maior potêcia de que divide cada um dos iteiros positivos seguites: 01984; 143408; 89375744; 415789146. 74. Determie a maior potêcia de 5 que divide cada um dos iteiros positivos seguites: 1150; 486065; 35555790; 481695315. 75. Quais dos seguites iteiros são divisíveis por 3? Desses quais os que são divisíveis por 9? (a) 18381 (b) 6541351 (c) 98765431 (d) 7891839735
exercícios de teoria de úmeros 6 76. Quais dos seguites iteiros são divisíveis por 11? (a) 1076373 (b) 108630015 (c) 674310976375 (d) 894310064537 77. Ecotre a maior potêcia de que divide cada um dos iteiros seguites (a) (101111110) (b) (1010000011) (c) (111000000) (d) (1011011101) 78. Quais dos iteiros do exercício aterior são divisíveis por 3? 79. Quais dos seguites iteiros são divisíveis por? (a) (1101) 3 (b) (1110101) 3 (c) (1110111) 3 (d) (101011101) 3 80. Dos seguites iteiros quais são divisíveis por 3 e quais os divisíveis por 5? (a) (3EA35) 16 (b) (ABCDEF ) 16 (c) (F 11791173) 16 (d) (10AB987301F ) 16 81. Quais dos iteiros do exercício aterior são divisíveis por 17? 8. Uma capicua é um iteiro que se lê do mesmo modo da esquerda para a direita e da direita para a esquerda. (a) Mostre que uma capicua a base 10 com um úmero par de algarismos é divisível por 11. (b) Mostre que uma capicua a base 7 com um úmero par de algarismos é divisível por 8. 83. Baseado o facto de 10 3 1(mod37), ecotre um teste para avaliar se um iteiro é divisível por 37. 84. Use o resultado do exercício aterior para veri car se 44369 ou se 1109785 são divisíveis por 37. 85. Determie o dia da semaa em que ocorreram os seguites acotecimetos históricos: (a) Morte de Filipe II (31 de Março de 161); (b) Carta régia que expulsa de Lisboa as pessoas "iquietas e escadalosas" (4 de Juho de 164); (c) Iteso terramoto em Lisboa e sul do Tejo (1 de Novembro de 1755); (d) Extição da Uiversidade de Évora (5 de Outubro de 1759); (e) Fudação do Istituto Idustrial de Lisboa (30 de Dezembro de 185); (f) Fudação do Real Automóvel Clube de Portugal (7 de Dezembro de 1903); (g) Assassiato do Rei D. Carlos (1 de Fevereiro de 1908); (h) Criação das Uiversidades de Lisboa e Porto ( de Março de 1911); (i) Iício da publicação do semaário Expresso (6 de Jaeiro de 1973); (j) Criado o Istituto Uiversitário dos Açores (9 de Fevereiro de 1976); (k) Criado o Istituto Superior da Beira Iterior (11 de Setembro de 1979); (l) Criação da Uiversidade do Algarve (8 de Março de 1979).
exercícios de teoria de úmeros 7 86. A tabela seguite forece a percetagem de ocorrêcia de cada letra em lígua iglesa: a b c d e f g h i j k l m o p q r s t u v w x y z 7 1 3 4 13 3 3 8 <1 <1 4 3 8 7 3 <1 8 6 9 3 1 1 <1 <1 A mesagem KY V MR CLV F W KY V BV P ZJJV MV EKV V E, foi cifrada usado uma cifra da forma C (P + k)(mod6). Determie o valor de k e descodi- que a mesagem. 87. Se uma mesagem em lígua iglesa as letras mais frequetes forem o X e o Q respectivamete e se se souber que a mesagem foi cifrada usado a cifra C (ap + b)(mod6); quais serão os valores mais prováveis para a e b? 88. Dadas duas cifras, pode-se aplicar uma após a outra para codi car uma mesagem. Este procedimeto coduz à chamada cifra produto. Ecotre a cifra produto de C (5P + 13)(mod6) e C (17P + 3)(mod6). 89. Usado a cifra por blocos com matriz CU IDADO COM O M EN SAGEIRO. 3 10 9 7, codi que a mesagem: 90. A seguite mesagem em lígua iglesa foi codi cada usado uma cifra por blocos 13 4 com matriz : 9 1 RD SR QO V U QP CZ AN QW RD DS AK. Decifre-a. 11 3 19 91. Usado a cifra por blocos 3 3 com matriz 4 5 3 5 5, codi que a mesagem: 0 7 1 N AO ~ MAT EM O MENSAGEIRO. 9. Um criptaalista, ao tetar decifrar uma mesagem, detectou que os blocos mais frequetes eram RH e NI que, por isso, devem correspoder aos blocos T H e HE, que são os mais comus em lígua iglesa. Supodo que o texto foi codi cado usado uma cifra por blocos, qual terá sido a matriz utilizada? 93. Ecotre a cifra produto que resulta de aplicar a cifra por blocos com matriz 3 5 1 seguida da cifra por blocos com matriz. 1 17 5 4 94. Orgaize um caledário de jogos para um toreio de téis com (a) 7 jogadores (b) 8 jogadores 95. Use o critério de dígito de veri cação descrito as aulas para determiar qual o algarismo de veri cação que deve ser acrescetado aos seguites úmeros de passaporte: (a) 13999 (b) 80537 (c) 645153
