ROTEAMENTO DE VEÍCULOS DINÂMICO USANDO ALGORITMOS GENÉTICOS

ROTEAMENTO DE VEÍCULOS DINÂMICO USANDO ALGORITMOS GENÉTICOS Glaydston Mattos Rbero 1 Departamento de Cênca da Computação e Informátca UnAracruz Faculdade de Aracruz Luz Antono Noguera Lorena 2 Laboratóro Assocado de Computação e Matemátca Aplcada Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas RESUMO Devdo aos grandes avanços tecnológcos obtdos, prncpalmente na área de geo-referencamento, mutas empresas do setor de transportes estão revsando seus modelos de dstrbução para acompanhar o dnamsmo das operações, procurando alterar as rotas durante a operação dos veículos por causa de novas requsções dos clentes, de congestonamento ou anda, por problemas nos veículos. Neste artgo é analsada a utlzação de Algortmos Genétcos no Problema de Roteamento de Veículos Dnâmco com Janelas de Tempo, com o objetvo de auxlar o processo de decsão reduzndo assm, os custos logístcos durante a reprogramação das rotas. ABSTRACT Consderng the technologcal advances n georeferencng, several transportng companes are revewng ther dstrbuton models to consder the dynamsm of operatons, changng the routes when the vehcles are n operaton f there are new orders, traffc jam or f the vehcles are n troubles. Ths problem n the lterature s known as Dynamc Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows. So, ths paper presents a Genetc Algorthm to solve t that allowed us mproves the decson process and reduces the logstcs costs durng the re-schedulng. 1. INTRODUÇÃO Uma dstrbução efcente de mercadoras ou servços é uma mportante atvdade logístca pos os custos de transporte hoje em da representam uma parcela sgnfcatva do preço de mutos produtos. Essa efcênca é obtda através da determnação de boas rotas para uma frota de veículos. Exste hoje em da uma vasta lteratura sobre o assunto, prncpalmente para o caso estátco conhecdo como o Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo (PRVJT) (Desrosers et al., 1995). No problema estátco, todos os dados relatvos aos clentes são conhecdos antes das rotas serem construídas e nenhuma mudança é realzada após a fase de roteamento dos veículos. Porém, o desenvolvmento da tecnologa da nformação vem exgndo das empresas uma ampla revsão de seus modelos de dstrbução, para que possam acompanhar as necessdades e as mudanças globas. Os avanços tecnológcos permtem explorar novas nformações obtdas durante a operação dos veículos: um veículo que quebrou ou está muto atrasado, uma nova requsção de um clente chegou e deve ser atendda, entre outras. Isso levou ao crescmento de uma nova classe de problemas não muto explorada (Dror e Powell, 1993; Psarafts, 1995) conhecda como Problemas de Roteamento de Veículos Dnâmco com Janelas de Tempo (PRVDJT) (Psarafts, 1995). O PRVDJT tem váras aplcações em dferentes campos como na entrega de produtos de petróleo (Bell et al., 1983) e servços de emergênca (Gendreau et al., 1997). Recentes trabalhos dscutem modelagens e heurístcas de nserção para o PRVDJT (ver Chen et al., 2005; e Potvn et al., 2005). Sendo assm, no PRVDJT as rotas podem ser alteradas durante a operação dos veículos medante o surgmento de novas nformações. De modo mas geral, o PRVDJT pode ser vsto com uma sére de problemas estátcos a serem resolvdos durante a operação dos veículos.

