Problema de Estoque e Roteirização com Demanda Determinística e Estocástica: Revisão da Literatura

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1 Problema de Estoque e Roterzação com Demanda Determnístca e Estocástca: Revsão da Lteratura Patríca Prado Belfore (USP) patrca.belfore@pol.usp.br Oswaldo Luz do Valle Costa (USP) oswaldo@lac.usp.br Luz Paulo Lopes Fávero (USP) lpfavero@usp.br Resumo Este trabalho apresenta os prncpas modelos encontrados na lteratura do problema de estoque e roterzação, tanto com demanda determnístca quanto estocástca. O problema consste em determnar quando e quanto entregar de mercadora para cada clente e quas roteros de entregas utlzar, com o objetvo de mnmzar os custos de estoque e dstrbução, de modo que as demandas de todos clentes sejam atenddas. Palavras-chave: Problema de estoque e roterzação, Estoque gerencado pelo fornecedor, Pesqusa Operaconal. 1. Introdução A efcênca e compettvdade de cada empresa dependem do desempenho da cadea de abastecmento, fazendo com que o ganho ndvdual esteja dretamente nter-relaconado com o ganho total da cadea de suprmentos. Incatvas mportantes vsando elevar os ganhos totas da cadea têm surgdo nas ndústras, com o amparo do Movmento ECR (Effcent Consumer Response) ou Resposta Efcente ao Consumdor. Uma das técncas propostas pelo ECR é o VMI (Vendor Managed Inventory) ou Estoque Gerencado pelo Fornecedor, que tem sdo muto dssemnado na ndústra mundal. O VMI tem como objetvo a redução de custos através da ntegração dos componentes da cadea de abastecmento. O processo de reposção através do VMI pode ocorrer em qualquer elo da cadea de abastecmento. Segundo Campbell et al. (1998) o VMI é uma das recentes tendêncas da logístca. O VMI é uma técnca no qual o fornecedor controla os níves de estoque de seus clentes, e decde quando e quanto entregar de mercadora para cada clente. Sendo assm, os cálculos são realzados por um algortmo cadastrado no fornecedor, formado por parâmetros pré-estabelecdos pelo vendedor e comprador e baseado nas nformações obtdas do clente. Nesse modelo o clente é apenas nformado da quantdade que será envada. Desta manera, ele faz um acompanhamento, montora, mas não controla o processo. Em mutas aplcações, o vendedor, além de controlar os estoques dos clentes, também admnstra uma frota de veículos para transportar os produtos aos clentes. Neste caso, o objetvo do vendedor é não só admnstrar o reabastecmento ótmo dos estoques como também a dstrbução dos produtos. Este problema é chamado Problema de Estoque e Roterzação ou Inventory Routng Problem (IRP). O IRP tem como característca a polítca VMI e desenvolve metodologas para solução deste problema.

2 A polítca VMI benefca tanto o vendedor quanto o clente. Do lado do fornecedor, a utlzação de recursos é mas unforme, reduzndo os custos totas de produção, estoque e transporte. Para o clente, as vantagens são o aumento do nível de servço e o fato de que ele nveste menos recursos no controle do nível de estoque e peddos. O VMI elmna, portanto, uma das causas do efeto chcote (bullwhp effect) dentfcadas por Lee et al. (1997), que consste em varações ou flutuações cada vez maores quanto mas a montante da cadea de suprmentos, em resposta a pequenas varações na ponta de consumo, ocasonadas por ncertezas e lead tmes elevados, entre outros fatores (Znamensky e Cunha, 2003). Este trabalho faz uma revsão dos prncpas modelos e métodos de resolução do IRP encontrados na lteratura, com objetvo de contrbur para futura aplcação destas técncas no contexto braslero. 2. Defnção e Classfcação do Problema de Estoque e Roterzação O Problema de Estoque e Roterzação (IRP) trata da dstrbução de um ou mas produtos, a partr de um ou mas centros de dstrbução, que atendem N clentes dentro de um horzonte de planejamento T. Cada clente consome o produto a uma taxa u e tem uma capacdade de armazenagem C. O nível de estoque do clente no nstante t t é I. A dstrbução dos produtos pode ser feta através de uma frota de veículos homogênea ou heterogênea e cada veículo tem uma capacdade C v. A quantdade t entregue ao clente no nstante t é Q. Defne-se c est, o custo de armazenagem do clente. O objetvo é mnmzar o custo médo dáro de dstrbução durante o horzonte de planejamento de modo que não haja falta de estoques para os clentes. Pode-se adconar ao modelo custos de estoque, custos de falta (admtndo que pode ocorrer falta de produtos) e até mesmo a função lucro em função dos produtos entregues ou das vendas. A cada nstante t, são tomadas decsões de roteamento de veículos e reabastecmento de estoque dos clentes. As decsões são tomadas daramente. O custo de uma decsão no nstante t pode nclur: Custo de transporte c j dos arcos (, j) ; Lucro: se for entregue uma quantdade t Q tem um lucro de L ( ); t Q ao clente no nstante t, o vendedor Penaldade de falta ( t t p s ) se a demanda s do clente no da t não for atendda. A demanda não atendda é tratada como demanda perdda e não atraso na entrega; t 1 t est, Custo de estoque c est, que pode ser defndo como c ( I + Q u ), onde: t 1 t I nível de estoque do clente no da anteror. Q quantdade entregue ao clente no da t. u demanda dára do clente. O custo de estoque também pode ser modelado como uma função da méda de estoque de cada clente durante o período de tempo. O Problema de Estoque e Roterzação engloba três decsões:

