UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Departamento de Matemática Álgebra Linear e Geometria Analítica Livro do Professor Reginaldo Santos, adaptado pelo Professor Rogério Serôdio para os cursos na UBI 1 o Semestre Ano Lectivo 2007/2008 Cursos: Química Industrial Optometria - Ciências da Visão Matemática

Conteúdo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 1 11 Matrizes 1 111 Operações com Matrizes 2 112 Propriedades da Álgebra Matricial 3 12 Sistemas de Equações Lineares 11 121 Método de Gauss-Jordan 13 122 Matrizes Equivalentes por Linhas 20 123 Sistemas Lineares Homogéneos 21 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 29 21 Matriz Inversa 29 211 Propriedades da Inversa 29 212 Método para Inversão de Matrizes 31 22 Determinantes 38 221 Propriedades do Determinante 43 222 Matriz Adjunta e Inversão 45 3 Espaços R 2 e R 3 52 31 Vectores no Plano e no Espaço 52 311 Soma de Vectores e Multiplicação por um Escalar 52 312 Norma e Produto Escalar 58 313 Produto Vectorial 62 314 Produto Misto 66 32 Equações de Rectas e Planos 71 321 Equação do Plano 71 322 Equação da Recta 74 33 Ângulos e Distâncias 79 331 Ângulos 79 332 Distâncias 82 34 Posições Relativas de Rectas e Planos 88 4 Espaços e Subespaços R n 93 41 Os Espaços R n 93 411 Combinação Linear 94 412 Independência Linear 95 42 Subespaço, Base e Dimensão 99 43 Espaço Linha e Espaço Coluna 108 431 Característica e Nulidade 109 432 Aplicação a Sistemas Lineares 110 433 A Imagem de uma Matriz 111 5 Transformações Lineares 114 51 Definição, Exemplos e Propriedades 114 511 Definição e Exemplos 114 512 Propriedades 115 52 A Imagem e o Núcleo 118 521 Injectividade e Sobrejectividade 120 53 Composição de Transformações Lineares 123 531 Matriz de uma Transformação Linear 123 ii

Conteúdo iii 532 Invertibilidade 125 533 Semelhança 126 6 Diagonalização 129 61 Diagonalização de Matrizes 129 611 Motivação 129 612 Valores Próprios e Vectores Próprios 130 613 Diagonalização 133 62 Diagonalização de Matrizes Simétricas 138 621 Motivação 138 622 Matrizes Ortogonais 139 63 Aplicação na Identificação de Cónicas 144

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 11 Matrizes Operando com matrizes estamos utilizando uma forma compacta de fazermos operações com vários números simultaneamente Vamos definir operações matriciais análogas às operações com números e provar as propriedades que são válidas para essas operações Depois disto, o estudo envolvendo operações com vários números pode ser simplificado fazendo operações com as matrizes e usando as propriedades que já foram demonstradas Por exemplo, veremos que um sistema de várias equações lineares pode ser escrito em termos de uma única equação matricial Definição 11 Uma matriz A, m n (lê-se m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn A i-ésima linha e A é para i = 1,, m e a j-ésima coluna de A é a i1 a i2 a in, a 1j a 2j A =, a mj para j = 1,, n Usamos também a notação A = (a ij ) m n Dizemos que a ij ou A ij é o elemento ou a entrada de posição i, j da matriz A Se m = n, dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n e os elementos a 11, a 22,, a nn formam a chamada diagonal (principal) de A Exemplo 11 Considere as seguintes matrizes: 1 2 A =, B = 3 4 D = 1 3 2 2 1 0 3, E =, C = 1 4 3, F = 1 3 0 2 4 2 As matrizes A e B são 2 2 A matriz C é 2 3, D é 1 3, E é 3 1 e F é 1 1 De acordo com a notação que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima são a 12 = 2, c 23 = 2, e 21 = 4, A 22 = 4 e D 12 = 3 Duas matrizes são consideradas iguais se elas têm o mesmo tamanho e os elementos homólogos são iguais ou seja, A = (a ij ) m n e B = (b ij ) p q são iguais se m = p, n = q e a ij = b ij para i = 1,, m e j = 1,, n Vamos agora introduzir as operações matriciais 3, 1

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 2 111 Operações com Matrizes Definição 12 A soma de duas matrizes de mesmo tamanho, A = (a ij ) m n e B = (b ij ) m n, é definida como sendo a matriz A + B = C = (c ij ) m n, obtida somando-se os elementos homólogos de A e B, ou seja, c ij = a ij + b ij, para i = 1,, m e j = 1,, n Escrevemos também A + B ij = a ij + b ij Exemplo 12 Considere as matrizes: A = 1 2 3 3 4 0, B = 2 1 5 0 3 4 Se chamamos de C a soma das duas matrizes A e B, então C = A + B = 1 + ( 2) 2 + 1 3 + 5 3 + 0 4 + 3 0 + ( 4) = 1 3 2 3 7 4 Definição 13 A multiplicação de uma matriz A = (a ij ) m n por um escalar (número) α é definida pela matriz αa = B = (b ij ) m n, obtida multiplicando-se cada elemento da matriz A pelo escalar α, ou seja, b ij = αa ij, para i = 1,, m e j = 1,, n Escrevemos também αa ij = αa ij Dizemos que a matriz B é um múltiplo escalar da matriz A Exemplo 13 O produto da matriz A = 3A = 2 1 0 3 5 4 ( 3)( 2) ( 3) 1 ( 3) 0 ( 3) 3 ( 3) 5 ( 3)( 4) pelo escalar 3 é dado por = 6 3 0 9 15 12 Definição 14 O produto de duas matrizes, tais que o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda, A = (a ij ) m p e B = (b ij ) p n é definido pela matriz obtida da seguinte forma: AB = C = (c ij ) m n, k=1 p para i = 1,, m e j = 1,, n Escrevemos também AB ij = a ik b kj k=1 c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj (111) p = a ik b kj, (112) A equação (111) diz que o elemento i, j do produto é igual à soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B a 11 a 12 a 1p a i1 a i2 a ip a m1 a m2 a mp b 11 b 1j b 1n b 21 b 2j b 2n = b p1 b pj b pn c 11 c 1n c ij c m1 c mn Na equação (112) usamos a notação de somatório para escrever a equação (111) de forma compacta O p símbolo significa que fazemos uma soma em que o índice k varia de k = 1 até k = p k=1

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 3 Exemplo 14 Considere as matrizes: A = 1 2 3 3 4 0, B = 2 1 0 0 3 0 5 4 0 Se chamamos de C o produto das duas matrizes A e B, então C = AB = 1( 2) + 2 0 + ( 3)5 1 +2 3 + ( 3)( 4) 0 3( 2) + 4 0 + 0 5 3 1 + 4 3 + 0( 4) 0 = 17 19 0 6 15 0 Observação 11 No exemplo anterior o produto BA não está definido (Por quê?) Entretanto, mesmo quando ele está definido, BA pode não ser igual a AB, ou seja, o produto de matrizes não é comutativo, como mostra o exemplo seguinte Exemplo 15 Sejam A = 1 2 3 4 2 1 e B = Então, 0 3 2 7 AB = e BA = 6 15 1 0 9 12 Definição 15 A transposta de uma matriz A = (a ij ) m n é definida pela matriz A T = B = (b ij ) n m, obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja, b ij = a ji, para i = 1,, n e j = 1,, m Escrevemos também A T ij = a ji Exemplo 16 As transpostas das matrizes 1 2 A =, B = 3 4 são A T = 1 3 2 4, B T = 2 1 0 3 2 0 1 3, C =, C T = 1 3 0 2 4 2 1 2 3 4 0 2, A seguir, mostraremos as propriedades que são válidas para a álgebra matricial Várias propriedades são semelhantes àquelas que são válidas para os números reais, mas deve-se tomar cuidado com as diferenças Uma propriedade importante que é válida para os números reais, mas não é válida para as matrizes é a comutatividade do produto, como foi mostrado no Exemplo 16 Por ser compacta, usaremos a notação de somatório na demonstração de várias propriedades Algumas propriedades desta notação estão explicadas no Apêndice I na página 10 112 Propriedades da Álgebra Matricial Teorema 11 Sejam A, B e C matrizes com tamanhos apropriados, α e β escalares São válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais: (a) (comutatividade da soma) A + B = B + A; (b) (associatividade da soma) A + (B + C) = (A + B) + C; (c) (elemento neutro da soma) Existe uma única matriz 0, m n, tal que A + 0 = A, para toda a matriz A, m n A matriz 0 é chamada matriz nula m n (d) (elemento simétrico) Para cada matriz A, existe uma única matriz B, tal que Representamos B por A A + B = 0

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 4 (e) (associatividade) α(βa) = (αβ)a; (f) (distributividade) (α + β)a = αa + βa; (g) (distributividade) α(a + B) = αa + αb; (h) (associatividade do produto) A(BC) = (AB)C; (i) (distributividade) A(B + C) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC; (j) α(ab) = (αa)b = A(αB); (k) ( A T ) T = A; (l) (A + B) T = A T + B T ; (m) (AB) T = B T A T ; (n) (αa) T = αa T ; (o) A matriz, n n, chamada matriz identidade é tal que 1 0 0 0 1 0 I n =, 0 0 1 AI n = A, para toda matriza = (a ij ) m n e I nb = B, para toda matrizb = (b ij ) n m Demonstração: Para provar a igualdades acima, devemos mostrar que os elementos da matriz do lado esquerdo são iguais aos elementos correspondentes da matriz do lado direito Serão usadas várias propriedades dos números sem citá-las explicitamente (a) A + B ij = a ij + b ij = b ij + a ij = B + A ij (b) A + (B + C) ij = a ij + B + C ij = a ij + (b ij + c ij ) = (a ij + b ij ) + c ij = A + B ij + c ij = (A + B) + C ij (c) Seja X uma matriz m n tal que A + X = A (113) para qualquer matriz A, m n Comparando os elementos homólogos, temos que a ij + x ij = a ij, ou seja, x ij = 0, para i = 1,, m e j = 1,, n Portanto, a única matriz que satisfaz (113) é a matriz em que todos os seus elementos são iguais a zero Denotamos a matriz por 0 (d) Dada uma matriz A, m n, seja X uma matriz m n, tal que Comparando os elementos homólogos, temos que A + X = 0 (114) a ij + x ij = 0, ou seja, x ij = a ij, para i = 1,, m e j = 1,, n Portanto, a única matriz que satisfaz (114) é a matriz em que todos os seus elementos são iguais aos simétricos dos elementos de A Denotamos a matriz X por A (e) α(βa) ij = αβa ij = (αβ) A ij = (αβ)a ij (f) (α + β)a ij = (α + β)a ij = αa ij + βa ij = αa ij + βa ij = αa + βa ij α(a + B) ij = αa + B ij = α(a ij + b ij ) = αa ij + αb ij = αa ij + αb ij (g) = αa + αb ij (h) Sejam A, B e C matrizes m p, p q e q n, respectivamente A notação de somatório aqui pode ser muito útil, pelo facto de ser compacta p p q p q A(BC) ij = a ik BC kj = a ik b kl c lj = a ik (b kl c lj ) = k=1 k=1 l=1 k=1 l=1 ( p q q p q p ) = (a ik b kl )c lj = (a ik b kl )c lj = a ik b kl ) c lj = = k=1 l=1 l=1 k=1 q AB il c lj = (AB)C ij l=1 l=1 k=1

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 5 p p p A(B + C) ij = a ik B + C kj = a ik (b kj + c kj ) = (a ik b kj + a ik c kj ) = (i) k=1 k=1 k=1 p p = a ik b kj + a ik c kj = AB ij + AC ij = AB + AC ij k=1 k=1 A outra igualdade é inteiramente análoga à anterior e deixamos como exercício p p (j) α(ab) ij = α a ik b kj = (αa ik )b kj = (αa)b ij e k=1 k=1 p p α(ab) ij = α a ik b kj = a ik (αb kj ) = A(αB) ij k=1 k=1 (k) (A T ) T ij = A T ji = a ij = A ij (l) (A + B) T ij = A + B ji = a ji + b ji = A T ij + B T ij (m) (AB) T p ij = AB ji = p a jk b ki = A T kj B T ik = p B T ik A T kj = B T A T ij k=1 k=1 k=1 (n) (αa) T ij = αa ji = αa ji = α A T ij = αa T ij (o) É imediato A diferença entre duas matrizes de mesmo tamanho A e B é definida por A B = A + ( B), ou seja, é a soma da matriz A com a simétrica da matriz B Sejam A uma matriz n n e p um número inteiro positivo Definimos a potência p de A, por A p = A A E }{{} p vezes para p = 0, definimos A 0 = I n Exemplo 17 Vamos verificar se para matrizes A e B, quadradas, vale a igualdade Usando a propriedade (i) do teorema anterior obtemos (A + B)(A B) = A 2 B 2 (115) (A + B)(A B) = (A + B)A + (A + B)( B) = AA + BA AB BB = A 2 + BA AB B 2 Assim, (A + B)(A B) = A 2 B 2 se, e somente se, BA AB = 0, ou seja, se, e somente se, AB = BA Como o produto de matrizes não é comutativo, a conclusão é que a igualdade (115), não vale para matrizes em geral Como contra exemplo basta tomarmos duas matrizes que não comutem entre si Sejam A = 0 0 1 1 e B = 1 0 1 0 Para esta matrizes A + B = 1 0 2 1, A B = 1 0 0 1, A 2 = A = 0 0 1 1, B 2 = B = 1 0 1 o Assim, (A + B)(A B) = 1 0 2 1 1 0 0 1 = A 2 B 2 Exercícios Numéricos 111 Considere as seguintes matrizes A = 2 0 0 4 6 9 7, B =, C = 6 7 2 8 7 3 2 6 4 0 6 9 9 D = 1 1 4, E = 1 0 4 6 0 6 6 0 1 Se for possível calcule:, (a) AB BA, (b) 2C D,

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 6 (c) (2D T 3E T ) T, (d) D 2 DE 112 Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, como podemos calcular A(B + C), B T A T, C T A T e (ABA)C? 113 Considere as seguintes matrizes Verifique que: A = D = (a) AB é diferente de BA 3 2 1 1 2 1 d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3 2 1 2 1 1, B = 2 0, C = 0 1 1, 0 3 1 0 1 1 0 0, E 1 = 0, E 2 = 1, E 3 = 0 0 0 1 (b) AE j é a j-ésima coluna de A, para j = 1, 2, 3 e Ei T B é a i-ésima linha de B, para i = 1, 2,3 (o caso geral está no Exercício 1116 na página 8) 2 1 1 (c) CD = d 1 C 1 d 2 C 2 d 3 C 3, em que C 1 = 0, C 2 = 1 e C 3 = 1, são as colunas da 1 0 1 matriz C ( o caso geral está no Exercício 1117 (a) na página 8) d 1 L 1 (d) DC = d 2 L 2, em que L 1 = 2 1 1, L 2 = 0 1 1 e L 3 = 1 0 1 são as linhas de C (o caso d 3 L 3 geral está no exercício 1117 (b) na página 8) 2 1 (e) Escrevendo B em termos das suas colunas, B = B 1 B 2, em que B 1 = 2 e B 2 = 0, o produto 0 3 AB pode ser escrito como AB = A B 1 B 2 = AB 1 AB 2 ( o caso geral está no exercício 1118 (a) na página 9) (f) Escrevendo A em termos das suas linhas, A 1 = 3 2 1 e A 2 = 1 2 1, o produto AB pode ser A 1 A 1 B escrito como AB = B = (o caso geral está no Exercício 1118 na página 9) A 2 A 2 B 114 Sejam A = 1 3 0 0 4 2 e X = Verifique que xa 1 + ya 2 + za 3 = AX, em que A j é a j-ésima coluna de A, para j = 1,2, 3 (o caso geral está no Exercício 1119 na página 9) 115 Encontre um valor de x tal que AB T = 0, em que A = x 4 2 e B = 2 3 5 1 1 116 Mostre que as matrizes A = y, em que y é um número real não nulo, verificam a equação X 2 = 2X y 1 0 1 117 Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M =, então AB = BA 1 0 118 (a) Determine todas as matrizes A, 2 2, diagonais que comutam com toda a matriz B, 2 2, ou seja, tais que AB = BA, para toda a matriz B, 2 2 (b) Determine todas as matrizes A, 2 2, que comutam com toda a matriz B, 2 2, ou seja, tais que AB = BA, para toda a matriz B, 2 2 Exercícios usando o Matlab R x y z Uma vez inicializado o Matlab R, aparecerá na janela de comandos um prompt >> ou EDU>> O prompt significa que o Matlab R está esperando um comando Todo o comando deve ser finalizado teclando-se Enter Comandos que foram dados anteriormente podem ser obtidos novamente usando as teclas e Enquanto estiver escrevendo um comando, este pode ser corrigido usando as teclas,, Delete e Backspace O Matlab R faz diferença entre letras maiúsculas e minúsculas

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 7 No Matlab R, pode-se obter ajuda sobre qualquer comando ou função O comando >> help (sem o prompt >>) mostra uma listagem de todos os pacotes disponíveis Ajuda sobre um pacote específico ou sobre um comando ou função específica por ser obtida com o comando >> help nome em que nome pode ser o nome de um pacote ou o nome de um comando ou função Além dos comandos e funções pré-definidas, escrevemos um pacote chamado gaal com funções específicas para a aprendizagem de Geometria Analítica e Álgebra Linear Este pacote pode ser obtido gratuitamente através da internet no endereço http://wwwmatufmgbr/ regi, assim como um texto com uma introdução ao Matlab R e instruções de como instalar o pacote gaal Depois deste pacote ser devidamente instalado, o comando help gaal no prompt do Matlab R dá informações sobre este pacote Vamos descrever aqui alguns comandos que podem ser usados para a manipulação de matrizes Outros comandos serão introduzidos à medida que forem necessários >> syms x y z diz ao Matlab R que as variáveis x y e z são simbólcas >>A=a11,,a1n;a21,,a2n; ;am1,,amn cria uma matriz, m n, usando os elementos a11,a12,,amn e armazena numa variável de nome A Por exemplo 1 2 3 >> A=1,2,3;4,5,6 cria a matriz A = ; 4 5 6 >> I=eye(n) cria a matriz identidade n n e a armazena numa variável I; >> O=zeros(n) cria a matriz nula n n e a armazena numa variável O; >> O=zeros(m,n) cria a matriz nula m n e a armazena numa variável O; >> A+B é a soma de A e B; >> A-B é a diferença A menos B; >> A*B é o produto de A por B; >> num*a é o produto do escalar num por A; >> A é a transposta de A; >> Â k é a potência A elevado a k; >> A(:,j) é a coluna j da matriz A; >> A(i,:) é a linha i da matriz A; >> diag(d1,,dn) cria uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal são d1,,dn; >> A=sym(A) converte a matriz A numa matriz em que os elementos são armazenados no formato simbólico A função numeric faz o processo inverso >> solve(expr) determina a solução da equação expr=0 Por exemplo, solve(x 2-4) determina as soluções da equação x 2 4 = 0 Comando do pacote GAAL: >> A=randi(n) cria uma matriz n n com os elementos inteiros aleatórios entre 5 e 5 e armazena numa variável de nome A >> A=randi(m,n) cria uma matriz m n com os elementos inteiros aleatórios entre 5 e 5 e armazena numa variável de nome A 119 Use o Matlab R para calcular alguns membros da sequência A, A 2,, A k,, para 1 1 1 1 (a) A = 2 1 ; (b) A = 3 0 0 1 3 5 A sequência parece estar convergindo para alguma matriz? Se estiver, para qual? 1110 Calcule as potências das matrizes dadas a seguir e encontre experimentalmente (por tentativas!) o menor inteiro k > 1 tal que (use o comando >> A=sym(A) depois de armazenar a matriz na variável A): (a) A k = I 3, em que (b) A k = I 4, em que A = A = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ; 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ;

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 8 (c) A k = 0, em que A = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1111 Vamos fazer uma experiência no Matlab R para tentar ter uma ideia do quão comum é encontrar matrizes cujo produto comuta No prompt do Matlab R digite a seguinte linha: >> c=0; for n=1:1000,a=randi(3);b=randi(3);if(a*b==b*a),c=c+1;end,end,c (não esqueça das vírgulas e dos pontos e vírgulas!) O que esta linha manda o Matlab R fazer é o seguinte: Criar m contador c e atribuir a ele o valor zero Atribuir às variáveis A e B, 1000 matrizes 3 3 com entradas inteiras e aleatórias entre 5 e 5 Se AB=BA, ou seja, A e B comutarem, então o contador c é incrementado de 1 No final o valor existente na variável c é escrito Qual a conclusão que você tira do valor c escrito? 1112 Faça uma experiência semelhante à anterior, mas para o caso em que cada uma das matrizes é diagonal, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero Use a seta para cima para obter novamente a linha digitada e edite a linha prompt do Matlab R de forma a obter algo semelhante à linha: >> c=0; for n=1:1000,a=diag(randi(1,3)); Qual a conclusão que você tira do valor obtido na variável c? 1113 Faça uma experiência semelhante à anterior, mas para o caso em que uma das matrizes é diagonal Use a seta para cima para obter novamente a linha digitada e edite a linha no prompt do Matlab R de forma a obter a seguinte linha: >> c=0; for n=1:1000,a=diag(randi(1,3));b=randi(3);if(a*b==b*a),c=c+1;a,b, end,end,c Aqui são impressas as matrizesaebquando elas comutarem Qual é a conclusão que você tira desta experiência? Qual a probabilidade de um tal par de matrizes comutarem? 1114 Use o Matlab R para resolver os Exercícios Numéricos Exercícios Teóricos 1115 Dadas as matrizes A = (a ij ) 2 3, B = (b ij ) 3 2, C = (c ij ) 2 2 e D = (d ij ) 2 3, quais das seguintes operações são possíveis? (a) 3A (e) B(7A) (i) (AB)C (b) (7A)B (f) C + BA (j) A(BC) (c) (B + D) + A (g) AB + C (k) (DB)A (d) A T + 4D (h) C(A + D) (l) D T (BA) T T T 1116 Sejam E 1 = 1 0 0, E2 = 0 1 0,, En = 0 0 1 matrizes n 1 (a) Mostre que se A = então AE j é igual à coluna j da matriz A (b) Mostre que se então Ei T B é igual à linha i da matriz B a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn, b 11 b 12 b 1m b 21 b 22 b 2m B =, b n1 b n2 b nm 1117 Seja D = λ 1 0 0 0 λ 2 0, 0 0 λ n

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 9 uma matriz diagonal n n, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero Seja a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn (a) Mostre que o produto AD é obtido da matriz A multiplicando-se cada coluna j por λ j, ou seja, se a 1j A = A 1 A 2 A n, em que A j = é a coluna j de A, então a nj AD = λ 1 A 1 λ 2 A 2 λ na n (b) Mostre que o produto DA é obtido da matriz A multiplicando-se cada linha i por λ i, ou seja, se A = A 1 A 2, em que A i = a i1 a in é a linha i de A, então A n λ 1 A 1 λ 2 A 2 DA = λ na n 1118 Sejam A e B matrizes m p e p n, respectivamente (a) Mostre que a j-ésima coluna do produto AB é igual ao produto AB j, em que B j = coluna de B, ou seja, se B = B 1 B n, então b 1j b pj é a j-ésima AB = A B 1 B n = AB 1 AB n (b) Mostre que a i-ésima linha do produto AB é igual ao produto A i B, em que A i = a i1 a ip é a i-ésima A 1 A 2 linha de A, ou seja, se A =, então A m A 1 A 1 B A 2 AB = B = A 2 B A m A mb x 1 1119 Sejam A uma matriz m n e X = uma matriz n 1 Prove que AX = n x j A j, em que A j é a j=1 x n j-ésima coluna de A (Sugestão: desenvolva o lado direito e chegue ao lado esquerdo) (a) Mostre que se A é uma matriz m n tal que AX = 0, para toda a matriz X, n 1, então A = 0 1120 (Sugestão: use o Exercício 1116 na página 8) (b) Sejam B e C matrizes m n tais que BX = CX, para todo X, n 1 Mostre que B = C (Sugestão: use o item anterior) 1121 Mostre que a matriz identidade I n é a única matriz tal AI n = I na = A para qualquer matriz A, n n (Sugestão: seja J n uma matriz talque AJ n = J na = A Mostre que J n = I n) 1122 Se AB = BA e p é um inteiro positivo, mostre que (AB) p = A p B p 1123 Sejam A, B e C matrizes n n (a) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2? E se AB = BA? Justifique (b) (AB)C = C(AB)? E se AC = CA e BC = CB? Justifique (Sugestão: veja o Exemplo 17 na página 5)

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 10 1124(a) Se A e B são duas matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0? Justifique (b) Se AB = 0, então BA = 0? Justifique (c) Se A é uma matriz tal que A 2 = 0, então A = 0? Justifique 1125 Dizemos que uma matriz A, n n, é simétrica se A T = A e é anti-simétrica se A T = A (a) Mostre que se A é simétrica, então a ij = a ji, para i, j = 1,, n e que se A é anti- -simétrica, então a ij = a ji, para i, j = 1,, n Portanto, os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são iguais a zero (b) Mostre que se A e B são simétricas, então A + B e αa são simétricas, para todo o escalar α (c) Mostre que se A e B são simétricas, então AB é simétrica se, e somente se, AB = BA (d) Mostre que se A e B são anti-simétricas, então A + B e αa são ant-simétricas, para todo o escalar α (e) Mostre que para toda a matriz A, n n, A + A T é simétrica e A A T é anti-simétrica (f) Mostre que toda a matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica (Sugestão: observe o resultado de A + A T com A A T ) 1126 Para matrizes quadradas A = (a ij ) n n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(a) = n a ii i=1 (a) Mostre que tr(a + B) = tr(a) + tr(b) (b) Mostre que tr(αa) = αtr(a) (c) Mostre que tr(a T ) = tr(a) (d) Mostre que tr(ab) = tr(ba) 1127 Seja A uma matriz n n Mostre que se A T A = 0, então A = 0 (Sugestão: use o traço) E se a matriz A for m n, com m n? 1128 Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativos Mostre que: (a) Se D 1 e D 2 são matrizes diagonais n n, então D 1 D 2 = D 2 D 1 (b) Se A é uma matriz n n e em que a 0,, a k são escalares, então AB = BA Apêndice I: Notação de Somatório B = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + + a k A k, São válidas algumas propriedades para a notação de somatório: (a) O índice do somatório é uma variável muda que pode ser substituída por qualquer letra: n n f i = f j i=1 (b) A ordem em que começa o somatório pode ser alterada: Pois n f i = i=1 j=1 n+m i=1+m f i m n f i = f 1 + + f n = f (1+m) m + + f (n+m) m = i=1 (c) O somatório de uma soma pode ser escrito como uma soma de somatórios: Pois i=1 n n n (f i + g i ) = f i + g i i=1 i=1 i=1 n+m i=1+m f i m n n n (f i + g i ) = (f 1 + g 1 ) + + (f n + g n) = (f 1 + + f n) + + (g 1 + + g n) = f i + g i Aqui foram aplicadas as propriedades associative e comutativa da soma e números i=1 i=1

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 11 (d) Se no termo geral do somatório aparece um produto, em que um factor não depende do índice do somatório, então este factor pode sair do somatório: n n f i g k = g k f i Pois i=1 i=1 n n f i g k = f 1 g k + + f ng k = g k (f 1 + + f n) = g k f i i=1 i=1 Aqui foram aplicadas as propriedades distributiva e comutativa do produto em relação à soma de números (e) Num somatório duplo, a ordem dos somatórios pode ser trocada: n m n m f ij = f ij Pois n i=1 j=1 m f ij = i=1 j=1 i=1 j=1 n (f i1 + + f im ) (116) i=1 = (f 11 + + f 1m ) + + (f n1 + + f nm) (117) = (f 11 + + f n1 ) + + (f 1m + + f nm) (118) m = (f 1j + + f nj ) (119) = j=1 n m f ij (1110) i=1 j=1 Aqui foram aplicadas as propriedades comutativa e associativa da soma de números 12 Sistemas de Equações Lineares Muitos problemas em várias áreas da Ciência recaem na solução de sistemas lineares Vamos ver como a álgebra matricial pode simplificar o estudo dos sistemas lineares Uma equação linear de n variáveis x 1, x 2,, x n é uma equação da forma em que a 1, a 2,, a n e b são constantes reais a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a nx n = b, Um sistema de equações lineares ou simplesmente sistema linear é um conjunto de equações lineares, ou seja, é um conjunto de equações da forma a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mnx n = b m em que a ij e b k são constantes reais, para i, k = 1,, m e j = 1,, n Usando o produto de matrizes que definimos na secção anterior, o sistema linear acima pode ser escrito como uma equação matricial AX = B, em que a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n A =, X = x 2 e B = b 2 a m1 a m2 a mn x n b m s 1 s 2 Uma solução de um sistema linear é uma matriz S = tal que as equações do sistema são satisfeitas s n quando substituímos x 1 = s 1, x 2 = s 2,, x n = s n O conjunto de todas as soluções do sistema é chamado conjunto solução ou solução geral do sistema A matriz A é chamada matriz dos coeficientes do sistema linear

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 12 e a matriz B é chamada matriz dos termos independentes Um sistema linear é dito consistente ou possível se tiver pelo menos uma solução Caso contrário, dizemos que o sistema é inconsistente ou impossível Exemplo 18 O sistema linear de duas equações e duas incógnitas { x + 2y = 1 2x + y = 0 pode ser escrito como 1 2 2 1 A solução (geral) do sistema acima é x = 1/3 e y = 2/3 (verifique!), ou seja, 1 X = 3 2 3 x y Uma forma de resolver um sistema linear é substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo conjunto solução do primeiro, mas que seja mais fácil de resolver O outro sistema é obtido depois de aplicarmos sucessivamente uma série de operações, que não alteram a solução do sistema, sobre as equações As operações que são usadas são: trocar a posição de duas equações do sistema; multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero; somar a uma equação outra equação multiplicada por um escalar Estas operações são chamadas de operações elementares Quando aplicamos operações elementares sobre as equações de um sistema linear, somente os coeficientes das incógnitas e os termos independentes são alterados Assim, podemos aplicar as operações sobre a matriz de coeficientes ampliada com a coluna dos termos independentes, que chamamos de matriz ampliada, ou seja, a matriz a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 A B = = 1 0 a m1 a m2 a mn b m Definição 16 Uma operação elementar sobre linhas de uma matriz é uma das seguintes operações: (a) trocar a posição de duas linhas; (b) multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero; (c) somar a uma linha da matriz um múltiplo escalar de outra linha Outra definição importante é a que classifica a relação entre linhas Definição 17 Dada uma matriz A, m n, dizemos que o conjunto das suas filas (linhas ou colunas) são linearmente dependentes: 1 se existir pelo menos uma fila nula; 2 se existirem duas filas proporcionais; em particular, se existirem duas iguais; 3 se existir uma fila que seja igual à soma de múltiplos das outras filas Caso contrário, dizemos que o conjunto das filas é linearmente independente Iremos ver mais adiante que o número máximo de elementos que um conjunto, formado pelas filas de uma matriz, pode ter para ser linearmente independente, é o mesmo quer as filas sejam linhas ou colunas O próximo teorema garante que ao aplicarmos operações elementares às equações de um sistema, o conjunto solução não é alterado Teorema 12 Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D são tais que a matiz ampliada C D é obtida de A B aplicando-se uma operação elementar, então os dois sistemas possuem as mesmas soluções

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 13 Demonstração: A demonstração deste teorema segue de duas observações: (a) Se X é solução de um sistema, então X também é solução do sistema obtido aplicando-se uma operação elementar sobre as suas equações (verifique!) (b) Se o sistema CX = D é obtido de AX = B aplicando-se uma operação elementar às suas equações (ou equivalentemente às linhas da sua matriz ampliada), então o sistema AX = B também pode ser obtido de CX = D aplicando-se uma operação elementar às suas equações, pois cada operação elementar possui uma operação elementar inversa do mesmo tipo que desfaz o que a anterior fez (verifique!) Pela observação (b), AX = B e CX = D podem ser obtidos um do outro aplicando-se uma operação elementar sobre as suas equações E pela observação (a), os dois possuem as mesmas soluções Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes Portanto, segue do Teorema 12 que aplicando-se operações elementares às equações de um sistema linear obtemos sistemas equivalentes 121 Método de Gauss-Jordan O método que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicação de operações elementares às linhas da matriz ampliada do sistema até que obtenhamos uma matriz numa forma em que o sistema associado a esta matriz seja de fácil resolução Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas não nulas possuam como primeiro elemento não nulo o número 1 (chamado pivot) Além disso, se uma coluna contém um pivot, então todos os seus outros elementos terão que ser iguais a zero Vamos ver no exemplo seguinte como conseguimos isso Neste exemplo, veremos como a partir de um circuito eléctrico em que conhecemos as fontes e as resistências podemos determinar as correntes eléctricas Exemplo 19 Consideremos o seguinte sistema eléctricos 20Ω Q 10Ω 80 volts 10Ω 90 volts i 1 i 2 i 3 P 15Ω Para obter o sistema de equações, definimos as três correntes (incógnitas do sistema) conforme representadas no esquema acima, escolhendo a direcção aleatoriamente; se obtivermos um valor negativo para a corrente, isto implica que a corrente flui no sentido inverso àquele escolhido A corrente que entra em cada fonte é a mesma que sai As equações para as correntes resultam das leis de Kirchhoff: Lei de Kirchhoff para a corrente Em qualquer nó, a soma das correntes que entram é igual à soma das correntes que saem Lei de Kirchhoff para a voltagem Em qualquer loop fechado, a soma das tensões é igual à força electromotriz O nó P dá-nos a primeira equação, o nó Q a segunda, o loop da direita a terceira e o loop da esquerda a quarta nó P : i 1 i 2 + i 3 = 0 nó Q : i 1 + i 2 i 3 = 0 loop direito : 10i 2 + 25i 3 = 90 loop esquerdo : 20i 1 + 10i 2 = 80 Assim, precisamos resolver o sistema linear i 1 i 2 + i 3 = 0 i 1 + i 2 i 3 = 0 10i 2 + 25i 3 = 90 20i 1 + 10i 2 = 80