Nesse problema, uma frota de veículos com capacdade lmtada deve sofrer uma reprogramação em tempo real, para atender a um novo conjunto de clentes com suas respectvas demandas e ntervalos de atendmento (janelas de tempo) de tal modo que o custo seja o menor possível (normalmente dstânca percorrda ou tempo de vagem). Além dsso, algumas requsções dos clentes podem ser conhecdas prevamente, ou seja, antes da saída dos veículos do centro de dstrbução. Dado que o PRVDJT pode ser vsto como uma sére de PRVJTs, este trabalho tem como objetvo soluconar o problema dnâmco utlzando Algortmos Genétcos nas reprogramações. A estratéga utlzada consdera nformações de posconamento dos veículos, espaço dsponível nos mesmos (peso e volume), localzação e janelas de tempo dos clentes programados e anda não atenddos, e as novas requsções. O restante do trabalho está organzado como segue: na próxma seção é apresentada a defnção do problema estátco, seguda pela defnção do problema dnâmco e pela descrção do método de solução proposto. Na Seção 5 são mostrados os resultados computaconas seguda pelas conclusões. 2. O PROBLEMA ESTÁTICO O problema estátco pode ser defndo sobre um grafo completo G=(V,A) sendo V={v 0, v 1,...,v n } um conjunto de vértces e A={(v,v j ): v, v j V, j} um conjunto de arestas. O vértce v 0 representa o depósto, e o restante, os clentes a serem atenddos com suas requsções. Cada vértce possu uma demanda (carga) c, um tempo fxo de atendmento tf, uma razão de carregamento rc relaconada à demanda c para calculo do tempo de atendmento, e uma janela de tempo [e, l ] no qual e e l representam, respectvamente, a abertura e o fechamento da janela de tempo do vértce (e 0 e l 0 estão assocados à abertura e o fechamento do depósto, respectvamente). Por últmo, têm-se duas matrzes D=(d j ) e T=(t j ) que representam, respectvamente, a dstânca e o tempo de deslocamento assocado à aresta (,j). Assm, dado uma frota homogênea de m veículos, o objetvo do PRVJT é encontrar um conjunto de rotas de custo mínmo ncando e termnando no depósto tal que (Gendreau et al., 1999): Cada veículo deve atender uma únca rota; Cada vértce v é vstado apenas uma únca vez; Os veículos devem dexar o depósto em um horáro superor a e 0 ; Os veículos devem estar no depósto antes do fechamento da janela de tempo do depósto, ou seja, antes de l 0 ; O níco de atendmento em cada vértce v é maor ou gual a e ; Se o tempo de chegada tc do veículo no vértce v for menor que e, o mesmo deverá aguardar, caracterzando um tempo espera (te ) calculado como te =(e tc ). Com sso, sendo S um conjunto de soluções factíves, a função objetvo a ser mnmzada pode ser defnda como (Gendreau et al, 1999): v( s) = m k = 1 d k + n = 1 ( 0, tc l ) α Max + β te, s S (1) tal que d k é a dstânca total percorrda na rota k para todo k=1,...,m, α é um coefcente de penaldade assocado à chegada do veículo no vértce após o fechamento da janela de tempo,

e β é um coefcente de penaldade assocado ao tempo de espera te obtdo no vértce. Toda rota factível s deve ncar e termnar no depósto respetando a janela de tempo do mesmo. 3. O PROBLEMA DINÂMICO No PRVDJT algumas requsções surgem durante a operação dos veículos, e com sso, devese realzar uma reprogramação dos veículos em operação. Como menconado, no momento da reprogramação das rotas, esse problema pode ser vsto como um problema estátco a ser resolvdo. Para que as requsções não programadas possam ser atenddas no mesmo da da solctação, faz-se necessáro mpor um tempo lmte de solctação de tal modo que as demas requsções recebdas após esse tempo lmte, sejam colocadas para o próxmo da de operação. No PRVDJT pode não exstr conhecmento prévo sobre a localzação das novas requsções realzadas quando os veículos já estão em operação, e assum-se exstr uma central de comuncação que nforma ao motorsta mudanças na sua programação (Montemann et al., 2003). Rota 1 D ep ó sto R ota 2 X R equsção já atendda Posção atual do veículo N ova requsção M ovmento completo M ovmento atual M ovmento planejado R equsção program ada Fgura 1: No momento da reprogramação das rotas, o problema pode ser vsto como um PRVJT (Adaptado de Gendreau et al., 1999). Para exemplfcar a questão da transformação do PRVDJT em város PRVJTs, consdere a Fgura 1. Essa