CAPÍTULO 1 INTODUÇÃO A TEOIA DE CONVEÃO ELETOMECÂNICA DE ENEGIA 1.1 INTODUÇÃO Este capítulo pode ser consderado ntrodutóro. Nele são estabelecdos os prncípos sobre os quas serão desenoldos os capítulos seguntes. erão modelados alguns sstemas smples, nos quas ocorre transformação de energa elétrca em mecânca ou ce-ersa. O estudo desses sstemas permtrão estabelecer os prncípos báscos que explcam os fenômenos assocados à conersão eletromecânca de energa. Os resultados obtdos serão genércos e serão empregados no desenolmento dos demas capítulos, nos quas serão estabelecdos os modelos da máquna de ndução. As máqunas cuja conersão eletromecânca de energa dependa da presença de campos elétrcos serão excluídas deste texto, sto que não apresentam nteresse para o estudo da máquna de ndução. 1. CICUITO - L Consderemos a Fg. 1.1. Nela está representado um sstema consttuído por uma bobna enrolada sobre um bastão de materal magnétco. Na Fg. 1. está representado o crcuto equalente do sstema. Nela aparece a ndutânca da bobna e a resstênca do fo.
CAPÍTULO 1. INTODUÇÃO A TEOIA DA CONVEÃO ELETOMECÂNICA DE ENEGIA L - L - Fg. 1.1 Crcuto magnétco smples. Fg. 1. Crcuto elétrco equalente. Empregando a teora de crcutos elétrcos, pode-se estabelecer as equações (1.1) e (1.) que relaconam as tensões e a corrente do crcuto. = (1.1) L d = L (1.) Multplcando-se todos os membros da equação (1.) por, obtém-se a equação (1.3) d = L (1.3) mas 1 d L d L = (1.4) Assm 1 d L = (1.5) Na expressão (1.5) tem-se as seguntes grandezas: V potênca nstantânea fornecda pela fonte ao crcuto;
TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 3 potênca nstantânea dsspada na resstênca do crcuto; 1 L energa nstantânea armazenada no campo magnétco; 1 d L elocdade nstantânea de crescmento da energa no campo magnétco. Esta grandeza tem a dmensão de potênca. É precso ter em mente que no sstema apresentado na Fg. 1.1, não exste conersão eletromecânca de energa. Toda energa fornecda pela fonte é transformada em calor e acumulada no campo magnétco. Neste caso, somente a equação (1.5) representa o comportamento do sstema apresentado. 1.3 MÁQUINA ELEMENTA A DELOCAMENTO LINEA Consderando-se a Fg. 1.3, semelhante a Fg. 1.1, mas com uma dferença fundamental: possbldade de haer momento relato entre a bobna e o seu núcleo. Desta forma exste a possbldade de aração do alor da ndutânca. A ndutânca da bobna é função de x, posção relata entre ela e o seu núcleo. x L(x) - L L(x) - Fg. 1.3 Crcuto magnétco sujeto a uma força mecânca externa. Fg. 1.4 Crcuto elétrco equalente.