exercícios de teoria de úmeros 8 96. Qual deverá ser o algarismo al dos seguites ISBN: (a) 113 54001........ (b) 0 070 38133........ 97. Determie quais dos seguites ISBN são válidos: (a) 0 394 38049 5 (b) 1 09 311 3 (c) 0 404 50874 X 98. Supodo que as seguites sequêcias são ISBN válidos, a que falta um algarismo, represetado por?, determie os algarismos em falta (a) 0 198?3804 9 (b)? 61 05073 X 99. O govero da Noruega usa um esquema de 11 algarismos, x 1 x :::x 11, para os úmeros de bilhete de idetidade dos seus cidadãos que fucioa do seguite modo: - os algarismos x 1 x :::x 6 represetam a data do ascimeto; - os algarismos x 7 x 8 x 9 ideti cam uma pessoa em particular ascida esse dia - os algarismos x 10 x 11 são algarismos de cotrolo determiados por x 10 8x 1 + 4x + 5x 3 + 10x 4 + 3x 5 + x 6 + 7x 7 + 6x 8 + 9x 9 (mod11) x 11 6x 1 + 7x + 8x 3 + 9x 4 + 4x 5 + 5x 6 + 6x 7 + 7x 8 + 8x 9 + 9x 10 (mod11) (a) Determie os últimos algarismos da sequêcia 11049138 (b) Mostre que este esquema permite detectar todas as trocas de um úico algarismo (c) Determie quais as trocas de algarismos que ão são detectadas. 100. Ecotre um sistema reduzido de restos módulo m, com m = (a) 6 (b) 9 (c) 10 (d) 16 (e) 17 101. Resolva cada uma das seguites cogruêcias usado o teorema de Euler (a) 5x 3(mod14) (b) 4x 7(mod15) (c) 3x 5(mod(16) 10. Use o teorema de Euler para determiar o último algarismo de 7 1000. 103. Calcule () para 1 30. 104. Mostre que se fc 1 ; c ; :::; c (m) g é um sistema reduzido de restos módulo m, etão c 1 + c + ::: + c (m) 0(modm). 105. Quais das seguites fuções são completamete multiplicativas? (a) f() = 0 (b) f() = (c) f() = = (d) f() = log (e) f() = (f) f() =! (g) f() = + 1 (h) f() = (i) f() = p
exercícios de teoria de úmeros 9 106. A partir do facto da fução de Euler ser multiplicativa é possível deduzir uma fórmula para o seu cálculo. Seja um iteiro positivo cuja factorização em factores primos é = p 1 1 p p 1 1 1 k k, etão () = 1 1 1. Use esta expressão para calcular (100) 107. Calcule a fução de Euler para cada um dos iteiros (a) 100 (b) 56 (c) 1001 (d) 3 5 7 11 13 (e) 10! (f) 0! 108. Usado o teorema de Wilso, ecotre o meor resto positivo de 891011113 módulo 7. 109. Usado o pequeo teorema de Fermat, ecotre o meor resto positivo de 1000000 módulo 17. 110. Usado o pequeo teorema de Fermat, ecotre o último algarismo de 3 100 em base 7. 111. Mostre que se p é primo e a e b são iteiros tais que a p b p (mod p), etão a p b p (mod p ). 11. Mostre que 3 10 1(mod 11). 113. Mostre que 341, 561 e 645 são pseudoprimos a base. 114. Usado o pequeo teorema de Fermat, ecotre as soluções das seguites cogruêcias: (a) 7x 1(mod 17) (b) 4x 11(mod 19) 115. Mostre que, se p é um primo impar, etão (p 3)! ( 1)(mod p). 116. Mostre que se é impar e 3 ão divide etão 1(mod 4). 117. Mostre que 4j( 7 ) para todos os iteiros positivos. p 1 118. Se p é primo e p 3(mod 4), etão! 1(mod p). 119. Usado o teorema de Wilso mostre que se p é primo e p 1(mod 4), etão p 1 x ( 1)(mod p) tem duas soluções ão cogruetes dadas por x!(mod p). 10. Mostre que se p é primo e a é um iteiro, etão pj(a p + (p 1)!a). 11. Mostre que o par de iteiros positivos e + são primos gémeos se e só se 4(( 1)! + 1) + 0(mod ( + )); 6= 1. p 1 p p k