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 14 cuja matriz ampliada é 1 1 1 0 1 1 1 0 0 10 25 90 20 10 0 80 1 a eliminação Vamos procurar para pivot da primeira linha um elemento não nulo da primeira coluna não nula (se for o caso, podemos usar a troca de linhas para trazê-lo para a primeira linha) Como o primeiro elemento da primeira coluna é igual a 1 ele será o primeiro pivot Agora, precisamos anular os outros elementos da 1 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos à 2 a linha uma vez a 1 a linha e adicionamos à 4 a linha, 20 vezes a 1 a 2 a eliminação 1 a linha + 2 a linha 2 a linha 20 1 a linha + 4 a linha 4 a linha 1 1 1 0 0 0 0 0 0 10 25 90 0 30 20 80 A primeira linha que serviu de linha do pivot manteve-se inalterada Olhamos para a submatriz obtida eliminandose a 1 a linha Uma vez que todos os elementos da 2 a linha são nulos, vamos ter que alterar a ordem das linhas passando a 2 a para a última e fazendo subir as outras duas Assim obtemos 1 1 1 0 0 10 25 90 0 30 20 80 0 0 0 0 Escolhemos o elementos da posição 2,2 para pivot Agora precisamos anular os outros elementos da 2 a coluna, que é a coluna do pivot Para isso, somamos 10 vezes a 1 a linha, à 2 a linha e somamos à 3 a linha, 3 vezes a 2 a linha 3 a eliminação 2 a linha + 10 1 a linha 1 a linha 3 2 a linha + 3 a linha 3 a linha 10 0 35 90 0 10 25 90 0 0 95 190 0 0 0 0 Olhamos para a submatriz obtida eliminando a 1 a e a 2 a linha Escolhemos para pivot um elemento diferente de zero na 1 a coluna não nula desta submatriz Temos de escolher o elemento de posição 3,3 Podemos fazer o pivot igual a 1 a, multiplicando a 3 a linha por 1/95 1 95 3a linha 3 a linha 10 0 35 90 0 10 25 90 0 0 1 2 0 0 0 0 Agora, precisamos anular os outros elementos da 3 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, somamos à 1 a linha, 35 vezes a 3 a linha e somamos à 2 a linha, 25 vezes a 3 a linha 10 0 0 20 35 3 a linha + 1 a linha 1 a linha 0 10 0 40 25 3 a linha + 2 a linha 2 a linha 0 0 1 2 0 0 0 0 Resta-nos apenas passar os dois primeiros pivots a 1 Para isso, basta multiplicar as duas primeiras linhas por 1/10 1 10 1a linha 1 a linha 1 10 2a linha 2 a linha 1 0 0 2 0 1 0 4 0 0 1 2 0 0 0 0 a Esta operação de tornar o pivot igual a 1 é sempre possível No entanto, quando estamos a fazer as contas à mão só convém fazê-la quando não implicar o aparecimento de fracções

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 15 Portanto, o sistema inicialmente dado é equivalente ao sistema i 1 = 2 i 2 = 4, i 3 = 2 que possui a solução geral dada por i 1 2 X = i 2 = 4 i 3 2 Esta é a resposta ao nosso problema A solução é única Observe ainda que os valores das três correntes são positivos, o que significa que escolhemos bem inicialmente o sentido das correntes! A última matriz que obtivemos no exemplo anterior está na forma que chamamos de escalonada reduzida Definição 18 Uma matriz A = (a ij ) m n está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições: (a) todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas; (b) o primeiro elemento não nulo de cada linha não nula, chamado pivot, é igual a 1; (c) o pivot da linha i + 1 ocorre à direita do pivot da linha i, para i = 1,, m 1; (d) se uma coluna contém um pivot, então todos os seus outros elementos são iguais a zero Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas não necessariamente (b) e (d), dizemos que ela está na forma escalonada Exemplo 110 As matrizes 1 3 0 0 5 0 0 1 0 2 0 0 0 1 2, são escalonadas reduzidas, enquanto que as matrizes 2 3 0 1 5 0 0 1 4 2, 0 0 0 1 2 são escalonadas, mas não são escalonadas reduzidas 0 1 0 0 3 0 0 1 0 1 0 0 0 1 5 0 5 4 0 3 0 0 1 0 1 0 0 0 1 5, e, e 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 0 3 0 3 0 0 0 2 Este método de resolução de sistemas, que consiste em aplicar operações elementares às linhas da matriz ampliada até que a matriz do sistema esteja na forma escalonada reduzida, é conhecido como método de Gauss-Jordan Exemplo 111 Considere o seguinte sistema x + 3y + 13z = 9 y + 5z = 2 2y 10z = 8 A sua matriz ampliada é 1 a eliminação 1 3 13 9 0 1 5 2 0 2 10 8 Como o pivot da 1 a linha é igual a 1 e os outros elementos da 1 a coluna são iguais a zero, não há nada o que fazer na 1 a eliminação 1 3 13 9 0 1 5 2 0 2 10 8 2 a eliminação

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 16 Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1 a linha Escolhemos para pivot um elemento não nulo da 1 a coluna não nula da submatriz Escolhemos o elemento de posição 2, 2 Como ele é igual a 1, precisamos agora anular os outros elementos da coluna do pivot Para isto somamos à 1 a linha, 3 vezes a 2 a e somamos à 3 a linha, 2 vezes a 2 a 3 2 a linha + 1 a linha 1 a linha 2 2 a linha + 3 a linha 3 a linha 1 0 2 3 0 1 5 2 0 0 0 4 Portanto, o sistema dado é equivalente ao sistema x 2z = 3 y + 5z = 2 0 = 4, que não possui solução Um sistema linear não tem solução se, e somente se, existir uma linha não nula da forma 0 0 b, com b 0, na forma escalonada reduzida da sua matriz ampliada Exemplo 112 Considere o seguinte sistema 3z 9w = 6 5x + 15y 10z + 40w = 45 x + 3y z + 5w = 7 A sua matriz ampliada é 1 a eliminação 0 0 3 9 6 5 15 10 40 45 1 3 1 5 7 Como temos que fazer o pivot igual a 1, escolhemos o elemento de posição 3,1 Precisamos colocá-lo na primeira linha Para isto, trocamos a 3 a linha com a 1 a 1 3 1 5 7 1 a linha 3 a linha 5 15 10 40 45 0 0 3 9 6 Agora precisamos anular os outros elementos da 1 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos à 2 a linha, 5 vezes a 1 a 1 3 1 5 7 5 1 a linha + 2 a linha 2 a linha 0 0 5 15 10 0 0 3 9 6 2 a eliminação Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1 a linha Escolhemos para pivot um elemento diferente de zero na 1 a coluna não nula desta submatriz Escolhemos o elemento de posição 2, 3 Podemos fazer o pivot igual a 1, multiplicando a 2 a linha por 1/5 1 5 2a linha 2 a linha 1 3 1 5 7 0 0 1 3 2 0 0 3 9 6 Agora precisamos anular os outros elementos da 2 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos à 1 a linha a 2 a e à 4 a linha, 3 vezes a 2 a 2 a linha + 1 a linha 1 a 1 3 0 2 7 linha 3 2 a linha + 3 a linha 3 a 0 0 1 3 2 linha 0 0 0 0 0 Esta matriz está na forma escalonada reduzida Portanto, o sistema dado é equivalente ao sistema seguinte { x + 3y + 2w = 7 z 3w = 2

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 17 A matriz deste sistema possui duas colunas sem pivots As variáveis que não estão associadas a pivots podem ser consideradas variáveis livres, isto é, podem assumir valores arbitrários Neste exemplo, as variáveis y e w não estão associadas a pivots e podem ser consideradas variáveis livres Sejam y = α e w = β As variáveis associadas aos pivots terão os seus valores dependentes das variáveis livres, ou seja, z = 2 + 3β e x = 7 3α 2β Assim, a solução geral do sistema é X = x y z w = 7 3α 2β α 2 + 3β β para todos os valores de α e β reais Exemplo 113 Consideremos a seguinte equação química C 2 H 6 + O 2 CO 2 + H 2 O Pretendemos fazer o balanço de massa nesta equação, isto é, encontrar inteiros positivos x 1, x 2, x 3 e x 4 tais que x 1 C 2 H 6 + x 2 O 2 x 3 CO 2 + x 4 H 2 O Como o número de átomos de cada elemento tem de ser o mesmo nos dois membros da equação, temos: carbono (C): 2x 1 = x 3 hidrogénio (H): 6x 1 = 2x 4 oxigénio (O): 2x 2 = 2x 3 + x 4 Assim, precisamos resolver o sistema 2x 1 x 3 = 0 6x 1 2x 4 = 0 2x 2 2x 3 x 4 = 0, cuja matrix ampliada é 1 a eliminação 2 0 1 0 0 6 0 0 2 0 0 2 2 1 0 Escolhemos o elemento de posição 1,1 para pivot Agora precisamos anular os outros elementos da 1 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos à 2 a linha, 3 vezes a 1 a 2 0 1 0 0 3 1 a linha + 2 a linha 2 a linha 0 0 3 2 0 0 2 2 1 0 2 a eliminação Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1 a linha Escolhemos para pivot um elemento diferente de zero na 1 a coluna não nula desta submatriz Escolhemos o elemento de posição 3, 2 Precisamos colocá-lo na segunda linha Para isto, trocamos a 3 a linha com a 2 a 2 a linha 3 a linha 2 0 1 0 0 0 2 2 1 0 0 0 3 2 0 Como os outros elementos da 3 a coluna, que é a coluna do pivot, já estão zerados, escolhemos o próximo pivot o elemento de posição 3,3 3 a eliminação Agora precisamos anular os outros elementos da 3 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos a 3 vezes a 2 a linha, 2 vezes a 3 a e a 3 vezes a 1 a, uma vez a 3 a 2 3 a linha + 3 2 a linha 2 a 6 0 0 2 0 linha 3 a linha + 3 1 a linha 1 a 0 6 0 7 0 linha 0 0 3 2 0

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 18 Para passar esta matriz à forma escalonada reduzida, basta multiplicar a 1 a e 2 a linha por 1/6 e a 3 a linha por 1/3 1/6 1 a linha 1 a linha 1 0 0 1 0 1/6 2 a linha 2 a 3 linha 0 1 0 7 0 3 3 a linha 3 a 6 linha 0 0 1 2 0 3 Esta matriz está na forma escalonada reduzida Portanto, o sistema dado é equivalente ao sistema seguinte x 1 1 3 x 4 = 0 x 2 7 6 x 4 = 0 x 3 2 3 x 4 = 0 Neste exemplo, a variável x 4 não está associada a qualquer pivot e pode ser considerada variável livre Seja x 4 = α As variáveis associadas aos pivots terão os seus valores dependentes da variável livre, ou seja, x 1 = 1/3α, x 2 = 7/6α e x 3 = 2/3α Assim, a solução geral do sistema é x 1 x 2 X = x 3 = x 4 1/3α 7/6α 2/3α α para todos os valores de α reais Observe que este problema não tem uma solução única Qual o seu significado? Em geral, se o sistema linear tiver solução e a forma escalonada reduzida da matriz ampliada possuir colunas sem pivots, as variáveis que não estão associadas a pivots podem ser consideradas variáveis livres, isto é, podem assumir valores arbitrários As variáveis associadas ao pivots terão os seus valores dependentes das variáveis livres Resumindo, podemos classificar os sistemas em: a) sistema possível determinado (SPD), quando o sistema é consistente e admite uma única solução; b) sistema possível indeterminado (SPI), quando o sistema é consistente, mas admite mais do que uma solução; c) sistema impossível (SI), quando o sistema é inconsistente Observação 12 Para se encontrar a solução de um sistema linear não é necessário transformar a matriz ampliada do sistema na sua forma escalonada reduzida, mas se a matriz está nesta forma, o sistema associado é o mais simples possível Um outro método de resolver sistemas lineares consiste em, através da aplicação de operações elementares à matriz ampliada do sistema, se chegar a uma matriz que é somente escalonada (isto é, uma matriz que satisfaz as condições (a) e (c), mas não necessariamente (b) e (d) da Definição 18) Este método é conhecido como o Método de Gauss Como vimos, os sistemas podem ser consistentes ou inconsistentes A definição seguinte permitir classificar os sistemas de uma maneira bastante prática Definição 19 A característica de uma matriz A é o número máximo de linhas linearmente independentes e denotaremos por Car(A) Observação 13 Uma maneira alternativa de definir característica de uma matriz é dada pelo número de pivots quando esta estiver na forma escalonada reduzida No teorema seguinte estabelece-se que o número máximo de linhas linearmente independentes é igual ao número máximo de colunas linearmente independentes Teorema 13 Dada a A matriz m n, temos Car(A T ) = Car(A) Demonstração: Seja A = (A ij ) m n tal que Car(A) = r Então, por definição, A tem um conjunto de r linhas linearmente independentes, L (1),, L (r) e todas as m linhas, A 1,, A m, podem ser escritas como combinações lineares das outras A 1 = c 11 L (1) + c 12 L (2) + + c 1r L (r) A 2 = c 21 L (1) + c 22 L (2) + + c 2r L (r) A m = c m1 L (1) + c m2 L (2) + + c mrl (r)

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 19 Estas são equações matriciais Cada uma é equivalente a n equações para os correspondentes componentes Fazendo L (1) = l 11 l 1n, L (2) = l 21 l 2n,, L (r) = l r1 l rn, obtemos para k = 1,, n Podemos reescrever a 1k a 2k = l 1k a mk a 1k = c 11 l 1k + c 12 l 2k + + c 1r l rk a 2k = c 21 l 1k + c 22 l 2k + + c 2r l rk a mk = c m1 l 1k + c m2 l 2k + + c mrl rk, c 11 c 21 + l 2k c m1 c 12 c 22 + + l rk c m2 c 1r c 2r c mr para k = 1,, n A matriz do membro esquerdo da equação é a coluna k da matriz A Portanto, as equações mostram que cada coluna da matriz A é igual à soma de múltiplos das r colunas da direita Logo, o número máximo colunas, da matriz A, linearmente independentes não pode exceder as r Agora, o mesmo raciocínio aplica-se à matriz A T Uma vez que as linhas de A T são as colunas de A, concluímos também que o número máximo de linhas linearmente independentes de A (que é de r) não pode exceder o número máximo de colunas linearmente independentes da matriz A Logo esse número tem de ser igual a r Consideremos o sistema de equações AX = B, onde A e B são matrizes m n e m 1, respectivamente Em termos da característica de uma matriz, podemos dizer: a) se Car(A) = Car(A B) = n, então o sistema é do tipo SPD; b) se Car(A) = Car(A B) < n, então o sistema é do tipo SPI; c) se Car(A) < Car(A B), então o sistema é do tipo SI Observação 14 Se a matriz A e a ampliada do sistema A B tiverem características diferentes, então o sistema é inconsistente, ou seja, não existe solução Se as duas matrizes tiverem a mesma característica, então o sistema é consistente e demonstra-se que a solução conterá n Car(A) variáveis livres Exemplo 114 Considere a seguinte matriz ampliada de um sistema de equações 1 1 x 1 A B = 1 2 4x 4 0 x 4 x 2 4x + 2 Pretendemos classificar o sistema em função do parâmetro x 1 a eliminação Escolhemos o elemento de posição 1,1 para pivot Agora precisamos anular os outros elementos da 1 a coluna, que é a coluna do pivot Assim, adicionamos à 2 a linha, 1 vezes a 1 a 1 1 x 1 1 1 a linha + 2 a linha 2 a linha 0 3 3x 3 0 x 4 x 2 4x + 2 2 a eliminação Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1 a linha Escolhemos para pivot um elemento diferente de zero na 1 a coluna não nula desta submatriz Escolhemos o elemento de posição 2,2 Podemos reduzi-lo à unidade Para isso, multiplicamos a 2 a linha por 1/3 1/3 2 a linha 2 a linha 1 1 x 1 0 1 x 1 0 x 4 x 2 4x + 2 Agora precisamos anular os outros elementos da 2 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos à 1 a, uma vez a 2 a e à 3 a linha, x vezes a 2 a 2 a linha + 1 a linha 1 a 1 0 2x 0 linha x 2 a linha + 3 a linha 3 a 0 1 x 1 linha 0 0 x 2 4 x 2 3x + 2 Embora não esteja ainda na forma escalonada reduzida, já podemos determinar as características:

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 20 e Car(A) = { Car(A B) = 2, se x = ±2 3, se x ±2 { Logo, temos a seguinte classificação: SPD, se x ±2; SPI, se x = 2; SI, se x = 2 2, se x = 2 3, se x 2, porque x2 3x + 2 = (x 2)(x 1) O próximo resultado mostra que um sistema linear que tenha mais de uma solução não pode ter um número finito de soluções Teorema 14 Sejam A e B matrizes m n e m 1, respectivamente Se o sistema linear AX = B possui duas soluções distintas X 0 X 1, então ele tem infinitas soluções Demonstração: Seja X λ = (1 λ)x 0 + λx 1, para λ R Vamos mostrar que X λ é solução do sistema AX = B, para qualquer λ R Para isto vamos mostrar que AX λ = B Aplicando as propriedades (i) e (j) das operações matriciais (Teorema 11 na página 3) obtemos AX λ = A (1 λ)x 0 + λx 1 = A(1 λ)x 0 + AλX 1 = (1 λ)ax 0 + λax 1 Como X 0 e X 1 são soluções de AX = B, então AX 0 = B e AX 1 = B Portanto AX λ = (1 λ)b + λb = (1 λ) + λ B = B, pela propriedade (f) do Teorema 11 Assim, o sistema AX = B tem infinitas soluções, pois para todo o valor de λ R, X λ é solução e X λ X λ = (λ λ )(X 1 X 0 ), ou seja, X λ X λ, para λ λ Observe que para λ = 0, X λ = X 0, para λ = 1, X λ = X 1, para λ = 1/2, X λ = 1 2 (X 0 + X 1 ), para λ = 3, X λ = 2X0 + 3X 1 e para λ = 2, X λ = 3X 0 2X 1 No Exemplo 34 na página 58 temos uma interpretação geométrica desta demonstração Para resolver sistemas lineares temos vindo a aplicar operações elementares à matriz ampliada do sistema linear Isto pode ser feito com quaisquer matrizes 122 Matrizes Equivalentes por Linhas Definição 110 Uma matriz A = (a ij ) m n é equivalente por linhas a uma matriz B = (b ij ) m n, se B pode ser obtida de A aplicando-se uma sequência de operações elementares sobre as suas linhas Exemplo 115 Observando os Exemplos 19, 111 e 112, vemos que as matrizes 1 1 1 1 1 1 1 3 13 0 10 25, 0 1 5, 0 2 10 20 10 0 0 0 3 9 5 15 10 40 1 3 1 5 são equivalentes por linhas, respectivamente, às seguintes matrizes escalonadas reduzidas 1 0 0 0 1 0 1 0 2 1 3 0 2 0 0 1, 0 1 5, 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cuidado: elas são equivalentes por linhas, não são iguais!, A relação ser equivalente por linhas satisfaz as seguintes propriedades

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 21 Teorema 15 (a) Toda a matriz é equivalente por linhas a ele mesma (reflexividade) (b) Se A é equivalente por linhas a B, então B é equivalente por linhas a A (simetria) (c) Se A é equivalente por linhas a B e B é equivalente por linhas a C, então A é equivalente por linhas a C (transitividade) Demonstração: (a) Basta multiplicar qualquer linha da matriz por um escalar igual a 1 (b) Cada operação elementar e tem uma operação elementar e 1 do mesmo tipo que desfaz o que a anterior fez (verifique!) Se aplicarmos as operações e 1,, e k na matriz A chegamos à matriz B Então, aplicando-se as operações inversas e 1 k,, e 1 1 à matriz B, chegamos à matriz A (c) Se aplicarmos as operações elementares e 1,, e k chegamos de A a B e aplicando-se as operações elementares e k+1,, e l chegamos de B a C Então, aplicando-se as operações e 1,, e l chegamos de A a C Em geral, qualquer matriz A é equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada reduzida e a demonstração, que omitiremos, pode ser feita da mesma maneira que fizemos no caso particular das matrizes ampliadas dos Exemplos 19, 111 e 112 No Teorema 411 na página 107 mostramos que essa matriz escalonada reduzida é a única matriz na forma escalonada reduzida equivalente a A O próximo resultado será usado para provar alguns resultados no capítulo de inversão de matrizes Teorema 16 Seja R uma matriz n n, na forma escalonada reduzida Se R I n, então R tem uma linha nula Demonstração: Observe que o pivot de uma linha i está sempre numa coluna j com j i Portanto, ou a última linha de R é nula ou o pivot da linha n está na posição n, n Mas neste caso, todas as linhas anteriores são não nulas e os pivots de cada linha i está na coluna i Ou seja, R = I n 123 Sistemas Lineares Homogéneos Um sistema linear da forma a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0, (1211) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mnx n = 0 é chamado sistema homogéneo O sistema (1211) pode ser escrito como AX = 0 Todo o sistema homogéneo x 1 0 x 2 admite pelo menos a solução X = = 0, chamada solução trivial x n 0 Portanto, todo o sistema homogéneo tem solução Além disso, pelo Teorema 14, ou tem somente a solução trivial ou tem infinitas soluções Observação 15 Para resolver um sistema linear homogéneo AX = 0, basta escalonarmos a matriz A do sistema, já que sob a acção de uma operação elementar a coluna de zeros não é alterada Mas é preciso ficar atento quando se escreve o sistema linear associado à matriz resultante das operações elementares, para se levar em consideração esta coluna de zeros que não escrevemos Teorema 17 Se A = (a ij ) m n é tal que m < n, então o sistema homogéneo AX = 0 tem soluções diferentes da solução trivial Ou seja, todo o sistema homogéneo com menos equações do que incógnitas tem infinitas soluções Demonstração: Como o sistema tem menos equações do que incógnitas (m < n), o número de linhas não nulas r da forma escalonada reduzida da matriz ampliada do sistema também é tal que r < n Assim, temos r pivots e n r variáveis (incógnitas) livres, que podem assumir todos os valores reais Logo, o sistema admite solução não trivial e portanto infinitas soluções O conjunto solução de um sistema linear homogéneo satisfaz propriedades interessantes Estas propriedades terão um papel decisivo no estudo de subespaços de R n na secção 42 na página 99

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 22 Teorema 18 Seja A = (a ij ) m n (a) Se X 1 e X 2 são soluções do sistema homogéneo AX = 0, então X 1 + X 2 também o é (b) Se X é solução do sistema homogéneo AX = 0, então αx também o é, para α R Demonstração: (a) Se X 1 e X 2 são soluções do sistema homogéneo AX = 0, então AX 1 = 0 e AX 2 = 0 Portanto X 1 +X 2 também é solução, pois A(X 1 + X 2 ) = AX 1 + AX 2 = 0 + 0 = 0 (b) Se X é solução do sistema homogéneo AX = 0, então αx também o é, pois A(αX) = αax = α0 = 0 Estas propriedades não são válidas para os sistemas lineares em geral Por exemplo, considere o sistema linear AX = B, em que A = 1 e B = 1 A solução deste sistema é X = 1 Mas, X + X = 2X = 2, não é solução do sistema Exercícios Numéricos 121 Quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida: 1 0 0 0 3 A = 0 0 1 0 4 B = 0 0 0 1 2 C = 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 D = 0 1 0 0 4 0 0 1 0 5 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 122 Em cada item suponha que a matriz ampliada de um sistema foi transformada na matriz escalonada reduzida dada, usando operações elementares Resolva o sistema correspondente 1 0 0 7 8 1 0 0 0 6 (a) 0 1 0 3 2 (c) 0 1 0 0 3 0 0 1 1 5 0 0 1 1 2 (b) 1 6 0 0 3 2 0 0 1 0 4 7 0 0 0 1 5 8 0 0 0 0 0 0 123 Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas: (a) (b) (c) x 1 + x 2 + 2x 3 = 8 x 1 2x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 7x 2 + 4x 3 = 10 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0 2x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 1 8x 1 + x 2 + 4x 3 = 1 2x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 + 6x 2 3x 3 = 2 6x 1 + 6x 2 + 3x 3 = 5 (d) 1 7 0 0 8 3 0 0 1 0 6 5 0 0 0 1 3 9 0 0 0 0 0 0 124 Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A Resolva-os usando o método de Gauss-Jordan Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalonando a matriz ampliada A B 1 B 2 (a) x 1 2x 2 + x 3 = 1 2x 1 5x 2 + x 3 = 2 3x 1 7x 2 + 2x 3 = 1 (b) x 1 2x 2 + x 3 = 2 2x 1 5x 2 + x 3 = 1 3x 1 7x 2 + 2x 3 = 2 125 Seja A = 1 0 5 1 1 1 0 1 4

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 23 (a) Encontre a solução geral do sistema (A + 4I 3 )X = 0 (b) Encontre a solução geral do sistema (A 2I 3 )X = 0 126 Mostre, através de um exemplo, que Car(A) = Car(B) não implica que Car(A 2 ) = Car(B 2 ) 127 Determine a característica das seguintes matrizes (a) (c) (e) 1 1 1 0 1 1 3 1 3 1 2 1 7 2 8 6 4 7 4 3 1 1 1 0 2 3 1 3 6 2 (b) (d) (f) 2 2 3 0 2 1 1 3 3 2 1 0 2 3 1 3 3 0 3 2 2 1 2 3 0 2 4 3 2 3 2 1 3 6 8 7 5 128 Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções: (a) (b) x + 2y + 3z = 4 3x y + 5z = 2 4x + y + (a 2 14)z = a + 2 x + y + z = 2 2x + 3y + 2z = 5 2x + 3y + (a 2 1)z = a + 1 129 Usando as Leis de Kirchhoff, determine as correntes eléctricas dos seguintes circuitos i 3 (a) R 2 (b) i 2 R 1 R 2 i 2 R 1 R 3 i 1 V V 1 V 2 i 1 i 3 (c) 8 volts i 1 (d) i 1 4Ω i 3 1Ω i 3 2Ω 05Ω 16 volts 1Ω i 2 2Ω i 2 5Ω 5 volts 10 volts 3Ω 5Ω

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 24 1210 Considere o seguinte circuito eléctrico ( Ponte de Wheatstone) R 4 R 3 R 5 R 1 R 2 Mostre que se R 2 R 4 = R 1 R 3, então a corrente que passa por R 5 é nula 1211 Os métodos de análise de circuitos eléctricos têm aplicações em outros campos Por exemplo, aplicando o equivalente às Leis de Kirchhoff, determine o fluxo de tráfego (carros por hora) na rede de estradas de sentido único (as direcções estão indicadas pelas setas) conforme ilustrado no seguinte esquema A solução é única? 200 400 300 x 1 400 x 4 x 2 500 x 3 600 300 500 1212 Use o procedimento ilustrado no Exemplo 113, para fazer o balanço de massa nas seguintes equações químicas: (a) Na + H 2 O NaOH + H 2 (b) KClO 3 KCl + O 2 (c) Fe 3 O 4 + C Fe + CO (d) C 5 H 8 + O 2 CO 2 + H 2 O (e) Cu + HNO 3 Cu(NO 3 ) 2 + H 2 O +NO (f) Ca 3 (PO 4 ) 2 + H 3 PO 4 Ca(H 2 PO 4 ) 2 1213 Determine os coeficientes a, b, c e d da função polinomial p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, cujo gráfico passa pelos pontos P 1 (0, 10), P 2 (1, 7), P 3 (3, 11) e P 4 (4, 14) 30 y 20 10 0 x -10-20 -30-2 -1 0 1 2 3 4 5 1214 Determine os coeficientes a, b e c da equação do círculo x 2 + y 2 + ax + by + c = 0, que passa pelos pontos P 1 ( 2, 7), P 2 ( 4, 5) e P 3 (4, 3)

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 25 8 y 6 4 2 0 x -2-4 -6-4 -2 0 2 4 6 8 1215 Determine os coeficientes a, b e c da função polinomial p(x) = ax 2 + bx + c, cujo gráfico passa pelos pontos P 1 (1, 1), P 2 (2, 2) e P 3 (3, 0) 1216 Será possível existir uma função polinomial p(x) = ax 2 +bx+c, cujo gráfico passa pelos pontos P 1 (0, 1), P 2 (1, 3), P 3 (2, 15) e P 4 (3, 37)? Justifique 1217 Encontre condições sobre os b i s para que cada um dos sistemas seja consistente (isto é, tenha solução): x 1 2x 2 + 5x 3 = b 1 x 1 2x 2 x 3 = b 1 (a) 4x 1 5x 2 + 8x 3 = b 2 (b) 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 = b 2 3x 1 + 3x 2 3x 3 = b 3 4x 1 + 7x 2 + 4x 3 = b 3 1218 Resolva, usando o método d Gauss-Jordan, os seguintes sistemas: x 1 + 2x 2 3x 4 + x 5 = 2 x 1 + 2x 2 + x 3 3x 4 + x 5 + 2x 6 = 3 (a) x 1 + 2x 2 3x 4 + 2x 5 + x 6 = 4 3x 1 + 6x 2 + x 3 9x 4 + 4x 5 + 3x 6 = 9 x 1 + 3x 2 2x 3 3x 4 + 2x 5 = 0 2x 1 + 6x 2 + 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 = 1 (b) 5x 3 + 10x 4 + 15x 6 = 5 2x 1 + 6x 2 + 8x 4 + 4x 5 + 18x 6 = 6 1219 Considere a matriz A = 1 1 1 1 1 3 2 a 2 2a 2 a 2 3a 1 3 a + 2 3 2a + 1 B, em que B = 4 3 1 6 T, para todos os valores de a 1220 Resolva os sistemas lineares cujas matrizes ampliadas são: (a) 1 2 3 1 8 1 3 0 1 7 1 0 2 1 3 (b) Determine o conjunto solução do sistema AX = 1 1 3 3 0 0 2 1 3 3 1 0 2 1 1 (c) 1 2 3 0 1 1 1 0 1 1 2 0 1 3 3 0 1221 Suponha que 100 insectos estão distribuídos por quatro compartimentos com passagens entre eles, conforme representado no seguinte esquema 3 4 2 1

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 26 Ao fim de um minuto, os insectos redistribuem-se por eles próprios Assuma que um minuto não é tempo suficiente para que um insecto visite mais do que um compartimento e que ao fim de um minuto 40% dos insectos permanecem no compartimento onde se encontravam no início desse minuto Os insectos que abandonam os compartimentos dispersam-se uniformemente pelos compartimentos adjacentes a que têm acesso (a) Se ao fim de um minuto existiam 12, 25, 26 e 37 insectos nos compartimentos 1, 2, 3 e 4, respectivamente, determine a distribuição inicial (b) Se a distribuição inicial é de 20, 20, 20 e 40, qual é a distribuição ao fim de um minuto? 1222 Considere o prato quadrado, onde as temperaturas em cada lado estão indicadas 200 P 2 P 3 100 100 P 1 P 4 100 Em certas circunstâncias, prova-se que as temperaturas aproximadas u 1, u 2, u 3 e u 4 nos pontos P 1, P 2, P 3 e P 4, respectivamente, são dadas por u 1 = u 2 + u 4 + 100 + 100 4 u 2 = 200 + u 3 + u 1 + 100 4 u 3 = 200 + 100 + u 4 + u 2 4 u 4 = u 3 + 100 + 100 + u 1 4 (a) Mostre que o sistema acima pode ser escrito na forma 4 1 0 1 u 1 1 4 1 0 u 2 0 1 4 1 u 3 = 1 0 1 4 u 4 (b) Resolva o sistema usando o método de Gauss-Jordan Exercícios usando o Matlab R Comandos do Matlab R 200 300 300 200 >> A=A1,,An cria uma matriz A formada pelas matrizes, definidas previamente, A1,,An, colocadas uma ao lado da outra >> expr=subs(expr,x,num) substitui na expressão expr a variável x por num >> p=poly2sym(an,,a0),x armazena na variável p o polinómio a nx n + + a 0 >> rank(a) determina a característica da matriz A >> clf limpa a figura activa Comandos do pacote GAAL >> B=opel(alpha,i,A) ou B=oe(alpha,i,A) faz a operação elementar alpha linha i ==> linha i da matriz A e armazena a matriz resultante em B >> B=opel(alpha,i,j,A) ou B=oe(alpha,i,j,A) faz a operação elementar alpha linha i + linha j ==> linha j da matriz A e armazena em B >> B=opel(A,i,j) ou B=oe(A,i,j) faz a troca da linha i com a linha j da matriz A e armazena a matriz resultante em B >> B=escalona(A) calcula, passo a passo, a forma escalonada reduzida da matriz A e armazena a matriz resultante na variável B >> matvand(p,k) obtém a matriz de Vandermonde de ordem k se P=x1; ;xn e a matriz de Vandermonde generalizada no caso em que P=x1,y1; ;xn,yn