4 CAPÍTULO 1. INTODUÇÃO A TEOIA DA CONVEÃO ELETOMECÂNICA DE ENEGIA O crcuto equalente encontra-se representado na Fg. 1.4. Empregando-se a teora de crcutos elétrcos, obtém-se a expressão (1.6) = (1.6) L d φ = (1.7) φ = L( x) (1.8) Assm: como L(x) e são aráes, obtém-se: ( ) d L x = (1.9) d dl x = L( x) (1.10) Multplcando-se todos os membros da expressão (1.10) por obtém-se a expressão (1.11) d = L( x) dl x (1.11) 1 d L( x) d 1 dl x =L( x) (1.1) 1 d L( x) d 1 dl x L( x) = - (1.13) (1.14): Leando-se a expressão (1.13) na expressão (1.11) obtém-se a expressão
TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 5 1 d L( x) 1 dl x = - dl( x) (1.14) Assm: L x d 1 dl x = (1.15) Obseramos que a expressão (1.15) possu o termo ( x) 1 dl a mas em relação a expressão (1.5). Esse termo exste como conseqüênca da aração da ndutânca do sstema e representa a dferença entre a potênca fornecda pela fonte e as potêncas dsspadas na resstênca do crcuto e armazenada no campo magnétco. Assm: 1 d L x 1 dl( x) = - (1.16) Este termo corresponde à potênca elétrca conertda em potênca mecânca. Portanto: P ( x) dx 1 dl = F (1.17) me = c dl x dl x dx = dx (1.18) Assm: 1 dl x F= dx (1.19) A expressão (1.19) é muto mportante e estabelece o prncípo básco da conersão eletromecânca de energa. Estabelece que uma força é produzda quando a
6 CAPÍTULO 1. INTODUÇÃO A TEOIA DA CONVEÃO ELETOMECÂNICA DE ENEGIA ndutânca é aráel com o deslocamento. Este prncípo explca o funconamento de todos os sstemas nos quas ocorre conersão eletromecânca de energa. O sstema representado na Fg. 1.1 possu uma só aráel dependente, a corrente do crcuto. Por sto o seu comportamento é representado apenas pela expressão (1.). O sstema representado na Fg. 1.3 possu duas aráes dependentes, a corrente e a posção relata entre o núcleo e a bobna. Por esta razão a equação (1.10) não basta para representar o seu comportamento. Dee-se obter a equação mecânca do sstema para completar o modelo. Consderando-se a Fg. 1.5 x F F F F e a L(x) Fg. 1.5 Crcuto magnétco smples com possbldade de deslocamento do núcleo. dx F a = D é a força de atrto. d x F = m é a força de nérca. F e 1 dl x F= dx é a força externa aplcada sobre o núcleo é a força elétrca. O equlíbro mecânco estabelece que: F = F F F (1.0) e a eunndo-se as equações elétrca e mecânca, obtém-se o modelo completo representado pelas equações (1.1) e (1.):
TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 7 1 dl x dx d x dx -D -m =F e (1.1) ( x) d dl L( x) = V (1.) Como entradas ou aráes ndependentes temos a tensão e a força externa. Como saídas ou aráes dependentes temos a posção relata x e a corrente. Como parâmetros do sstema temos o coefcente de atrto D, a massa do núcleo m, a resstênca da bobna e a sua ndutânca L(x). Podemos representar o sstema de acordo com a Fg. 1.6. (t) Fe(t) ITEMA - Parâmetros - Modelo x(t) (t) Fg. 1.6 epresentação por bloco do sstema de equações. O sstema estudado, com a sua aparente smplcdade é representado por um modelo relatamente complexo, na medda em que é não-lnear e de dfícl, senão mpossíel, tratamento analítco. 1.4 MÁQUINA ELEMENTA OTATIVA COM UM OLAMENTO. TOQUE DE ELUTÂNCIA Consderemos a máquna elementar representada na Fg. 1.7:
8 CAPÍTULO 1. INTODUÇÃO A TEOIA DA CONVEÃO ELETOMECÂNICA DE ENEGIA - θ L θ d 0 otor q Fg. 1.7 epresentação da máquna elétrca elementar de um enrolamento. O rotor desta máquna elementar pode grar em torno do exo O. Quando o rotor se desloca em relação à bobna, a ndutânca da bobna L(θ) ara. Por analoga com o sstema apresentado na Fg. 1.5, podemos obter a equação elétrca do sstema, representado pela expressão (1.3): d dl V = L (1.3) Do mesmo modo podemos estabelecer a expressão do torque elétrco produzdo pelo sstema P mec dθ 1 dl = T = (1.4) Assm: dθ 1 dl θ dθ T = dθ (1.5) Portanto: 1 dl θ T= dθ (1.6) A expressão (1.6) estabelece uma relação entre o torque produzdo sobre o rotor e a aração da ndutânca própra do enrolamento. É precso enfatzar que para o
TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 9 sstema apresentado, o torque depende da aração da ndutânca própra do enrolamento. A aração da ndutânca é decorrente da aração da relutânca segundo o exo da bobna, com o deslocamento angular do rotor. Por sto é denomnado torque de relutânca. Analsando-se a aração da ndutânca própra da bobna com a posção, constata-se que ela assume alores máxmos quando θ é gual a 0 o e 180 o, assume alores mínmos quando θ é gual a 90 o e 70 o. Pode-se representar L de acordo com a Fg. 1.8: L L m L 0 L q L d 0 45 90 135 180 70 Fg. 1.8 Varação da ndutânca própra da bobna em função do ângulo θ. Tal função pode geralmente ser representada com boa precsão pela expressão (1.7): = L m cos θ L 0 L θ (1.7) Neste caso, em que a função L ( θ ) é conhecda, a expressão do torque pode ser obtda numa forma mas adequada ao uso. Leando-se a expressão (1.7) em (1.6) obtém-se a expressão (1.8): Assm, em módulo: 1 d = ( L cos θ L 0 ) (1.8) T m θ T = L m senθ (1.9)
10 CAPÍTULO 1. INTODUÇÃO A TEOIA DA CONVEÃO ELETOMECÂNICA DE ENEGIA De acordo com a Fg. 1.8, as ndutâncas de exo dreto e quadratura assumem os alores representados pelas expressões (1.30) e (1.31): L = L L (1.30) d 0 m L = L L (1.31) q 0 m Assm: L m Ld L q = (1.3) ( L L ) d T = senθ q (1.33) A expressão (1.33) traduz o fato de que o torque só exste na medda em que as ndutâncas de exo dreto e quadratura sejam dferentes. Pode-se anda representar a expressão do torque em função da relutânca de exo dreto e quadratura, d e q. abe-se que: n L d = (1.34) d n L q = (1.35) q onde n representa o número de espras da bobna. Assm: n 1 1 T = senθ d q (1.36) Deste modo: n q d T = senθ d q (1.37) e o rotor for clíndrco, tem-se que d = q e o torque produzdo é nulo.
TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 11 esta-nos anda representar o modelo completo da máquna elementar representada na Fg. 1.7. A equação mecânca é representada pela expressão (1.38): T = T T T (1.38) a e Assm, o modelo completo fca representado pelas equações (1.39) e (1.40). 1 dl θ dθ d θ dθ -D -J =Te (1.39) d dl L ( θ ) = (1.40) A representação do sstema em bloco aparece na Fg. 1.9. (t) Te(t) MÁQUINA ELEMENTA (t) θ(t) Fg. 1.9 epresentação de máquna elementar de um enrolamento com as aráes de entrada e saída. A tensão de almentação e o torque externo de carga são aráes ndependentes. A corrente e a posção angular são as aráes dependentes. O prncípo aqu exposto é de grande mportânca prátca. Basta lembrar o eleado número de equpamentos que nele se baseam: motores a relutânca, nstrumentos de medção do tpo ferro móel, etc. 1.5 MÁQUINA ELEMENTA OTATIVA COM ENOLAMENTO. TOQUE DE EXCITAÇÃO Consderando a máquna elementar representada na Fg. 1.10. Admtndo que os dos enrolamentos e estejam stuados sobre peças clíndrcas de sorte que as
1 CAPÍTULO 1. INTODUÇÃO A TEOIA DA CONVEÃO ELETOMECÂNICA DE ENEGIA suas ndutâncas própras sejam ndependentes da posção. Em tal estrutura, somente a ndutânca mútua entre os dos enrolamentos depende da posção. - θ - Fg. 1.10 epresentação físca de máquna elementar relata de dos enrolamentos. As equações elétrcas deste sstema, estabelecdas por nspeção estão representadas a segur: = d( M ) d L = d( M ) d L (1.41) (1.4) L e L são as ndutâncas própras. M é a ndutânca mútua exstente entre os enrolamentos. Desenolendo-se as expressões (1.41) e (1.4), obtém-se as expressões (1.43) e (1.44). d dm d = L M d dm d = L M θ (1.43) θ (1.44) Multplcando-se a expressão (1.43) por e (1.44) por, obtém-se as expressões (1.45) e (1.46).
TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 13 d dm d P = = L M θ (1.45) d dm d P = = L M ( θ ) (1.46) P e P representam as potêncas nstantâneas fornecdas pelas fontes dos enrolamentos. A potênca total será: P = P P (1.47) Assm: d dm d L d dm d M P= L M (1.48) abemos que: d 1 1 L L M = d d d dm d =L L M M (1.49) Portanto: d d d d dm 1 1 L L M M = d L L M dm = θ (1.50) Portanto a potênca total passa a ser representada pela expressão (1.51): 1 1 d L L M dm θ P= (1.51)
14 CAPÍTULO 1. INTODUÇÃO A TEOIA DA CONVEÃO ELETOMECÂNICA DE ENEGIA eja: P= r (1.5) 1 1 d L L M P L = (1.53) P r representa a potênca dsspada nos resstores. P L representa a potênca acumulada no campo magnétco. Assm: dm P mec = (1.54) P mec representa a quantdade de potênca elétrca conertda em potênca mecânca. Isto decorre do fato que a potênca fornecda é gual à potênca dsspada, mas a potênca acumulada, mas a potênca conertda. Por outro lado: P mec dθ = T (1.55) Assm: dθ dm dθ dθ T = (1.56) Então a expressão do torque será: T= dm dθ (1.57) A expressão (1.57) traduz o fato de que há torque eletromagnétco se a ndutânca mútua arar com o deslocamento angular. O torque orgnado pela aração de ndutânca mútua é denomnado torque de exctação. É ele que explca o funconamento da maor parte das máqunas elétrcas,
TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 15 como o motor de ndução, o motor síncrono com exctação e o motor de corrente contínua. A ndutânca mútua entre os enrolamentos representados na Fg. 1.10, pode ser estabelecda de dersas maneras. A smples nspeção ndca que ela é máxma para θ = 0, nula para θ = π/ e θ = 3π/ e mínma para θ = π. A sua aração pode então ser representada grafcamente segundo Fg. 1.11. M M 0 π π π 3 π θ Fg. 1.11 Varação da ndutânca mútua entre os enrolamentos em função de θ. É possíel representá-la com boa precsão pela expressão (1.58). = M cos θ M 0 (1.58) Portanto o torque, em módulo, fca representado pela expressão (1.59). T = M0 senθ (1.59) A representação gráfca é mostrada na Fg. 1.1: T M 0 π π 3π π θ Fg. 1.1 Varação do torque em função do ângulo θ.
16 CAPÍTULO 1. INTODUÇÃO A TEOIA DA CONVEÃO ELETOMECÂNICA DE ENEGIA Com as nformações até aqu consegudas, podemos estabelecer o modelo completo do sstema em questão. Basta para sto agrupar as equações elétrca e mecânca. eja: T = T T T (1.60) e a (1.63): Assm o modelo completo é representado pelas expressões (1.61), (1.6) e dm θ dθ d θ T e = -D -J dθ (1.61) d dm d = L M d dm d = L M θ (1.6) θ (1.63) A máquna possu como aráes ndependentes,, e T e. Como aráes dependentes as correntes, e o deslocamento angular θ. A representação em bloco está mostrada na Fg. 1.13. (t) (t) Te(t) MÁQUINA θ(t) (t) (t) Fg. 1.13 epresentação da máquna elétrca elementar de dos enrolamentos com as aráes de entrada e saída.
TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 17 1.6 MÁQUINA ELEMENTA OTATIVA COM ENOLAMENTO. OTO COM PÓLO ALIENTE Consderemos a máquna elementar representada na Fg. 1.14. A ndutânca própra do enrolamento estatórco e a mútua entre os dos enrolamentos dependem do ângulo θ. θ - - Fg. 1.14 epresentação físca da máquna elétrca elementar de dos enrolamentos de pólos salentes. Como já fo demonstrado, o torque de exctação é obtdo pela expressão (1.64): T exc = dm dθ (1.64) O torque de relutânca é representado pela expressão (1.65): 1 dl T = dθ (1.65) O torque total produzdo pela máquna será a soma dos torques de relutânca e de exctação. É representado pela expressão (1.66): dm 1 dl T= dθ dθ (1.66) Consderando a aração de L e M em função de θ representada pelas expressões (1.67) e (1.68):
18 CAPÍTULO 1. INTODUÇÃO A TEOIA DA CONVEÃO ELETOMECÂNICA DE ENEGIA s θ 0 L θ =L cos L (1.67) M Obtém-se: = M cosθ M 0 (1.68) T = Lm senθ M 0 senθ (1.69) A máquna síncrona de pólos salentes possu torque de relutânca e exctação e é um bom exemplo de máquna cujo comportamento é traduzdo por uma expressão com a forma da expressão (1.69). 1.7 MÁQUINA COM TÊ ENOLAMENTO Os resultados até aqu obtdos serão estenddos para uma máquna de três enrolamentos. Neste caso o modelo é representado pelas equações (1.70) à (1.73). d L d M d M 1 =1 1 11 1 133 d M d L d M = 1 1 3 3 d M d M d L 3 =3 3 13 1 3 3 3 1 dl1 1 dl 1 dl3 dm1 dm13 dm3 T= 1 3 1 1 3 3 dθ dθ dθ dθ dθ dθ (1.70) (1.71) (1.7) (1.73) Pode-se compactar as expressões precedentes, usando-se a notação matrcal, As equações elétrcas passam a ser representadas pela expressão (1.74). 1 1 0 0 1 L1 M1 M13 1 d = 0 0 M L M 1 3 3 0 0 3 3 M13 M3 L 3 3 (1.74)
TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 19 Vamos em seguda reescreer a equação do torque: 1 1 dl1 dm1 dm13 T= 1 1 1 d d d θ θ θ 3 1 1 dm1 dl dm 3 d d d θ θ θ 3 1 1 dm13 dm3 dl 3 3 3 3 d d d θ θ θ 3 (1.75) A expressão (1.75) pode anda ser representada segundo a expressão (1.76): dl1 dm1 dm13 dθ dθ dθ 1 dm dl T= [ ] d d d 1 1 dm3 1 3 θ θ θ 3 dm13 dm3 dl 3 dθ dθ dθ (1.76) eja: 1 = (1.77) 3 1 0 0 = 0 0 (1.78) 0 0 3 [ ] t = 1 3 (1.79)
0 CAPÍTULO 1. INTODUÇÃO A TEOIA DA CONVEÃO ELETOMECÂNICA DE ENEGIA dl1 dm1 dm13 dθ dθ dθ dl dm1 dl dm3 = dθ dθ dθ dθ dm13 dm3 dl3 dθ dθ dθ (1.80) Assm, o torque passa a ser representado pela expressão (1.8). As tensões são representadas pela expressão (1.81): dl = (1.81) t d 1 L T= dθ (1.8) As expressões (1.81) e (1.8) foram estabelecdas para uma máquna com três enrolamentos. Contudo podem ser empregadas para qualquer sstema onde exsta conersão eletromecânca de energa. 1.8 CONCLUÕE Pode-se sntetzar os resultados obtdos no desenolmento deste capítulo, do segunte modo: (a) O deslocamento relato das partes de um sstema mplca em conersão eletromecânca de energa, quando há ndutâncas própras ou mútuas, desse sstema, que sofrem aração com o deslocamento. (b) A representação matrcal dos sstemas nos quas ocorre conersão eletromecânca de energa lea a obtenção de modelos compactos de fácl nterpretação físca e de fácl manuseo.
TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 1 1.9 EXECÍCIO POPOTO - I = A P = 40cm = 5cm Fg. 1.15 epresentação físca do eletromã do problema 1. 1) Um eletroímã de manutenção tem uma secção reta unforme de 5cm e um comprmento total médo de 40cm (nclundo a armadura). O enrolamento é exctado por uma corrente de A; supõese que o núcleo e a armadura possuem a mesma permeabldade. A permeabldade relata (µ r ) é gual a 500. Calcular o número de espras necessáro para resstr a uma massa de 50kg. (Fg. 1.15) ) O relé mostrado na Fg. 1.16 tem uma armadura móel de secção quadrada, com lado d, guado por dos suportes não magnétcos de espessura q e comprmento d/. A carcaça é exctada por duas bobnas percorrdas pela mesma corrente. Cada bobna possu N espras. upõe-se que a carcaça e a armadura possuem permeabldade nfnta. (a) Calcular a ndutânca do relé em função de x. (b) Calcular a força eletromagnétca que atua sobre a armadura, em função de e x. (c) (d) Calcular a força quando o relé está colado. Fazer uma aplcação numérca para d = 4cm; g = 0,1cm, N = 1000 e = 0,5A
CAPÍTULO 1. INTODUÇÃO A TEOIA DA CONVEÃO ELETOMECÂNICA DE ENEGIA N g d x I g d/ d N - Fg. 1.16 epresentação físca do relé do problema. 3) Na Fg. 1.17 está representada uma peça de aço, de massa M, suspensa por uma mola de constante K (N/m) e submetda a nfluênca de uma bobna cuja resstênca é desprezíel. upõe-se que a ndutânca da bobna ara em função da posção x da massa, segundo a expressão L (x) = A Bx, sendo A e B constantes. x(t) M (t) (t) - Fg. 1.17 epresentação físca do problema 3. (a) Escreer a equação elétrca do sstema, estabelecendo a tensão V(t) em função de (t) e de x(t). (b) Calcular a força eletromagnétca que atua sobre a massa M. (c) Obter a equação dferencal mecânca do sstema.
TEOIA FUNDAMENTAL DO MOTO DE INDUÇÃO 3 θ 4) Na Fg. 1.18, as duas bobnas são lgadas eletrcamente em sére; uma está alojada no estator fxo e a outra no rotor móel. As ndutâncas própras e mútuas alem: L 1 = 0,mH, L = 0,1mH, L 3 = 0,05cos θ mh Fg. 1.18 Instrumento do tpo bobna móel. As duas bobnas são percorrdas por uma corrente senodal de alor efcaz gual a 5A ( = 5 sen ωt). (a) Calcular o alor médo do torque eletromagnétco exercdo sobre a bobna móel em função de θ. (b) upor que a bobna móel seja mantda no ângulo θ = 90 0, por ação de uma mola espral que exerce um torque dado pela expressão T = K(θ - π/) com K = 0,004J/rd. Calcular o alor do ângulo θ de equlíbro em graus. 5) Consdere a Fg. 1.19. O ferro-móel pode sofrer deslocamento na dreção x. Ao se deslocar sofre a ação da mola, cuja constante é K s. A posção do ferro-móel em relação ao ferro-fxo é D, quando não há corrente no enrolamento. A massa do ferromóel é M. O atrto é por hpótese nulo. Efetos secundáros, como dspersão de fluxo são gnorados. O enrolamento possu N espras e resstênca elétrca nula. O enrolamento é almentado por uma fonte tal que a densdade de fluxo no entreferro é dada por B(t) = B m sen ωt. (a) Encontrar a expressão da força eletromagnétca exercda sobre o ferro-móel em função de B m, ω e t. (b) Escreer a equação da tensão de almentação do enrolamento em função de B m, ω e t.
4 CAPÍTULO 1. INTODUÇÃO A TEOIA DA CONVEÃO ELETOMECÂNICA DE ENEGIA (c) Obter a equação dferencal mecânca do sstema em termos de B m, ω e t. x Mola (t) D A Fg. 1.19 Instrumento do tpo ferro-móel. 6) eja a estrutura representada a segur: - L( θ ) θ d 0 otor q Fg. 1.0 Máquna elétrca elementar com um enrolamento. (a) (b) (c) Obter a expressão geral do torque. Explcar fscamente a orgem do torque. eja L (θ) = L m cos θ L 0. Obter a expressão fnal do torque. (d) Estabelecer o modelo completo para o estudo do comportamento dnâmco da estrutura.