fgura mostra a stuação de duas rotas no momento em que uma nova requsção é realzada, sendo que os círculos negros correspondem às posções atuas de cada veículo. Nesse caso, exste um conjunto de rotas exstentes no qual cada uma nca na posção atual do veículo e termna no depósto. Observa-se que para nserr a nova requsção, assm como no problema estátco, o objetvo é mnmzar a função (1), dadas as váras soluções factíves exstentes nclundo a nova requsção programada em uma das duas rotas. Consderando anda que em uma reprogramação a ordem dos clentes não vstados pode ser alterada, este trabalho consdera apenas requsções de coleta. Na Fgura 1 é mostrada uma possível reprogramação realzada sobre a rota 2. Mutas pesqusas estão sendo realzadas consderando o PRVDJT. Gendrau et al. (1999) desenvolveram uma heurístca paralela de Busca Tabu dvdndo o problema dnâmco em problemas estátcos aplcando-a nas nstâncas propostas por Solomon (1987). Krumke et al. (2001) formalzaram a lberação em tempo real de undades de servço e propôs uma técnca

de solução baseada em geração de colunas e partconamento. Gunstsh e Mddendorf (2002) propuseram um algortmo heurístco baseado em colônas de formga para o problema do caxero vajante dnâmco. Monteman et al. (2002) desenvolveram uma estratéga de solução para o PRVDJT baseada em Sstemas de Colôna de Formgas, que fo testada sobre um conjunto de testes proposto por Klby et al. (1998) que alteraram as nstâncas propostas por Tallard (1994), Chrstofdes e Beasley (1984) e Fsher et al. (1981). Maores nformações sobre os dferentes tpos de problemas de roteamento de veículos dnâmco podem ser encontradas em Psarafts (1995), Gendreau e Potvn (1998), Banch (2000), Chen et al. (2005) e Potvn et al. (2005). 4. ALGORITMOS GENÉTICOS PARA O PRVDJT O Algortmo Genétco (AG) fo desenvolvdo por Holland (1975). Mas tarde, Goldberg (1989) dssemnou o uso do AG aplcando-o a uma sére de problemas de otmzação. Os Algortmos Genétcos empregam um processo adaptatvo e paralelo de busca de soluções em problemas complexos, o que o torna uma técnca muto útl em problemas de otmzação. O prmero passo de um AG é a geração da população ncal de cromossomos. Esta população é formada por um conjunto aleatóro de cromossomos que representam possíves soluções do problema a ser resolvdo. Durante o processo evolutvo, esta população é analsada e cada cromossomo recebe uma avalação (aptdão) que reflete a qualdade da solução que ele representa. Em geral, os cromossomos mas aptos são seleconados e os menos aptos são descartados. Os membros seleconados podem sofrer modfcações em suas característcas fundamentas através dos operadores de cruzamento (crossover) e mutação, gerando descendentes para a próxma geração. Este processo é repetdo até que uma solução satsfatóra seja encontrada. Maores detalhes sobre o algortmo e a mplementação, podem ser obtdos em Lacerda e Carvalho (1999). Para o PRVJT exstem mutas representações para um cromossomo como pode ser vsto nos trabalhos de Potvn e Bengo (1996), Lous et al. (1999) e Perera et al. (2002). Além dsso, alguns Algortmos Genétcos consderam uma população dnâmca como o Algortmo Genétco Construtvo proposto por Lorena e Furtado (2001). 4.1 Representação de um cromossomo para o PRVDJT Um cromossomo para o PRVDJT deve representar as rotas em operação, a programação dos clentes em cada rota e as posções de nserção das novas requsções. Assm, o cromossomo é representado através de blocos contendo as rotas de cada um dos veículos e as posções das novas requsções. A Fgura 2 mostra um exemplo de como é representado um cromossomo no PRVDJT. Nesse exemplo, observam-se 3 rotas em execução sendo a rota 1 programada da segunte manera: posção atual do veículo 1, clente 1, 3, 4, 5 e retorno para o depósto. Tanto a localzação do veículo no momento da reprogramação das rotas quanto a localzação do depósto, não são representadas no cromossomo. Outra questão mportante está relaconada às posções das novas requsções que estão assocadas ao índce do vetor das rotas. No exemplo, a prmera requsção deve ser nserda na posção 0, a segunda na posção 2, a tercera na 5 e a quarta na 9. A Fgura 3 mostra a solução correspondente ao cromossomo mostrado na Fgura 2 após terem sdo fetas as nserções das novas requsções.