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 27 >> po(x1,y1;x2,y2; ;xk,yk desenha os pontos (x1,y1),,(xk,yk) >> plotf1(f,a,b) desenha o gráfico da função dada pela expressão simbólica f no intervalo a,b >> plotci(f,a,b,c,d) desenha o gráfico da curva dada implicitamente pela expressão f(x,y)=0 na região do plano a,b c,d >> p=poly2sym2(a,b,c,d,e,f,x,y) armazena na variável p o polinómio em duas variáveis ax 2 +bxy+cy 2 + dx + ey + f >> eixos desenha os eixos coordenados (a) Use o comando P=randi(4,2) para gerar 4 pontos com entradas inteiras e aleatórias entre 5 e 5 Os 1223 pontos estão armazenados nas linhas da matriz P (b) Use o Matlab R para tentar encontrar os coeficientes a, b, c e d da função polinomial p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d cujo gráfico passa pelos pontos dados pelas linhas da matriz P A matriz A=matvand(P(:,1),3) pode ser útil na solução deste problema, assim como a matriz B=P(:,2) Se não consegui, repita o passo anterior Por que pode não ser possível? (c) Desenhe os pontos e o gráfico do polinómio com os comandos clf,po(p),syms x,p=poly2sym(r(:,5),x),plotf1(p,-5,5), em que R é a forma escalonada reduzida da matriz A,B (d) Desenhe os eixos coordenados com o comando eixos (a) Use o comando P=randi(5,2) para gerar 5 pontos com entradas inteiras e aleatórias entre 5 e 5 Os 1224 pontos estão armazenados nas linhas da matriz P (b) Use o Matlab R para tentar encontrar os coeficientes a, b, c, d, e e f da cónica, curva de equação ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, cujo gráfico passa pelos pontos dados pelas linhas da matriz P A matriz A=matvand(P,2) pode ser útil na solução deste problema, assim como a matriz B=P(:,2) Se não consegui, repita o passo anterior Por que pode não ser possível? (c) Desenhe os pontos e a cónica com os comandos clf,po(p),syms x y,p=poly2sym(-r(:,6);1,x,y),plotci(p,-5,5,-5,5), em queréaforma escalonada reduzida da matriz A (d) Desenhe os eixos coordenados com o comando eixos 1225 Use o Matlab R e resolva os Exercícios Numéricos a partir do Exercício 123 Exercícios Teóricos 1226 Suponha que C D é obtida de A B aplicando-se uma operação elementar sobre suas linhas Mostre que X é solução do sistema linear AX = B se, e somente se, X também é solução de CX = D 1227 Mostre que toda a operação elementar possui inversa, do mesmo tipo Ou seja, para cada operação elementar, existe uma operação elementar do mesmo tipo que desfaz o que a operação anterior fez 1228 Mostre que Car(B T A T ) = Car(AB) 1229 Mostre que se a matriz A, m n, não for quadrada, isto é, m n, então ou as linhas ou as colunas são linearmente dependentes 1230 Seja A uma matriz m n Mostre que se Car(A) = m, então o sistema cuja matriz ampliada é A B é consistente qualquer que seja a matriz B m 1 1231 Considere dois sistemas de equações consistentes, cujas matrizes ampliadas sejam A B e A C Mostre que o sistema de equações A B + C também é consistente 1232 (a) Sejam X 1 e X 2 soluções do sistema homogéneo AX = 0 Mostre que αx 1 +βx 2 é solução, para quaisquer escalares α e β (Sugestão: veja o Teorema 18) (b) Sejam X 1 e X 2 soluções do sistema AX = B Mostre que se αx 1 + βx 2 é solução, para quaisquer escalares α e β, então B = 0 (Sugestão: faça α = β = 0) 1233 Sejam A uma matriz m n e B 0 uma matriz m 1 (a) Mostre que se X 1 é uma solução do sistema AX = B e Y 1 é uma solução do sistema homogéneo associado, AX = 0, então X 1 + Y 1 é solução de AX = B (b) Seja X 0 uma solução particular do sistema AX = B Mostre que toda a solução X do sistema AX = B pode ser escrita como X = X 0 + Y, em que Y é uma solução do sistema homogéneo associado, AX = 0 Assim, a solução geral do sistema AX = B é a soma de uma solução particular de AX = B com a solução geral do sistema homogéneo associado AX = 0 (Sugestão: escreva X = X 0 + (X X 0 ) e mostre que X X 0 é solução do sistema homogéneo AX = 0)

Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares 28 Teste do Capítulo 1 Para o sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução,tem solução única e tem infinitas soluções: x + 2y + z = 3 x + y z = 2 x + y + (a 2 5)z = a 2 Se possível, encontre os valores de x, y e z tais que: 1 2 3 40 16 x 2 5 3 13 5 y 1 0 8 5 2 z = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 Sejam D = 1 0 0 1 e P = cos θ sinθ sin θ cos θ Sabendo-se que A = P T DP, calcule D 2, PP T e A 2 4 Classifique verdadeiro ou falso, justificando: (a) se A 2 = 2A 4, então (I n + A 2 )(I n 2A 2 ) = I n; (b) se A = P T DP, onde D é uma matriz diagonal, então A T = A; (c) se D é uma matriz diagonal, então DA = AD para toda a matriz A, n n; (d) se B = AA T, então B = B T (e) se A e B são tais que A = A T e B = B T, então C = AB é tal que C T = C

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 21 Matriz Inversa Todo número real a, não nulo, possui um inverso multiplicativo, ou seja, um número b, tal que ab = ba = 1 Este número é único e denotamo-lo por a 1 Apesar da álgebra matricial ser semelhante à álgebra dos números reais, nem todas as matrizes A não nulas possuem inversa, ou seja, nem sempre existe uma matriz B tal que AB = BA = I n De início, para que os produtos AB e BA estejam definidos e sejam iguais é preciso que as matrizes A e B sejam quadradas Portanto, somente as matrizes quadradas podem ter inversa, o que já diferencia do caso dos números reais, pois todo número não nulo tem inverso Mesmo entre as matrizes quadradas, muitas não possuem inversa, apesar do conjunto das que não tem inversa ser bem menor do que o conjunto das que tem (Exercício 2213 na página 49) Definição 21 Uma matriz quadrada A = (a ij ) n n é invertível ou não singular, se existe uma matriz B = (b ij ) n n tal que AB = BA = I n, (211) em que I n é a matriz identidade Dizemos que a matriz B é a inversa de A Se A não tem inversa, dizemos que A é singular ou não invertível Exemplo 21 Considere as matrizes A = 2 1 0 3 e B = 1/2 1/6 0 1/3 Podemos ver que a matriz B é a inversa da matriz A, pois AB = BA = I 2 (Verifique!) Teorema 21 Se uma matriz A = (a ij ) n n possui inversa, então a inversa é única Demonstração: Suponhamos que B e C sejam inversas de A Então AB = BA = I n = AC = CA Assim, B = BI n = B(AC) = (BA)C = I nc = C Denotamos a inversa de A, quando ela existe, por A 1 Devemos chamar atenção para o facto de que o índice superior 1, aqui, não significa uma potência, tão pouco uma divisão Assim, como no caso da transposta em que A T significa a transposta de A, aqui, A 1 significa a inversa de A 211 Propriedades da Inversa Teorema 22 (a) Se A é invertível, então A 1 também o é ( A 1 ) 1 = A; 29

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 30 (b) Se A = (a ij ) n n e B = (b ij ) n n são matrizes invertíveis, então AB é invertível e (AB) 1 = B 1 A 1 ; (c) Se A = (a ij ) n n é invertível, então A T também é invertível e ( A T ) 1 = ( A 1 ) T Demonstração: Se queremos mostrar que uma matriz e a inversa de uma outra, temos que demonstrar que os produtos das duas matrizes são iguais à matriz identidade (a) Uma matriz B é a inversa de A 1 se A 1 B = I n Multiplicando à esquerda, nesta equação, por A, obtemos AA 1 B = AI n Como AA 1 = I n e AI n = A, temos Logo B = A ( A 1 ) 1 = A (b) Temos que provar que a inversa de AB é B 1 A 1, ou seja, temos que mostrar que os produtos (AB)(B 1 A 1 ) e (B 1 A 1 )(AB) são iguais à matriz identidade Mas, (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AI na 1 = AA 1 = I n, (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 I nb = B 1 B = I n (c) Queremos mostrar que a inversa de A T é (A 1 ) T Assim, A T (A 1 ) T = (A 1 A) T = I T n = In, (A 1 ) T A T = (AA 1 ) T = I T n = In Uma vez que nem todas as matrizes quadradas possuem inversa, no teorema seguinte estabelece- -se condições para a existência de inversa Teorema 23 Seja A uma matriz n n As seguintes afirmações são equivalentes (a) Existe A 1, ou seja, A é não singular (b) Car(A) = n (c) A escalonada reduzida de A é a matriz identidade I n (d) O sistema de equações AX = 0 implica que X = 0 Demonstração: (a) = (b) Vamos supor que existe a inversa A 1 Consideremos o seguinte sistema de equações lineares AX = B, onde B é uma matriz n 1 Multiplicando nesta equação à esquerda por A 1, temos A 1 AX = A 1 B I nx = A 1 B X = A 1 B Ou seja, o sistema tem solução e é única Logo Car(A) = n (b) = (c) Vamos supor que Car(A) = n Isto significa que a escalonada reduzida da matriz A tem n pivots iguais a 1 Como a matriz A é n n, concluímos que a matriz escalonada reduzida da matriz A é a matriz identidade (c) = (d) Vamos supor que a escalonada reduzida da matriz A é a matriz identidade Consideremos o sistema homogéneo AX = 0 Então A 0 Gauss-Jordan I 0 Logo X = 0

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 31 (d) = (a) Vamos supor que AX = 0 implica X = 0 Então, como o sistema é determinado admite uma única solução, concluímos que Car(A) = n Ou seja, a equação AX = I n tem uma única solução Agora basta provar que XA = I n para garantir que existe a inversa de A Assim, multiplicando A, à direita, por XA I n, temos A(XA I n) = AXA A = I na A = 0 Isto implica, por hipótese, que XA I n = 0, ou seja, XA = I n O teorema seguinte garante que basta verificarmos uma das igualdades em (211) para sabermos se uma matriz é a inversa de outra Teorema 24 Sejam A e B matrizes n n Se AB = I n, então BA = I n Demonstração: O facto de AB = I implica que B é não singular Caso contrário, se B é singular, então, pela alínea (d) do teorema anterior, existe X 0 tal que BX = 0, o que contradiz o facto de Como B 1 existe, podemos escrever X = I nx = ABX = 0 AB = I n = ABB 1 = B 1 = A = B 1 = BA = I n Assim, para verificar que uma matriz A é invertível, quando temos uma matriz B que é candidata a inversa de A basta fazer um dos produtos AB ou BA e verificar se um deles é igual a I n O próximo exemplo ilustra este facto Exemplo 22 Seja A = (a ij ) n n uma matriz tal que A 3 = 0 (A pode não ser a matriz nula!) Vamos mostrar que a inversa de I n A é I n + A + A 2 Para provar isto, devemos multiplicar a matriz I n A pela matriz que possivelmente seja a inversa dela, isto é, I n + A + A 2, e verificar se o produto das duas matrizes é igual à matriz identidade I n (I n A)(I n + A + A 2 ) = I n(i n + A + A 2 ) A(I n + A + A 2 ) = I n + A + A 2 A A 2 A 3 = I n Aqui foram usadas as propriedades (i) e (o) do Teorema 11 na página 3 212 Método para Inversão de Matrizes O exemplo seguinte mostra, para matrizes 2 2, não somente uma forma de descobrir se uma matriz A tem inversa, mas também como a encontrar, no caso em que ela exista Ou seja, escalonamos a matriz A I 2 e encontramos a sua forma escalonada reduzida R S Se R = I 2, então a matriz A é invertível (Porquê?) e a inversa A 1 = S Caso contrário, a matriz A é singular a Exemplo 23 Seja A = c satisfaça o seguinte sistema b x Devemos procurar uma matriz B = d z ax + bz = 1 cx + dz = 0 ay + bw = 0 cy + dw = 1 y tal que AB = I 2, ou seja, que w Este sistema pode ser desacoplado em dois sistemas independentes que possuem a mesma matriz de coeficientes, que é a matriz A Podemos resolvê-los simultaneamente Para isto, basta escalonarmos a matriz ampliada a b 1 0 = A I 2 c d 0 1 Os dois sistemas têm solução única se, e somente se, a forma escalonada reduzida da matriz ampliada A I 2 1 0 s t for da forma I 2 S = (verifique, observando o que acontece se a forma escalonada reduzida da 0 1 u v matriz A não for igual a I 2 ) Neste caso, x = s, z = u e y = t, w = v, ou seja, a matriz A possuirá inversa, A 1 s t = B = S = u v

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 32 A demonstração do próximo teorema que daremos a seguir fornece um método para encontrar a inversa de uma matriz se ela existir Teorema 25 Uma matriz A, n n, é invertível se, e somente se, A é equivalente por linhas à matriz identidade I n Demonstração: Pelo Teorema 23 na página 30, para verificarmos se uma matriz A, n n, é invertível, basta verificarmos se existe uma matriz B, tal que AB = I n (212) Vamos denotar as colunas de B por X 1, X 2,, X n, ou seja, B = X 1 X n, em que x 11 x 12 x 1n x 21 x 22 x 2n X 1 =, X 2 =,, X n =, x n1 x n2 x nn e as colunas da matriz identidade I n, por E 1, E 2,, E n, ou seja, B = E 1 E n, em que 1 0 0 0 1 0 E 1 = 0, E 2 = Assim, a equação (212) pode ser escrita como 0,, En = 1 AB = AX 1 X n = AX 1 AX n = E 1 E n = I n, pois a j-ésima coluna do produto AB é igual a A vezes a j-ésima coluna da matriz B (Exercício 1118 na página 9) Analisando coluna a coluna a equação anterior, vemos que encontrar B é equivalente a resolver n sistemas lineares AX j = E j, para j = 1,, n Cada um dos sistemas pode ser resolvido usando o método de Gauss-Jordan Para isso, formaríamos as matrizes ampliadas A E 1,A E 2,,A E n Entretanto, como as matrizes de coeficientes dos sistemas são todas iguais à A, podemos resolver todos os sistemas simultaneamente formando a matriz n 2n A E 1 E 2 E n = A I n Transformando A I n na sua forma escalonada reduzida, que vamos denotar por R S, vamos chegar a duas situações possíveis: ou a matriz R é a matriz identidade, ou não é Se R = I n, então a forma escalonada reduzida da matriz A I n é da forma I n S Se escrevermos a matriz S em termos das suas colunas, S = S 1 S 2 S n, então as soluções dos sistemas AX j = E j são X j = S j ; assim B = S é tal que AB = I n e pelo Teorema 23 na página 30 A é invertível Se R I n, então a matriz A não é equivalente por linhas à matriz identidade I n Então, pelo Teorema 16 na página 21, a matriz R tem uma linha nula Isto implica que os sistemas AX j = E j não tenham solução única ou sejam impossíveis Ou seja, a matriz A não tem inversa, pois as colunas da (única) inversa seriam X j, para j = 1,, n Observação 21 Da demonstração do Teorema 25 obtemos não somente uma forma de descobrir se uma matriz A tem inversa, mas também como encontrar a inversa no caso em que ela exista Ou seja, escalonamos a matriz A I n e encontramos a sua forma escalonada reduzida R S Se R = I n, então a matriz A é invertível e a inversa A 1 = S Caso contrário, a matriz não é invertível Vejamos os exemplos seguintes Exemplo 24 Vamos encontrar, caso exista, a inversa da matriz 1 1 1 A = 0 10 25 20 10 0

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 33 1 a eliminação 20 1 a linha + 3 a linha 3 a linha 2 a eliminação 1 1 1 1 0 0 0 10 25 0 1 0 0 30 20 20 0 1 2 a linha + 10 1 a linha 1 a linha 3 2 a linha + 3 a linha 3 a linha 3 a eliminação 10 0 35 10 1 0 0 10 25 0 1 0 0 0 95 20 3 1 7 3 a linha + 19 1 a linha 1 a linha 5 3 a linha + 19 2 a linha 2 a linha 1/190 1 a linha 1 a linha 1/190 2 a linha 2 a linha 1/95 3 a linha 3 a linha 190 0 0 50 2 7 0 190 0 100 4 5 0 0 95 20 3 1 5 1 0 0 1 19 95 0 1 0 10 2 19 95 4 0 0 1 19 7 190 1 38 3 95 1 95 Assim, a matriz ampliada A I 3 é equivalente por linhas à matriz ampiada acima, que é da forma I 3 S Portanto, a matriz A é invertível e a sua inversa é a matriz S, ou seja, 5 1 7 A 1 19 95 190 = 10 2 1 19 95 38 4 3 1 19 95 95 Exemplo 25 Vamos determinar, caso exista, a inversa da matriz 1 2 3 A = 1 1 2 0 1 1 Para isso, devemos escalonar a matriz ampliada 1 a eliminação A I 3 = 1 2 3 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 a eliminação 1 1 a linha + 2 a linha 2 a linha 1 2 3 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 a linha 2 a linha 2 2 a linha + 1 a linha 1 a linha 1 2 a linha + 3 a linha 3 a linha 1 2 3 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 A matriz ampliada A I 3 é equivalente por linhas à matriz ampliada acima, que é da forma R S, com R I 3 Assim, a matriz A não é equivalente por linhas à matriz identidade Portanto, a matriz A não é invertível Se um sistema linear AX = B tem o número de equações igual ao número de incógnitas, então o conhecimento da inversa da matriz dos coeficientes A 1, reduz o problema de resolver o sistema a um simples produto de matrizes, conforme enunciado no próximo teorema

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 34 Teorema 26 Seja A uma matriz n n O sistema associado AX = B tem solução única se, e somente se, A é invertível Neste caso, a solução é X = A 1 B Demonstração: Se a matriz A é invertível, então multiplicando AX = B por A 1 à esquerda em ambos os membros, obtemos A 1 (AX) = A 1 B (A 1 A)X = A 1 B I nx = A 1 B X = A 1 B Aqui foram usadas as propriedades (h) e (o) do Teorema 11 na página 3 Portanto, X = A 1 B é a única solução do sistema AX = B Por outro lado, se o sistema AX = B possui solução única, então a forma escalonada reduzida da matriz ampliada do sistema A B é da forma R C, em que R = I n Caso R não fosse a matriz identidade, como a matriz A é quadrada, R possuiria uma linha nula (Teorema 16 na página 21), o que levaria a que o sistema AX = B ou não tivesse solução ou tivesse infinitas soluções Logo, pelo Teorema 23, concluímos que a matriz A é invertível Vamos ver no próximo exemplo que se conhecemos a inversa de uma matriz, então a solução pode ser obtida apenas multiplicando-se a inversa da matriz de coeficientes pela matriz dos termos independentes Vejamos outra vez o Exemplo 19 na página 13 Exemplo 26 Consideremos o seguinte circuito eléctrico 20Ω Q 10Ω i 1 i 3 80 volts 10Ω 90 volts i 2 P 15Ω As equações para as correntes, resultantes das leis de Kirchhoff, são: nó P : i 1 i 2 + i 3 = 0 nó Q : i 1 + i 2 i 3 = 0 loop direito : 10i 2 + 25i 3 = 90 loop esquerdo : 20i 1 + 10i 2 = 80 A equação resultante do nó Q é equivalente à equação resultante do nó P, ou seja, contém informação redundante Assim, podemos eliminá-la i 1 i 2 + i 3 = 0 10i 2 + 25i 3 = 90 20i 1 + 10i 2 = 80 Deste modo, as matrizes associadas ao sistema são 1 1 1 A = 0 10 25, B = 20 10 0 No Exemplo 24 na página 32 determinamos a inversa desta matriz A, que é 5 1 7 A 1 19 95 190 = 10 2 1 19 95 38 4 3 1 19 95 95 Sabendo-se a inversa da matriz A, podemos determinar as correntes eléctricas Assim, temos 5 i 1 1 7 0 2 i 2 = X = A 1 19 95 190 B = 10 2 1 19 95 38 90 = 4 4 3 i 3 1 80 2 19 95 95 0 90 80

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 35 Observe que a matriz dos termos independentes contém apenas os valores das fontes Por exemplo, se trocarmos a fonte de 90 e 80 volts por uma de 115 e 60 volts, respectivamente, os novos valores para as correntes eléctricas são i 1 i 2 = X = A 1 B = i 3 5 1 19 95 10 2 19 4 19 7 190 1 38 95 3 1 95 95 0 115 60 = 1 4 3 Exemplo 27 (Interpolação Polinomial) Sejam P 1 (x 1, y 1 ),, P n(x n, y n), com x 1,, x n números distintos Considere o problema de encontrar um polinómio de grau n 1 p(x) = a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, que interpola os dados, no sentido em que p(x i ) = y i, para i = 1,, n Por exemplo, se os pontos são P 1 (0, 10), P 2 (1, 7), P 3 (3, 11) e P 4 (4, 14), então o problema consiste em encontrar um polinómio de grau 3 que interpola os pontos dados (veja o Exercício 1213 na página 24) 30 y 20 10 0 x -10-20 -30-2 -1 0 1 2 3 4 5 Vamos mostrar que existe um, e somente um, polinómio de grau n 1 que interpola n pontos com abcissas distintas Substituindo os pontos no polinómio p, obtemos um sistema linear AX = B, em que a n 1 y 1 a n 2 X =, B = y 2 a 0 y n e A = x n 1 1 x n 2 1 x 1 1 x n 1 2 x n 2 2 x 2 1 x n 1 n x n 2 n x n 1 A matriz A é chamada matriz de Vandermonde Vamos mostrar que AX = B tem solução única Pelo Teorema 26 na página 34, um sistema de n equações e n incógnitas, AX = B, tem solução única se, e somente se, o sistema homogéneo associado, AX = 0, tem somente a solução trivial X = a n 1 a 0 é solução do sistema homogéneo se, e somente se, o polinómio de grau n 1, p(x) = a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, se anula em n pontos distintos Isto implica que o polinómio p é o polinómio com todos os sues coeficientes iguais a zero Portanto, o sistema homogéneo AX = 0 tem somente a solução trivial Isto prova que existe um, e somente um, polinómio de grau no máximo igual a n 1 que interpola n pontos com abcissas distintas Assim, a solução do sistema linear é X = A 1 B Como a matriz A depende apenas das abcissas dos pontos, tendo calculado a matriz A 1, podemos determinar rapidamente os polinómios que interpolam vários conjuntos de pontos desde que os pontos de todos os conjuntos tenham as mesmas abcissas dos pontos do conjunto inicial Exemplo 28 Criptografia Vamos transformar uma mensagem em uma matriz da seguinte forma Vamos quebrar a mensagem em pedaços de tamanho 3 e cada pedaço será convertido em uma matriz coluna usando a Tabela 21 de conversão entre caracteres e números Considere a seguinte mensagem criptografada 1ydobbr,?

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 36 Quebrando a mensagem criptografada em pedaços de tamanho 3 e convertendo cada pedaço para uma coluna de números usando a Tabela 21, obtemos a matriz 80 15 18 Y = 25 2 107 4 2 94 então Sabendo-se que esta mensagem foi criptografada fazendo o produto da mensagem inicial pela matriz 1 1 0 M = 0 1 1, 0 0 1 X = M 1 Y será a mensagem inicial convertida para números, ou seja, 1 1 1 80 15 18 X = M 1 Y = 0 1 1 25 2 107 0 0 1 4 2 94 = 59 15 5 21 0 13 4 2 94 Convertendo para texto, usando novamente a Tabela 21, temos que a mensagem que foi criptografada é Tudo bem? a b c d e f g h i j k l m n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 o p q r s t u v w x y z à á â 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 ã ç é ê í ó ô õ ú ü A B C D E 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 F G H I J K L M N O P Q R S T 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 U V W X Y Z À Á Â Ã Ç É Ê Í Ó 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 Ô Õ Ú Ü 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 ; < = >? @! " # $ % & ( ) 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 * +, - / \ _ { } 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 Vamos mostrar a recíproca da alínea (b) do Teorema 22 na página 29 Este resultado será útil na demonstração de que o determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes (Subsecção 221 na página 43) Teorema 27 Se A e B são matrizes n n, com AB invertível, então A e B são invertíveis Demonstração: Considere o sistema (AB)X = 0 Se B não fosse invertível, então existiria X 0 tal que BX = 0 (Teorema 23 na página 30) Multiplicando-se por A, teríamos AB X = 0, o que (novamente pelo Teorema 23 na página 30) contradiz o facto de AB ser invertível Portanto, B é invertível Agora, se B e AB são invertíveis, então A também é invertível, pois A = (AB)B 1, que é o produto de duas matrizes invertíveis Exercícios Numéricos 211 Seja A uma matriz 3 3 Suponha que X = A singular ou não? Justifique 1 2 3 é solução do sistema homogéneo AX = 0 Será a matriz

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 37 212 Se possível,encontre as inversas das seguintes matrizes: (a) (b) (c) 1 2 3 1 1 2 0 1 2 1 2 2 1 3 1 1 3 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 3 3 2 213 Encontre todos os valores de a para os quais a matriz A = 214 Se encontre (AB) 1 A 1 = 215 Resolva o sistema AX = B, em que A 1 = 3 2 1 3 2 3 4 1 (d) (e) (f) 1 2 3 0 2 3 1 2 4 1 2 3 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 5 9 1 6 1 1 0 1 0 0 1 2 a e B 1 = e B = 5 3 2 5 3 2 tem inversa, Exercícios usando o Matlab R Comandos do Matlab R >> M=A,B atribui à matriz M a matriz obtida colocando lado a lado as matrizes A e B >> A=A1,, An cria uma matriz A formada pelas matrizes, definidas anteriormente, A1,,An colocadas uma ao lado da outra >> M=A(:,k:l) atribui à matriz M a submatriz da matriz A obtida da coluna l à coluna k da matriz A Comandos do pacote GAAL >> B=opel(alpha,i,A) ou B=oe(alpha,i,A) faz a operação elementar alpha*linha i = linha i da matriz A e armazena a matriz resultante em B >> B=opel(alpha,i,j,A) u B=oe(alpha,i,j,A) faz a operação elementar alpha*linha i + linha j = linha j da matriz A e armazena a matriz resultante na variável B >> B=opel(A,i,j) ou B=oe(A,i,j) faz a troca da linha i com a linha j da matriz A e armazena a matriz resultante na variável B >> B=escalona(A) calcula, passo a passo, a forma escalonada reduzida da matriz A e armazena a matriz resultante na variável B 216 O pacote GAAL contém alguns arquivos com mensagens criptografadas e uma chave para decifrá-las Use os comandos a seguir para ler dos arquivos e atribuir às variáveis correspondentes, uma mensagem criptografada e uma chave para decifrá-la >> menc=lerarq( menc1 ), key=lerarq( key ) Aqui são lidos os arquivos menc1 e key Para converter a mensagem criptografada e a chave para matrizes numéricas, use os comandos do pacote gaal: >> y=char2num(menc1), M=char2num(key) A mensaem criptografada, y, foi obtida multiplicando-se a matriz M pela mensagem original (convertida para números), x Determine x Descubra a mensagem usando o comando do pacote gaal, num2char(x) Decifre as mensagens que estão nos arquivos menc2 e menc3 Como deve ser a matriz M para que ela possa ser uma matriz chave na criptografia? 217 Resolva os Exercícios Numéricos a partir do Exercício 212 usando o Matlab R

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 38 Exercícios Teóricos 218 (a) Mostre que a matriz A = por a c b é invertível se, e somente se, ad bc 0 Neste caso, a inversa é dada d 1 d b A = ad bc c a (Sugestão: encontre a forma escalonada reduzida da matriz A I 2, para a 0 e para a = 0) (b) Mostre que se ad bc 0, então o sistema linear { ax + by = g cx + dy = h tem como solução x = gd bh ad bc, ah gc y = ad bc Sugestão para os próximos 4 exercícios: Para verificar que uma matriz A é invertível, quando temos uma matriz B que é candidata a inversa de A, basta fazer um dos produtos, AB ou BA, e verificar se é igual a I n 219 Se A é uma matriz n n e A k = 0, para k um inteiro positivo, mostre que (I n A) 1 = I n + A + A 2 + + A k 1 2110 Seja A uma matriz diagonal, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero (a ij = 0, para i j) Se a ii 0, para i = 1,, n, mostre que A é invertível e a sua inversa é também uma matriz diagonal com elementos na diagonal dados por 1/a 11, 1/a 22,, 1/a nn 2111 Sejam A e B matrizes quadradas Mostre que se A + B e A forem invertíveis, então (A + B) 1 = A 1 (I n + BA 1 ) 1 2112 Seja J n a matriz n n, cujas entradas são iguais a 1 Mostre que se n > 1, então (I n J n) 1 = I n 1 n 1 Jn (Sugestão: observe que J 2 n = nj n) 2113 Mostre que se B é uma matriz invertível, então AB 1 = B 1 A se, e somente se, AB = BA (Sugestão: multiplique a equação AB = BA por B 1 ) 2114 Mostre que se A é uma matriz invertível, então A + B e I n + BA 1 são ambas invertíveis ou ambas não invertíveis (Sugestão: multiplique A + B por A 1 ) 2115 Mostre que se A não é invertível, então AB também não o é 2116 Mostre que se A e B são matrizes n n invertíveis, então A e B são equivalentes por linhas 2117 Sejam A uma matriz m n e B uma matiz n m, com n < m Mostre que AB não é invertível (Sugestão: Mostre que o sistema (AB)X = 0 tem solução não trivial) 22 Determinantes Vamos inicialmente definir o determinante de uma matriz 1 1 Para cada matriz A = a, definimos o determinante de A, indicado det(a), por det(a) = a Vamos agora definir o determinante de matrizes 2 2 e a partir daí definir para matrizes de ordem superior A cada matriz A, 2 2, associamos um número real, denominado determinante de A, por: a 11 a 12 det(a) = det = a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 22 Para definir o determinante de matrizes quadradas maiores, precisamos definir o que são os menores de uma matriz Dada uma matriz A = (a ij ) n n, o menor do elemento a ij, denotado por Ãij, é a submatriz (n 1) (n 1) de A obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A, que tem o seguinte aspecto: j a 11 a 1n à ij = a ij a n1 a nn i

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 39 Exemplo 29 Para a matriz A = (a ij ) 3 3, à 23 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 12 a 31 a 32 Agora vamos definir os cofactores de uma matriz quadrada A = (a ij ) 3 3 O cofactor do elemento a ij, denotado por A ij, é definido por ) A ij = ( 1) i+j det (Ãij, ou seja, o cofactor A ij, do elemento a ij é igual a mais ou menos o determinante do menor à ij, sendo o mais e o menos determinados pela seguinte disposição: + + + + + Exemplo 210 Para uma matriz A = (a ij ) 3 3, A 23 = ( 1) 2+3 det(ã23) = det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = det a 11 a 12 a 31 a 32 = a 31 a 12 a 11 a 32 Vamos agora definir o determinante de uma matriz 3 3 Se a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23, a 31 a 32 a 33 então o determinante de A é igual à soma dos produtos dos elementos da 1 a linha pelos seus cofactores det(a) = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 a 22 a 23 = a 11 det a 12 det a 32 a 33 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 det a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 a 11 a 32 a 23 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 31 a 23 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 31 a 22 Da mesma forma que a partir do determinante de matrizes 2 2 definimos o determinante de matizes 3 3, podemos definir o determinante de matrizes quadradas de ordem maior Supondo que sabemos como calcular o determinante de matrizes (n 1) (n 1), vamos definir o determinante de matrizes n n Vamos definir agora os cofactores de uma matriz quadrada A = (a ij ) n n O cofactor do elemento a ij, denotado por A ij, é definido por ) A ij = ( 1) i+j det (Ãij, ou seja, o cafactor A ij do elemento a ij é igual a mais ou menos o determinante do menor Ãij, sendo o mais ou menos determinados pela seguinte disposição: + + + + + + + + Definição 22 Seja A = (a ij ) n n O determinante de A, denotado por det(a), é definido por det(a) = a 11 A 11 + a 12 A 12 + + a 1n A 1n = n a 1j A 1j, (223) em que A 1j = ( 1) 1+j det(ã1j) é o cofactor do elemento a 1j A expressão (223) é chamada desenvolvimento em cofactores do determinante de A em termos da 1 a linha j=1