3 Quando atender cada clente; Quanto entregar de mercadora para cada clente; Qual o melhor rotero de entrega. O IRP engloba város elementos, portanto, a classfcação deste problema não é uma tarefa smples. Uma classfcação para problemas de Estoque e Roterzação fo proposta por Bata et al. (1998) e está apresentada abaxo no Quadro 1. Elemento Atrbuto Alternatvas Topologa Pontos de Mutos da rede de abastecmento Um para um Um para mutos para atendmento ou dstrbução Mutos Itens a serem entregues Número Um Mutos Demanda Decsões Restrções Custos Estratéga de solução Tpo Determnístca Estocástca Comportamento Constante Varável Dstrbução entre clentes Domíno Capacdade dos veículos Capacdade de estocagem Capacdade de abastecmento Número de Veículos Unforme Frequênca de atendmento Igual Fornecdo Não unforme Instante de atendmento Dferente Varável de decsão Não restrtvo Estoque Manutenção Falta Peddo Proporconal à Proporconal ao Dstrbução Fxo dstânca número clentes Decomposção Tempo Agrupa-roterza Agregação Tempo Frequênca Dstânca Algortmo Exato Aproxmado Programação matemátca Lnear Intera Não lnear Quadro 1 Elementos de classfcação para problemas de Estoque-Roterzação Como o número de elementos para um Problema de Estoque e Roterzação é elevado, o total de combnações torna a enumeração dos dversos tpos de problemas vrtualmente mpossível (Znamensky e Cunha, 2003). 3. Revsão da Lteratura 3.1 Problema de Estoque e Roterzação com demanda determnístca Fsher e Jakumar (1981) estudaram o problema de roterzação e estoque na empresa Ar Products, produtora de gases ndustras. O objetvo é maxmzar o lucro em função dos produtos entregues menos os custo das entregas ao longo de város das. Ao nvés de consderar a demanda uma varável aleatóra ou completamente determnístca, a demanda é dada pelo lmte máxmo e mínmo do total de mercadoras entregues para cada clente em cada período do horzonte de planejamento. Um modelo de programação ntera determna o número de entregas por clente, o volume entregue

4 para cada clente, especfca as rotas e o tempo de níco das mesmas. Este modelo de programação ntera é resolvdo pelo método dual Lagrangano. Bell et al. (1983) propuseram um modelo de programação ntera para o Problema de Roterzação e Estoque da Ar Products. As decsões são tomadas através de um sstema de decsão ou otmzador que, a partr de dados hstórcos, defne as rotas para os próxmos 2 a 5 das. O sstema utlza um algortmo de relaxação Lagrangana para resolver o modelo de programação ntera msta. Prmeramente, um programa defne possíves rotas com no máxmo quatro clentes por rota a serem nclusas no modelo de programação ntera msta. Defnda as possíves rotas na prmera etapa, na segunda fase o modelo de programação msta decde para cada nstante de tempo, quas rotas serão seleconadas para cada veículo e a quantdade de mercadora entregue para cada clente no fnal do da. O objetvo do modelo é maxmzar a quantdade de produtos entregues menos os custos de fazer estas entregas. A demanda é determnístca, o número de veículos, motorstas e quantdade de produto é lmtado, múltplas entregas (város clentes), o horzonte de planejamento é de longo prazo (2 a 5 das), múltplos depóstos. Os veículos dferem em característcas como capacdade e custos de operação. Blumenfeld et al. (1985, 1987) analsaram redes de dstrbução com entrega dreta de fornecedor para consumdor ou va termnas de consoldação. São analsados os tradeoffs entre essas duas formas de dstrbução e dentfcadas as confgurações de custo que tornam uma mas vantajosa que a outra. O modelo consdera demanda determnístca, número de veículos lmtado e um horzonte de planejamento de longo prazo. Uma extensão deste modelo é apresentada por Burns et al. (1985). Burns et al. (1985) desenvolveram equações aproxmadas aplcadas tanto no caso em que os veículos vstam apenas um clente por rota quanto no caso de város clentes por rota. A demanda é determnístca, o número de veículos é lmtado, dretas e múltplas entregas, o horzonte de planejamento é de longo prazo. Dror, Ball e Golden (1985) desenvolveram um modelo de programação ntera que defne, para cada clente, o da t * ótmo de reabastecmento e o aumento esperado no custo se os clentes forem vstados no da t ao nvés de t *. Através da probabldade de falta em um determnado da no período de planejamento, do custo médo de entrega de mercadoras, do custo antecpado de falta, calcula-se o da ótmot * de reabastecmento para cada clente que mnmza o custo total esperado. Se t * ca dentro