Rota 1 Rota 2 Rota 3 Novas Requsções 11 12 13 14 Códgos das novas requsções 1 3 4 5 9 8 7 2 6 10 0 2 5 9 Posções de nserções Fgura 2: Um exemplo de um cromossomo para o PRVDJT. Rota 1 Posção atual do veculo 1 11 1 3 12 4 5 Retorno para depósto Rota 2 Posção atual do veculo 2 9 13 8 7 2 Retorno para depósto Rota 3 Posção atual do veculo 3 6 14 10 Retorno para depósto Fgura 3: Representação real do cromossomo mostrado na Fgura 2. 4.2 Operadores genétcos Dada uma população de tamanho N, a cada geração, N novos descendentes são obtdos através da aplcação de operadores genétcos de crossover e de mutação. Porém, ao se combnar dos cromossomos pas para formar dos flhos alguns cudados são necessáros. Neste trabalho, os clentes já programados devem, após o cruzamento, aparecer nos seus descendentes e nas mesmas rotas, com sso, o cruzamento é realzado entre as respectvas rotas presentes nos cromossomos pa. Como uma rota é um problema de permutação entre elementos, se faz necessáro utlzar um operador genétco de permutação, sendo que neste trabalho fo utlzado o CX (Cycle Crossover) (Goldbarg, 1989). Esse operador começa copando o prmero elemento de pa 1 para flho 1. O correspondente elemento de pa 2 é copado para o flho 1 na posção em que aparece no pa 1. Esse processo é repetdo até que um elemento ao ser copado para o flho 1 já esteja presente no flho 1. Na etapa fnal, as posções em branco são obtdas por smples troca de elementos entre pa 1 e pa 2. A Fgura 4 mostra o processo descrto acma aplcado a dos pas representando duas rotas de dos cromossomos. Pa 1 1 2 3 4 Copando o prmero Flho 1 1 Pa 2 3 4 1 2 elemento de pa 1 para flho 1 Flho 2 Procurando 3 em pa 1 Flho 1 1 3 e copando para flho 1 Flho 2 Como o correspondente elemento de pa 2 Flho 1 1 3 já está no flho 1, o cclo termna. Flho 2 Trocando os elementos entre pa 1 e pa 2. Flho 1 1 4 3 2 Flho 2 Repetndo o processo para flho 2 tem-se o Flho 1 1 4 3 2 segunte resultado: Flho 2 3 2 1 4 Fgura 4: Uso do Operador Genétco CX.

Assm, esse procedmento é aplcado separadamente sobre todas as rotas presentes nos cromossomos pa. Porém, anda se faz necessáro realzar o cruzamento entre as novas requsções, para sso fo utlzado o operador de corte. Cada um dos cromossomos pas tem sua cadea cortada em uma posção aleatóra produzndo duas cabeças e duas caudas. As caudas são trocadas gerando dos novos flhos que são adconados aos cruzamentos das rotas. A Fgura 5 mostra o processo descrto acma. Pa 1 0 2 5 9 Pa 2 1 6 3 4 Flho 1 0 2 3 4 Flho 2 1 6 5 9 Fgura 5: Crossover entre novas requsções. Após a operação de crossover, o operador de mutação é aplcado, com dada probabldade, em cada elemento dos dos flhos gerados. A mutação, dentro de uma rota, selecona 2 elementos e os nverte de posção. A mutação melhora a dversdade dos cromossomos na população, porém destró nformações contdas no cromossomo. A Fgura 6 (a) mostra esse processo aplcado aos flhos 1 e 2 da Fgura 4. Antes Flho 1 1 4 3 2 Antes Flho 1 0 2 5 9 Flho 2 3 2 1 4 Flho 2 1 6 3 4 Depos Flho 1 2 4 3 1 Depos Flho 1 0 3 5 6 Flho 2 1 2 3 4 Flho 2 1 2 9 4 Rotas (a) Fgura 6: Operador de mutação. Novas requsções (b) O operador de mutação também é aplcado às novas requsções da segunte manera: selecona-se o elemento que sofrerá mutação e em seguda, de forma aleatóra, troca-se a posção ndcada por esse elemento por uma outra qualquer dentro do cromossomo. Esse processo está exemplfcado na Fgura 6 (b). Para evtar convergênca prematura, fo utlzado o método de rankng lnear em que a aptdão é dada por (Baker, 1987): N f = Mn + ( Max Mn) (2) N 1 tal que é o índce do cromossomo na população em ordem crescente de valor da função objetvo, 1 Max 2, Max + Mn = 3 e N o tamanho da população. Para não perder o melhor cromossomo de uma geração para outra fo adotada a estratéga de eltsmo (Dejong, 1975). 5. EXPERIMENTOS COMPUTACIONAIS Para avalar o Algortmo Genétco proposto, oto nstancas testes foram preparadas. As confgurações do AG foram as seguntes: Número de gerações:100; Tamanho da população:

1000; População ncal aleatóra; Estratéga de eltsmo; Taxa de crossover: 80%; Taxa de mutação: 5%; Max=2 e Mn=1 na Equação (2). Para todo conjunto de testes foram realzados 10 expermentos com as mesmas condções ncas mas com sementes dferentes. Para dar maor lberdade ao algortmo genétco, toda rota encontrada é avalada mesmo não respetando a janela de tempo dos clentes, com sso a Equação 1 fo alterada para: m n v( s) = d k + α Max( 0, tc l ) + β te + ϕmax(0, tc + tf + crc l, ) s S (3) k = 1 = 1 tal que ϕ é um coefcente de penaldade assocada à saída do veículo do vértce após o fechamento da janela de tempo l. Os valores utlzados para os parâmetros foram: α = 5, β = 1 e ϕ = 3 = 1... n. O computador utlzado fo um Pentum IV 2,66 GHz com 512 MB de memóra RAM. Para verfcar a qualdade do Algortmo Genétco proposto, fo mplementada a heurístca de melhora k-opt proposta por Ln e Kernghan (1973) no qual k arcos são removdos de uma rota e substtuídos por outros k arcos, com a fnaldade de reduzr uma função objetvo. Essa heurístca fo escolhda por ser ndcada a problemas em que se deseja melhorar roteros exstentes. De forma resumda, para k=2, o método testa trocas possíves entre pares de arcos, refazendo as conexões quando houver uma melhora na rota (ver Fgura 8). Porém, para que o método funcone no PRVDJT, se faz necessáro ncorporar às rotas em operação as novas requsções. Isso fo feto consderando os centródes das rotas programadas. Cada nova requsção é nserda em uma posção aleatóra dentro da rota que possu o centróde mas próxmo do novo clente. Para maores detalhes sobre a heurístca k-opt ver Ln e Kernghan (1973), Laporte (1992), Novaes (2001) e Cunha et al. (2002). K K J Arcos a modfcar L J L I I (a) Rota ncal (b) Rota modfcada Fgura 8: Modfcação realzada pela Heurístca 2-opt (Novaes, 2001). As Tabelas 1, 2 e 3 apresentam os resultados encontrados para todas as nstâncas testadas. As descrções das colunas estão lstadas a segur: Instânca - Refere-se ao nome da nstânca; Número de Pontos - Número de clentes já programados; Número de Novas Requsções - Número das novas requsções realzadas; Roteamento Atual - Valor da função objetvo para o roteamento em operação, com os clentes já programados; Melhor Solução com o AG - Melhor solução encontrada com o Algortmo Genétco após a reprogramação das rotas;

Méda das Soluções Encontradas com o AG - Méda obtda para 10 execuções do Algortmo Genétco; Tempo Médo (s) Tempo médo obtdo para 10 execuções do Algortmo Genétco; Heurístca 2-opt Resultado encontrado pela heurístca 2-opt após a nserção das novas requsções nas rotas mas próxmas. As nstâncas mostradas nas tabelas a segur foram cradas varando-se o grau de dfculdade. Isso fo possível através da varação do número de clentes a serem atenddos e do número de novas requsções, além de atrasos e esperas mpostas. Cada veículo presente em cada rota de cada nstânca, tem capacdade sufcente para atender a todas as novas requsções. Fgura 9: Localzação do depósto e dos clentes para a nstânca 50B4R. Para verfcar a efcênca do algortmo em stuações em que se deseja alterar a seqüênca de atendmento dos clentes já programados, foram cradas nstâncas que não possuem novas requsções. Por exemplo, a nstânca 19A0R possu 19 clentes já programados e nenhuma nova requsção. A letra A presente no nome da nstânca ndca que as rotas apresentam poucos atrasos, por outro lado à letra B ndca atrasos consderáves. As rotas ncas foram cradas utlzando o software TransCAD (Calper, 2000) muto utlzado na área de transportes, consderando dstâncas Eucldanas e tempos proporconas a problemas reas (velocdade méda de 50 Km/h). A Fgura 9 apresenta a dsposção dos clentes assm como a localzação do depósto para a nstânca 50B4R. A Fgura 10 apresenta a localzação dos veículos (estes anda no depósto), as rotas programadas e as novas requsções. Como pode ser vsto na Tabela 1, em todos os casos o AG reduzu o valor da função objetvo após a reprogramação e procurou, quando possível, reduzr todos os tempos envolvdos (atrasos e esperas). As médas também foram muto próxmas da melhor solução encontrada, a maor dferença fo encontrada na nstânca 50B4R no qual a melhor solução apresentou uma varação de 3,70% da méda. A Fgura 11 mostra o desempenho do melhor cromossomo

e a méda da população em cada geração para a nstânca 50B4R. É possível notar que com aproxmadamente 25 gerações, a população já está bem evoluída. Fgura 10: Rotas, localzação dos veículos e das novas requsções para a nstânca 50B4R Instânca Número de Pontos Tabela 1: Resultados encontrados com o AG Número de Novas Requsções Roteamento Atual Melhor Solução com o AG Médas das Soluções Encontradas com o AG. 19A0R 19 0 254,11 171,77 171,77 2,71 19A1R 19 1 254,11 172,60 172,60 2,82 50A0R 50 0 1068,00 993,92 993,92 3,28 50A4R 50 4 1068,00 882,80 883,28 3,54 50B0R 50 0 1741,81 1496,17 1496,56 5,50 50B4R 50 4 1741,81 1299,69 1350,08 6,20 100B0R 100 0 1231,03 1174,00 1180,06 10,80 100B10R 100 10 1231,03 1105,10 1134,30 13,20 Tempo Médo (s) Função Objetvo 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 0 25 50 75 100 Geração Melhor Méda Fgura 11: O melhor ndvíduo e o valor médo da população.