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 40 Exemplo 211 Seja A = 0 0 0 3 1 2 3 4 1 3 2 5 2 1 2 0 Desenvolvendo-se o determinante de A em cofactores, obtemos det(a) = 0A 11 + 0A 12 + 0A 13 + ( 3)( 1) 1+4 det(b), em que B = Mas o det(b) também pode ser calculado usando cofactores, 1 2 3 1 3 2 2 1 2 Portanto, det(b) = 1B 11 + 2B 12 + 3B 13 = 1( 1) 1+1 det( B 11 ) + 2( 1) 1+2 det( B 12 ) + 3( 1) 1+3 det( B 13 ) 3 2 1 2 1 3 = det 2det + 3det 1 2 2 2 2 1 = 8 2( 2) + 3( 7) = 25 det(a) = 3det(B) = 75 Exemplo 212 Usando a definição de determinante, vamos mostrar que o determinante de uma matriz triangular inferior (isto é, os elementos situados acima da diagonal principal são iguais a zero) é o produto dos elementos da diagonal principal Vamos mostrar inicialmente para matries 3 3 Seja A = a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 Desenvolvendo-se o determinante de A em cofactores, obtemos a 22 0 det(a) = a 11 det = a 11 a 22 a 33 a 32 a 33 Vamos supor que é verdade que para qualquer matriz (n 1) (n 1) triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal Então vamos provar que isto também vale para matrizes n n Seja a 11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 A = 0 a n1 a n2 a n3 a nn Desenvolvendo-se o determinante de A em cofactores, obtemos a 22 0 0 det(a) = a 11 det = a 11 a 22 a nn, 0 a n2 a n3 a nn pois o determinante acima é de uma matriz (n 1) (n 1) triangular inferior Em particular, o determinante da matriz identidade I n é igual a 1 (det(i n) = 1) Vamos agora provar uma propriedade importante do determinante Para isso, vamos escrever a matriz A = (a ij ) n n em termos das suas linhas A 1 A k 1 A = A k, A k+1 A n

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 41 em que A i é a linha i da matriz A, ou seja, A i = a i1 a i2 a in A propriedade a que nos referimos acima é que se A k = αx + βy, em que X = x 1 x n, Y = y 1 y n e α e β são escalares, então A 1 A 1 A 1 A k 1 A k 1 A k 1 det αx + βy = αdet X + β det Y A k+1 A k+1 A k+1 A n A n A n Vamos verificar isto, em primeiro lugar, no caso em que a matriz A é 2 2 Exemplo 213 Seja A = (a ij ) 2 2 e vamos supor que A 2 = αx + βy, em que X = x 1 x 2, Y = y 1 y 2 e α e β são escalares Então a 11 a 12 det = a 11 (αx 2 + βy 2 ) a 12 (αx 1 + βy 1 ) αx 1 + βy 1 αx 2 + βy 2 = α(a 11 x 2 a 12 x 1 ) + β(a 11 y 2 a 12 y 1 ) a 11 a 12 a 11 a 12 = αdet + β det x 1 x 2 y 1 y 2 De forma análoga se mostra que se A 1 = αx + βy, em que X = x 1 x 2, Y = y 1 y 2 e α e β são escalares, então αx 1 + βy 1 αx 2 + βy 2 det = a 22 (αx 1 + βy 1 ) a 21 (αx 2 + βy 2 ) a 21 a 22 x 1 x 2 y 1 y 2 = αdet + β det a 21 a 22 a 21 a 22 Vamos verificar agora a propriedade acima para matrizes n n no caso em que a 1 a linha, A 1, é da forma A 1 = αx + βy, em que X = x 1 x n, Y = y 1 y n e α e β são escalares Exemplo 214 Para uma matriz A = (a ij ) n n se A 1 = αx + βy, em que X = x 1 x n, Y = y 1 y n e α e β são escalares, então αx + βy A 2 n det = ( 1) 1+j (αx j + βy j ) det(ã 1j ) j=1 A n n n = α ( 1) 1+j x j det(ã1j) + β ( 1) 1+j y j det(ã1j) j=1 j=1 X Y A 2 = αdet + β det A 2 A n A n Vamos provar a seguir o caso geral Teorema 28 Seja A = (a ij ) n n escrita em termos das suas linhas, denotadas por A i, ou seja, A i = a i1 a i2 a in Se para algum k, a linha A k = αx + βy, em que X = x 1 x n, Y = y 1 y n e α e β são escalares, então A 1 A 1 A 1 A k 1 A k 1 A k 1 det αx + βy = αdet X + β det Y A k+1 A k+1 A k+1 A n A n A n Aqui, A k = αx + βy = αx 1 + βy 1 αx n + βy n

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 42 Demonstração: Mostrámos no Exemplo 213 que para matrizes 2 2 o resultado é verdadeiro Supondo que o resultado seja verdadeiro para matrizes (n 1) (n 1), vamos provar para matrizes n n Sejam A 1 A 1 A 1 A = A k 1 αx + βy A k+1 A n A k 1, B = X A k+1 A n A k 1 e C = Y A k+1 A n O caso em que k = 1 foi provado no Exemplo 214 Suponha que k = 2,, n As matrizes Ã1j, B 1j e C 1j só diferem na (k 1)-ésima linha (lembre-seque a primeira linha é retirada!) Além disso, a (k 1)-ésima linha de Ã1j é igual a α vezes a linha correspondente de B 1j mais β vezes a linha correspondente de C 1j (esta é a relação que vale para a k-ésima linha de A) Como estamos supondo o resultado verdadeiro para matrizes (n 1) (n 1), então det(ã1j) = αdet( B 1j ) + β det( C 1j ) Assim, det(a) = = n ( 1) 1+j a 1j det(ã1j) j=1 n ( 1) 1+j a 1j αdet( B 1j ) + β det( C 1j ) j=1 n = α ( 1) 1+j b 1j det( B n 1j ) + β ( 1) 1+j c 1j det( C 1j ) j=1 = αdet(b) + β det(c), j=1 pois a 1j = b 1j = c 1j, para j = 1,, n Exemplo 215 O cálculo do determinante da matriz a seguir pode ser feito da seguinte forma: a 0 0 a 0 0 a 0 0 det b c d = det b c d + 3det b c d = a(cg df) e + 3h f + 3c g + 3d e f g h c d Corolário 281 Se uma matriz A, n n, possui uma linha formada inteiramente por zeros, então det(a) = 0 Demonstração: Seja A uma matriz que tem uma linha nula Multiplicando-se a linha nula por qualquer escalar α, obtemos pelo Teorema 28 que det(a) = αdet(a), para qualquer escalar α Ou seja, det(a) = 0 Pela definição de determinante, o determinante deve ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em cofactores segundo a 1 a linha O próximo resultado, que não vamos demonstrar neste momento (Apêndice II na página 50), afirma que o determinante pode ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em cofactores segundo qualquer linha Teorema 29 Seja A uma matriz n n O determinante de A pode ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em cofactores segundo qualquer linha Ou seja, para i = 1,, n, det(a) = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in = n a ij A ij, (224) em que A ij = ( 1) i+j det(ãij) é o cofactor do elemento a ij A expressão (224) é chamada desenvolvimento em cofactores do determinante de A em termos da i-ésima linha Temos a seguinte consequência deste resultado Corolário 291 Seja A uma matriz n n Se A possui duas linhas iguais, então det(a) = 0 j=1

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 43 Demonstração: O resultado é claramente verdadeiro para matrizes 2 2 Supondo que o resultado seja verdadeiro para matrizes (n 1) (n 1), vamos provar que ele é verdadeiro para matrizes n n Suponhamos que as linhas k e l sejam iguais, para k l Desenvolvendo o determinante de A em termos de uma linha i, com i k, l, obtemos det(a) = n j=1 a ij A ij = n j=1 ( 1) i+j a ij det(ãij) Mas cada à ij é uma matriz (n 1) (n 1) com duas linhas iguais Como estamos supondo que o resultado seja verdadeiro para estas matrizes, então det(ãij) = 0 Isto implica que det(a) = 0 221 Propriedades do Determinante Teorema 210 Sejam A e B matrizes n n (a) Se B é obtida de A multiplicando-se uma linha por um escalar α, então det(b) = αdet(a) (b) Se B resulta de A pela troca da posição relativa de duas linhas, então det(b) = det(a) (c) Se B é obtida de A substituindo a linha i por ela somada a um múltiplo escalar de uma outra linha j, com j i, então det(b) = det(a) (d) Os determinantes de A e da sua transposta A T são iguais, det(a T ) = det(a) (e) O determinante do produto de A por B é igual ao produto dos seus determinantes det(ab) = det(a) det(b) Demonstração: Vamos demonstrar, agora, apenas as alíneas (a), (b) e (c) deste teorema (a) Segue directamente do Teorema 28 na página 41 (b) Sejam A = A 1 A k A l A n T e B = A 1 A l A k A n T Agora, pelo Teorema 28 na página 41 e o Corolário 291, temos que 0 = det A 1 A k + A l A k + A l A n = det A 1 A k A k A n + det A 1 A k A l A n + det A 1 A l A k A n + det A 1 A l A l A n = 0 + det(a) + det(b) + 0 Portanto, det(a) = det(b) (c) Novamente, pelo Teorema 28 na página 41, temos que det A 1 A k A l + αa k A n = det A 1 A k A l A n + αdet A 1 A k A k A n = det A 1 A k A l A n

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 44 Observação 22 Como o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta (Teorema 210 (d)), segue que todas as propriedades que se referem a linhas são válidas com relação às colunas Exemplo 216 Vamos calcular o determinante da matriz A = 0 1 5 3 6 9 2 6 1 usando operações elementares, para transformá-la numa matriz triangular superior, e aplicando o Teorema 210 na página 43 3 6 9 det(a) = det 0 1 5 1 a linha 2 a linha 2 6 1 = 3 det = 3 det = 3 det 1 2 3 0 1 5 2 6 1 1 2 3 0 1 5 0 10 5 1 2 3 0 1 5 0 0 55 = ( 3)( 55) = 165 1/3 1 a linha 1 a linha 2 1 a linha + 3 a linha 3 a linha 10 2 a linha + 3 a linha 3 a linha Observação 23 Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por um escalar α, o determinante da nova matriz é igual a α multiplicado pelo determinante da matriz antiga Mas o que estamos calculando aqui é o determinante da matriz antiga Por isso, ele é igual a 1/α multiplicado pelo determinante da matriz nova Para se calcular o determinante de uma matriz n n pela expansão de cofactores, precisamos fazer n produtos e calcular n determinantes de matrizes (n 1) (n 1), que por sua vez vai precisar de n 1 produtos e assim por diante Portanto, ao todo são necessários n! produtos Por exemplo, para se calcular o determinante de uma matriz 20 20, é necessário realizar 20! 10 18 produtos Os computadores pessoais realizam na ordem de 10 8 produtos por segundo Portanto, um computador pessoal precisaria cerca de 10 10 segundos, ou 10 3 anos, para calcular o determinante de uma matriz 20 20 usando a expansão em cofactores Entretanto, usando o método apresentado no exemplo anterior para o cálculo do determinante, é necessário apenas n 3 produtos Ou seja, para calcular o determinante de uma matriz 20 20 usando o método apresentado no exemplo anterior, um computador pessoal gasta muito menos de um segundo O resultado seguinte caracteriza em termos de determinante as matrizes invertíveis e os sistemas lineares homogéneos que possuem solução não trivial Teorema 211 Seja A uma matriz n n (a) A matriz A é invertível se, e somente se, det(a) 0 (b) O sistema homogéneo AX = 0 tem solução não trivial se, e somente se, det(a) = 0 Demonstração: (a) Seja R a forma escalonada reduzida da matriz A A demonstração deste item segue de três observações Pelo Teorema 210 na página 43, det(a) 0 se, e somente se, det(r) 0 Pelo Teorema 16 na página 21, ou R = I n ou a matriz R tem uma linha nula Assim, det(a) 0 se, e somente se, R = I n Pelo Teorema 25 na página 32, R = I n se, e somente se, A é invertível

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 45 (b) Pelo Teorema 23 na página 30, o sistema homogéneo AX = 0 tem solução não trivial se, e somente se, a matriz A não é invertível Pelo teorema anterior, a matriz A é não invertível se, e somente se, det(a) = 0 Exemplo 217 Seja A = (a ij ) n n Vamos mostrar que se A é invertívl, então det(a 1 ) = 1 det(a) Como AA 1 = I n, aplicando-se o determinante a ambos os membros desta igualdade e usando a propriedade (e) do Teorema 210 na página 43, obtemos det(a) det(a 1 ) = det(i n) Mas det(i n) = 1 (Exemplo 212 na página 40, a matriz identidade também é triangular inferior!) Logo, det(a 1 1 ) = det(a) Exemplo 218 Se uma matriz quadrada é tal que A 2 = A 1, então vamos mostrar que det(a) = 1 Aplicando-se o determinante a ambos os membros da igualdade acima, e usando novamente a propriedade (e) do Teorema 210 e o resultado do exemplo anterior, obtemos Logo, (det(a)) 3 = 1 Portanto, det(a) = 1 Exemplo 219 A matriz A é dada por a c (det(a)) 2 = 1 det(a) b é invertível se, e somente se, det(a) = ad bc 0 Neste caso a inversa de d A 1 = 1 det(a) d c b, a como pode ser verificado multiplicando-se a candidata a inversa pela matriz A Observe que este exemplo fornece uma regra para se encontrar a inversa de uma matriz 2 2: troca-se a posição dos elementos da diagonal principal, troca-se o sinal dos outros elementos e divide-se todos os elementos pelo determinante de A 222 Matriz Adjunta e Inversão Vamos definir a adjunta de uma matriz quadrada e em seguida enunciar e provar um teorema sobre a adjunta que permite provar vários resultados sobre matrizes, entre eles um que fornece uma fórmula para a inversa de uma matriz e também a regra de Cramer Tanto a adjunta quanto os resultados que vêm a seguir são de importância teórica Definição 23 Seja A uma matriz n n Definimos a matriz adjunta de A, denotada por adj(a), como a transposta da matriz formada pelos cofactores de A Ou seja, T A 11 A 12 A 1n A 11 A 21 A n1 A 21 A 22 A 2n A 12 A 22 A n2 adj(a) = =, A n1 A n2 A nn A 1n A 2n A nn em que A ij = ( 1) i+j det(ãij) é o cofactor do elemento a ij, para i, j = 1,, n Exemplo 220 Seja B = 1 2 3 0 3 2 0 0 2

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 46 Vamos calcular a adjunta de B B 11 = ( 1) 1+1 3 2 det = 6, B 12 = ( 1) 1+2 0 2 det = 0, 0 2 0 2 B 13 = ( 1) 1+3 0 3 det = 0, B 21 = ( 1) 2+1 2 3 det = 2, 0 0 0 2 B 22 = ( 1) 2+2 1 3 det = 2, B 23 = ( 1) 2+3 1 2 det = 0, 0 2 0 0 B 31 = ( 1) 3+1 2 3 det = 5, B 32 = ( 1) 3+2 1 3 det = 2, 3 2 0 2 B 33 = ( 1) 3+3 1 2 det = 3 0 3 Assim, a adjunta de B é adj(b) = 6 0 0 4 2 0 5 2 3 T = 6 4 5 0 2 2 0 0 3 Na definição do determinante são multiplicados os elementos de uma linha pelos respectivos cofactores O teorema seguinte estabelece o que acontece se somamos os produtos dos elementos de uma linha com os cofactores de outra linha ou se somamos os produtos dos elementos de uma coluna com os cofactores de outra coluna Lema 21 Se A é uma matriz n n, então a k1 A i1 + a k2 A i2 + + a kn A in = 0 se k i; (225) a 1k A 1j + a 2k A 2j + + a nk A nj = 0 se k j, (226) em que A ij = ( 1) i+j det(ãij) é o cofactor do elemento a ij, para i, j = 1,, n Demonstração: Para demonstrar a equação (225), definimos a matriz  como sendo a matriz obtida de A substituindo a i-ésima linha de A por sua k-ésima linha, ou seja A 1 A 1 A i A = A k A n i A i e  = k A k A n Assim,  possui duas linhas iguais e, pelo Corolário 291 na página 42, det(â) = 0 Mas, o determinante de  desenvolvido segundo a sua i-ésima linha é exactamente a equação (225) A demonstração de (226) é feita de forma análoga, mas usando a alínea (d) do Teorema 210, ou seja, det(a) = det(a T ) i k Teorema 212 Se A é uma matriz n n, então A (adj(a)) = (adj(a)) A = det(a)i n Demonstração: O produto da matriz A pela matriz adjunta de A é dada por a 11 a 12 a 1n A 11 A j1 A n1 A 12 A j2 A n2 a i1 a i2 a in A 1n A jn A nn a n1 a n2 a nn

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 47 O elemento de posição i, j de Aadj(A) é A(adj(A)) ij = n a ik A jk = a i1 A j1 + a i2 A j2 + + a in A jn Do Lema 21, da equação (225) e do Teorema 29 na página 42 segue que { det(a) se i = j A(adj(A)) ij = 0 se i j k=1 Assim det(a) 0 0 0 det(a) 0 A (adj(a)) = = det(a)in 0 0 det(a) Analogamente, usando o Lema 21 e a equação (226), se prova que adj(a)a = det(a)i n Exemplo 221 Vamos mostrar que se uma matriz A é singular, então adj(a) também é singular Vamos separar em dois casos (a) Se A = 0, então adj(a) também é nula, logo também é singular (b) Se A 0, então pelo Teorema 212 na página 46, adj(a)a = 0 Assim, se adj(a) fosse invertível, então A seria igual à matriz nula (por quê?), o que contradiz a nossa hipótese Portanto, adj(a) tem que ser singular Corolário 2121 Seja A uma matriz n n Se det(a) 0, então A 1 = 1 det(a) adj(a) Demonstração: Como det(a) 0, então definindo B = 1 adj(a), pelo Teorema 212 temos que det(a) 1 AB = A( det(a) adj(a)) = 1 det(a) (Aadj(A)) = 1 det(a)in = In det(a) Aqui usámos a propriedade (j) do Teorema 11 na página 3 Portanto, A é invertível e B é a inversa de A Exemplo 222 No Exemplo 219 na página 45 mostrámos como obter rapidamente a inversa de uma matriz 2 2 Usando o Corolário 2121 podemos também obter a inversa de uma matriz 2 2, a b A =, c d A 1 1 = det(a) adj(a) = 1 d b, se det(a) 0 det(a) c a Ou seja, a inversa de uma matriz 2 2 é facilmente obtida trocando-se a posição dos elementos da diagonal principal, trocando-se o sinal dos outros elementos e dividindo-se todos os elementos pelo determinante de A Exemplo 223 Vamos calcular a inversa da matriz B = 1 2 3 0 3 2 0 0 2 A sua adjunta foi calculada no Exemplo 220 na página 45 Assim B 1 1 = det(b) adj(b) = 1 6 4 5 0 2 2 = 6 0 0 3 1 2/3 5/6 0 1/3 1/3 0 0 1/2

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 48 Corolário 2122 (Regra de Cramer) Se o sistema linear AX = B é tal que a matriz A é n n e invertível, então a solução do sistema é dada por x 1 = det(a 1) det(a), x 2 = det(a 2) det(an),, xn = det(a) det(a), em que A j é a matriz que se obtém de A substituindo-se a sua j-ésima coluna por B, para j = 1,, n Demonstração: Como A é invertível, pelo Corolário 2121 A entrada x j é dada por x j = X = A 1 B = 1 det(a) adj(a)b 1 det(a) (A 1jb 1 + + A nj b n) = det(a j) det(a), em que A j é a matriz que se obtém de A substituindo-se a sua j-ésima coluna por B, para j = 1,, n e det(a j ) foi calculado fazendo o desenvolvimento em cofactores em relação à j-ésima coluna de A j Se a matriz A não é invertível, então a regra de Cramer não pode ser aplicada Pode ocorrer que det(a) = det(a j ) = 0, para j = 1,, n e o sistema tenha uma infinidade de soluções ou não tenha solução (verifique!) A regra de Cramer fornece uma fórmula para a solução de um sistema linear, quando a matriz de coeficientes do sistema é quadrada e invertível Exercícios Numéricos 221 Se det(a) = 3, encontre (a) det(a 2 ) (b) det(a 3 ) (c) det(a 1 ) (d) det(a T ) 222 Se A e B são matrizes n n tais que det(a) = 2 e det(b) = 3, calcule det(a T B 1 ) 223 Seja A = (a ij ) 3 3 tal que det(a) = 3 Calcule o determinante das matrizes a seguir: (a) 224 Prove que a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32 det (b) a 11 + a 12 a 11 a 12 a 13 a 21 + a 22 a 21 a 22 a 23 a 31 + a 32 a 31 a 32 a 33 2a a + b a + c a + d b + a 2b b + c b + d c + a c + b 2c c + d d + a d + b d + c 2d 225 Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes (a) 2 5 4 1 (b) 6 1 3 2 = 0 226 Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores (a) 1 2 3 1 5 9 6 3 1 2 6 2 2 8 6 1 (b) 2 1 3 1 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 2 2 227 Determine todos os valores de λ para os quais det(a λi n) = 0, em que (a) A = (c) A = 0 1 2 0 0 3 0 0 0 2 2 3 0 3 2 0 1 2 (b) A = (d) A = 1 0 0 1 3 0 3 2 2 2 2 3 1 2 1 2 2 1

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 49 228 Considere a matriz A = a 0 b 0 0 a 0 b b 0 a 0 0 b 0 a (a) Verifique que det(a) = (a 2 b 2 ) 2 (b) Para que valores de a e b é a matriz não singular? (c) Calcule A 1 para os casos em que existe inversa 229 Ache os valores de λ para os quais o sistema linear (A λi n)x = 0 tem solução não trivial (a) A = (c) A = 2 0 0 3 1 0 0 4 3 1 2 3 4 0 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 (b) A = (d) A = 2 3 0 0 1 0 0 0 2 2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 1 1 0 0 0 1 2210 Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema homogéneo (A λi n)x = 0 1 2 2 3 3 1 5 0 2211 Para a matriz encontre o cofactor do: 4 0 2 1 1 7 2 3 (a) elemento 4 (b) elemento 5 (c) elemento 7 1 1 0 2212 Seja A = 1 1 1 Encontre (a) adj(a) (b) A 1 0 2 1 Exercícios usando o Matlab R Comandos do Matlab R >> det(a) calcula o determinante da matriz A Comandos do pacote GAAL >> detopelp(a) calcula o determinante de A aplicando operações elementares até que a matriz esteja na forma triangular superior 2213 Vamos fazer uma experiência no Matlab R para tentar ter uma ideia do quão comum é encontrar matrizes invertíveis No prompt do Matlab R digite a seguinte linha: >> c=0; for n=1:1000,a=randi(2); if(det(a) =0),c=c+1;end,end,c (não se esqueça das vírgulas e dos pontos e vírgulas!) O que esta linha está mandando o Matlab R fazer é o seguinte: criar um contador c e atribuir a ele o valor zero; atribuir à variável A, 1000 matrizes 2 2 com entradas inteiras aleatórias entre 5 e 5; se det(a) 0, então o contador c é acrescido de 1; no final o valor existente na variável c é escrito Qual a conclusão que você tira do valor obtido na variável c? 2214 Resolva, com o Matlab R, os Exercícios Numéricos a partir do Exercício 225 Exercícios Teóricos 2215 Mostre que se det(ab) = 0, então A é singular ou B é singular 2216 O determinante de AB é igual ao determinante de BA? Justifique 2217 Mostre que se A é uma matriz não singular tal que A 2 = A, então det(a) = 1 2218 Mostre que se A k = 0, para algum k inteiro positivo, então A é singular

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 50 2219 Mostre que se A T = A 1, então det(a) = ±1 2220 Mostre que se α é um escalar e A é uma matriz n n, então det(αa) = α n det(a) 2221 Mostre que A, n n, é invertível se, e somente se, A T A é invertível 2222 Sejam A e P matrizes n n, sendo P invertível Mostre que det(p 1 AP) = det(a) 2223 Mostre que se uma matriz A = (a ij ) n n é triangular superior, (isto é, os elementos situados abaixo da diagonal são iguais a zero) então a b det(a) = a 11 a 22 a nn (a) Mostre que se A =, então det(a) = 0 se, e somente se, uma linha é múltiplo escalar da outra 2224 c d ou A tem uma linha nula E se A for uma matriz n n? (b) Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = (a ij ) n n é tal que A i = αa k +βa l, para α e β escalares e i k, l, então det(a) = 0 (c) Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = (a ij ) n n é tal que A i = k i α k A k, para α k, k = 1,, i 1, i + 1,, n escalares, então det(a) = 0 2225 Mostre que o determinante de Vandermonde é dado por 1 x 1 x 2 1 x n 1 1 1 x 2 x 2 2 x n 1 2 V n = det 1 x n x 2 n x n 1 n = (x i x j ) i>j A expressão à direita significa o produto de todos os termos x i x j tais que i > j e i, j = 1,, n (Sugestão: mostre primeiro que V 3 = (x 3 x 2 )(x 2 x 1 )(x 3 x 1 ) Suponha que o resultado é verdadeiro para matrizes de Vandermonde de ordem n 1 e mostre que o resultado é verdadeiro para matrizes de Vandermonde de ordem n Faça as seguintes operações nas colunas da matriz, x 1 C i 1 + C i C i, para i = n,,2 Obtenha V n = (x n x n 1 ) (x 2 x 1 )) 2226 Sejam A, B e D matrizes p p, p (n p) e (n p) (n p), respectivamente Mostre que A B det = det(a)det(d) 0 D (Sugestão: o resultado é claramente verdadeiro para n = 2 Suponha que o resultado seja verdadeiro para matrizes de ordem n 1 Desenvolva o determinante da matriz em termos da 1 a coluna, escreva o resultado em termos de determinantes de ordem n 1 e mostre que o resultado é verdadeiro para matrizes de ordem n) 2227 Seja A uma matriz n n (a) Prove que det(adj(a)) = det(a) n 1 (Sugestão: separe em dois casos, det(a) = 0 e det(a) 0, e use o Teorema 212 na página 46) (b) Prove que se A é invertível e n 2, então adj(adj(a)) = det(a) n 2 A 2228 Dê um exemplo de um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas, AX = B, em que det(a) = det(a 1 ) = det(a 2 ) = det(a 3 ) = 0 e o sistema não tenha solução, em que A j é a matriz que se obtém de A substituindo-se a sua j-ésima coluna por B, para j = 1, 2,3 Apêndice II: Demonstração do Teorema 29 na página 42 Lema 22 Sejam E 1 = 1 0 0 T, E 2 = 0 1 0 0 T,, E n = 0 0 1 T Se A é uma matriz n n, cuja i-ésima linha é igual a Ek T, para algum k (1 k n), então det(a) = ( 1) i+k det(ãik) Demonstração: É fácil ver que para matrizes 2 2 o lema é verdadeiro Suponha que ele seja verdadeiro para matrizes (n 1) (n 1) e vamos provar que ele é verdadeiro para matrizes n n Podemos supor que 1 < i n Seja B j a matriz (n 2) (n 2) obtida de A eliminando-se as linhas 1 e i e as colunas j e k, para 1 j n Para j < k, a matriz Ã1j é uma matriz (n 1) (n 1) cuja (i 1)-ésima linha é igual a Ek 1 T Para j > k, a matriz Ã1j é uma matriz (n 1) (n 1) cuja (i 1)-ésima linha é igual a Ek T Como estamos supondo o lema verdadeiro para estas matrizes e como pelo Corolário 281 na página 42 det(ã1k) = 0, segue que ( 1) (i 1)+(k 1) det(b j ) se j < k det(ã1j) = 0 se j = k (227) ( 1) (i 1)+k det(b j ) se j > k

Capítulo 2 Inversão de Matrizes e Determinantes 51 Usando (227), obtemos n det(a) = ( 1) 1+j a 1j det(ãij) j=1 n n = ( 1) 1+j a 1j ( 1) (i 1)+(k 1) det(b j ) + ( 1) 1+j a 1j ( 1) (i 1)+k det(b j ) j<k j>k Por outro lado, temos que n n ( 1) i+k det(ãik) = ( 1) i+k ( 1) 1+j a 1j det(b j ) + ( 1) 1+(j 1) a 1j det(b j ) j<k j>k É simples a verificação de que as duas expressões acima são iguais Demonstração do Teorema 29 na página 42 Sejam E 1 = 1 0 0 T, E 2 = 0 1 0 0 T,, E n = 0 0 1 T Observe que a linha i de A pode ser escrita como A i = n j=1 a ijej T Seja B j a matriz obtida de A substituindo-se a linha i por Ej T Pelo Teorema 28 na página 41 e o Lema 22, segue que n n det(a) = a ij det(b j ) = ( 1) i+j a ij det(ã ij ) j=1 j=1 Teste do Capítulo 1 Calcule o determinante da matriz seguinte usando operações elementares para transformá-la em uma matriz triangular superior 1 3 9 7 2 3 2 5 0 3 4 1 4 6 9 1 2 Se possível, encontre a inversa da seguinte matriz: 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 2 3 Encontre todos os valores de λ para os quais a matriz A λi 4 tem inversa, em que 2 0 0 0 2 0 0 0 A = 1 2 1 0 3 2 1 2 4 Responda Verdadeiro ou Falso, justificando: (a) Se A 2 = 2A 4, então (I n + A 2 ) 1 = I n 2A 2 (b) Se A T = A 2 e A é não singular, então o determinante de A é igual a 1 (c) Se B = AA T A 1, então det(a) = det(b) (d) det(a + B) = det(a) + det(b)

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 31 Vectores no Plano e no Espaço Muitas grandezas físicas, como a velocidade, a força o deslocamento e o impulso, para serem completamente identificadas, além da magnitude, precisam da direcção e do sentido Estas grandezas são chamadas grandezas vectoriais ou simplesmente vectores Geometricamente, os vectores são representados por segmentos (de rectas) orientadas (segmentos de rectas com um sentido de percurso) no plano ou no espaço A ponta da seta do segmento orientado é chamada ponto final ou extremidade e o outro extremo é chamado ponto inicial ou origem do segmento orientado A direcção e o sentido do segmento identifica a direcção e o sentido do vector O comprimento do segmento orientado representa a magnitude do vector Um vector pode ser representado por vários segmentos orientados Este facto é análogo ao que ocorre com os números racionais e as fracções Duas fracções representam o mesmo número racional se o numerador e o denominador de cada uma delas estiverem na mesma proporção Por exemplo, as fracções 1/2, 2/4 e 3/6 representam o mesmo número racional De forma análoga, dizemos que dois segmentos orientados representam o mesmo vector se possuem o mesmo comprimento, a mesma direcção e o mesmo sentido A definição de igualdade de vectores também é análoga à igualdade de números racionais Dois números racionais a/b e c/d são iguais quando ad = bc Analogamente, dizemos que dois vectores são iguais se eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direcção e o mesmo sentido Na Figura 31 temos 4 segmentos orientados, com origens em pontos diferentes, que representam o mesmo vector, ou seja, são considerados como vectores iguais, pois possuem a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento Figura 31: Segmentos orientados representando o mesmo vector Se o ponto inicial de um representante de um vector v é A e o ponto final é B, então escrevemos B v = AB A 311 Soma de Vectores e Multiplicação por um Escalar A soma, v + w, de dois vectores v e w é determinada da seguinte forma: 52

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 53 tome um segmento orientado que representa v ; tome um segmento orientado que representa w, com origem na extremidade de v ; o vector v + w é representado pelo segmento orientado que vai da origem de v até a extremidade de w Da Figura 32, deduzimos que a soma de vectores é comutativa, ou seja, v + w = w + v, (311) para quaisquer vectores v e w Observamos também que a soma v + w está na diagonal do paralelogramo determinado por v e w, quando estão representados com a mesma origem w v v + w w + v v w Figura 32: v + w = w + v Da Figura 33, deduzimos que a soma de vectores é associativa, ou seja, v + ( w + u ) = ( v + w ) + u, (312) para quaisquer v, w e u w v v + w ( v + w) + u v + ( w + u ) w + u u Figura 33: v + ( w + u ) = ( v + w) + u O vector que tem a sa origem coincidindo com a sua extremidade é chamado vector nulo e denotado por 0 Segue então que v + 0 = 0 + v = v, (313) para todo o vector v Para qualquer vector v, o simétrico de v, denotado por v, é o vector que tem o mesmo comprimento, a mesma direcção mas sentido contrário ao de v Segue então que v + ( v ) = 0 (314) Definimos a diferença w menos v, por w v = w + ( v ) Segue desta definição, de (311), (312), (313) e de (313), que w + ( v w) = ( v w) + w = v + ( w + w) = v + 0 = v Assim, a diferença v w é um vector que somado a w dá v Portanto, ele vai da extremidade de w até à extremidade de v, desde que v e w estejam representados por segmentos orientados com a mesma origem v w v v v w w w w