do período de planejamento de curto prazo, o clente será vstado, e um valor c t é computado para cada um dos das no período de planejamento que reflete um aumento nos custos futuros se a entrega é feta no da t ao nvés do da t *. Se t * ca fora do período de planejamento de curto prazo, um ganho futuro g t pode ser computado por fazer a entrega ao clente no da t do período de planejamento de curto prazo. Estes valores refletem os efetos de longo prazo das decsões de curto prazo. Um modelo de programação ntera agrupa clentes aos veículos e mnmza a soma destes custos mas o custo de transporte para um da. O Problema do Caxero Vajante ou Problema de Roterzação de Veículo resolve a segunda etapa. O problema anual é reduzdo em uma sére de subproblemas semanas. A demanda é determnístca, o número de veículos é lmtado e os veículos fazem entregas a város clentes (múltplas entregas). Dror e Levy (1986) desenvolveram déas smlares a Dror, Ball e Golden (1985). Utlzaram um modelo semelhante de programação, para um horzonte de tempo de uma semana, aplcando trocas de nós e arcos para reduzr custos no horzonte de

5 planejamento. O horzonte é reduzdo de uma base anual para uma base semanal, ou seja, a solução para o problema de estoque e roterzação para uma base de tempo anual consste de uma seqüênca de soluções semanas consecutvas, que gera rotas dáras. Os clentes são reabastecdos por um depósto central, e o objetvo é mnmzar o custo anual de dstrbução de forma que não haja falta de estoque para nenhum clente em nenhum momento. A partr de uma solução ncal de um problema de roterzação de veículo (VRP), são apresentadas três heurístcas de melhora, que são capazes de examnar e operar todas as rotas smultaneamente, baseadas no conceto de trocas de nós em uma únca rota ou entre váras rotas, smlar a trocas de arcos em uma únca rota. Este conceto de troca de nós ou troca de posções de clentes em uma rota ou entre rotas gera melhoras devdo à flexbldade de trocas de posções de dos nós de clentes, um nó, ou mesmo exclur ou nserr nós da solução de roterzação de veículos. Todos os três procedmentos são aplcados para o problema de estoque e roterzação (IRP) e melhoram a solução ncal do algortmo de Clark & Wrght em torno de 50%. Dror e Ball (1987) seguram as mesmas déas de Dror, Ball e Golden (1985) e Dror e Levy (1986). O objetvo é mnmzar o custo anual de entrega e falta de estoques. O problema anual é reduzdo em uma sére de subproblemas semanas. O número de veículos é lmtado, múltplas entregas e a frota de veículos é homogênea. Uma polítca ótma de reabastecmento baseada em um únco clente é desenvolvda tanto para o caso de demanda determnístca quanto estocástca. A estratéga de solução é baseada na heurístca de Fscher e Jakumar (1981) para o problema de roterzação de veículos, e consste na determnação dos das de atendmento dos clentes pela resolução de um problema de alocação generalzada (generalzed assgnment problem), segudo da determnação dos roteros de cada da de atendmento por meo de uma versão modfcada da heurístca de Clarke e Wrght (1964). Após este resultado, aplca-se uma heurístca de melhora baseada na busca local. Larson (1988) propôs um método baseado na heurístca das economas de Clarke e Wrght (1964), que é aplcado com sucesso ao problema de coleta e transporte de resíduos gerados em estações de tratamento de água da cdade de Nova Iorque. O método consdera rotas fxas para a coleta dos resíduos das estações de tratamento de esgoto, a consoldação em estações de transbordo, e o posteror transporte até seu destno fnal em alto mar. É mportante ressaltar que neste caso, as demandas ou as quantdades de resíduos a serem coletados, não são determnístcas, mas seguem uma dstrbução normal, sendo, no entanto, tratadas como determnístcas a partr da especfcação préva de um nível de servço A utlzação de rotas fxas faz com que alguns clentes tenham uma freqüênca de vstas muto maor do que a necessára. Neste modelo todos os clentes de uma rota fxa são vstados no mesmo da, mesmo os que não haja necessdade de atendmento mnente. Benjamn (1989) estudou o problema de dstrbução de város fornecedores para város clentes, consderando custos de estoque nos fornecedores, nos clentes e nos custos de transporte. Partndo da decomposção do problema e da solução, de manera ndependente, das etapas de determnação do lote econômco de produção, do problema de transporte e da determnação do lote econômco de peddo, e consderando que a solução exata do problema envolve a resolução de um problema de programação não lnear, vável apenas para nstâncas de menor porte, o autor apresenta uma heurístca para a resolução smultânea dos três subproblemas de uma manera conjunta. O modelo não consdera roteros de entrega, e sm apenas dstrbução dreta fornecedorconsumdor através de vagens redondas. O modelo consdera demanda determnístca, número de veículos lmtado e um horzonte de tempo de longo prazo.