Comparando-se agora a melhor solução do AG com a Heurístca 2-opt (Tabela 2), para as nstâncas sem reprogramação verfca-se que o AG apresentou resultados melhores do que a Heurístca 2-opt. Os dos algortmos forneceram resultados guas para duas nstâncas (19A0R e 50A0R), com o AG sendo melhor para as demas nstâncas. Para as nstâncas com novas requsções, o AG apresentou resultados superores aos da Heurístca 2-opt em todas os testes. Tabela 2: Comparação entre os melhores resultados AG e a Heurístca 2-opt. Instânca Melhor Solução com o AG Heurístca 2-opt 19A0R 171,77 171,77 19A1R 172,60 289,46 50A0R 993,92 993,92 50A4R 882,80 985,28 50B0R 1496,17 1496,24 50B4R 1299,69 1364,35 100B0R 1174,00 1177,13 100B10R 1105,10 1166,47 Ao se analsar os resultados médos (Tabela 3), novamente os resultados encontrados com AG foram nteressantes quando comparados à Heurístca 2-opt, tendo 2 resultados guas (nstâncas 19A0R e 50A0R), 4 melhores (nstâncas 19A1R, 50A4R, 50B4R e 100B10R) e 2 nferores (nstâncas 50B0R e 100B0R) sendo a maor dferença de 0,24%. Tabela 3: Comparação entre os resultados médos do AG e a Heurístca 2-opt. Instânca Médas das Soluções Encontradas com o AG. Heurístca 2-opt 19A0R 171,77 171,77 19A1R 172,60 289,46 50A0R 993,92 993,92 50A4R 883,28 985,28 50B0R 1496,56 1496,24 50B4R 1350,08 1364,35 100B0R 1180,06 1177,13 100B10R 1134,30 1166,47 6. CONCLUSÕES Este trabalho procurou analsar e resolver o Problema de Roteamento de Veículos Dnâmco com Janelas de Tempo utlzando Algortmos Genétcos. Acredta-se que esse problema venha a estar cada vez mas presente no da-a-da das empresas de transporte de carga, nfluencando sgnfcatvamente nos custos logístcos. Com sso, se faz necessáro desenvolver algortmos efcentes para resolver tal problema. Foram realzados város expermentos e os resultados encontrados com o AG, melhoraram as rotas exstentes além de se gualarem ou serem superores aos da Heurístca 2-opt, muto conhecda e ndcada para problemas de roteamento quando o objetvo em questão é o de melhorar as rotas. Em mutos casos os resultados médos encontrados para 10 execuções do Algortmo Genétco foram melhores do que a Heurístca 2-opt.