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 54 Figura 34: A diferença v w A multiplicação de um vector v por um escalar α, α v, é determinada pelo vector que possui as seguintes características: (a) é o vector nulo se α = 0 ou v = 0, (b) caso contrário i tem comprimento α vezes o comprimento de v, ii a direcção é a mesma de v (neste caso, dizemos que eles são paralelos), iii tem o mesmo sentido de v se α > 0 e tem o sentido contrário ao de v se α < 0 v 2 v 3 v 1 2 v Figura 35: Multiplicação de um vector por um escalar As propriedades da multiplicação por um escalar serão apresentadas mais à frente Se w = α v, dizemos que w é um múltiplo escalar de v É fácil ver que dois vectores não nulos são paralelos (ou colineares) se, e somente se, um é um múltiplo escalar do outro As operações com vectores podem ser definidas utilizando um sistema de coordenadas rectangulares Em primeiro lugar, vamos considerar os vectores no plano Seja v um vector no plano Definimos as componentes de v como sendo as coordenadas (v 1, v 2 ) do ponto final do representante de v que tem o ponto inicial na origem Escrevemos simplesmente v = (v1, v 2 ) v 2 y v = (v1, v 2 ) O v 1 x Figura 36: As componentes do vector v no plano Assim, as coordenadas de um ponto P são iguais às componentes do vector OP, que vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P Em particular, o vector nulo é 0 = (0, 0) Em termos das componentes, podemos realizar facilmente as operações: soma de vectores e multiplicação de um vector por escalar y 1 y P(x 1, y 1 ) OP O x 1 x Figura 37: As componentes de P são iguais às componentes de OP

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 55 Como ilustrado na Figura 38, a soma de dois vectores v = (v 1, v 2 ) e w = (w 1, w 2 ) é dada por v + w = (v1 + w 1, v 2 + w 2 ) y v + w v 2 + w 2 v 2 w 2 v w 2 w v 1 x v 1 w 1 v 1 + w 1 Figura 38: A soma de dois vectores no plano Como ilustrado na Figura 39, a multiplicação de um vector v por um escalar α é dada por α v = (αv 1, αv 2 ) y αv 2 α v v 2 v v 1 αv 1 x Figura 39: A multiplicação de um vector por um escalar no plano Definimos as componentes de um vector no espaço de forma análoga a que fizemos com os vectores no plano Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas rectangulares no espaço Para isto, escolhemos um ponto como origem O e como eixos coordenados, três rectas orientadas (com o sentido de percurso definido), passando pela origem, perpendiculares entre si Estes serão os eixos x, y e z O eixo z é o eixo vertical Os eixos x e y são horizontais e satisfazem a seguinte propriedade Suponha que giramos o eixo x pelo menor ângulo até que coincida com o eixo y Se os dedos da mão direita apontam na direcção do semi-eixo x positivo de forma que o semi-eixo y positivo esteja do lado da palma da mão, então o polegar aponta no sentido do semi-eixo z positivo Cada par de eixos determina um plano chamado plano coordenado Portanto, os três planos coordenados são: xy, yz e xz A cada ponto P no espaço associamos um termo de números (x, y, z), chamado coordenadas do ponto P, como segue z z z 1 P(x 1, y 1, z 1) P(x 1, y 1, z 1) z 1 x x 1 y 1 y x x 1 P y 1 y Figura 310: As coordenadas de um ponto no espaço Passe três planos por P paralelos aos planos coordenados A intersecção do plano paralelo ao plano xy, passando por P, com o eixo z determina a coordenada z A intersecção do plano paralelo ao plano xz, passando por P, com o eixo y determina a coordenada y

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 56 A intersecção do plano paralelo ao plano yz, passando por P, com o eixo x determina a coordenada x Alternativamente, podemos encontrar as coordenadas de um ponto P como segue Trace uma recta paralela ao eixo z, passando por P A intersecção desta recta com o plano xy é o ponto P As coordenadas de P, (x, y), no sistema de coordenadas xy são as duas primeiras coordenadas de P A terceira coordenada é igual ao comprimento do segmento PP, se P estiver acima do plano xy e ao comprimento do segmento PP com o sinal negativo, se P estiver abaixo do plano xy Agora, estamos prontos para utilizarmos um sistema de coordenadas cartesianas também nas operações de vectores no espaço Seja v um vector no espaço Como no caso de vectores no plano, definimos as componentes de v como sendo as coordenadas (v1, v 2, v 3 ) do ponto final do representante de v que tem o ponto inicial na origem Escrevemos simplesmente v = (v1, v 2, v 3 ) z v 3 v = (v1, v 2, v 3) v 1 v 2 x y Figura 311: As coordenadas de um vector no espaço Assim, as coordenadas de um ponto P são iguais às componentes do vector OP que vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P Em particular, o vector nulo é 0 = (0, 0, 0) Assim como fizemos para os vectores no plano, para os vectores no espaço a soma de vectores e a multiplicação de um vector por um escalar podem ser realizadas em termos das componentes z z 1 P(x 1, y 1, z 1) OP x 1 O y 1 x Figura 312: As coordenadas de P são iguais às componentes de OP Se v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ), então a adição de v com w é dada por v + w = (v1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) y Se v = (v 1, v 2, v 3 ) e α é um escalar, então a multiplicação de v por α é dada por α v = (αv 1, αv 2, αv 3 ) Exemplo 31 Se v = (1, 2, 3) e w = (2, 4, 1), então v + w = (1 + 2, 2 + 4, 3 + ( 1)) = (3, 2, 2), 3 v = (3 1,3 ( 2), 3 3) = (3, 6, 9)

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 57 Quando um vector v está representado por um segmento orientado com ponto inicial fora da origem (Figura 313), digamos em P(x 1, y 1, z 1 ), e o ponto final em Q(x 2, y 2, z 2 ), então as componentes do vector v são dadas por v = PQ = OQ OP = (x2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) Portanto, as componentes de v são obtidas subtraindo-se as coordenadas do ponto Q (extremidade) das do ponto P (origem) O mesmo se aplica a vectores no plano z v Q P O x y Figura 313: v = OQ OP Exemplo 32 As componentes do vector v que tem um representante com ponto inicial P(5/2, 1,2) e ponto final Q(0, 5/2, 5/2) são dadas por v = PQ = (0 5/2, 5/2 1, 5/2 2) = ( 5/2, 3/2, 1/2) Observação 31 O vector é livre, ele não tem posição fixa, ao contrário do ponto e do segmento orientado Por exemplo, o vector v = ( 5/2, 3/2, 1/2), no exemplo acima, estava representado por um segmento orientado com a origem no ponto P(5/2, 1, 2) Mas poderia ser representado por um segmento orientado cujo ponto inicial poderia estar em qualquer outro ponto Um vector no espaço v pode também ser escrito na notação matricial como uma matriz linha ou como uma matriz coluna: v 1 v = v 2 ou v 1 v 2 v 3 v 3 Estas notações podem ser justificadas pelo facto de que as operações matriciais v 1 w 1 v 1 + w 1 v + w = v 2 + w 2 = v 2 + w 2, α v 1 αv 1 v = α v 2 = αv 2 v 3 w 3 v 3 + w 3 v 3 αv 3 ou v + w = v 1 v 2 v 3 + w 1 w 2 w 3 = v 1 + w 1 v 2 + w 2 v 3 + w 3, α v = α v 1 v 2 v 3 = αv 1 αv 2 αv 3 produzem os mesmos resultados que as operações vectoriais v + w = (v1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) = (v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ), α v = α(v 1, v 2, v 3 ) = (αv 1, αv 2, αv 3 ) O mesmo vale, naturalmente, para vectores no plano No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vectores e da multiplicação de vectores por um escalar Teorema 31 Sejam u, v e w vectores e α e β escalares São válidas as seguintes propriedades: (a) u + v = v + u (b) ( u + v ) + w = u + ( v + w) (c) u + 0 = u (d) u + ( u ) = 0 (e) α(β v ) = (αβ) v (f) α( u + v ) = α u + α v (g) (α + β) u = α u + β u (h) 1 u = u

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 58 Demonstração: Segue directamente das propriedades da álgebra matricial (Teorema 11 na página 3) Exemplo 33 Vamos usar vectores e as suas propriedades para provar um resultado conhecido de geometria plana Seja um triângulo ABC e sejam M e N os pontos médios de AC e BC, respectivamente Vamos provar que MN é paralelo a AB e tem comprimento igual à metade do comprimento de AB Queremos provar que MN = 1 C AB 2 A partir da figura ao lado, temos que MN = MC + CN Como M é o ponto médio de AC e N é o ponto médio de BC, então Logo MC = 1 AC 2 e CN = 1 CB 2 MN = 1 AC + 1 CB = 1 2 2 2 ( AC + 1 CB) = AB 2 Exemplo 34 Dados quatro pontos A, B, C e X tais que AX = λ AB, vamos escrever CX como uma soma de múltiplos escalares de CA e CB, que é chamada combinação linear de CA e CB Como AX = λ AB, então os vectores AX e AB são paralelos e portanto o ponto X só pode estar na recta definida por A e B Vamos desenhá-lo entre A e B, mas isto não vai representar nenhuma restrição O vector que vai de C para X pode ser escrito como uma soma de um vector que vai de C para A com um vector que vai de A para X, CX = CA + AX Agora, por hipótese, AX = λ AB, o que implica que CX = CA + λ AB Mas AB = CB CA, portanto CX = CA + λ( CB CA) Logo C CX = (1 λ) CA + λ CB Observe que para λ = 0, CX = CA, para λ = 1, CX = CB, para λ = 1/2, CX = 1 CA + 1 CB e para λ = 1/3, 2 2 CX = 2 CA + 1 CB 3 3 Exemplo 35 Vamos ( mostrar, usando vectores, ) que o ponto médio de um segmento que une os pontos A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x 2, y 2, z 2 ) é M x1 +x 2, y 1+y 2, z 1+z 2 2 2 2 O ponto M é o ponto médio de AB se, e somente se, AM = 1 AB Então, aplicando o exemplo anterior (com o ponto C sendo a origem O), OM = 1 2 OA + 1 OB Como as coordenadas de um ponto são iguais 2 2 às componentes do vector que vai da origem até àquele ponto, segue que OM = 1 2 (x 1, y 1, z 1 ) + 1 2 (x 2, y 2, z 2 ) e ( x1 + x 2 M, y 1 + y 2, z ) 1 + z 2 2 2 2 A A X M N B B 312 Norma e Produto Escalar Já vimos que o comprimento de um vector é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam O comprimento do vector v também é chamado norma de v e é denotado(a) por v Segue do Teorema de Pitágoras que a norma de um vector é dada por v = v1 2 + v2 2, no caso em que v = (v 1, v 2 ) é um vector no plano, e por v = v1 2 + v2 2 + v2 3, no caso em que v = (v 1, v 2, v 3 ) é um vector no espaço (verifique usando as Figuras 314 e 315)

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 59 z v 3 y v = (v1, v 2 ) v = (v1, v 2, v 3 ) v v v 2 v 1 x v 1 v 2 y x Figura 314: A norma de um vector v no plano Figura 315: A norma de um vector v no espaço Um vector de norma igual a 1 é chamado vector unitário A distância entre dois pontos P(x 1, y 1, z 1 ) e Q(x 2, y 2, z 2 ) é igual à norma do vector PQ (Figura 313 na página 57) Como PQ = OQ OP = (x2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ), então a distância de P a Q é dada por dist(p, Q) = PQ = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 Analogamente, a distância entre dois pontos P(x 1, y 1 ) e Q(x 2, y 2 ) no plano é igual à norma do vector PQ, que é dada por dist(p, Q) = PQ = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Exemplo 36 A norma do vector v = (1, 2, 3) é v = 1 2 + ( 2) 2 + 3 2 = 14 A distância entre os pontos P(2, 3, 1) e Q( 1, 4, 5) é dist(p, Q) = PQ = ( 1 2,4 ( 3), 5 1) = ( 3, 7, 4) = ( 3) 2 + 7 2 + 4 2 = 74 Se v = (v 1, v 2, v 3 ) e α é um escalar, então da definição da multiplicação de um vector por um escalar e da norma de um vector, segue que α v = (αv 1, αv 2, αv 3 ) = (αv 1 ) 2 + (αv 2 ) 2 + (αv 3 ) 2 = α 2 (v1 2 + v2 2 + v2 3 ), ou seja, Dado um vector v não nulo, o vector α v = α v (315) ( ) 1 u = v v = v v, é um vector unitário na direcção de v, pois, por (315), temos que u = 1 v v = 1 Exemplo 37 Um vector unitário na direcção do vector v = (1, 2, 3) é o vector ( ) ( ) 1 u = v 1 = (1, 2,3) = ( v 14 1, 14 2 14, 3 14 )

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 60 O ângulo entre dois vectores não nulos, v e w, é definido pelo ângulo θ determinado por v e w que satisfaz 0 θ π, quando eles estão representados com a mesma origem Quando o ângulo θ entre dois vectores não nulos v e w é recto (θ = 90 o ), dizemos que os vectores v e w são ortogonais ou perpendiculares entre si Vamos definir, agora, um produto entre dois vectores, cujo resultado é um escalar Por isso é chamado produto escalar Este produto tem aplicação, por exemplo, em Física: o trabalho realizado por uma força é o produto escalar do vector força pelo vector deslocamento, quando a força aplicada é constante Definição 31 O produto escalar ou interno de dois vectores é definido por { v 0, se v e w é o vector nulo, w = v w cos θ, caso contrário, em que θ é o ângulo entre eles Quando os vectores são dados em termos das suas componentes, não sabemos directamente o ângulo entre eles Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que não necessite do ângulo entre os vectores Se v e w são dois vectores não nulos e θ é o ângulo entre eles, então pela lei dos cossenos, Assim, v w 2 = v 2 + w 2 2 v w cos θ v w = v 1 ( w cos θ = v 2 + w 2 v w 2) (316) 2 Já temos então uma fórmula para calcular o produto escalar que não depende directamente do ângulo entre eles Substituindo-se as coordenadas dos vectores em (316), obtemos uma expressão mais simples para o cálculo do produto interno Por exemplo, se v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ) são vectores no espaço, então substituindo-se v 2 = v 2 1 + v2 2 + v2 3, w 2 = w 2 1 + w2 2 + w2 3 e v w 2 = (v 1 w 1 ) 2 + (v 2 w 2 ) 2 + (v 3 w 3 ) 2 em (316), os termos v 2 i e w 2 i são cancelados e obtemos v w = v1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 Teorema 32 O produto escalar ou interno, v w, entre dois vectores é dado por v w = v1 w 1 + v 2 w 2, se v = (v 1, v 2 ) e w = (w 1, w 2 ) são vectores no plano e por v w = v1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3, se v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ) são vectores no espaço Exemplo 38 Sejam v = (0, 1, 0) e w = (2, 2, 3) O produto escalar de v por w é v w = 0 2 + 1 2 + 0 3 = 2 Podemos usar o Teorema 32 para determinar o ângulo entre dois vectores não nulos, v e w O cosseno do ângulo entre v e w é, então, dado por v w cos θ = v w Se v e w são dois vectores não nulos e θ é o ângulo entre eles, então (a) θ é agudo (0 θ < 90 o ) se, e somente se, v w > 0, (b) θ é recto (θ = 90 o ), se, e somente se, v w = 0 e (c) θ é obtuso (90 o < θ 180 o ), se, e somente se, v w < 0

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 61 Exemplo 39 Vamos determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas Sejam v 1 = (1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 0) e v 3 = (0, 0, 1) (Figura 318) Uma diagonal do cubo é representada pelo vector d dado por d = v 1 + v 2 + v 3 = (1, 1, 1) Então, o ângulo entre d e v 1 satisfaz ou seja, cos θ = d v 1 d v 1 = 1 1 + 0 1 + 0 1 ( 1 2 + 1 2 + 1 2 )( 1 2 + 0 2 + 0 2 ) = 1 3, θ = arccos( 1 3 ) 54 o z (0,0, 1) (1,1, 1) (1,0, 0) (0,1, 0) y x Figura 318: Ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas Teorema 33 Sejam u, v e w vectores e α um escalar São válidas as seguintes propriedades: (a) (comutatividade) u v = v u ; (b) (distributividade) u ( v + w) = u v + u w; (c) (associatividade) α( u v ) = (α u ) v = u (α v ); (d) v v = v 2 0, para todo v e v v = 0 se, e somente se, v = 0 Demonstração: Sejam u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ) (a) u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 = v u ; (b) u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) (v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = (u 1 v 1 +u 1 w 1 )+(u 2 v 2 +u 2 w 2 )+(u 3 v 3 +u 3 w 3 ) = (u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 )+(u 1 w 1 +u 2 w 2 +u 3 w 3 ) = u v + u w; (c) α( u v ) = α(u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) = (αu 1 )v 1 + (αu 2 )v 2 + (αu 3 )v 3 = (α u ) v ; (d) v v = v 2 é uma soma de quadrados e por isso é sempre maior ou igual a zero; e é zero se, e somente se, todas as parcelas são iguais a zero Projecção Ortogonal Podemos decompor um v em uma soma de dois vectores, v 1 e v 2, sendo v 1 na direcção de um vector w e v 2 perpendicular a w (Figura 319) O vector v 1 é chamado projecção ortogonal de v sobre w e é denotado por proj w v v 2 v v 1 w

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 62 Figura 319: Decomposição de v em uma soma v 1 + v 2, em que v 1 é paralelo a w Teorema 34 Seja w um vector não nulo Então, a projecção de um vector v em w é dada por ( v ) w proj w v = w w 2 Demonstração: Sejam v 1 = proj w v e v 2 = v proj w v Como v 1 é paralelo a w, então v 1 = α w Assim, v = v 1 + v 2 = α w + v 2 Multiplicando-se escalarmente v por w e usando o Teorema 33 (d), obtemos v w = α w 2 + v 2 w (317) Mas v 2 é perpendicular a w, então v 2 w = 0 Portanto, de (317) obtemos v w α = w 2 Exemplo 310 Sejam v = (2, 1,3) e w = (4, 1, 2) Vamos encontrar dois vectores v 1 e v 2 tais que v = v 1 + v 2, v 1 é paralelo a w e v 2 é perpendicular a w Temos que v w = 2 4 + ( 1) ( 1) + 3 2 = 15 Assim, w 2 = 4 2 + ( 1) 2 + 2 2 = 21 ( ) v 1 = 15 proj w v = (4, 1, 2) = ( 20 21 7, 5 7, 10 7 ) v 2 = v v 1 = (2, 1, 3) ( 20 7, 5 7, 10 7 ) = ( 6 7, 2 7, 11 7 ) 313 Produto Vectorial Vamos, agora, definir um produto entre dois vectores, cujo resultado é um vector Por isso, ele é chamado produto vectorial Este produto tem aplicação, por exemplo, em Física: a força exercida sobre uma partícula carregada mergulhada num campo magnético é o produto vectorial do vector velocidade da partícula pelo vector campo magnético, desde que o campo seja constante e a carga seja unitária Definição 32 Sejam v e w dois vectores no espaço Definimos o produto vectorial ou produto externo, v w, como sendo o vector com as seguintes características: (a) tem comprimento dado numericamente por v w = v w sinθ, ou seja, a norma de v w é numericamente igual à área do paralelogramo determinado por v e w (Figura 320); w w h = w sinθ θ v v

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 63 (b) tem direcção perpendicular a v e a w; Figura 320: Área de um paralelogramo (c) tem o sentido dado pela regra da mão direita (Figura 321): Se o ângulo entre v e w é θ, giramos o vector v de um ângulo θ até que coincida com w e acompanhamos este movimento com os dedos da mão direita, então o polegar vai apontar no sentido de v w v w v w Figura 321: Regra da mão direita Da forma como definimos o produto vectorial é difícil o seu cálculo, mas as propriedades que apresentaremos a seguir possibilitarão obter uma fórmula para o produto vectorial em termos das componentes dos vectores Teorema 35 Sejam v, w e u vectores no espaço e α um escalar São válidas as seguintes propriedades: (a) v w = ( w v ), isto é, o produto vectorial é anti-comutativo; (b) v w = 0 se, e somente se, v = α w; (c) v ( v w) = w ( v w) = 0; (d) α( v w) = (α v ) w = v (α w ); (e) ( v w) u > 0 se, e somente se, v, w e u satisfazem a regra da mão direita, isto é, se o ângulo entre v e w é θ, giramos o vector v de um ângulo θ até que coincida com w e acompanhamos este movimento com os dedos da mão direita, então o polegar vai apontar no sentido de u ; (f) ( v w) u é numericamente igual ao volume do paralelepípedo determinado por v, w e u (Figura 322); (g) ( v w) u = v ( w u ), ou seja, pode-se trocar os sinais e em ( v w) u ; (h) v ( w + u ) = v w + v u e ( v + w) u = v u + w u (Distributividade em relação à soma de vectores) Demonstração: (a) Trocando-se v por w troca-se o sentido de v w (b) v w = 0 se, e somente se, um deles é o vector nulo ou sinθ = 0, em que θ é o ângulo entre v e w, ou seja, v e w são paralelos Assim, v w = 0 se, e somente se, v = α w (c) Segue imediatamente da definição do produto vectorial (d) Segue facilmente da definição do produto vectorial, por isso deixamos como exercício para o leitor (e) Como vemos na Figura 322 v, w e u satisfazem a regra da mão direita se, e somente se, 0 < θ < π/2 ou cos θ > 0, em que θ é o ângulo entre v w e u Como, ( v w) u = v w u cos θ, então v, w e u satisfazem a regra da mão direita se, e somente se, ( v w) u > 0 (f) O volume do paralelepípedo determinado por v, w e u é igual à área da base vezes a altura, ou seja, pela definição do produto vectorial, o volume é dado por Volume = v w h Mas, como vemos na Figura 324 a altura é h = u cos θ, o que implica que Volume = v w u cos θ = u ( v w) (g) Como o produto escalar é comutativo, pelo item (f), ( v w) u = v ( w u Agora, pelo item (e), ( v w) u e v ( w u ) têm o mesmo sinal, pois v, w e u satisfazem a regra da mão direita se, e somente se, w, u e v também satisfazem

u h = u cos θ Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 64 (h) Vamos provar a primeira igualdade e deixamos como exercício para o leitor a demonstração da segunda Vamos mostrar que o vector y = v ( w + u ) v w v u é o vector nulo Para isso, vamos mostrar que para qualquer vector x no espaço x y = 0 Pela distributividade do produto escalar, Teorema 33 item (b) na página 61, temos que Pelo item (g), temos que x y = x ( v ( w + u ) ) x ( v w) x ( v u ) x y = ( x v ) ( w + u ) ( x v ) w ( x v ) u = ( x v ) ( w + u ) ( x v ) ( w + u ) = 0 Assim, x y = 0, para todo vector x, em particular para x = y, temos que y y = y 2 = 0 Portanto, y = 0, ou seja, v ( w + u ) = v w + v u v w θ w v Figura 322: Volume do paralelipípedo determinado por v, w e u Os vectores canónicos i = (1, 0,0) j = (0, 1,0) e k = (0, 0,1) são vectores unitários (de norma igual a um) paralelos aos eixos coordenados Todo vector v = (v 1, v 2, v 3 ) pode ser escrito em termos de uma soma de múltiplos escalares de i, j e k (combinação linear), pois v = (v1, v 2, v 3 ) = (v 1,0, 0) + (0, v 2,0) + (0, 0, v 3 ) = v 1 (1, 0, 0) + v 2 (0, 1, 0) + v 3 (0, 0,1) = v 1 i + v2 j + v3 k (318) Da definição de produto vectorial podemos obter facilmente as seguintes relações: i i = 0 j j = 0 k k = 0 i j = k j k = i k i = j j i = k k j = i i k = j Agora, estamos prontos para obter uma fórmula que dê o produto vectorial de dois vectores em termos das suas componentes Teorema 36 Sejam v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ) vectores no espaço Então, o produto vectorial v w é dado por ( ) v v 2 v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 w = det, det,det (319) w 2 w 3 w 1 w 3 w 1 w 2 Demonstração: De (318) segue-se que podemos escrever v = v 1 i + v2 j + v3 k e w = w1 i + w2 j + w3 k Assim, pela

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 65 distributividade do produto vectorial em relação à soma temos que v w = (v1 i + v2 j + v3 k ) (w1 i + w2 j + w3 k ) = v 1 w 1 ( i i ) + v 1 w 2 ( i j ) + v 1 w 3 ( i k ) + +v 2 w 1 ( j i ) + v 2 w 2 ( j j ) + v 2 w 3 ( j k ) + +v 3 w 1 ( k i ) + v 3 w 2 ( k j ) + v 3 w 3 ( k k ) = (v 2 w 3 v 3 w 2 ) i + (v 3 w 1 v 1 w 3 ) j + (v 1 w 2 v 2 w 1 ) k v 2 v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 = det i det j + det w 2 w 3 w 1 w 3 w 1 w 2 ( ) v 2 v 3 v 1 v 3 = det, det,det w 2 w 3 w 1 w 3 v 1 v 2 w 1 w 2 k Para obter as componentes do produto vectorial v w podemos proceder como segue: escreva as componentes de v acima das componentes de w: v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Para calcular a primeira componente de v w, elimine a primeira coluna da matriz acima e calcule o determinante da sub-matriz resultante A segunda componente é obtida, eliminando-se a segunda coluna e calculando-se o determinante da sub-matriz resultante com o sinal trocado A terceira é obtida como a primeira, mas eliminando-se a terceira coluna ; Exemplo 311 Sejam v = i + 2 j 2 k e w = 3 i + k Vamos Vamos determinar o produto vectorial v w 1 2 2 3 0 1 ( ) v 2 2 1 2 1 2 w = det, det,det = (2, 7, 6) 0 1 3 1 3 0 Usando os vectores i, j e k o produto vectorial v w, pode ser escrito em termos do determinante simbólico i j k v v 2 v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 w = det v 1 v 2 v 3 = det i det j + det k w 2 w 3 w 1 w 3 w 1 w 2 w 1 w 2 w 3 Exemplo 312 Vamos calcular a área do triângulo determinado pelos pontos P(2,2, 0), Q(0, 4,3) e R( 1, 0,2) (Figura 323) Sejam v = PQ = (0 2, 4 2, 3 0) = ( 2, 2, 3) w = PR = ( 1 2, 0 2,2 0) = ( 3, 2,2) Então, v w = (10, 5, 10) e Área = 1 2 v w = 15 2 z R( 1,0, 2) Q(0,4, 3) y x P(2,2,0) Figura 323: Área do triângulo PQR

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 66 314 Produto Misto Teorema 37 Sejam u = u 1 i + u2 j + u3 k, v v1 i + v2 j + v3 k e w = w1 i + w2 j + w3 k Então, u 1 u 2 u 3 u ( v w) = det v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Demonstração: Segue do Teorema 32 na página 60, do Teorema 36 na página 64 e da definição de determinante de uma matriz que (( )) u ( v v 2 v 3 v 1 v 3 v 1 v 2 w) = (u1, u 2, u 3 ) det, det, det w 2 w 3 w 1 w 3 w 1 w 2 = u 1 det v 2 v 3 w 2 w 3 u 2 det v 1 v 3 w 1 w 3 u 1 u 2 u 3 = det v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 O produto u ( v w) é chamado de produto misto de u, v e w + u 3 det v 1 v 2 w 1 w 2 Exemplo 313 O produto misto dos vectores u = 2 i j + 3 k, v = i + 4 j + k e w = 5 i + j 2 k é u 1 u 2 u 3 2 1 3 u ( v w) = det v 1 v 2 v 3 = det 1 4 1 = 84 w 1 w 2 w 3 5 1 2 Pelo Teorema 35 item (f) na página 63 o volume de um paralelepípedo determinado por três vectores é igual numericamente ao valor absoluto do produto misto destes vectores Exemplo 314 Sejam v = 10 i, w = 5 i + 10 j e u = 3 i + 3 j + 7 k O volume de um paralelepípedo com arestas determinadas por u, v e w é dado por volume = u ( v 3 3 7 w) = det 10 0 0 = 700 = 700 5 10 0 Segue imediatamente do Teorema 37 e do Teorema 35 item (f) na página 63 um critério para saber se três vectores são paralelos a um mesmo plano Corolário 371 Sejam u = u 1 i + u2 j + u3 k, v = v1 i + v2 j + v3 k e w = w1 i + w2 j + w3 k Estes vectores são coplanares (isto é, são paralelos a um mesmo plano) se, e somente se, u 1 u 2 u 3 u ( v w) = det v 1 v 2 v 3 = 0 w 1 w 2 w 3 Exemplo 315 Vamos verificar que os pontos P(0, 1, 1), Q(1, 0, 2), R(1, 2, 0) e S( 2, 2, 2) são coplanares, isto é, pertencem a um mesmo plano Com estes pontos podemos construir os vectores PQ = (1 0, 0 1, 2 1) = (1, 1, 1), PR = (1 0, 2 1,0 1) = (1, 3, 1) e PS = ( 2 0, 2 1, 2 1) = ( 2, 1, 3) Os pontos P, Q, R e S pertencem a um mesmo plano se, e somente se, os vectores PQ, PR e PS são coplanares E isto acontece se, e somente se, o produto misto entre eles é zero Assim, P, Q, R e S são coplanares, pois PQ ( PR PS) = det 1 1 1 1 3 1 2 1 3 = 0

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 67 O próximo resultado será usado na próxima secção para deduzir as equações paramétricas do plano Corolário 372 Sejam u, v e w vectores no espaço (a) u, v e w são coplanares se, e somente se, a equação vectorial tem solução não trivial, em que x, y e z são escalares x u + y v + z w = 0 (b) u, v e w são coplanares se, e somente se, um deles é combinação linear (soma de múltiplos escalares) dos outros dois Demonstração: (a) Seja A a matriz cujas colunas são u, v e w escritos como vectores colunas A equação x u + y v + z w = 0 é equivalente ao sistema AX = 0 Assim, a equação tem solução não trivial se, e somente se, det(a) = 0 Mas, det(a) = det(a T ) = u ( v w) = 0 se, e somente se, os vectores u, v e w são coplanares, o que prova o resultado (b) Pelo item anterior u, v e w são coplanares se, e somente se, a equação x u + y v + z w = 0 possui solução não trivial Mas se isto acontece, então um dos escalares x ou y ou z pode ser diferente de zero Se x 0, então u = ( y/x) v + ( z/x) w, ou seja, o vector u é combinação linear de v e w De forma semelhante, se y 0, então v é combinação linear de u e w e se z 0, então w é combinação linear de u e v Claramente se um dos vectores é combinação linear dos outros dois, então eles são coplanares Exercícios Numéricos 311 Determine o ponto C tal que AC = 2 AB, sendo A(0, 2) e B(1, 0) 312 Uma recta no plano tem equação y = 2x + 1 Determine um vector paralelo a esta recta 313 Determine uma equação para a recta no plano que é paralela ao vector v = (2, 3) e passa pelo ponto P 0 (1, 2) 314 Dados os vectores u e v, determine o vector x, tal que 3 x 2 v = 15( x u ) { 315 Dados os vectores u e v, determine o vector 6 x 2 y = u x, tal que 3 x + y = u + v 316 Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vector v = (3, 0, 3), sabendo-se que a sua origem está no ponto P(2,3, 5) 317 Quais são as coordenadas do ponto P, simétrico do ponto P(1,0, 3) em relação ao ponto M(1, 2, 1)? (Sugestão: o ponto P é tal que o vector MP = MP) 318 Verifique se os pontos dados a seguir são colineares, isto é, pertencem a uma mesma recta: (a) A(5, 1, 3), B(0, 3, 4) e C(0, 3, 5); (b) A( 1, 1, 3), B(4, 2, 3) e C(14, 4, 15) 319 Verifique se é um paralelogramo o quadrilátero de vértices (não necessariamente consecutivos) (a) A(4, 1, 1), B(9, 4,2), C(4, 3, 4) e D(4, 21, 14); (b) A(4, 1, 1), B(9, 4,2), C(4, 3, 4) e D(9, 0,5); 3110 Quais dos seguintes vectores são paralelos u = (6, 4, 2), v = ( 9, 6, 3), w = (15, 10,5) 3111 Dados os pontos A(1, 2, 3), B( 5, 2, 1) e C(4, 0, 1), determine o ponto D tal que A, B, C e D sejam vértices consecutivos de um paralelogramo 3112 Verifique se o vector u é combinação linear (soma de múltiplos escalares) de v e w: (a) v = (9, 12, 6), w = ( 1, 7, 1) e u = ( 4, 6, 2) (b) v = (5, 4, 3), w = (2, 1,1) e u = ( 3, 4, 1) 3113 Sejam v = (1, 2, 3) e w = (2, 1, 2) Determine vectores unitários paralelos aos vectores: (a) v + w; (b) v w; (c) 2 v 3 w