6 Chen, Balakrshnan, e Wong (1989) propuseram um modelo de programação ntera para resolver o problema de um únco da, baseado nas déas de Federgruen e Zpkn (1984) e Golden, Assad, e Dahl (1984), descrtas no tem 3.2 para demandas estocástcas. Mas no modelo de Chen, Balakrshnan e Wong os das não são ndependentes, um da nfluenca no outro, e as demandas são determnístcas. O problema é formulado a partr de um modelo de programação ntera msta que aloca da melhor forma possível a dstrbução de estoques da fábrca para os clentes, agrupa os clentes em rotas e roterza. Um método de relaxação Lagrangano e um método heurístco são usados para resolver o problema. O problema prncpal é decomposto em um subproblema de alocação de estoques e um subproblema de roterzação de veículos. Os clentes são abastecdos a partr de um únco depósto e a quantdade de mercadoras entregues aos clentes é lmtada. A demanda é determnístca, o número de veículos é lmtado, múltplas entregas, o horzonte de planejamento é reduzdo. O problema de mult-período é decomposto em séres de subproblemas de um únco período usando função objetvo de um únco período. Anly e Federgruen (1990) desenvolveram uma heurístca que mnmza os custos de estoque e transporte para um horzonte nfnto de forma que todos os clentes sejam atenddos. O Problema de Estoque e Roterzação adota demanda determnístca constante, número de veículos lmtado, múltplas entregas, horzonte de planejamento de longo prazo. Assume-se que as demandas dos clentes são múltplas de uma taxa base. Os custos de estoques são guas para todos os clentes. Os custos de transporte ncluem custos fxos (leasng ou aluguel) e custos varáves proporconal à dstânca total Eucldana. Os clentes são abastecdos a partr de um únco depósto. Os estoques são mantdos nos clentes e não no depósto. Os clentes são dvddos em regões, de modo que a demanda de cada regão seja gual à capacdade do veículo. Um clente pode pertencer a mas de uma regão. Quando o veículo vsta um clente na regão, todos os clentes são vstados. Cada veículo é desgnado para uma regão, e decde-se quanto entregar para cada clente, a freqüênca e a seqüênca da rota. Este modelo adota, portanto, uma polítca de partção de clentes, defnndo conjuntos fxos de clentes que serão tratados como regões de atendmento. Gallego e Smch-Lev (1990) desenvolveram um modelo baseado nas déas de Anly e Federgruen (1990), baseado na polítca de partção de clentes, para avalar a efcáca de entregas dretas fornecedor-consumdor em um horzonte de longo prazo. O sstema de dstrbução consste de um únco depósto e város clentes dspersos geografcamente. O modelo consdera demanda determnístca constante, frota de veículos lmtada, horzonte de longo prazo. Os estoques são mantdos apenas nos clentes e não no depósto. A conclusão é que este modelo é mas efcaz em relação a outras estratégas de problemas de roterzação e estoque em pelo menos 94% dos casos, na condção que o tamanho do lote seja pelo menos 71% da capacdade do veículo. Portanto, o modelo não é vável quando a quantdade de mercadoras a ser entregue aos clentes for muto menor que a capacdade do veículo. A heurístca de Anly e Federgruen (1990) fo crtcada por Hall (1991), que mostrou que o modelo superestma os custos de dstrbução quando do fraconamento da demanda dos clentes, uma vez que não se consdera a possbldade de coordenação entre as entregas ou compartlhamento dos estoques. Em resposta às crítcas recebdas, Anly e Federgruen (1991) argumentam que tas defcêncas são nerentes à polítca de abastecmento adotada, em que cada regão da partção é tratada ndependente das demas, mesmo que alguns pontos de entrega de váras regões correspondam a um mesmo clente físco. Segundo os autores, a heurístca não deve ser avalada

7 exclusvamente pelo desempenho do por caso ou sua comparação com o mínmo custo possível, devendo ser consderadas também aspectos postvos tas como a facldade de mplementação e admnstração da estratéga de solução proposta. Speranza e Ukovch (1994) estudaram o problema da dstrbução de múltplos produtos no caso de entregas dretas. O problema consste em determnar as freqüêncas das entregas de cada produto com o objetvo de mnmzar os custos de transporte e estocagem. Os autores separam o problema segundo uma freqüênca de atendmento adotada: únca ou múltpla, e segundo o tpo de consoldação adotado: por freqüênca ou por nstante de atendmento. O problema é modelado como programação lnear ntera ou ntera msta. A partr das déas de Gallego e Smch-Lev (1990), Bramel e Smch-Lev (1995) consderaram uma varação do problema de roterzação e estoque no qual os clentes podem ter um nível de estoques lmtado. O problema fo transformado em um problema de localzação do concentrador capactado (CCLP capactated concentrator locaton problem). Para que o modelo tenha solução, resolve-se o CCLP, e transformase a solução em uma solução para o IRP. A solução para o CCLP dvde os clentes em grupos que são servdos da mesma forma que as regões de Anly e Federgruen (polítca de partção fxa). Uma pequena varação do problema de estoque e roterzação é a estratéga do problema de estoque e roterzação dscutda por Webb e Larson (1995), que tem como objetvo mnmzar o número de veículos para a entrega de mercadoras aos clentes a partr de um únco depósto em Problemas de Estoque e Roterzação. A nformação é baseada na taxa de consumo dos clentes. O número mínmo