Por últmo, os resultados encontrados sugerem a nvestgação da utlzação da Heurístca 2- opt dentro do AG. Consderando, por exemplo, que a mutação seja realzada utlzando essa heurístca, o AG pode convergr mas rapdamente e conseqüentemente, o processo pode ser fnalzado antes por algum crtéro que envolva a smlardade da população. Agradecmentos Os autores agradecem ao Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco - CNPq pelo apoo fnancero dado ao desenvolvmento deste trabalho. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bell, W.; G. G. Dalberto, e D. Ronen (1983) Improvng the Dstrbuton of Industral Gases wth On-Lne Computerzed Routng and Schedulng optmzer. Interfaces, v. 13, p. 4-23. Banch L. (2000) Notes on Dynamc Vehcle Routng. The State of the Art. Techncal Report IDSIA-05-01, IDSIA, Swtzerland. Dsponível em http://www.dsa.ch/dsareport/idsia-05-01.ps.gz. Calper (2000), TransCAD 3.61 Users Gude. Chen, H. K.; C. F. Hsueh e M. S. Chang (2005) The Real-Tme Tme Dependent Vehcle Routng Problem. Transportaton Research Part E. To Appear. Chrstofdes, N. e J. Beasley (1984). The Perod Routng Problem. Networks, v. 14, p. 237-256. Cunha, C. B., U. O. Bonasser e F. T. M. Abrahão (2002) Expermentos Computaconas com Heurístcas de Melhoras para o Problema do Caxero Vajante. Anas do XVI Congresso de Pesqusa e Ensno em Transportes, ANPET, Natal-RN, v. 2, p. 105-117. Dejong, K. (1975) The Analyss and Behavour of a Class of Genetc Adaptve Systems. PhD Tess, Unversty of Mchgan. Desrosers J.; Y. Dumas, M. M. Solomon e E. Soums (1995) Tme Constraned Routng and Schedulng. In: Ball, M. O.; T. L. Magnant; C. L. Monma e G. L. Nemhauser (eds.) Network Routng, Handbooks n Operatons Research and Management Scence. Amsterdam, Netherland, p. 35-139. Dror, M. e W. B. Powell (1993) Specal Issue on Stochastc and Dynamc Models n Transportaton. Operatons Research, v. 41. Fsher, M., R. Jakumar e V. Wassenhove (1981) A Generalzed Assgnment Heurstc for Vehcle Routng. Networks, v. 11, p. 109-124. Gendreau M.; G. Laporte; e F. Semet (1997) Solvng an Ambulance Locaton Model by Tabu Search. Technal Report CRT-97-18, Center de recherche sur les transports. Unversté de Montréal. Gendreau M., e J-Y Potvn (1998) Dynamc Vehcle Routng and Dspatchng. In: Cranc, T. G. e G. Laporte (eds) Fleet Management and Logstcs, p. 115-226. Kluwer. Gendreau, M.; F. Guertn; J-Y. Potvn e E. Tallard (1999) Parallel Tabu Search for Real-Tme Vehcle Routng and Dspatchng. Transportaton Scence, v. 33, p. 381-390. Goldbarg, D. E. (1989) Genetc Algorthms n Search, Optmzaton, and Machne Learnng. Addson-Wesley Publshng Company, Inc., New York. Guntsch M., e M. Mddendorf (2002) Applyng Populaton Based ACO to Dynamc Optmzaton Problems. Anas do ANTS 2002, p. 149-162. Holland, J. (1995) Adaptaton n Natural and Artfcal Systems. The Unversty of Mchgan Press, Ann Arbor. Klby P.; P. Prosser e P. Shaw (1998) Dynamc VRPs: a Study of Scenaros. Techncal Report APES-06-1998, Unversty of Strathclyde. Krumke S. O.; J. Rambau e L. M. Torres (2001) Real-tme Dspatchng of Guded and Unguded Automoble Servce Unts wth Soft Tme Wndows. Techncal Report 01-22, Konrad-Zuse-Zentrum für Informaton Stechnk Berln. Lacerda, E. G. M. e A. C. P. L. F. Carvalho (1999) Introdução a Algortmos Genétcos. Anas do SBC 99, v. 2, p. 51-126. Laporte, G. (1992) The Vehcle Routng Problem: An Overvew of Exact and Approxmate Algorthms. European Journal of Operatons Research, v. 59, p. 345-358. Ln, S. e B. W. Kernghan (1973) An Effectve Heurstc Algorthm for the Travelng Salesman Problem. Operatons Research, v. 21, p. 498-516. Lorena, L. A. N. e J. C. Furtado (2001) Constructve Genetc Algorthm for Clusterng Problems. Evolutonary Computaton, v. 9, n. 3, p. 309-327. Lous S. J.; X. Yn e Z. Y. Yuan (1999) Multple Vehcle Routng wth Tme Wndows Usng Genetc Algorthms. Anas do Proceedngs of the Congress on Evolutonary Computaton.

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