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 68 3114 Ache o vector unitário da bissectriz do ângulo entre os vectores v = (2, 2, 1) e w = (6, 2, 3) (Sugestão: observe que a soma de dois vectores está na direcção da bissectriz se, e somente se, os dois vectores tiverem o mesmo comprimento Portanto, tome múltiplos escalares de v e w de forma que eles tenham o mesmo comprimento e tome o vector unitário na direcção da soma deles) 3115 Determine o valor de x para o qual os vectores v = (x,3, 4) e w = (3, 1, 2) são perpendiculares 3116 Demonstre que não existe x tal que os vectores v = (x, 2, 4) e w = (x, 2,3) são perpendiculares 3117 Ache o ângulo entre os seguintes pares de vectores: (a) (2, 1, 0) e (0, 1, 1); (b) (1, 1,1) e (0, 2, 2); (c) (3, 3, 0) e (2, 1, 2) 3118 Decomponha w = ( 1, 3, 2) como a soma de dois vectores w 1 e w 2, com w 1 paralelo ao vector (0, 1, 3) e w 2 ortogonal a este último (Sugestão: recapitule o Exemplo 310 na página 62 3119 Sabe-se que o vector x é ortogonal a (1, 1, 0) e a ( 1, 0, 1), tem norma 3 e sendo θ o ângulo entre x e (0, 1,0), tem-se cos θ > 0 Ache x 3120 Mostre que A(3, 0, 2), B(4, 3, 0) e C(8, 1, 1) são vértices de um triângulo rectângulo Em qual dos vértices está o ângulo recto? 3121 Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano: (a) A(2, 2, 1), B(3, 1,2), C(2, 3, 0) e D(2, 3, 2); (b) A(2, 0, 2), B(3, 2, 0), C(0, 2, 1) e D(10, 2, 1); 3122 Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A(2, 1,6) e os três vértices adjacentes nos pontos B(4, 1,3), C(1, 3,2) e D(1, 2, 1) 3123 Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A(1, 0, 1), B(2, 1; 3) e C(3, 2, 4) 3124 Calcule a área do triângulo com vértices A(1, 2, 1), B(3, 0, 4) e C(5, 1, 3) 3125 Ache x tal que x ( i + k ) = 2( i + j k ) e x = 6 3126 Sabe-se que o vector x é ortogonal a i + j e a i + k, tem norma 3 e sendo θ o ângulo entre x e j, tem-se cos θ > 0 Ache x 3127 Considere dois vectores v e w tais que v = 5, w = 2 e o ângulo entre v e w é 60 o Determine, como combinação linear de v e w: (a) um vector x tal que x v = 20 e x w = 5; (b) um vector x tal que x v = 0 e x w = 12 Exercícios usando o Matlab R Comandos do Matlab R : >> V=v1,v2,v3 cria um vector V, usando as componentes numéricas v1, v2, v3 Por exemplo, >> V=1,2,3 cria o vector v = (1, 2, 3); >> V+W é a soma de V e W; >> V-W é a diferença V e W; >> num*v é o produto do vector V pelo escalar num; >> subs(expr,x,num) substitui x por num na expressão expr; >> solve(expr) determina a solução da equação expr=0; Comandos numéricos do pacote GAAL: >> V=randi(1,3) cria um vector aleatório com componentes inteiras; >> no(v) calcula a norma do vector V; >> pe(v,w) calcula o produto escalar do vector V pelo vector W; >> pv(v,w) calcula o produto vectorial do vector V pelo vector W Comandos gráficos do pacote GAAL: >> desvet(p,v) desenha o vector V com origem no ponto P e >> desvet(v) desenha o vector V com origem no ponto O(0, 0, 0); >> po(p1;p2; ;Pn) desenha os pontos P1, P2,, Pn; >> lineseg(p1,p2, cor ) desenha o segmento de recta P1P2; >> eixos desenha os eixos coordenados;

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 69 >> box desenha a caixa em volta da figura; >> axiss reescala os eixos com a mesma escala; >> rota faz uma rotação em torno do eixo z; >> zoom3(factor) amplifica a região pelo factor; >> tex(p, texto ) coloca o texto no ponto P 3128 Digite no prompt demog21, (sem a vírgula!) Esta função demonstra as figuras gráficas para vectores 3129 Coloque em duas variáveis V e W dois vectores do plano ou do espaço a seu critério (a) Use a função ilsvw para visualizar a soma dos dois vectores (b) Coloque em uma variável alfa um número e use a função ilav(alfa,v) para visualizar a multiplicação do vector V pelo escalar alfa (c) Use a função ilproj(w,v) para visualizar a projecção de V em W 3130 Use o Matlab R para resolver os Exercícios Numéricos a partir do Exercício 316 Exercícios Teóricos 3131 Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e a sua medida é a média aritmética das medidas das bases (Sugestão: mostre que MN = 1 2 ( AB + DC) e depois conclua que MN é um múltiplo escalar de AB Revise o Exemplo 33 na página 58) 3132 Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio (Sugestão: Sejam M e N os pontos médios das duas diagonais do paralelogramo Mostre que o vector MN = 0, então conclua que M = N) 3133 Considere o triângulo ABC e sejam M o ponto médio de BC, N o ponto médio de AC e P o ponto médio de AB Mostre que as medianas (os segmentos AM, BN e CP) se cortam num mesmo ponto que divide as medianas na proporção 2/3 e 1/3 (Sugestão: Sejam G, H e I os pontos definidos por AG = 2 AM, BH = 2 BN 3 3 e CI = 2 CP Mostre que GH = GI = 0 e conclua que G = H = I) 3 C N H G M A I P B 3134 Sejam A, B e C pontos quaisquer com A B Prove que: (a) um ponto X pertence à recta determinada por A e B ( AX = λ AB) se, e somente se, CX = α CA + β CB, com α + β = 1; (b) um ponto X pertence ao interior do segmento AB ( AX = λ AB, com 0 < λ < 1) se, e somente se, CX = α CA + β CB, com α 0, β 0 e α + β = 1; (c) um ponto X é um ponto interior ao triângulo ABC ( A X = λ A B, com 0 < λ < 1, em que A é um ponto interior ao segmento AC e B é interior ao segmento CB) se, e somente se,) 3135 Mostre que se α v = 0, então α = 0 ou v = 0 CX = α CA + β CB, com α 0, β 0 e α + β = 1

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 70 3136 Se α u = α v, então u = v? E se α 0? 3137 Se α v = β v, então α = β? E se v 0? 3138 Mostre que em um triângulo isósceles a mediana relativa à base é perpendicular à base 3139 Mostre que o ângulo inscrito em uma semi-circunferência é recto Sugestão para os próximos 2 exercícios: Considere o paralelogramo ABCD Seja u = AB e v = AD Observe que as diagonais do paralelogramo são u + v e u v 3140 Mostre que se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares então ele é um losango 3141 Mostre que se as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo comprimento então ele é um rectângulo 3142 Se v w = v u, então w = u? 3143 Mostre que se v é ortogonal a vecw 1 e w 2, então v é ortogonal a α 1 w 1 + α 2 w 2 3144 Demonstre que as diagonais de um losango são perpendiculares (Sugestão: mostre que AC BD = 0, usando o facto de que AB = DC e AB = BC ) 3145 Sejam v um vector não nulo no espaço e α, β e γ os ângulos que v forma com os vectores i, j e k, respectivamente Demonstre que cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 (Sugestão: cos α = v i v, cos β = v j i v e cos γ = v k j v ) k 3146 Demonstre que, se v e w são vectores quaisquer, então: (a) v w = 1 ( v + w 2 v w 2) ; 4 (b) v 2 + w 2 = 1 ( v + w 2 + v w 2) 2 (Sugestão: desenvolva os segundos membros das igualdades acima observando que v + w 2 = ( v + w) ( v + w) e v w 2 = ( v w) ( v w)) 3147 Demonstre que se v e w são vectores quaisquer, então: (a) v w v w ; (b) v + w v + w ; (Sugestão: mostre que v + w 2 = ( v + w) ( v + w) ( v + w ) 2, usando o item anterior) (c) v w v w (Sugestão: defina u = v w e aplique o item anterior a u e w) 3148 O produto vectorial é associativo? Justifique a sua resposta (Sugestão: experimente com os vectores i, j, k ) 3149 Demonstre que se v e w são vectores quaisquer no espaço, então v w v w 3150 Se u, v e w são vectores no espaço, prove que u ( v w) u v w (Sugestão: use o Teorema 32 na página 60 e o exercício anterior) 3151 Mostre que u ( v w) = v ( w u ) = w ( u v ) (Sugestão: use as propriedades do determinante) 3152 Mostre que (a) (α u 1 + β u 2 ) ( v w) = α u 1 ( v w) + β u 2 ( v w); (b) u (α v 1 + β v 2 ) w = α u ( v 1 w) + β u ( v 2 w); (c) u v (α w 1 + β w 2 ) = α u ( v w 1 ) + β u ( v w 2 ); (d) u ( v w) = u ( v + α u + β w) w (Sugestão: use as propriedades dos produtos escalar e vectorial) 3153 Prove a identidade de Lagrange v w 2 = v 2 w 2 ( v w) 2 3154 Mostre que a área do triângulo com vértices (x i, y i ), para i = 1, 2,3 é igual a det(a) /2, em que x 1 y 1 1 A = x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 (Sugestão: Marque os pontos P 1 (x 1, y 1, 1), P 2 (x 2, y 2,1), P 3 (x 3, y 3,1) e P 1 (x 1, y 1,0) O volume do paralelepípedo determinado por P 1, P 2, P 3 e P 1 é dado por P 1 P 1 ( P 1 P 2 P 1 P 3 ) Mas, a altura deste paralelepípedo é igual a 1 Assim, o seu volume é igual à área da base que é o paralelogramo determinado por P 1, P 2 e P 3 Observe que OP 1, P 1 P 2 e P 1 P 3 são paralelos ao plano xy)

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 71 3155 Sejam u 1, u 2 e u 3 três vectores unitários mutuamente ortogonais Se A = u 1 u 2 u 3 é uma matriz 3 3 cujas colunas são os vectores u 1, u 2 e u 3, então A é invertível e A 1 = A T (Sugestão: mostre que A T A = I 3 ) 3156 Sejam u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v3) e w = (w 1, w 2, w 3 ) Prove a fórmula seguinte para o duplo produto vectorial u ( v w = ( u w) v ( u v ) w, seguindo os seguintes passos: (a) Prove que u ( i j ) = ( u j ) i ( u i ) j u ( j k ) = ( u k ) j ( u j ) k u ( k i ) = ( u i ) k ( u k ) i (b) Prove usando o item anterior e as propriedades do produto vectorial que u ( v i ) = ( u i ) v ( u v ) i u ( v j ) = ( u j ) v ( u v ) j u ( v k ) = ( u k ) v ( u v ) k (c) Prove agora o caso geral usando o item anterior e as propriedades do produto vectorial 32 Equações de Rectas e Planos 321 Equação do Plano Existe uma analogia entre uma recta no plano e um plano no espaço No plano, a equação de uma recta é determinada se forem dados sua inclinação e um de seus pontos No espaço, a inclinação de um plano é dada por um vector perpendicular a ele e a equação de um plano é determinada se são dados um vector perpendicular a ele e um de seus pontos Teorema 38 A equação de um plano π que passa por um ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e é perpendicular ao vector n = (a, b, c) é ax + by + cz + d = 0, (3210) onde d = (ax 0 + by 0 + cz 0 ) A equação (3210) é chamada equação geral do plano π e o vector n é chamado vector normal do plano Demonstração: Um ponto P(x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, o vector P 0 P for perpendicular ao vector n, ou seja, n P0 P = 0 (3211) Como, P 0 P = (x x 0, y y 0, z z 0 ), a equação (3211) pode ser reescrita como ou seja, a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0, ax + by + cz (ax 0 + by 0 + cz 0 ) = 0 n = (a, b, c) P(x, y, z) π P 0 (x 0, y 0, z 0 ) Figura 324: Plano perpendicular a n = (a, b, c) e que passa pelo ponto P O (x 0, y 0, z 0 )

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 72 Exemplo 316 Vamos encontrar a equação do plano π que passa pelo ponto P 0 (3, 1, 7) e é perpendicular ao vector n = (4, 2, 5) Do teorema anterior, a equação do plano é da forma ax + by + cz + d = 0, onde os coeficientes de x, y e z são as componentes do vector normal, ou seja, a = 4, b = 2 e c = 5 Assim, a equação de π é da forma 4x + 2y 5z + d = 0 Para determinar o coeficiente d, basta usarmos o facto de que P 0 (3, 1, 7) pertence a π Mas, o ponto P 0 pertence a π se, e somente se, as suas coordenadas satisfazem a equação de π, ou seja, 4 3 + 2 ( 1) 5 7 + d = 0 Daqui tiramos que d = 12 + 2 + 35 = 25 Finalmente, a equação do plano π é 4x + 2y 5z + 25 = 0 No plano, a equação de uma recta é determinada se forem dados dois pontos da recta Analogamente, no espaço, a equação de um plano é determinada se são dados três pontos P 1, P 2 e P 3 não colineares (isto é, não pertencentes a uma mesma recta) Com os três pontos podemos formar"os vectores v = P 1 P 2 e w = P 1 P 3 (Figura 325) n = (a, b, c) P 3 P 1 π P 2 Figura 325: Plano que passa por três pontos Exemplo 317 Vamos encontrar a equação do plano π que passa pelos pontos P 1 (1, 2, 1), P 2 (2, 3, 1) e P 3 (3, 1,2) Com os três pontos e um ponto genérico do plano, P(x, y, z), podemos formar os vectores v = P 1 P 2 = (v 1, v 2, v 3 ), w = P 1 P 3 = (w 1, w 2, w 3 ) e P 1 P = (x x 1, y y 1, z z 1 ) O vector normal do plano, n = (a, b, c), é ortogonal a estes três vectores Daqui obtemos um sistema homogéneo com três equações ( n P 1 P = 0, n P 1 P 2 = 0 e n P 1 P 3 = 0) e três incógnitas (a, b e c), que tem solução não trivial se, e somente se, o determinante da matriz do sistema é igual a zero (Teorema 211 na página 44), ou seja, se, e somente se, x x 1 y y 1 z z 1 det v 1 v 2 v 3 = 0 (3212) w 1 w 2 w 3 Mas, P 1 P = (x 1, y 2, z ( 1)), v = P 1 P 2 = (1, 1, 2), w = P 1 P 3 = (2, 3,3) Então, a equação do plano é x 1 y 2 z + 1 det 1 1 2 = 9(x 1) + (y 2) 5(z + 1) = 9x + y 5z 16 = 0 2 3 3

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 73 A equação do plano também é determinada se ao invés de serem dados três pontos, forem dados um ponto P 1 do plano e dois vectores paralelos ao plano, v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ), desde que eles sejam não colineares Ou ainda, se forem dados dois pontos P 1 e P 2 do plano e um vector paralelo ao plano v = (v 1, v 2, v 3 ), já que neste caso podemos formar o vector w = P 1 P 2 = (w 1, w 2, w 3 ) que é também paralelo ao plano Temos três vectores paralelos ao plano: P 1 P = (x x 1, y y 1, z z 1 ), v e w O vector normal do plano, n = (a, b, c), é ortogonal a estes três vectores De onde obtemos um sistema homogéneo com três equações ( n P1 P = 0, n v = 0 e n w = 0) e três incógnitas (a, b e c), que tem solução não trivial se, e somente se, o determinante da matriz do sistema é igual a zero (Teorema 211 na página 44), ou seja, se, e somente se, det x x 1 y y 1 z z 1 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = 0 (3213) Assim, um ponto P(x, y, z) pertence a um plano π que passa pelo ponto P 1 (x 1 y 1, z 1 ) e é paralelo aos vectores v = (v1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ) (não paralelos) se, e somente se, a equação (3213) é verdadeira Alternativamente, podemos encontrar a equação do plano da seguinte forma Como vimos anteriormente (Corolário 371 na página 66), três vectores, P 1 P, P 1, P 2 e P 1 P 3 são coplanares se, e somente se, o produto misto entre eles é zero Assim, um ponto P(x, y, z) pertence a π se, e somente se, P 1 P ( P 1 P 2 P 1 P3) = 0 Mas, P 1 P = (x 1, y, z) 2 P 1 P 2 = ( 1 2, 1 2, 0) P 1 P 3 = ( 1 2, 1 2, 1 2 ) Então, x 1 2 det 1 2 1 2 e assim a equação do plano é dada por Ou ainda, multiplicando por 8, y 1 2 1 2 z 0 1 2 = 1 4 (x 1 2 ) + 1 4 y + 1 2 z 1 4 x + 1 4 y + 1 2 z 1 8 = 0 2x + 2y + 4z 1 = 0 A equação do plano também é determinada se ao invés de serem dados três pontos, forem dados um ponto P 1 do plano e dois vectores paralelos ao plano, v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w3), desde que eles sejam não colineares Ou ainda, se forem dados dois pontos P 1 e P 2 do plano e um vector paralelo ao plano v = (v 1, v 2, v 3 ), já que neste caso podemos formar o vector w = P 1 P 2 = (w 1, w 2, w 3 ) que é também paralelo ao plano Nestes casos temos novamente pelo menos duas maneiras de encontrarmos a equação do plano Uma delas é observando que o vector n = v w é um vector normal ao plano Desta forma temos um ponto do plano e um vector normal ao plano A outra é observando que temos três vectores paralelos ao plano: P 1 P = (x x 1, y y 1, z z 1 ), v e w Como vimos anteriormente (Corolário 371 na página 66), os três vectores são coplanares se, e somente se, o produto misto entre eles é zero, ou seja, P 1 P ( v w) = det x x 1 y y 1 z z 1 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = 0 (3214) Assim, um ponto P(x, y, z) pertence a um plano π que passa pelo ponto P 1 (x 1, y 1, z 1 ) e é paralelo aos vectores v = (v1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ) (não paralelos) se, e somente se, a equação (3214) é verdadeira Observação 32 Não faz sentido dizer que um vector pertence a um plano Pois, por um lado, um plano é um conjunto de pontos e por outro, os vectores são livres, podem ser colocados em qualquer ponto O correcto é dizer que um vector é paralelo a um plano

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 74 Equações Paramétricas Além da equação geral do plano podemos também caracterizar os pontos de um plano da seguinte forma Considere um plano π, um ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) pertencente a π e dois vectores v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ) não colineares, paralelos a π Um ponto P(x, y, z) pertence a π se, e somente se, o vector P 0 P = (x x 0, y y 0, z z 0 ) uma combinação linear de v e w (Corolário 372 na página 67), ou seja, se existem escalares t e s tais que P 0 P = t v + s w (3215) Escrevendo em termos de componentes, (3215) pode ser escrito como (x x 0, y y 0, z z 0 ) = (tv 1 + sw 1, tv 2 + sw 2, tv 3 + sw 3 ) Logo um ponto P(x, y, z) pertence a π se, e somente se, satisfaz as equações x = x 0 + tv 1 + sw 1 y = y 0 + tv 2 + sw 2, para todo t, s R z = z 0 + tv 3 + sw 3 Estas equações são chamadas equações paramétricas do plano Exemplo 318 Podemos obter equações paramétricas do plano do Exemplo 317 na página 72 usando o facto de que ele passa pelo ponto P 1 (1, 2 1) e é paralelo aos vectores P 1 P 2 = (1, 1,2) e P 1 P 3 = (2, 3,3) Assim, x = 1 + t + 2s y = 2 + t 3s, para todo t, s R z = 1 + 2t + 3s Exemplo 319 Para encontrarmos as equações paramétricas do plano do Exemplo 316 na página 72 podemos resolver a equação geral do plano 4x + 2y 5z + 25 = 0 Podemos proceder como no caso de sistemas lineares e considerar as variáveis y e z livres: y = t e z = s Assim, x = 25 4 1 2 t + 5 4 s e portanto x = 25 4 1 2 t + 5 4 s y = t z = s, para todo t, s R são equações paramétricas do plano Destas equações obtemos que os vectores v 1 = ( 1 2,1, 0) e v 2 = ( 5,0, 1) são 4 paralelos ao plano 322 Equação da Recta Vamos supor que uma recta r é paralela a um vector v = (a, b, c) não nulo e que passa por um ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) Um ponto P(x, y, z) pertence à recta r se, e somente se, o vector P 0 P é paralelo ao vector v, isto é, se, e somente se, o vector P 0 P é um múltiplo escalar de v, ou seja, Em termos de componentes, (3216) pode ser escrito como P 0 P = t v (3216) (x x 0, y y 0, z z 0 ) = (ta, tb, tc), de onde segue que x x 0 = ta, y y 0 = tb e z z 0 = tc Isto prova o resultado seguinte Teorema 39 As equações x = x 0 + ta y = y 0 + tb, z = z 0 + tc para todo t R, (3217) são de uma recta r que passa por um ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e é paralela ao vector v = (a, b, c) As equações (3217) são chamadas equações paramétricas da recta r O vector v = (a, b, c) é chamado vector director da recta r O parâmetro t pode ser interpretado como o instante de tempo, se o ponto P(x, y, z) descreve o movimento de uma partícula em movimento rectilíneo uniforme com vector velocidade v = (a, b, c) Observe que para t = 1, P(x, y, z) = (x 0 + a, y 0 + b, z 0 + c), para t = 2, P(x, y, z) = (x 0 + 2a, y 0 + 2b, z 0 + 2c) e assim por diante As equações (3217), podem ser reescritas como (x, y, z) = (x 0 + at, y 0 + bt, z 0 + ct)

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 75 Exemplo 320 A recta que passa por P 0 (1, 2, 3) e é paralela ao vector v = (4, 5, 7) tem equações paramétricas x = 1 + 4t y = 2 + 5t, para todo t R, z = 3 7t Exemplo 321 Vamos encontrar as equações paramétricas da recta r que passa pelos pontos P 1 (2, 4, 1) e P 2 (5, 0,7) O vector P 1 P 2 = (5 2, 0 4, 7 ( 1)) = (3, 4, 8) é paralelo a r e o ponto P 1 (2, 4, 1) pertence a r Portanto, as equações paramétricas de r são x = 2 + 3t y = 4 4t, para todo t R z = 1 + 8t Podemos também encontrar a intersecção da recta r com os planos coordenados xy, yz e xz A equação do plano xy é z = 0, do plano yz é x = 0 e do plano xz é y = 0 Substituindo z = 0 nas equações de r, obtemos t = 1/8, x = 19/8 e y = 7/2, ou seja, o ponto de intersecção de r com o plano xy é (x, y, z) = ( 19 8, 7 2,0) De forma análoga, encontramos que (x, y, z) = (0, 20 3, 19 ) é o ponto de intersecção de r com o plano yz e 3 (x, y, z) = (5, 0, 7) é o ponto de intersecção de r com o plano xz Observação 33 Não faz sentido dizer que o vector está contido na recta Por um lado, a recta é um conjunto de pontos e por outro um vector não tem posição fixa Equações Normais da Recta Se todas componentes do vector director da recta r são não nulos, podemos resolver cada equação em (3217) para t e igualar os resultados obtendo o que chamamos de equações normais da recta x x 0 a = y y 0 b = z z 0 (3218) c No Exemplo 321, as equações normais de r são: x 2 3 = y 4 4 = z + 1 8 Se uma das componentes do vector director da recta r for nula, nas equações normais correspondentes o denominador será nulo Neste caso, o numerador também deverá ser nulo Por exemplo, se c = 0 na equação (3218), teremos x x 0 a = y y 0 b e z = z 0 Exemplo 322 Vamos encontrar equações normais da recta r que passa pelos pontos P 1 (3, 0, 2) e P 2 (3, 3,3) O vector P 1 P 2 = (3 3,3 0,3 2) = (0, 3,1) é paralelo à recta r e o ponto P 1 (3, 0, 2) pertence à recta Portanto, equações normais de r são y 3 = z 2 e x = 3 Exemplo 323 Vamos encontrar as equações paramétricas da recta r, intersecção dos planos π 1 : 3x y + z = 0, π 2 : x + 2y z = 1 (3219) Vectores normais destes planos são n 1 = (3, 1, 1) e n 2 = (1, 2, 1)

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 76 A recta r está contida em ambos os planos Portanto é perpendicular a ambos os vectores normais Assim, a recta r é paralela ao produto vectorial n 1 n 2 (Teorema 35 (c) na página 63) ( ) n 1 1 1 3 1 3 1 n 2 = det, det,det = ( 1, 4,7) 2 1 1 1 1 2 Assim, v = n 1 n 2 = ( 1, 4, 7) é um vector director de r Agora, precisamos encontrar um ponto da recta r Este ponto é uma solução particular do sistema { 3x y + z = 0, (3220) x + 2y z = 1 Para encontrar uma solução particular do sistema, atribuímos um valor a uma das incógnitas (neste exemplo podemos fazer z = 0) e resolvemos o sistema obtido, que é de duas equações e duas incógnitas { 3x y = 0, x + 2y = 1 Obtemos então, x = 1 7 e y = 3 7, ou seja, o ponto P 0( 1 7, 3,0) é um ponto da recta r, pois é uma solução particular 7 do sistema (3220) Assim, as equações paramétricas de r são x = 1 7 t y = 3 7 + 4t, z = 7t para todo t R (3221) Alternativamente, podemos encontrar as equações paramétricas de r determinando a solução geral do sistema (3219) Para isto devemos escalonar a matriz do sistema (3219): 3 1 1 0 1 2 1 1 Vamos escolher para pivot o elemento de posição 2, 1 Precisamos colocá-lo na primeira linha Para isto, trocamos a 2 a linha com a 1 a 1 a linha 2 a 1 2 1 1 linha 3 1 1 0 Agora, precisamos anular o outro elemento da 1 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos à 2 a linha, 3 vezes a 1 a linha 3 1 a linha + 2 a linha 2 a 1 2 1 1 linha 0 7 4 3 Agora, já podemos obter facilmente a solução geral do sistema dado, já que ele é equivalente ao sistema { x + 2y z = 1 7y + 4z = 3 A variável z é uma variável livre Podemos dar a ela um valor arbitrário, digamos t, para t R qualquer Assim, a solução geral do sistema dado é x = 1 7 1 7 t y = 3 7 + 4 7 t, z = t para todo t R (3222) Estas equações são diferentes das equações (3221), mas representam a mesma recta, pois os vectores directores obtidos das duas equações são paralelos e o ponto P 0 ( 1 7, 3,0) satisfaz também as equações (3222) Poderíamos 7 dizer que (3221) e (3222) representam rectas coincidentes O próximo exemplo mostra como encontrar a equação da recta que é perpendicular a duas rectas Exemplo 324 Achar as equações da recta r 3 que intercepta as rectas x = 1 + 2t r 1 : y = 1 + t, para todo t R, z = 0 e e é perpendicular a ambas r 2 : x 2 = y 4 2 e z = 3

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 77 Um ponto qualquer da recta r 1 é descrito por P r1 ( 1 + 2t, 1 + t, 0) e um ponto qualquer da recta r 2 é da forma P r2 (2 + s,4 + 2s,3) Aqui é necessário o uso de um parâmetro diferente para a recta r 2 O vector P r1 P r2 = (3 + s 2t, 3 + 2s t, 3) liga um ponto qualquer de r 1 a um ponto qualquer de r 2 Vamos determinar t e s tais que o vector P r1 P r2 seja perpendicular ao vector director v 1 = (2, 1,0) de r 1 e ao vector director v 2 = (1, 2, 0) de r 2, ou seja, temos que resolver o sistema { P r1 P r2 v 1 = 9 + 4s 5t = 0 P r1 P r2 v 2 = 9 + 5s 4t = 0 A solução deste sistema é t = 1, s = 1 Logo, P r1 (1, 2, 0), P r2 (1, 2,3) e v 3 = P r1 P r2 = (0, 0, 3) Assim as equações paramétricas da recta procurada são x = 1 y = 2 z = 3t para todo t R Esta solução usou o facto de que as rectas são enviesadas, isto é, elas não são paralelas, mas também não se interceptam Como seria a solução se elas se interceptassem? Por exemplo se a recta r 2 fosse dada por r 2 : x 2 = y 4 e z = 0? 2 Exercícios Numéricos 321 Faça um esboço dos seguintes planos: (a) 2x + 3y + 5z 1 = 0 (e) 3x + 2y 1 = 0 (b) x 2y + 4z = 0 (f) 5y 2 = 0 (c) 3y + 2z 1 = 0 (g) 3z 2 = 0 (d) 2x + 3z 1 = 0 (h) 2x 1 = 0 322 Faça um esboço das rectas dadas a seguir: (a) (x, y, z) = (1 + 2t, 3 2 + t, 3 + 3 t) 2 (e) (x, y, z) = (1 + 2t, 2 + t, 3) (b) (x, y, z) = (2t, t, 3 t) 2 (f) (x, y, z) = (1, 2, 3 + 2t) (c) (x, y, z) = (1 + t, 2, 3 + 2t) (g) (x, y, z) = (1, 2 + 2t, 3) (d) (x, y, z) = (1, 2 + 2t, 3 + t) (h) (x, y, z) = (1 + 2t, 2,3) 323 Ache a equação do plano paralelo ao plano 2x y + 5z 3 = 0 e que passa por P(1, 2, 1) 324 Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P(2, 1, 0) e é perpendicular aos planos x + 2y 3z + 2 = 0 e 2x y + 4z 1 = 0 325 Encontrar a equação do plano que passa pelos pontos P(1,0, 0) e Q(1, 0,1) e é perpendicular ao plano y = z 326 Determine a intersecção da recta que passa pela origem e tem vector director v = i + 2 j + k com o plano 2x + y + z = 5 327 Verifique se as rectas r : (x, y, z) = (9t, 1 + 6t, 2 + 3t) e s : (x, y, z) = (1 + 2t, 3 + t, 1) se interceptam e em caso afirmativo determine a intersecção (Sugestão: a questão é se as trajectórias se cortam e não se as partículas se chocam, ou seja, elas não precisam estar num ponto no mesmo instante) 328 Dadas as rectas x 2 r : = y 2 2 = z e s : x 2 = y = z, obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s 329 Sejam P(4, 1, 1) e r : (x, y, z) = (2 + t, 4 t, 1 + 2t) (a) Mostre que P r (b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P 3210 Dados os planos π 1 : x y + z + 1 = 0 e π 2 : x + y z 1 = 0, determine o plano que contém π 1 π 2 e é ortogonal ao vector ( 1, 1, 1) 3211 Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma recta? (a) x + 2y 3z 4 = 0 e x 4y + 2z + 1 = 0 (b) 2x y + 4z + 3 = 0 e 4x 2y + 8z = 0 (c) x y = 0 e x + z = 0 3212 Encontre as equações da recta que passa pelo ponto Q(1, 2,1) e é perpendicular ao plano x y + 2z 1 = 0

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 78 3213 Ache a equação da recta que passa pelo ponto P(1,0, 1) e é paralela aos planos 2x + 3y + z + 1 = 0 e x y + z = 0 3214 Seja r a recta determinada pela intersecção dos planos x + y z = 0 e 2x y + 3z 1 = 0 Ache a equação do plano que passa por A(1, 0, 1) e contém a recta r 3215 Sejam r e s rectas enviesadas passando por A(0, 1, 0) e B(1, 1, 0) e por C( 3, 1, 4) e ( 1, 2, 7), respectivamente Obtenha uma equação da recta concorrente com r e s e paralela ao vector v = (1, 5, 1) 3216 (a) Mostre que os planos 2x y + z = 0 e x + 2y z = 1 se interceptam segundo uma recta r (b) Ache a equação da recta que passa pelo ponto A(1, 0, 1) e intercepta a recta r ortogonalmente 3217 Considere as rectas (x, y, z) = t(1, 2, 3) e (x, y, z) = (0, 1, 2)+s(2, 4, 6) Encontre a equação geral do plano que contém estas duas rectas 3218 Determine as equações paramétricas da recta intersecção dos planos: (a) x + 2y 3z 4 = 0 e x 4y + 2z + 1 = 0; (b) x y = 0 e x + z = 0 3219 Considere o plano π : 2x + 2y z = 0 (a) Determine as rectas r, intersecção do plano π com o plano yz, s, intersecção do plano π com o plano xz e t, intersecção do plano π com o plano z = 2 Desenhe um esboço do plano π mostrando as rectas r, s e t (b) Determine o volume do tetraedro determinado pelo plano π, os planos coordenados xz e yz e o plano z = 2 (Sugestão: este volume é igual a 1/6 do volume do paralelepípedo determinado por OA, OB e OC, em que O(0, 0, 0), A é o ponto intersecção do eixo z com o plano z = 2, B é a intersecção das rectas r e t e C é a intersecção das rectas s e t) (c) Determine a área da face do tetraedro contida no plano π (d) Determine a altura do tetraedro relativa a face contida no plano π (Sugestão: a recta ortogonal ao plano π que passa pelo ponto A intercepta o plano π num ponto P de forma que a altura procurada é igual a AP ) 3220 Achar as equações da recta que intercepta as rectas r 1 e r 2 e é perpendicular a ambas (a) (b) e e r 1 : r 1 : x = 1 + t y = 2 + 3t z = 4t r 2 : x + 1 = y 1 2 x = 1 + t y = 2 + 3t z = 4t r 2 : x = y 4 2, para todo t R = z + 2 3, para todo t R = z 3 3 Exercícios usando o Matlab R Comandos do Matlab R : >> V=v1,v2,v3 cria um vector V, usando as componentes numéricas v1, v2, v3 Por exemplo >> V=1,2,3 cria o vector v = (1, 2, 3); >> V+W é a soma de V e W; >> V-W é a diferença V menos W; >> num*v é o produto do vector V pelo escalar num; >> subs(expr,x,num) substitui x por num na expressão expr; >> solve(expr) determina a solução da equação expr=0; Comandos numéricos do pacote GAAL: >> no(v) calcula a norma do vector V >> pe(v,w) calcula o produto escalar do vector V pelo vector W