de veículos deve ser capaz de contnuar atendendo todos os clentes mesmo que haja uma varação na taxa de consumo dos clentes. Os clentes são dvddos em grupos (clusters), e determna-se o rotero para cada cluster. A partr daí, determna-se o número de veículos necessáros. Os clentes podem pertencer a mas de uma rota. A seqüênca de rotas é crada usando um modelo que mnmza a utlzação do veículo, conseqüentemente mnmza o número de veículos. No modelo orgnal de Larson (1988) todos os clentes de uma rota são vstados no mesmo da, mesmo que não haja necessdade de atendmento mnente. Já no modelo de Webb e Larson (1995), os clentes são atenddos apenas quando necessáro, resultando na otmzação do custo da frota. Herer e Levy (1997) trataram de uma versão do problema em que são consderados também os custos de manutenção de estoques e falta de produto. Os autores propuseram uma heurístca para a programação com um horzonte semanal que determna a melhor data para abastecmento, de forma a estabelecer uma dstânca temporal entre clentes, a partr da qual as rotas são formadas com base no método das economas proposto por Clarke e Wrght (1964). Chan, Federgruen e Smch-Lev (1998) analsam a polítca de estoque zero, no qual o nível de estoque do clente é reabastecdo somente quando não há estoque. O Problema de Estoque e Roterzação adota demanda determnístca, número de veículos lmtado, múltplas entregas e um horzonte de planejamento de longo prazo. Eles também propõem uma heurístca de partção de clentes baseada na resolução de um problema de localzação de concentrador capactado (Capactated Concentrator Locaton Problem CCLP), smlar a de Bramel e Smch-Lev (1995). O Problema de estoque de coleta e entrega de mercadoras é bastante semelhante ao problema de estoque e roterzação. No problema de coleta e entrega de estoques trabalha-se com um únco produto, múltplos pontos de demanda e múltplos veículos.

8 Chrstansen e Nygreen (1998a, 1998b) desenvolveram uma formulação deste método com janelas de tempo. Chrstansen (1999) desenvolve modelo smlar. Bertazz et al. (2002) estudaram um problema de roterzação e estoques que determna a rota do veículo para cada nstante de tempo dscreto. Cada clente tem um nível máxmo e mínmo de estoque. A demanda é determnístca, trabalha-se com apenas um veículo. A cada nstante um clente é vstado e seu estoque é reabastecdo até o nível máxmo. Os autores consderam o mpacto de dferentes funções objetvo. Campbell et al. (2002) decompõem o problema em duas etapas. Na prmera fase é resolvdo um problema de programação ntera msta que determna as quantdades a serem entregues aos clentes, os das de atendmento e a desgnação de clentes por rotas. Na segunda fase determna-se a programação efetva das rotas a partr dos resultados obtdos na prmera fase. Os autores propõem um procedmento de agregação geográfca de clentes e uma agregação dos períodos de tempo à medda que se avança o horzonte de planejamento. Portanto, para o níco do período de planejamento é gerada uma roterzação dára, ao passo que para o fnal do período gera-se uma roterzação semanal. 3.2 Problema de Estoque e Roterzação com demanda estocástca O problema de Fsher e Jakumar (1981) descrto no tem 3.1 consdera tanto demanda determnístca quanto estocástca. Federgruen e Zpkn (1984) estudaram o Problema de Roterzação e Estoque para um únco da baseado nas déas do Problema de Roterzação Tradconal. O problema consste em determnar, a cada da, quas clentes vstar, quanto entregar para cada clente e quas as rotas segur, de forma a mnmzar os custos de transporte, estoque e falta no fnal do da. O problema fo modelado como Programação ntera não lnear. Devdo aos custos de armazenagem e falta, e a quantdade lmtada de estoque, nem todos os clentes são vstados todos os das. Quando muto complexo, o problema pode ser decomposto em subproblemas, como um problema de alocação de estoque que determna os custos de estoque e falta, e város Problemas do Caxero Vajante, um para cada veículo, que defne os custos de transporte para cada veículo. A déa é construr uma solução ncal e melhorar a solução alternando os clentes entre as rotas. O algortmo termna quando não há mas melhora na solução. A demanda é estocástca, o número de veículos é lmtado, múltplas entregas, o horzonte de planejamento é de curto prazo e os custos de manutenção e falta de estoques são não-lneares. Golden, Assad e Dahl (1984) também desenvolveram uma heurístca para resolver o mesmo problema de Federgruen e Zpkn (1984). Eles usaram um modelo de smulação. O objetvo é mnmzar os custos em um únco da mantendo um nível de estoques adequado para todos os clentes. A heurístca defne a urgênca de cada clente, que é determnada pelo nível de estoque dsponível. Clentes com alta taxa de urgênca têm prordade durante a entrega de mercadoras. O Problema do Caxero Vajante é construído. O tempo máxmo de vagem permtdo (TMAX) é determnado pelo número de veículos multplcado pelo tempo dsponível em um da. Os clentes são adconados até que o lmte seja alcançado ou não haja mas clentes. Cada clente atngrá o nível máxmo de estoque quando receber mercadora. Se o modelo não tver solução, atrbuse um valor menor para TMAX. A demanda é estocástca, o número de veículos é lmtado, múltplas entregas, o horzonte de planejamento é de curto prazo. O modelo de Dror e Ball (1987) descrto no tem 3.1 também consdera demanda estocástca.