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 79 >> pv(v,w) calcula o produto vectorial do vector V pelo vector W >> subst(expr,x,y,z,a,b,c) substitui na expressão expr as variáveis x,y,z por a,b,c, respectivamente Comandos gráficos do pacote GAAL: >> lin(p,v) desenha a recta que passa por P com direcção V >> lin(p1,v1,p2,v2) desenha rectas que passam por P1, P2, direcções V1, V2 >> plan(p,n) desenha o plano que passa por P com normal N >> plan(p1,n1,p2,n2) desenha planos que passam por P1, P2, normais N1, N2 >> plan(p1,n1,p2,n2,p3,n3) desenha planos que passam por P1, P2 e P3 com normais N1, N2 e N3 >> poplan(p1,p2,n2) desenha ponto P1 e plano passando por P2 com normal N2 >> poline(p1,p2,v2) desenha ponto P2 e recta passando por P2 com direcção V2 >> lineplan(p1,v1,p2,n2) desenha recta passando por P1 com direcção V1 e plano passando por P2 com normal N2 >> axiss reescala os eixos com a mesma escala >> rota faz uma rotação em torno do eixo z 3221 Digite no prompt demog22, (sem a vírgula!) Esta função demonstra as funções gráficas para visualização de rectas e planos 3222 Use o Matlab R para resolver os Exercícios Numéricos Exercícios Teóricos 3223 Seja ax + by + cz + d = 0 a equação de um plano π que não passa pela origem e corta os três eixos (a) Determine a intersecção de π com os eixos (b) Se P 1 (p 1,0, 0), P 2 (0, p 2, 0) e P 3 (0, 0, p 3 ) são as intersecções de π com os eixos, a equação de π pode ser posta sob a forma x p 1 + y p 2 + z p 3 = 1 33 Ângulos e Distâncias 331 Ângulos Ângulo entre Rectas Com duas rectas no espaço pode ocorrer um dos seguintes casos: (a) as rectas se interceptam em um ponto, ou seja, são concorrentes; (b) as rectas são paralelas (ou coincidentes); (c) As rectas são enviesadas, isto é, não são paralelas mas também não se interceptam Se as rectas se interceptam, então elas determinam quatro ângulos, dois a dois opostos pelo vértice O ângulo entre elas é definido como sendo o menor destes ângulos Se as rectas r 1 e r 2 são enviesadas, então por um ponto P de r 1 passa um recta r 2 que é paralela a r 2 O ângulo entre r 1 e r 2 é definido como sendo o ângulo entre r 1 e r 2 (Figura 326) Se as rectas são paralelas o ângulo entre elas é igual a zero z r 2 r 2 v 2 x P v 1 θ r 1 y

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 80 Figura 326: O ângulo entre duas rectas enviesadas r 1 e r 2 Em qualquer dos casos, se v 1 e v 2 são vectores paralelos a r 1 e r 2, respectivamente, então o cosseno do ângulo entre elas é cos(r 1, r 2 ) = cos θ, em que θ é o ângulo entre v 1 e v 2 Lembrando que da definição de produto escalar (Definição 31 na página 60), podemos encontrar o cosseno do ângulo entre dois vectores, ou seja, Isto prova o resultado seguinte cos θ = v 1 v 2 v 1 v 2 Teorema 310 Sejam duas rectas r 1 : x = x 1 + ta 1 y = y 1 + tb 1, e r 2 : z = z 1 + tc 1 O cosseno do ângulo entre r 1 e r 2 é em que v 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e v 2 = (a 2, b 2, c 2 ) cos(r 1, r 2 ) = cos θ = v 1 v 2 v 1 v 2, x = x 2 + ta 2 y = y 2 + tb 2, para todo t R z = z 2 + tc 2 Exemplo 325 Encontrar o ângulo entre a recta { x + y z + 1 = 0 r 1 : 2x y + z = 0 e a recta r 2 : x = 2t y = 1 t z = 2 + 3t, para todo t R Vamos encontrar vectores paralelos a estas rectas A recta r 1 é dada como a intersecção de dois planos, portanto o produto vectorial dos vectores normais dos dois planos é paralelo a r 1 n 1 = (1, 1, 1), n 2 = (2, 1,1), ( v 1 = n 1 n 2 = det 1 1 1 1, det é paralelo a r 1 e v 2 = (2, 1, 3) é paralelo a r 2 Assim, cos(r 1, r 2 ) = = 1 1 2 1,det 1 1 2 1 ) v 1 v 2 v 1 v 2 = 0 2 + ( 3) ( 1) + ( 3) 3 0 2 + ( 3) 2 + ( 3) 2 2 2 + ( 1) 2 + 3 2 6 = 1 18 14 7 = (0, 3, 3) Portanto, o ângulo entre r 1 e r 2 é arccos( 1 7 ) 67 o Ângulo entre Planos Sejam π 1 e π 2 dois planos com vectores normais n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e n 2 = (a 2, b 2, c 2 ), respectivamente O ângulo entre π 1 e π 2 é definido como o ângulo entre duas rectas perpendiculares a eles Como toda recta perpendicular a π 1 tem n 1 como vector director e toda recta perpendicular a π 2 tem n 2 como vector director, então o cosseno do ângulo entre eles é dado por cos(π 1, π 2 ) = cos θ, em que θ é o ângulo entre os vectores normais n 1 e n 2 de π 1 e π 2, respectivamente (Figura 327) Portanto, o cosseno do ângulo entre π 1 e π 2 é cos(π 1, π 2 ) = n 1 n 2 n 1 O que prova o resultado seguinte n 2

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 81 Teorema 311 Sejam dois planos O cosseno do ângulo entre π 1 e π 2 é r 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, r 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 cos(π 1, π 2 ) = n 1 n 2 n 1 n 2, em que n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e n 2 = (a 2, b 2, c 2 ) são os vectores normais de π 1 e π 2, respectivamente n 1 n 2 π 2 θ θ π 1 Figura 327: O ângulo entre dois planos Dois planos π 1 e π 2 ou são paralelos ou se cortam segundo um recta Eles são paralelos se, e somente se, os vectores normais de π 1 e π 2, são paralelos, ou seja, um vector é um múltiplo escalar do outro Assim, π 1 e π 2 são paralelos se, e somente se, o ângulo entre eles é igual a zero Exemplo 326 Determinar o ângulo entre os planos cujas equações são π 1 : x + y + z = 0, π 2 : x y z = 0 Os vectores normais a estes planos são os vectores cujas componentes são os coeficientes de x, y e z nas equações dos planos, ou seja, n 1 = (1, 1,1) e n 2 = (1, 1, 1) Assim, o cosseno do ângulo entre π 1 e π 2 é Portanto, o ângulo entre eles é cos(π 1, π 2 ) = n 1 n 2 n 1 n 2 = 1 3 3 = 1 3 arccos( 1 3 ) 70o Ângulo entre Recta e Plano O ângulo entre uma recta e um plano é definido como sendo o ângulo θ que a recta faz com o plano (Figura 328) Sejam r e π uma recta e um plano, respectivamente, tais que v = (v 1, v 2, v 3 ) e n = (n 1, n 2, n 3 ) são o vector director da recta e o vector normal ao plano Como o ângulo entre o vector normal e o plano é de 90 o graus, temos que v n = v ( π ) n cos 2 θ, onde θ é o ângulo entre a recta e o plano Mas ( π ) cos 2 θ = cos π 2 cos θ + sin π sinθ = sin θ, 2

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 82 donde concluímos que sin(r, π) = sin θ = v n v n n = (n1, n 2, n 3 ) r π θ v = (v1, v 2, v 3 ) Figura 328: O ângulo entre recta e plano Exemplo 327 Determinar o ângulo entre a recta de equação e o plano de equação r : x 1 2 = y 3 2 = z + 7 1 π : x y + z = 0 O vector director da recta é v = (2, 2, 1) e o vector normal do plano é n = (1, 1, 1) Assim, o seno do ângulo entre r e π é sin(r, π) = v n v n = 3 3 = 9 3 3 Portanto, o ângulo entre eles é arcsin( 3 3 ) 35o 332 Distâncias Distância de um Ponto a um Plano Sejam P 0 (x 0, y 0, z 0 ) um ponto qualquer e π : ax + by + cz + d = 0 um plano A distância de P 0 a π é definida como sendo a distância de P 0 até o ponto de π mais próximo de P 0 Dado um ponto P 1 (x 1, y 1, z 1 ) de π, podemos decompor o vector P 1 P 0 em duas parcelas, uma na direcção do vector normal de π, n = (a, b, c) e outra perpendicular a ele A componente na direcção do vector n é a projecção ortogonal de P 1 P 0 em n Como vemos na Figura 329, a distância de P 0 a π é igual à norma da projecção, ou seja, dist(p 0, π) = proj n P 1 P 0 Mas, pelo Teorema 34 na página 62, temos que ( P 1 P 0 ) n proj n P 1 P 0 = n n 2 = P 1 P 0 n n O que prova o resultado seguinte

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 83 Teorema 312 Sejam P 0 (x 0, y 0, z 0 ) um ponto qualquer e π : ax + by + cz + d = 0 um plano A distância de P 0 a π é dada por dist(p 0, π) = proj n P 1 P 0 = P 1 P 0 n, n em que n = (a, b, c) e P 1 (x 1, y 1, z 1 ) é um ponto de π (isto é, um ponto que satisfaz a equação de π) P 0 (x 0, y 0, z 0 ) n = (a, b, c) dist(p0, π) proj n P 1 P 0 π P 1 (x 1, y 1, z 1 ) Figura 329: Distância de um ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) a um plano π Exemplo 328 Calcular a distância entre o ponto P 0 (1, 2, 3) ao plano π : x 2y + z 1 = 0 Fazendo z = 0 e y = 0 na equação de π, obtemos x = 1 Assim, o ponto P 1 (1, 0,0) pertence a π P 1 P 0 = (1 1,2 0,3 0) = (0, 2,3) e n = (1, 2, 1) Assim, dist(p 0, π) = proj n P 1 P 0 = P 1 P 0 n = n 0 1 + 2 ( 2) + 3 1 1 2 + ( 2) 2 + 1 2 = 1 6 = 1 6 Distância de um Ponto a uma Recta Sejam P 0 (x 0, y 0, z 0 ) um ponto qualquer e r uma recta A distância de P 0 a r é definida como a distância de P 0 ao ponto de r mais próximo de P 0 Dado um ponto qualquer P 1 (x 1, y 1, z 1 ) de r podemos decompor o vector P 1 P 0 em duas parcelas, uma na direcção do vector director v de r e outra perpendicular a ele A componente na direcção do vector v é a projecção ortogonal de P 1 P 0 em v Como vemos na Figura 330, (dist(p 0, r)) 2 + proj v P 1 P 0 2 = P 1 P 0 2, ou seja, (dist(p 0, r)) 2 = P 1 P 0 2 proj v P 1 P 0 2 (3323) Mas, pelo Teorema 34 na página 62, temos que ( proj v P 1 P 0 2 P 1 P 0 v = v 2 ) 2 v = ( P 1 P 0 v ) 2 v 2

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 84 Substituindo esta expressão em (3323) e usando a definição do produto escalar na página 60 e da norma do produto vectorial na página 62 obtemos (dist(p 0, r)) 2 = P 1 P 0 2 ( P 1 P 0 v ) 2 v 2 = P 1 P 0 2 v 2 ( P 1 P 0 v ) 2 v 2 = P 1 P 0 2 v 2 P 1 P 0 2 v 2 cos 2 θ v 2 = P 1 P 0 2 v 2 sin 2 θ v 2 = P 1 P 0 v 2 v 2 Isto prova o resultado seguinte Teorema 313 Sejam P 0 (x 0, y 0, z 0 ) um ponto qualquer e x = x 1 + ta r : y = y 1 + tb z = z 1 + tc uma recta A distância de P 0 a r é dada por, para todo t R dist(p 0, r) = P 1 P 0 v, v em que v = (a, b, c) é um vector director e P 1 (x 1, y 1, z 1 ) é um ponto da recta r P 0 (x 0, y 0, z 0 ) P 1 P 0 dist(p0, r) r proj v P 1P 0 v = (a, b, c) P 1 (x 1, y 1, z 1 ) Figura 330: Distância de um ponto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) a uma recta r Exemplo 329 Calcular a distância do ponto P 0 (1, 1,2) à recta x = 1 + 2t r : y = t, para todo t R z = 2 3t Um vector director da recta r é v = (2, 1, 3) e um ponto de r é P 1 (1, 0, 2) Assim, P 1 P 0 = (1 1, 1 0, 2 2) = (0, 1, 0), P 1 P 0 v = (3, 0, 2), P 1 P 0 v = 13 e v = 14 Portanto, dist(p 0, r) = P 1 P 0 v 13 = v 14 Distância entre dois Planos Sejam dois planos π 1 e π 2 quaisquer A distância entre π 1 e π 2 é definida como a menor distância entre dois pontos, um de π 1 e outro de π 2

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 85 Se os seus vectores normais não são paralelos, então os planos são concorrentes e neste caso a distância entre eles é igual a zero Se os seus vectores normais são paralelos, então os planos são paralelos (ou coincidentes) e a distância entre π 1 e π 2 é igual à distância entre um ponto de um deles, por exemplo P 2 de π 2, e o ponto de π 1, mais próximo de P 2 (Figura 331) Mas, esta distância é igual à distância de P 2 a π 1 Vamos ver isto em um exemplo P 2 π 2 dist(π1, π2) proj n 1 P 1 P 2 n 1 π 1 P 1 Figura 331: Distância entre dois planos Exemplo 330 Os planos π 1 : x + 2y 2z 3 = 0 e π 2 : 2x + 4y 4z 7 = 0 são paralelos, pois os seus vectores normais n 1 = (1, 2, 2) e n 2 = (2, 4, 4) são paralelos (um é múltiplo escalar do outro) Vamos encontrar a distância entre eles Vamos encontrar dois pontos quaisquer de cada um deles Fazendo z = 0 e y = 0 em ambas as equações obtemos x 1 = 3 e x 2 = 7/2 Assim, P 1 (3, 0,0) pertence a π 1 e P 2 (7/2, 0,0) pertence a π 2 Portanto, pelo Teorema 312 temos que dist(π 1, π 2 ) = dist(π 1, P 2 ) = proj n 1 P 1 P 2 = P 1 P 2 n 1 n 1 = (7/2 3, 0 0, 0 0) (1, 2, 2) 1 2 + 2 2 + ( 2) 2 = (1/2) 1 + 0 2 + 0 ( 2) 9 = 1 6 Distância entre duas rectas Sejam r 1 e r 2 duas rectas quaisquer A distância entre r 1 e r 2 é definida como a menor distância entre dois pontos, um de r 1 e outro de r 2 r 2 P 2 P 1 P 2 dist(r1, r2) r 1 proj v 1 P 1P 2 v 1 P 1 Figura 332: Distância entre duas rectas Para calcular a distância entre duas rectas, vamos dividir em dois casos:

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 86 (a) se os vectores directores são paralelos, então as rectas r 1 e r 2 são paralelas (ou coincidentes) Neste caso, a distância entre elas é igual à distância entre um ponto de r 2 e a recta r 1, ou vice-versa, entre um ponto de r 1 e a recta r 2 (Figura 332) Assim, pelo Teorema 313 na página 84, temos que dist(r 1, r 2 ) = dist(p 1, r 2 ) = P 1 P 2 v 2, (3324) v 2 em que P 1 e P 2 são pontos de r 1 e r 2 e v 1 e v 2 são vectores directores de r 1 e r 2, respectivamente (b) Se os vectores directores não são paralelos, então elas são enviesadas ou concorrentes Os dois casos podem ser resolvidos da mesma forma Estas rectas definem dois planos paralelos (que podem ser coincidentes, no caso em que elas são concorrentes) Um é o plano que contém r 1 e é paralelo a r 2, vamos chamá-lo de π 1 O outro, contém r 2 e é paralelo a r 1, π 2 O vector n = v 1 v 2, é normal (ou perpendicular) a ambos os planos, em que v 1 e v 2 são os vectores directores de r 1 e r 2, respectivamente Assim, a distância entre as rectas é igual à distância entre estes dois planos (Figura 333), ou seja, dist(r 1, r 2 ) = dist(π 1, π 2 ) = dist(π 1, P 2 ) = P 1 P 2 n = P 1 P 2 ( v 1 v 2 ) n v 1, (3325) v 2 em que P 1 e P 2 são pontos de r 1 e r 2 e v 1 e v 2 são vectores directores de r 1 e r 2, respectivamente Observe que se as rectas são concorrentes a distância entre elas é zero, pois os vectores P 1 P 2, v 1 e v 2 são coplanares e P 1 P 2 ( v 1 v 2 ) = 0 (Corolário 371 na página 66) r 2 v 2 P 2 v v 2 dist(r1, r2) r 1 P 1 v 1 Figura 333: Distância entre duas rectas enviesadas Exemplo 331 Vamos determinar a distância entre as rectas e r 2 : r 1 : x 1 4 x = 1 + 2t y = t z = 2 3t = y + 1 2 = z 2 6, para todo t R As rectas são paralelas, pois seus vectores directores v 1 = (4, 2, 6) v 2 = (2, 1, 3) são paralelos (um é um múltiplo escalar do outro, ou ainda, as componentes correspondentes são proporcionais) Além disso, o ponto P 1 (1, 1, 2) pertence à recta r 1 Como dissemos acima, a distância de r 1 a r 2 é igual à distância entre um ponto de r 2 e a recta r 1 (Figura 332) Assim, pelo Teorema 313 na página 84, temos que dist(r 1, r 2 ) = dist(p 1, r 2 ) = P 1 P 2 v 2 = v 2 As contas são as mesmas do Exemplo 329 na página 84 Exemplo 332 Determinar a distância entre as rectas e r 2 : r 1 : x + 1 3 x = t y = 2t z = 1 t = y 1 2 = z, para todo t R 13 14

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 87 As rectas r 1 e r 2 são paralelas aos vectores v 1 = (3, 2, 1) e v 2 = (1, 2, 1) e passam pelos pontos P 1 ( 1, 1,0) e P 2 (0, 0, 1), respectivamente As rectas não são paralelas, pois seus vectores directores não são paralelos (observe que a 1 a componente de v 1 é 3 vezes a 1 a componente de v 2, mas as 2 a s componentes são iguais) Logo, Um vector perpendicular a ambas as rectas é P 1 P 2 = (0 ( 1), 0 1, 1 0) = (1, 1, 1) n = v 1 v 2 = ( 4, 4,4) Este vector é normal aos planos π 1 (que contém r 1 e é paralelo a r 2 ) e π 2 (que contém r 2 e é paralelo a r 1 ) (veja a Figura 333) Assim, dist(r 1, r 2 ) = dist(π 1, π 2 ) = dist(π 1, P 2 ) = P 1 P 2 n n = 1 ( 4) + ( 1) 4 + 1 4 ( 4) 2 + 4 2 + 4 2 = 4 4 3 = 1 3 Exercícios Numéricos 331 Considere os vectores v = i + 3 j + 2 k, w = 2 i j + k e u = i 2 j Seja π um plano paralelo aos vectores w e u e r uma recta perpendicular ao plano π Ache a projecção ortogonal do vector v sobre a recta r, ou seja, a projecção ortogonal de v sobre o vector director da recta r 332 Encontrar o ângulo entre o plano 2x y + z = 0 e o plano que passa pelo ponto P(1,2, 3) e é perpendicular ao vector i 2 j + k 333 Seja π 1 o plano que passa pelos pontos A(1,1, 1), B(1, 0,1), C(1, 1,0) e π 2 o plano que passa pelos pontos P(0,0, 1) e Q(0, 0,0) e é paralelo ao vector i + j Ache o ângulo entre π 1 e π 2 334 Ache uma recta que passa pelo ponto (1, 2,3) e que forma ângulos de 45 o e 60 o com os eixos x e y, respectivamente 335 Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero ABC, sendo A(1, 1, 0) e sabendo que o lado BC está contido na recta r : (x, y, z) = t(0, 1, 1) (Sugestão: Determine os pontos P r da recta r tais que P ra faz ângulo de 60 o e 120 o com o vector director da recta r) 336 Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à recta que une os pontos A(1, 0,0) e B(0, 1, 0) Encontre a distância do ponto C(1, 0, 1) ao plano π 337 Seja r 1 a recta que passa pelos pontos A(1, 0, 0) e B(0, 2,0), e r 2 a recta x 2 = y 3 2 = z 4 3 (a) Encontre as equações da recta perpendicular às rectas r 1 e r 2 (b) Calcule a distância entre r 1 e r 2 338 Dados A(0, 2, 1), r : X = (0, 2, 2) + t(1, 1, 2), ache os pontos de r que distam 3 de A A distância do ponto A à recta r é maior, menor ou igual a 3? Por quê? 339 Dada a recta r : X = (1, 0,0) + t(1, 1, 1) e os pontos A(1, 1,1) e B(0, 0, 1), ache o ponto de r equidistante de A e B 3310 Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A(1, 1, 2) e B(4, 3, 1) Este plano passa pelo ponto médio de AB? Ele é perpendicular ao segmento AB? 3311 Considere as rectas (x, y, z) = t(1, 2, 3) e (x, y, z) = (0, 1, 2)+s(2, 4, 6) Encontre a equação geral do plano que contém estas duas rectas 3312 Ache as equações dos planos em R 3 ortogonais ao vector (2, 2,2), que distam 3 do ponto (1, 1,1) 3313 Obtenha uma equação geral do plano π, que contém a recta { x 2y + 2z = 0 r : 3x 5y + 7z = 0 e forma com o plano π 1 : x + z = 0 um ângulo de 60 o

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 88 Exercícios usando o Matlab R 3314 Use o Matlab R para resolver os Exercícios Numéricos Exercícios Teóricos 3315 Prove que o lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam de dois pontos distintos A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x 2, y 2, z 2 ) é um plano que passa pelo ponto médio do segmento AB e é perpendicular a ele Esse plano é chamado plano mediador do segmento AB 3316 Mostre que a distância de um ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) a um plano π : ax + by + cz + d = 0 é dist(p 0, π) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2 3317 Mostre que a distância entre dois planos paralelos π 1 : ax + by + cz + d 1 = 0 e π 2 : ax + by + cz + d 2 = 0 é dist(π 1, π 2 ) = d 1 d 2 a 2 + b 2 + c 2 3318 Mostre que a distância entre duas rectas não paralelas r 1 : (x, y, z) = (x 1 + ta 1, y 1 + tb 1, z 1 + tc 1 ) e r 2 : (x, y, z) = (x 2 + ta 2, y 2 + tb 2, z 2 + tc 2 ) é x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 det a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 b 1 c 1 a 1 c 1 a 1 b 1 det + det + det b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 3319 O ângulo entre uma recta r que tem vector director v = (a r, b r, c r) e um plano π que tem vector normal n = (aπ, b π, c π) é definido pelo complementar do ângulo entre uma recta perpendicular ao plano π e a recta r Mostre que sin(r, π) = n v n v 3320 A distância entre uma recta r que passa por um ponto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e tem vector director v = (a r, b r, c r) e um plano π : a πx + b πy + c πz + d π = 0 é definida como a menor distância entre dois pontos um de r e outro de π Se o vector director da recta r, v = (a r, b r, c r), não é ortogonal ao vector normal do plano π, n = (aπ, b π, c π), então a recta e o plano são concorrentes e a distância entre eles é igual a zero Caso contrário, a distância é igual a distância de uma ponto da recta r ao plano π Mostre que a πx 0 + b πy 0 + c πz 0 + d π a 2 dist(r, π) = π + b 2 π +, se n v = 0 c2 π 0, caso contrário 3321 Mostre que a distância de um ponto P 0 (x 0, y 0 ) a uma recta no plano r : ax + by + c = 0 é dist(p 0, r) = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 34 Posições Relativas de Rectas e Planos Posições Relativas de duas Rectas Consideremos duas rectas quaisquer r 1 : relativa destas rectas, vamos dividir em dois casos: OP = OP 1 + t v 1 e r 2 : OP = OP 2 + t v 2 Para estudar a posição (a) se os vectores directores são paralelos, então as rectas são paralelas ou coincidentes (Figura 332 na página 85) Além de paralelas, elas são coincidentes se, e somente se, um ponto de uma recta pertence a outra recta Portanto, se, e somente se, P 1 P 2 é paralelo a v 1 (e a v 2, pois v 1 e v 2 são paralelos) (b) se os vectores directores não são paralelos, então as rectas são enviesadas ou concorrentes (Figura 333 na página 86) i Se os vectores P 1 P 2, v 1 e v 2 são coplanares, ou seja, se P 1 P 2 ( v 1 v 2 ) = 0 (Corolário 371 na página 66), então as rectas são concorrentes

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 89 ii Se os vectores P 1 P 2, v 1 e v 2 não são coplanares, ou seja, se P 1 P 2 ( v 1 v 2 ) 0 (Corolário 371 na página 66), então as rectas são enviesadas Posições Relativas de dois Planos Sejam dois planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 quaisquer (a) Se os seus vectores normais n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e n 2 = (a 2, b 2, c 2 ) não são paralelos, então os planos são concorrentes (Figura 334) π 1 π 2 Figura 334: Dois planos que se interceptam segundo uma recta (b) Se os seus vectores normais são paralelos, ou seja, se n 2 = α n 1, então os planos são paralelos distintos (Figura 331) ou coincidentes Além de paralelos, eles são coincidentes se, e somente se, todo ponto que satisfaz a equação de π 1, satisfaz também a equação de π 2 Assim a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = αa 1 x + αb 1 y + αc 1 z + d 2 = α(a 1 x + b 1 y + c 1 z) + d 2 = α( d 1 ) + d 2 = 0 Portanto, d 2 = αd 1 e as equações de π 1 e π 2 são proporcionais Reciprocamente, se as equações de π 1 e π 2 são proporcionais, então claramente os dois planos são coincidentes Portanto, dois planos são coincidentes se, e somente se, além dos vectores normais serem paralelos, as suas equações são proporcionais Posições Relativas de Recta e Plano Sejam a recta r : (x, y, z) = OP = OP0 + t v e o plano π : ax + by + cz + d = 0 (a) Se o vector director da recta r, v, e o vector normal do plano π, n = (a, b, c), são ortogonais ( v n = 0), então a recta e o plano são paralelos Se além dos vectores v e n serem ortogonais, um ponto qualquer da recta pertence ao plano, por exemplo, se P 0 pertence a π (P 0 satisfaz a equação de π), então a recta está contida no plano (b) Se o vector director da recta r, v, e o vector normal do plano π, n = (a, b, c), não são ortogonais ( v n 0), então a recta é concorrente ao plano (Figura 335) r π Figura 335: Recta e plano concorrentes

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 90 Posições Relativas de três Planos Consideremos três planos π 1, π 2, e π 3 dados pelas equações: π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = d 1 π 2 : a 2 x + b 1 y + c 2 = d 2 (3426) π 3 : a 3 x + b 1 y + c 3 = d 3 Os vectores n i = (a i, b i, c i ) são normais aos planos n i, para i = 1,2, 3 Os três vectores são coplanares ou não são coplanares (a) Se os vectores n 1, n 2 e n 3 não são coplanares, então vamos mostrar que os planos se interceptam dois a dois segundo rectas que se interceptam em um ponto As rectas r = π 1 π 2 e s = π 1 π 3 estão no plano π 1 Vamos mostrar que elas são concorrentes Sejam A e B dois pontos distintos da recta r O vector AB é perpendicular a n 1 e a n 2 Se as rectas r e s fossem paralelas, então AB seria perpendicular também a n 3, ou seja, AB seria perpendicular a três vectores não coplanares o que implicaria que AB = 0 Os vectores n 1, n 2 e n 3 não são coplanares se, e somente se em que A = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 det(a) 0, Neste caso o sistema tem solução única (Figura 336) π 1 π 2 π 3 Figura 336: Três planos que se interceptam segundo um ponto (b) Se os três vectores normais são coplanares, então pode ocorrer uma das seguintes situações: i Os vectores normais são paralelos, ou seja, n 1 = α n 2, n 1 = β n 3 e n 2 = γ n 3 Neste caso, os planos são paralelos Se além disso, exactamente duas das equações são proporcionais, então exactamente dois planos são coincidentes e o sistema não tem solução Se as três equações são proporcionais, então os três planos são coincidentes e o sistema tem infinitas soluções Se não ocorre nenhuma destas situações, os planos são paralelos e distintos e o sistema não tem solução (Figura 337) π 3 π 2 π 1 Figura 337: Três planos paralelos

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 91 ii Exactamente dois vectores normais são paralelos, ou seja, vale uma, e somente uma, equação entre: n 1 = α n 2, n 1 = α n 3 e n 2 = α n 3 Neste caso, exactamente dois planos são paralelos Se além de exactamente dois vectores normais serem paralelos, as equações correspondentes forem proporcionais, então dois planos são coincidentes e o terceiro corta os dois segundo uma recta Neste caso o sistema tem infinitas soluções Se isto não acontece, então os planos paralelos são distintos e o sistema não tem solução (Figura 338) π 3 π 2 π 1 Figura 338: Três planos, sendo dois paralelos iii Os vectores normais são coplanares e quaisquer dois vectores normais não são paralelos, ou seja, det(a) = 0 e quaisquer dois vectores normais não são múltiplos escalares Neste caso, quaisquer dois planos se interceptam segundo rectas que são paralelas Com estas condições podem ocorrer dois casos: os três planos se interceptem segundo uma recta, (Figura 340) ou os planos se interceptem, dois a dois, segundo rectas distintas (Figura 339) No primeiro caso, o sistema (3426) tem infinitas soluções No segundo caso, o sistema não tem solução Figura 339: Planos interceptando-se 2 a 2 Figura 340: Recta intersecção de três planos