9 Trudeau e Dror (1992) se basearam nas déas de Dror, Ball e Golden (1985) e Dror e Ball (1987) e contrbuíram nesta lnha. O modelo consdera demanda estocástca, número de veículos lmtado, múltplas entregas e um horzonte de planejamento reduzdo. Um depósto central abastece os clentes. O objetvo é construr daramente rotas de veículos que resulte em uma operação efcente para um horzonte de longo prazo, de modo que não haja falta de produto. A efcênca da operação é medda pela méda das undades entregues durante uma hora. É mportante que um horzonte de curto prazo consga projetar o objetvo de um horzonte de longo prazo. Quando a demanda dos clentes de uma determnada rota excede a capacdade do veículo, ocorre falta de estoque e o veículo retorna ao depósto para reabastecer o restante dos clentes. Esta ocorrênca chama-se route falure. O modelo de Anly e Federgruen (1993), que trata da dstrbução de um únco produto, consdera demanda estocástca, frota de veículos lmtada e homogênea, múltplas entregas e um horzonte de planejamento de longo prazo. O sstema de dstrbução é feto a partr de um únco depósto, que também serve como ponto de armazenagem, devendo nclur no modelo o custo de estoque e a capacdade do depósto, assm como o custo de reposção do estoque no depósto. Os autores propõem uma polítca de partção fxa smlar a Anly e Federgruen (1990), porém nesse caso os ntervalos entre atendmentos são arredondados para potêncas de dos. Este artfco permte que seja estmado o custo da polítca proposta em relação a resultados encontrados na lteratura, o que segundo os autores não excede 6%. O modelo consdera custos de estoques guas para todos os clentes e os custos de transporte ncluem custos fxos (leasng ou aluguel) e custos varáves proporconal à dstânca total Eucldana. O objetvo é mnmzar os custo de estoque, transporte e peddos num horzonte de longo prazo. Mnkoff (1993) propôs uma heurístca de decomposção para reduzr os esforços computaconas. O modelo consdera demanda estocástca, número de veículos lmtado, múltplas entregas e um horzonte de planejamento de longo prazo. Bassok e Ernst (1995) consderam o problema de entrega de múltplos produtos aos clentes. A demanda é estocástca, o número de veículos é lmtado, múltplas entregas, o horzonte de planejamento é de curto prazo. Jallet et al. (1997) também seguram as déas de Dror e Levy (1986), Dror, Ball e Golden (1985), Dror e Ball (1987) e Trudeau e Dror (1992). O problema determna a programação para as próxmas duas semanas, mas mplementando somente a prmera semana. Há um depósto central que reabastece os clentes com o objetvo de não haver falta de estoque, mas também nclu a déa de satellte facltes. Satellte facltes são outros locas além do depósto onde os veículos podem ser reabastecdos e contnuar a entrega de mercadoras. É feta uma análse semelhante à de Dror e Ball para determnar o da ótmo de reabastecmento para cada clente, que determna a freqüênca ótma de entrega de mercadoras. A dferença é que apenas clentes que tem o da ótmo de reabastecmento dentro das próxmas duas semanas são ncluídos no problema de programação. Calculam-se também os custos adconas quando se muda a próxma vsta de um clente para um outro da, porém mantendo a rota ótma para os futuros das. O modelo consdera demanda estocástca. Barnes-Schuster e Bassok (1997) estudaram o Problema de Estoque e Roterzação aplcado a um únco clente. A demanda é estocástca, o número de veículos é lmtado e o horzonte de planejamento é de longo prazo. Bard et al. (1998) também estudaram um modelo de decomposção para o Problema de Estoques e Roterzação com satellte facltes (Jallet et al., 1997). É apresentada

10 uma metodologa que permte decompor um problema de longo prazo, e assm resolvêlo daramente. Determna-se a freqüênca ótma de reabastecmento para cada clente, smlar às déas de Dror, Ball e Golden (1985) e de Dror e Ball (1987), para um horzonte de tempo de duas semanas. O modelo consdera demanda estocástca, número de veículos lmtado, múltplos clentes e um horzonte de planejamento reduzdo. Um depósto central e satellte facltes reabastecem város clentes, e o fornecmento de produtos é lmtado. A únca dferença entre o depósto e satellte faclte é que o depósto é o ponto de orgem e destno de cada veículo. Os veículos saem do depósto, vstam város clentes, reabastecem em um dos satellte facltes se necessáro, atendem outro subgrupo de clentes, reabastecem novamente em um dos satellte facltes, e no fnal da rota retornam ao depósto. As entregas em um determnado da devem ser completadas dentro de um ntervalo de T horas. Três heurístcas são desenvolvdas para resolver o problema de roterzação de veículos com satellte facltes. O objetvo é mnmzar os custos de entregas anuas de modo que não haja falta de estoques em nenhum momento. Os veículos retornam ao depósto central no fnal do da. O desempenho é meddo através de dos parâmetros: a dstânca percorrda e o custo ncremental total. Reman et al. (1999) desenvolveram três tpos de problemas de estoque e roterzação com um únco veículo. A demanda é estocástca, o número de veículos é lmtado, entregas para um únco clente ou város clentes, o horzonte de planejamento é de longo prazo. Çetnkaya e Lee (2000) estudaram um problema onde o vendedor acumula peddos durante um ntervalo de tempo T, e após o fnal do ntervalo de tempo são fetas as entregas aos clentes. O modelo é estocástco, o número de veículos é lmtado, múltplas entregas e o horzonte de planejamento é de longo prazo. Kleywegt, Nor e Savelsbergh (2000, 2002) estudaram um caso especal baseado em um únco clente (drect delvery). Este modelo consdera demanda estocástca. Desenvolvese um modelo markovano de decsão baseado no IRP, que é resolvdo por Programação dnâmca, através de métodos de aproxmação. 4. Conclusões e Futuras Pesqusas A efcênca e compettvdade de cada empresa dependem do desempenho da cadea de abastecmento, fazendo com que o ganho ndvdual esteja dretamente nter-relaconado com o ganho total da cadea de suprmentos. Uma das técncas vsando elevar os ganhos totas da cadea é o VMI, que tem como objetvo a redução de custos através da ntegração dos componentes da cadea logístca. O Problema de Estoque e Roterzação (IRP) é resultado das novas formas de modelagem e otmzação da cadea de abastecmento baseada na déa de ntegração dos dversos componentes logístcos. O IRP é um problema de grande porte, que envolve númeras varáves nteras sendo, portanto, de dfícl resolução. O objetvo deste trabalho fo estudar as prncpas metodologas encontradas na lteratura para resolver o Problema de Estoque e Roterzação. Como futuras pesqusas espera-se uma ntegração anda maor, ncorporando aspectos de produção aos modelos de estoque e roterzação. Implementação de metaheurístcas tem sdo bastante utlzada em problemas de grande escala, porém sua aplcação não fo encontrada no problema estudado, o que ndca um campo de pesqusa promssor a ser explorado.

11 Referêncas Bblográfcas Anly, S. e Federgruen, A. One Warehouse Multple Retaler Systems wth Vehcle Routng Costs. Management Scence, v. 36, p , Anly, S. e Federgruen, A. Rejonder to Comments on One Warehouse Multple Retaler Systems wth Vehcle Routng Costs. Management Scence, v. 37, p , Anly, S. e Federgruen, A. Two-Echelon Dstrbuton Systems wth Vehcle Routng Costs and Central Inventores. Operatons Research, v. 41, p , Bata, F.; Ukovch, W.; Pesent, R. e Favaretto, D. Dynamc Routng-and-Inventory Problems: A Revew. Transportaton Research A, v. 32, n. 8, p , Bard, J.F.; Huang, L.; Jallet, P. e Dror, M. A Decomposton Approach to the Inventory Routng Problem wth Satellte Facltes. Transportaton Scence, v. 32, p , Barnes-Schuster, D. e Bassok, Y. Drect Shppng and the Dynamc Sngle-depot/Mult-retaler Inventory System. European Journal of Operatonal Research, v. 101, p , Bassok, Y. e Ernst, R. Dynamc Allocatons for Mult-Product Dstrbuton. Transportaton Scence, v. 29, p , Bell, W.; Dalberto, L.; Fsher, M.; Greenfeld, A.; Jakumar, R.; Keda, P.; Mack, R. e Prutzman, P. Improvng the Dstrbuton of Industral Gases wth an On-Lne Computerzed Routng and Schedulng Optmzer. Interfaces, v. 13, n. 6, p. 4-23, Benjamn, J. An Analyss of Inventory and Transportaton Costs n a Constraned Network. Transportaton Scence, v. 23, n. 3, p , Bertazz, L.; Palleta, G. e Speranza, M.G. Determnstc Order-Up-To Level Polces n an Inventory Routng Problem. Transportaton Scence, v. 36, p , Blumenfeld, D.E.; Burns, L. D.; Dltz, J.D. e Daganzo, C.F. Analyzng Trade-Offs between Transportaton, Inventory and Producton Costs on Freght Networks. Transportaton Research B, v. 19 B, n. 5, p , Blumenfeld, D.E.; Burns, L. D.; Daganzo, C.F.; Frck, M. C. e Hall, R. W. Reducng Logstcs Costs at General Motors. Interfaces, v. 17, n. 1, p , Bramel, J. e Smch-Lev, D. A Locaton Based Heurstc for General Routng Problems. Operatons Research, v. 43, p , Burns, L.D.; Hall, R.W.; Blumenfeld, D.E. e Daganzo, C. F. Dstrbuton Strateges that Mnmze Transportaton and Inventory Costs. Operatons Research, v. 33, p Campbell, A.; Clarke, L.; Kleywegt, A. e Savelsbergh, M.W.P. The Inventory Routng Problem. In: Fleet Management and Logstcs, Granc, T.G., Laporte, G. (eds), Kluwer Academc Publshers, p , Campbell, A.; Clarke, L.; Savelsbergh, M.W.P. Inventory Routng n Practce. In: The Inventory Routng Problem, Toth, P., Vgo, D. (eds), SIAM monographs on dscrete mathematcs and applcatons, p , Çetnkaya, S. e Lee, C.Y. Stock Replenshment and Shpment Schedulng for Vendor Managed Inventory Systems. Management Scence, v. 46, p , Chan, L.M.A.; Federgruen, A. e Smch-Lev, D. Probablstc Analyss and Practcal Algorthms for Inventory-Routng Models. Operatons Research, v. 46, p , Chen, T.W.; Balakrshnan, A. e Wong; R.T. An Integrated Inventory Allocaton and Vehcle Routng Problem. Transportaton Scence, v. 23, p , Chrstansen, M. Decomposton of a Combned Inventory and Tme Constraned Shp Routng Problem. Transportaton Scence, v. 33, p. 3-16, Chrstansen, M. e Nygreen, B. A Method for Solvng Shp Routng Problems wth Inventory Constrants. Annals of Operatons Research, v. 81, p , 1998a. Chrstansen, M. e Nygreen, B. Modellng Path Flows for a Combned Shp Routng and Inventory Management Problem. Annals of Operatons Research, v. 82, p , 1998b.

12 Clarke, G. e Wrght, J.W. Schedulng of Vehcles from a Central Depot to a Number of Delvery Ponts. Operatons Research, v. 12, p , Dror, M. e Ball, M. Inventory/Routng: Reducton from an Annual to a Short Perod Problem. Naval Research Logstcs Quarterly, v. 34, p , Dror, M.; Ball, M. e Golden, B. A Computatonal Comparson of Algorthms for the Inventory Routng Problem. Annals of Operatons Research, v. 4, p. 3-23, Dror, M. e Levy, L. Vehcle Routng Improvement Algorthms: Comparson of a Greedy and a Matchng Implementaton for Inventory Routng. Computers and Operatons Research, v. 13, p , Federgruen, A. e Zpkn, P. A Combned Vehcle Routng and Inventory Allocaton Problem. Operatons Research, v. 32, p , Fsher, M. e Jakumar, R. A Generalzed Assgnment Heurstc for Vehcle Routng. Networks, v. 11, p , Gallego, G. e Smch-Lev, D. On the Effectveness of Drect Shppng Strategy for the One-Warehouse Mult-Retaler R-Systems. Management Scence, v. 36, p , Golden, B.; Assad, A. e Dahl, R. Analyss of a large scale vehcle routng problem wth an nventory component. Large Scale Systems, v. 7 (2-3), p , Hall, R.W. Comments on One-warehouse multple retaler systems wth vehcle routng costs. Management Scence, v. 37, n. 11, p , Herer, Y.T. e Levy, R. The metered nventory routng problem, an ntegratve heurstc algorthm. Internatonal Journal of Producton Economcs, v. 51, p , Jallet, P.; Huang, L.; Bard, J. e Dror, M. A Rollng Horzon Framework for the Inventory Routng Problem. Techncal report, Department of Management Scence and Informaton Systems, Unversty of Texas, Austn, TX, Kleywegt, A.J.; Nor, V.S. e Savelsbergh, W.P. The Stochastc Inventory Routng Problem wth Drect Delveres. School of Industral and Systems Engneerng, Georga Insttute of Technology, Atlanta, GA , Kleywegt, A.J.; Nor, V.S. e Savelsbergh, W.P. Dynamc Programmng Approxmatons for a Stochastc Inventory Routng Problem. School of Industral and Systems Engneerng, GA , Kleywegt, A.J.; Nor, V.S. e Savelsbergh, W.P. The Stochastc Inventory Routng Problem wth Drect Delveres. Transportaton Scence, v. 36, p , Larson, R.C. Transportng Sludge to the 106-Mle Ste: An Inventory/Routng Model for Fleet Szng and Logstcs System Desgn. Transportaton Scence, v. 22, p , Lee, H. L. e Nahmas, S. Sngle-Product, Sngle-Locaton Models. In: Handbooks n Operatonal Research and Management Scence, v. 4: Logstcs of Producton and Inventory., S. C. Graves, A. H.G. Rnnooy Kan, P. H. Zpkn (eds), Noth-Holland, p Mnkoff, A.S. A Markov Decson Model and Decomposton Heurstc for Dynamc Vehcle Dspatchng. Operatons Research, v. 41, p , Reman, M.I.; Rubo, R.; Wen, L.M. Heavy Traffc Analyss of the Dynamc Stochastc Inventory- Routng Problem. Transportaton Scence, v. 33, p , Speranza, M.G. e Ukovch, W. Mnmzng Transportaton and Inventory Costs for Several Products on a Sngle Lnk. Operatons Research, v. 42, n. 5, p , Trudeau, P. e Dror, M. Stochastc Inventory Routng: Route Desgn wth Stockouts and Route Falures. Transportaton Scence, v. 26, p , Webb, R.; Larson, R. Perod and Phase of Customer Replenshment: A New Approach to the Strategc Inventory/Routng Problem. European Journal of Operatonal Research, v. 85, p , Znamenky, A. e Cunha, C.B. O problema de estoque-roterzação com demanda determnístca. Revsta Transportes, v. XI, p , dezembro º Congresso ECR Brasl. O ECR no Brasl-Scorecard, São Paulo, 2000.