Capítulo 3 EspaçosR 2 er 3 92 Exercícios Numéricos 341 (a) Determine as equações da recta r que é a intersecção dos planos: π 1 : x 2y + 2z = 0 π 2 : 3x 5y + 7z = 0 (b) Qual a posição relativa da recta r e do plano y + z = 0 342 Determine a posição relativa das rectas r e s r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, 2, 1), λ R s : (x, y, z) = t(1, 1,0) t R 343 Sejam r 1 : (x, y, z) = (1, 0, 2) + (2t, t,3t) e r 2 : (x, y, z) = (0, 1, 1) + (t, mt, 2mt) duas rectas (a) Determine m para que as rectas sejam coplanares (não sejam enviesadas) (b) Para o valor de m encontrado, determine a posição relativa entre r 1 e r 2 (c) Determine a equação do plano determinado por r 1 e r 2 344 Sejam a recta r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + (2t, mt, t) e o plano π : 2x y 2z = 0 Determine o valor de m para que a recta seja paralela ao plano Para o valor de m encontrado a recta está contida no plano? 345 Caso exista, determine o ponto de intersecção das rectas dadas pelas equações r 1 : (x, y, z) = (1, 1, 1)+t(1, 2,0) e r 2 : (x, y, z) = (2, 3,1) + m(1, 1,1) 346 Determine a posição relativa das rectas dadas pelas equações x 1 = y 1 = z e x 3 = y 4 = z 1 2 3 4 6 2 347 Determine a posição relativa das rectas dadas pelas equações (x, y, z) = (4, 2, 0)+t(4, 4, 1) e (x, y, z) = (2, 6, 1)+ m(2, 8, 2) 348 Uma recta r passa pelos pontos M(1, 2, 0) e N(3, 4, 5); uma recta s passa pelos pontos P(3, 1,2) e Q cuja abcissa é 2 Achar o ponto Q de modo a que a recta s seja paralela à recta r 349 Dê a posição relativa dos seguintes ternos de planos: (a) 2x + y + z = 1, x + 3y + z = 2, x + y + 4z = 3 (b) x 2y + z = 0,2x 4y + 2z = 1, x + y = 0 (c) 2x y + z = 3,3x 2y z = 1, 2x y + 3z = 7 (d) 3x + 2y z = 8, 2x 5y + 2z = 3, x y + z = 1 (e) 2x y + 3z = 2, 3x + y + 2z = 4, 4x 2y + 6z = 3 (f) 4x + 2y 4z = 6, 3x + y + 2z = 2,2x y + 2z = 3 (g) 6x 3y + 9z = 3, 4x 2y + 6z = 5, 2x y + 3z = 2 (h) x 2y + 3z = 2, 3x + y 2z = 1, 5x 3y + 4z = 4 Teste do Capítulo 1 Mostre que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) são vértices de um paralelogramo Calcule a sua área 2 Dado o triângulo de vértices A(0, 1, 1), B( 2, 0, 1) e C(1, 2, 0), determine a medida da altura relativa ao lado BC 3 Sejam u e v vectores no espaço, com v 0 (a) Determine o número α, tal que u α v seja ortogonal a v (b) Mostre que ( u + v ) ( u v ) = 2 v u 4 Determine x para que A(x, 1, 2), B(2, 2, 3), C(5, 1, 1) e D(3, 2, 2) sejam coplanares 5 Ache os pontos do plano π : y = x que equidistam dos pontos A(1,1, 0) e B(0, 1,1) 6 Quais são as coordenadas do ponto P 0, simétrico do ponto P(1,0, 0) em relação à recta r : (x, y, z) = t(1, 1, 1)? (a) Encontre a equação do plano π que passa pelos pontos A(0, 0, 1), B(0, 1, 0) e C(1, 0, 1) 7 (b) Encontre a distância da origem ao plano π (a) Mostre que os planos x y = 0 e y z = 1 se interceptam segundo uma recta r 8 (b) Ache a equação do plano que passa pelo ponto A(1, 0, 1) e é perpendicular à recta r

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 41 Os EspaçosR n Já vimos que os vectores no plano são identificados com os pares ordenados de números reais e que vectores no espaço são identificados com ternos ordenados de números reais Muito do que estudámos sobre vectores no plano e no espaço pode ser estendido para n-úplas de números reais, em que n pode ser um número inteiro positivo Definição 41 Para cada inteiro positivo n, o espaço (vectorial) R n é definido pelo conjunto de todas as n-úplas ordenadas x = (x 1,, x n) de números reais O conjunto R 1 é simplesmente o conjunto dos números reais O conjunto R 2 é o conjunto dos pares de números reais e o R 3 é o conjunto dos ternos de números reais No R 3, o terno de números (x 1, x 2, x 3 ) pode ser interpretado geometricamente de duas maneiras: pode ser visto como um ponto, neste caso x 1, x 2 e x 3 são as coordenadas do ponto (Figura 310), ou como um vector, neste caso x 1, x 2 e x 3 são as componentes do vector (Figura 311) Também no R n uma n-úpla pode ser pensada como um vector ou como um ponto Por exemplo, a quintúpla X(1, 2,3, 5,4) pode ser pensada como um ponto no R 5, quando consideramos X como um elemento do conjunto R 5, ou como um vector do R 5, quando fazemos operações com x, como as que iremos definir adiante Vamos chamar os elementos do R n de pontos ou de vectores dependendo da situação Dois vectores v = (v1,, v n) e w = (w1,, w n) no R n são considerados iguais se v 1 = w 1,, v n = w n As operações de soma de vectores e multiplicação de vector por escalar no R n são definidas de maneira análoga ao que fizemos no plano e no espaço Definição 42 (a) A soma de dois vectores v = (v 1,, v n) e w = (w 1,, w n) do R n é definida por v + w = (v1 + w 1,, v n + w n); (411) (b) A multiplicação de um vector v = (v 1,, v n) do R n por um escalar α é definida por α v = (αv 1,, αv n) (412) O vector nulo do R n é denotado por 0 e é definido por 0 = (0,,0) Se v = (v 1,, v n) é um vector do R n, então o simétrico de v é denotado por v e é definido por v = ( v 1,, v n) A diferença de dois vectores no R n é definida por v w = v + ( w) Se v e w são vectores do R n tais que w = α v, para algum escalar α, então dizemos que w é um múltiplo escalar de v Um vector v = (v 1,, v n) do R n pode também ser escrito na notação matricial como uma matriz linha ou como uma matriz coluna: v 1 v = ou v = v 1 v n v n Estas notações podem ser justificadas pelo facto de que as operações matriciais v 1 w 1 v 1 + w 1 v 1 αv 1 v + w = + =, α v = α =, v n w n v n + w n v n αv n 93

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 94 ou v + w = v 1 v n + α v = α w 1 w n = v 1 v n = v 1 + w 1 v n + w n, αv 1 αv n, produzem os mesmos resultados que as operações vectoriais No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vectores e multiplicação de vectores por escalar no R n Teorema 41 Sejam u = (u 1,, u n), v = (v 1,, v n) e w = (w 1,, w n) vectores do R n e α e β escalares São válidas as seguintes propriedades: (a) u + v = v + u (b) ( u + v ) + w = u + ( v + w) (c) u + 0 = u (d) u + ( u ) = 0 (e) α(β v ) = (αβ) v (f) α( u + v ) = α u + α v (g) (α + β) u = α u + β u (h) 1 u = u Demonstração: Segue directamente das propriedades da álgebra matricial (Teorema 11 na página 3) 411 Combinação Linear Uma combinação linear de vectores v 1,, v k, é simplesmente uma soma de múltiplos escalares de v 1,, v k Definição 43 Um vector v é uma combinação linear dos vectores v 1,, v k, se existem escalares x 1,, x k que satisfazem a equação x 1 v1 + x 2 v 2 + + x k v k = v, (413) ou seja, se a equação vectorial (413) possui solução Neste caso, dizemos também que v pode ser escrito como uma combinação linear de v 1,, v k Se k = 1, então a equação (413) se reduz a x 1 v 1 = v 1, ou seja, v é uma combinação linear de v 1 se, e somente se, v é um múltiplo escalar de v 1 Exemplo 41 Sejam v 1 = (1, 0,0) e v 2 = (1, 1, 0), vectores do R 3 O vector v = (2, 3, 2) não é uma combinação linear de v 1 e v 2 pois a equação x 1 v 1 + x 2 v 2 = v, (414) que pode ser escrita como ou ainda, é equivalente ao sistema que não possui solução x 1 (1, 0, 0) + x 2 (1, 1, 0) = (2, 3,2), (x 1 + x 2, x 2, 0) = (2, 3,2), x 1 + x 2 = 2 x 2 = 3 0 = 2 Exemplo 42 O vector v = (2, 3,0) é uma combinação linear de v 1 = (1, 0,0) e v 2 = (1, 1, 0), pois a equação x 1 v 1 + x 2 v 2 = v, (415) ou ou ainda, é equivalente ao sistema que possui solução x 1 (1, 0, 0) + x 2 (1, 1, 0) = (2, 3,0), (x 1 + x 2, x 2, 0) = (2, 3,0), x 1 + x 2 = 2 x 2 = 3 0 = 0

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 95 Exemplo 43 O vector nulo 0 é sempre combinação linear de quaisquer vectores v 1,, v k, pois 0 = 0 v 1 + + 0 v k Exemplo 44 Todo vector v = (a, b, c) do R 3 é uma combinação linear de i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1), pois, (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1,0) + c(0, 0, 1) = a i + b j + c k Para verificarmos se um vector b é combinação linear de um conjunto de vectores { a 1,, a n}, escrevemos a equação vectorial x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x n a n = b (416) e verificamos se ela tem solução Se a 1,, a n são vectores do R m, a equação (416), pode ser escrita como a 11 a 1n b 1 x 1 + + xn =, a m1 a mn b m que é equivalente ao sistema linear AX = B, em que as colunas de A são os vectores a i escritos como matrizes colunas, ou seja, A = a 1 a n e X = Isto prova o seguinte resultado x 1 x n Teorema 42 Sejam A uma matriz m n e b uma matriz m 1 O vector b é combinação linear das colunas de A se, e somente se, o sistema AX = b tem solução 412 Independência Linear Definição 44 Dizemos que um conjunto S = { v 1,, v k } de vectores é linearmente independente (LI) se a equação vectorial x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x k v k = 0 (417) só possui a solução trivial, ou seja, se a única forma de escrever o vector nulo como combinação linear dos vectores v 1,, v k é aquela em que todos os escalares são iguais a zero Caso contrário, isto é, se (417) possui solução não trivial, dizemos que o conjunto S é linearmente dependente (LD) Exemplo 45 Um conjunto finito de vectores do R n que contém o vector nulo é LD, pois se { v 1,, v k } é tal que v j = 0, para algum j, então 0 v 1 + + 0 v j 1 + 1 v j+1 + 0 v j + + +0 v k = 0 Exemplo 46 Um conjunto formado por um único vector, { v 1 }, não nulo é LI, pois x 1 v 1 = 0 é equivalente a x 1 = 0 ou v 1 = 0 Mas, v 1 0, portanto x 1 = 0 Exemplo 47 Se { v 1,, v k } é um conjunto de vectores LD, então qualquer conjunto finito de vectores que contenha v 1,, v k é também LD, pois a equação admite solução não trivial x 1 v 1 + + x k v k + 0 w 1 + + 0 w m = 0

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 96 Exemplo 48 Um conjunto formado por dois vectores, { v 1, v 2 } é LD se, e somente se, a equação x 1 v 1 + x 2 v 2 = 0 possui solução não trivial Mas se isto acontece, então um dos escalares x 1 ou x 2 pode ser diferente de zero Se x 1 0, então v 1 = (x 2 /x 1 ) v 2 e se x 2 0, então v 2 = (x 1 /x 2 ) v 1 Ou seja, se { v 1, v 2 } é LD, então um dos vectores é múltiplo escalar do outro Reciprocamente, se um vector é múltiplo escalar do outro, digamos se v 1 = α v 2, então 1 v 1 α v 2 = 0 e assim eles são LD Portanto, podemos dizer que dois vectores são LD se, e somente se, um é um múltiplo escalar do outro Por exemplo, o conjunto S = { v 1, v 2 }, em que v 1 = (1, 0, 1) e v 2 = (0, 1, 1), é LI, pois um vector não é múltiplo escalar do outro Exemplo 49 Um conjunto formado por três vectores, { v 1, v 2, v 3 } é LD se, e somente se, a equação x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 possui solução não trivial Mas se isto acontece, então um dos escalares x 1 ou x 2 ou x 3 pode ser diferente de zero Se x 1 0, então v 1 = ( x 2 /x 1 ) v 2 + +( x 3 /x 1 ) v 3, ou seja, o vector v 1 é combinação linear de v 2 e v 3 De forma semelhante, se x 2 0, então v 2 é combinação linear de v 1 e v 3 e se x 3 0, então v 3 é combinação linear de v 1 e v 2 Assim, se três vectores v 1, v 2 e v 3 do R n são LD, então um deles é uma combinação linear dos outros dois, ou seja, em deles é uma soma de múltiplos escalares dos outros dois No R 3 temos que se três vectores não nulos são LD, então ou os três são paralelos, ou dois deles são paralelos ou os três são coplanares, isto é, são paralelos a um mesmo plano Reciprocamente, se um vector é uma combinação linear dos outros dois, digamos se v 1 = = α v 2 +β v 3, então 1 v 1 α v 2 β v 3 = 0 e assim eles são LD Portanto, podemos dizer que três vectores são LD se, e somente se, um deles é uma combinação linear dos outros dois No R 3, se três vectores são LI, então eles não são coplanares Exemplo 410 Vamos mostrar que os vectores e 1 = (1, 0,,0), e 2 = (0, 1, 0,,0),, e n = (0,, 0,1) são LI Em particular os vectores i = (1, 0,0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) são LI A equação pode ser escrita como x 1 e 1 + + x n e n = 0 x 1 (1, 0,,0) + + x n(0,,0, 1) = (0,,0) Logo, (x 1,, x n) = (0,, 0), que é equivalente ao sistema x 1 = 0,, x n = 0 Para descobrir se um conjunto de vectores { a 1,, a n} é LI precisamos saber se a equação vectorial x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x n a n = 0 (418) tem somente a solução trivial Se a 1,, a n são vectores do R m, a equação (418), pode ser escrita como a 11 a 1n 0 x 1 + + xn = a m1 a mn 0 que é equivalente ao sistema linear homogéneo AX = 0, em que as colunas de A são os vectores a i escritos como x 1 matrizes colunas, ou seja, A = a 1 a n e X = Isto prova o seguinte resultado x n Teorema 43 Seja A uma matriz m n (a) As colunas de A são linearmente independentes se, e somente se, o sistema AX = 0 tem somente a solução trivial (b) Se m = n, então as colunas de A são linearmente independentes se, e somente se, det(a) 0 Exemplo 411 Três ou mais vectores no R 2, assim como quatro ou mais vectores no R 3 e mais de n vectores no R n são sempre LD Pois, nestes casos, o problema de verificar se eles são ou não LI leva a um sistema linear homogéneo com mais incógnitas do que equações, que pelo Teorema 17 na página 21 tem sempre solução não trivial Exemplo 412 Considere os vectores x 1 = (1, 0,1), x 2 = (0, 1, 1) e x 3 = (1, 1,1) do R 3 Para sabermos se eles são LI ou LD escrevemos a equação a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 97 Esta equação vectorial é equivalente ao sistema linear AX = 0, em que A = 1 0 1 x 1 x 2 x 3 = 0 1 1 1 1 1 Escalonando a matriz A 0 podemos obter a sua forma escalonada reduzida 1 0 0 0 R 0 = 0 1 0 0 0 0 1 0 Concluímos, então que o sistema AX = 0 possui somente a solução trivial a 1 = a 2 = a 3 = 0 Portanto os vectores x 1, x 2 e x 3 são LI Exemplo 413 Sejam v 1 = (1, 2,5), v 2 = (7, 1, 5) e v 3 = (1, 1, 1) vectores do R 3 Para sabermos se eles são LI ou LD escrevemos a equação x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 (419) Esta equação vectorial é equivalente ao sistema linear AX = 0, em que A = 1 7 1 v 1 v 2 v 3 = 2 1 1 5 5 1 A matriz A 0 é equivalente por linhas à matriz escalonada reduzida 1 0 2/5 0 R 0 = 0 1 1/5 0 (4110) 0 0 0 0 Assim a variável x 3 pode ser uma variável livre que pode, portanto, assumir qualquer valor Concluímos que o sistema AX = 0 e a equação vectorial (419) têm solução não trivial Portanto, v 1, v 2 e v 3 são LD A expressão linearmente dependente sugere que os vectores dependem uns dos outros em algum sentido O teorema seguinte mostra que este realmente é o caso Teorema 44 Um conjunto S = { v 1,, v k } (k > 1) de vectores é linearmente dependente (LD) se, e somente se, pelo menos um dos vectores, v j, for combinação linear dos outros vectores do S Demonstração: Vamos dividir a demonstração em duas partes: (a) Se v j é uma combinação linear dos demais vectores do conjunto S, isto é, se existem escalares α 1,, α j 1, α j+1,, α k tais que α 1 v 1 + + α j 1 v j 1 + α j+1 v j+1 + + α k v k = v j, então somando-se v j a ambos os membros ficamos com α 1 v 1 + + α j 1 v j 1 v j + α j+1 v j+1 + + α k v k = 0 (4111) Isto implica que a equação x 1 v 1 + + x k v k = 0 admite solução não trivial, pois o coeficiente de v j em (4111) é 1 Portanto, S é LD (b) Se S é LD, então a equação x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x k v k = 0 (4112) admite solução não trivial, o que significa que pelo menos um x j é diferente de zero Então, multiplicando-se a ( x1 ) ) equação (4112) por 1/x j e subtraindo-se v x 1 + + v j x k obtemos j ( ) ( ) ( ) ( ) x1 v j = v xj 1 1 v xj+1 j 1 v xk j+1 v k x j x j x j x j ( xk Portanto, um vector v j é combinação linear dos outros vectores do S

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 98 Observação 41 Na demonstração da segunda parte, vemos que o vector, cujo escalar na combinação linear puder ser diferente de zero, pode ser escrito como combinação linear dos outros Exemplo 414 Sejam v 1 = (1, 2, 5), v 2 = (7, 1, 5) e v 3 = (1, 1, 1) vectores do R 3 Vamos escrever um dos vectores como combinação linear dos outros dois Vimos no Exemplo 328 que estes vectores são LD De (4110) segue que x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = 0 se, e somente se, x 1 = (2/5)α, x 2 = (1/5)α e x 3 = α, para todo α R Substituindo-se os valores de x 1, x 2 e x 3 na equação acima, ficamos com (2/5)α v 1 (1/5)α v 2 + α v 3 = 0 Tomando-se α = 1, obtemos (2/5) v 1 (1/5) v 2 + v 3 = 0 ; multiplicando-se por 5 e somando-se 2 v 1 + 5 v 3, temos que v 2 = 2 v 1 + 5 v 3 Observe que neste exemplo, qualquer dos vectores pode ser escrito como combinação linear dos outros O próximo exemplo mostra que isto nem sempre acontece Exemplo 415 Sejam v 1 = ( 2, 2,2), v 2 = ( 3, 3/2, 0) e v 3 = ( 2, 1, 0) { v 1, v 2, v 3 } é LD, mas v 1 não é combinação linear de v 2 e v 3 Exercícios Numéricos 411 Quais dos seguintes vectores são combinação linear de x 1 = (4, 2, 3), x 2 = (2, 1, 2) e x 3 = ( 2, 1,0)? (a) (1, 1, 1) (c) ( 2, 1, 1) (b) (4, 2, 6) (d) ( 1, 2, 3) 412 Quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente dependentes? (a) {(1, 1, 2), (1, 0,0), (4, 6, 12)} (c) {(1, 1,1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} (b) {(1, 2, 3), ( 2, 4, 6)} (d) {(4, 2, 1), (6, 5, 5), (2, 1, 3)} 413 Para quais valores de λ o conjunto de vectores {(3, 1, 0), (λ 2 + 2,2, 0)} é LD? 414 Suponha que S = { x 1, x 2, x 3 } é um conjunto linearmente independente de vectores do R n Responda se T = { y 1, y 2, y 3 } é linearmente dependente ou independente nos seguintes casos: (a) y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 1 + x 3 e y 3 = x 2 + x 3 ; (b) y 1 = x 1, y 2 = x 1 + x 3 e y 3 = x 1 + x 2 + x 3 Exercícios usando o Matlab R 415 (a) Defina os vectores V1=1,2,3, V2=3,4,5 e V3=5,6,7 Defina o vector aleatório V=randi(3,1) Verifique se V é combinação linear de V1, V2 e V3 (b) Defina a matriz aleatória M=randi(3,5) Verifique se os vectores definidos pelas colunas de M são combinação linear de V1, V2 e V3 Tente explicar o resultado (c) Verifique se V1, V2 e V3 são linearmente independentes Se eles forem linearmente dependentes, escreva um deles como combinação linear dos outros e verifique o resultado

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 99 Exercícios Teóricos 416 Suponha que { x 1, x 2,, x n} é um conjunto de vectores do R n linearmente independente Mostre que se A é uma matriz n n não singular, então {A x 1, A x 2,, A x n} também é um conjunto linearmente independente 417 Se os vectores não nulos u, v e w são LD, então w é uma combinação linear de u e v? 42 Subespaço, Base e Dimensão Sejam A uma matriz m n e W R n o conjunto solução do sistema linear homogéneo AX = 0 Já vimos no Teorema 18 na página 22 que o conjunto W satisfaz as seguintes propriedades: (a) se X e Y pertencem a W, então X + Y também pertence a W; (b) se X pertence a W, então αx também pertence a W para todo escalar α Recapitule como foi feita a demonstração dos items (a) e (b) acima no Teorema 18 na página 22 Assim, se X e Y são soluções de um sistema homogéneo, então X + Y e αx também o são Portanto, combinações lineares de soluções de AX = 0 são também soluções de AX = 0 O conjunto solução de um sistema homogéneo AX = 0 se comporta como se fosse ele próprio um espaço, no sentido de que fazendo soma de vectores do conjunto ou multiplicando vectores do conjunto por escalar não saímos dele Por isso, ele é chamado de espaço solução do sistema homogéneo AX = 0 Um subconjunto não vazio de R n que satisfaz as propriedades (a) e (b) acima é chamado de subespaço de R n Pois com relação às operações de soma de vectores e multiplicação por escalar podemos viver nele sem termos que sair Assim, o espaço solução do sistema homogéneo AX = 0 é um subespaço de R n Vale também a recíproca, todo subespaço é o espaço solução de um sistema homogéneo (Exercício 4218 na página 106) Exemplo 416 Considere os sistemas lineares (a) (c) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 3 7 8 2 4 6 x y z = x y z 0 0 0 = 0 0 0 (b) (d) 1 2 3 2 4 6 3 6 9 1 2 3 3 7 8 4 1 2 x y z = x y z 0 0 0 = Todos são sistemas homogéneos, portanto os conjuntos solução são subespaços do R 3 (a) A solução geral do primeiro sistema é o próprio R 3 (b) A solução geral do segundo sistema é x = 2α 3β, y = β e z = α, para todos α, β R, que é o plano x 2y + 3z = 0, que passa pela origem, com vector normal n = (1, 2,3) (verifique!) (c) A solução geral do terceiro sistema é x = 5t, y = t e z = t, para todo t R, que é a recta que passa pela origem, com vector director v = ( 5, 1,1) (d) A solução do quarto sistema é x = 0, y = 0 e z = 0, que é somente a origem { 0 = (0, 0,0)} 0 0 0 Vamos ver que para todo sistema linear homogéneo AX = 0, existe um número finito de vectores v 1,, v k do espaço solução tais que toda solução de AX = 0 pode ser escrita como uma combinação linear de v 1,, v k Exemplo 417 Considere o sistema linear homogéneo AX = 0, em que 1 1 0 2 A = 2 2 1 5 1 1 1 3 Escalonando a matriz ampliada do sistema acima, obtemos a matriz escalonada reduzida 1 1 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 100 E assim a solução geral do sistema pode ser escrita como x 1 = α 2β, x 2 = α, x 3 = β, x 4 = β, para todos os valores de α, β R, ou seja, o conjunto solução do sistema AX = 0 é W = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ( α 2β, α, β, β) : α, β R} Agora, um elemento qualquer do W pode ser escrito como uma soma de vectores do W, sendo que cada vector depende apenas de um parâmetro, obtendo ( α 2β, α, β, β) = ( α, α, 0,0) + ( 2β, 0, β, β) = α( 1, 1, 0, 0) + β( 2, 0,1, 1) Assim, todo o vector do W pode ser escrito como combinação linear dos vectores v 1 = ( 1, 1,0, 0) e v 2 = ( 2, 0, 1,1) pertencentes a W ( v 1 é obtido fazendo-se α = 1 e β = 0 e v 2 fazendo-se α = 0 e β = 1) Neste caso dizemos que v 1 = ( 1, 1, 0,0) e v 2 = ( 2, 0, 1,1) geram o subespaço W Em geral temos a seguinte definição Definição 45 Seja W um subespaço de R n (por exemplo, o espaço solução de um sistema linear homogéneo AX = 0) Dizemos que os vectores v 1,, v k pertencentes a W, geram W ou que { v 1,, v k } é um conjunto de geradores do W, se qualquer vector do W é combinação linear de v 1,, v k Dizemos também que W é o subespaço gerado por v 1,, v k Exemplo 418 Seja V = {(a + c, b + c, a + b + 2c) : a, b, c R} um subespaço do R 3 Qualquer elemento v de V pode ser escrito como uma soma de vectores, sendo um vector para cada parâmetro e cada vector depende apenas de um parâmetro, obtendo v = (a + c, b + c,a + b + 2c) = (a, 0, a) + (0, b, b) + (c, c,2c) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 1) + c(1, 1,2) Logo, definindo v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (0, 1, 1) e v 3 = (1, 1,2), então { v 1, v 2, v 3 } gera V Exemplo 419 No Exemplo 417 os vectores v 1 = ( 1, 1,0, 0) e v 2 = ( 2, 0, 1, 1) geram W ou { v 1 = ( 1, 1, 0, 0), v 2 = ( 2, 0, 1,1)} é um conjunto de geradores do W Além disso, eles são linearmente independentes, pois um não é múltiplo escalar do outro Neste caso dizemos que { v 1, v 2 } é uma base do W Em geral temos a seguinte definição Definição 46 Seja W um subespaço de R n (por exemplo, o espaço solução de um sistema linear homogéneo AX = 0) Dizemos que um subconjunto { v 1,, v k } do W é uma base do W, se (a) { v 1,, v k } é um conjunto de geradores do W, ou seja, todo vector do W é combinação linear de v 1,, v k e (b) { v 1,, v k } é LI Exemplo 420 Os vectores e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1, 0,, 0),, e n = (0,,0, 1) formam uma base do R n Pois, um vector qualquer do R n é da forma v = (a 1,, a n) e pode ser escrito como uma soma de vectores, sendo um vector para cada parâmetro e cada vector dependendo apenas de um parâmetro, obtendo v = (a1,, a n) = (a 1,0,, 0) + (0, a 2,0,,0) + + (0,,0, a n) = a 1 (1, 0,, 0) + a 2 (0, 1, 0,, 0) + + a n(0,, 0,1) Assim, os vectores e 1 = (1, 0,,0), e 2 = (0, 1, 0,, 0), ; e n = (0,, 0,1) geram o R n Vimos no Exemplo 410 na página 96 que e 1, e 2,, e n são LI Esses vectores formam a chamada base canónica de R n No caso do R 3, e 1 = i, e 2 = j e e 3 = k

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 101 Exemplo 421 Seja W = {( 2α, α 3β, 2β) : α, β R} um subespaço do R 3 Qualquer elemento v do W pode ser escrito como uma soma de vectores do W, sendo um vector para cada parâmetro e cada vector depende apenas de um parâmetro, obtendo v = ( 2α, α 3β, 2β) = ( 2α, α,0) + (0, 3β, 2β) = α( 2, 1, 0) + β(0, 3,2) Logo v 1 = ( 2, 1, 0) e v 2 = (0, 3,2) geram W Além disso, eles são LI pois um não é múltiplo escalar do outro Portanto, { v 1, v 2 } é uma base do W Observe que este subespaço é um plano que passa pela origem Qual é o seu vector normal e qual é a sua equação geral? Exemplo 422 Seja W = {(x, y, z) = t(a, b, c) : t R} uma recta que passa pela origem Como o vector director v = (a, b, c) é não nulo e gera todos os pontos da recta, então { v } é uma base do W Exemplo 423 Seja W = {(x, y, z) R 3 : ax + by + cz = 0} um plano que passa pela origem Vamos supor que a 0 Um ponto (x, y, z) satisfaz a equação ax + by + cz = 0 se, e somente se, z = α, y = β, x = 1 (cα + bβ), para todos α, β R a Assim, o plano W pode ser descrito como W = {( c a α b β, β, α) : α, β R} Assim, todo vector do W pode a ser escrito como uma soma de vectores, sendo um para cada parâmetro, obtendo ( c a α b a β, β, α) = α( c a,0, 1) + β( b a, 1,0) Assim, todo vector do W pode ser escrito como uma combinação linear dos vectores v 1 = ( c a,0, 1) e v 2 = ( b a,1, 0) pertencentes a W ( v 1 é obtido fazendo-se α = 1 e β = 0 e v 2, fazendo-se α = 0 e β = 1) Portanto, v 1 = ( c a,0, 1) e v 2 = ( b a, 1,0) geram o plano W Como v 1 e v 2 são LI, pois um não é múltiplo escalar do outro, então { v 1, v 2 } é uma base do plano W Deixamos como exercício para o leitor encontrar uma base do W para o caso em que b 0 e também para o caso em que c 0 Exemplo 424 Sejam W o plano x + y + z = 0 e V o plano 4x 2y + z = 0 Assim, o plano W tem vector normal n 1 = (1, 1, 1) e o plano V tem vector normal n 2 = (4, 2,1) Vamos encontrar as equações paramétricas da recta V W, intersecção dos planos determinando a solução geral do sistema W : x + y + z = 0, (4213) V : 4x 2y + z = 0 Para isto devemos escalonar a matriz do sistema (4213): 1 1 1 0 4 2 1 0 Precisamos anular o outro elemento da 1 a coluna, que é a coluna do pivot Para isto, adicionamos à 2 a linha, -4 vezes a 1 a linha 4 1 a linha + 2 a linha 2 a 1 1 1 0 linha 0 6 3 0 Agora, já podemos obter facilmente a solução geral do sistema dado, já que ele é equivalente ao sistema { x + y + z = 0 6y 3z = 0 A variável z é uma variável livre Podemos dar a ela um valor arbitrário, digamos t, para t R qualquer Assim, a solução geral do sistema (4213) é x = 1 2 t y = 1 2 t z = t para todo t R A recta que é a intersecção, V W, tem equação (x, y, z) = t( 1/2, 1/2, 1), para todo t R (recapitule o Exemplo 323 na página 75) Assim, a intersecção W V é a recta cujo vector director é v = ( 1/2, 1/2, 1) e que passa pela origem Portanto, o vector v = ( 1/2, 1/2, 1) gera a intersecção V W Como um vector não nulo é LI o conjunto { v = ( 1/2, 1/2, 1)} é uma base da recta que é a intersecção V W Observação 42 Como no exemplo anterior, em geral, o espaço solução de um sistema linear homogéneo pode ser visto como uma intersecção de subespaços que são as soluções de sistemas formados por subconjuntos de equações do sistema inicial

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 102 Teorema 45 Sejam A e B matrizes m n equivalentes por linhas Sejam A 1,, A n as colunas 1,, n, respectivamente, da matriz A e B 1,, B n as colunas 1,, n, respectivamente, da matriz B (a) B j1,, B jk, são LI se, e somente se, A j1,, A jk, também o são (b) Se existem escalares α j1,, α jk tais que A k = α j1 A j1 + + α jk A jk, então B k = α j1 B j1 + + α jk B jk (c) O subespaço gerado pelas linhas de A é igual ao subespaço gerado pelas linhas de B Demonstração: Se B é equivalente por linhas a A, então B pode ser obtida de A aplicando-se uma sequência de operações elementares Aplicar uma operação elementar a uma matriz corresponde a multiplicar a matriz à esquerda por uma matriz invertível (ver o livro do Professor Reginaldo Santos Introdução à Álgebra Linear (Maio 2004), Teorema 18 na página 58) Seja M o produto das matrizes invertíveis correspondentes às operações elementares aplicadas na matriz A para se obter a matriz B Então M é invertível e B = MA (a) Vamos supor que B j1,, B jk são LI e vamos mostrar que A j1,, A jk também o são Se x j1 A j1 + + x jk A jk = 0, então multiplicando-se à esquerda pela matriz M obtemos x j1 MA j1 + + x jk MA jk = 0 Como MA j = B j, para j = 1,, n (Exercício 1118 (a) na página 9), então x j1 B j1 + + x jk B jk = 0 Assim, se B j1,, B jk são LI, então x j1 = = x jk = 0 O que implica que A j1,, A jk também são LI Trocando-se B por A o argumento acima mostra que se A j1,, A jk são LI, então B j1,, B jk também o são (b) Sejam αj 1,, α jk escalares tais que A k = α j1 A j1 + + α jk A jk, então multiplicando-se à esquerda pela matriz M obtemos MA k = α j1 MA j1 + + α jk MA jk Como MA j = B j, para j = 1,, n (Exercício 1118 (a) na página 9), então B k = α j1 B j1 + + α jk B jk (c) A matriz B é obtida de A aplicando-se uma sequência de operações elementares às linhas de A Assim, toda linha de B é uma combinação linear das linhas de A Logo, o espaço gerado pelas linhas de B está contido no espaço gerado pelas linhas de A O mesmo argumento mostra que o espaço gerado pelas linhas de A está contido no espaço gerado pelas linhas de B Portanto, eles são iguais Exemplo 425 Seja V = {(a + c, b + c, a + b + 2c) : a, b, c R} um subespaço de R 3 Qualquer elemento v de V pode ser escrito como uma soma de vectores, sendo um vector para cada parâmetro e cada vector depende apenas de um parâmetro, obtendo v = (a + c, b + c,a + b + 2c) = (a, 0, a) + (0, b, b) + (c, c,2c) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 1) + c(1, 1,2) Logo, definindo v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (0, 1, 1) e v 3 = (1, 1,2), então { v 1, v 2, v 3 } gera V Para sabermos se { v 1, v 2, v 3 } é base de V, precisamos verificar se v 1, v 2 e v 3 são LI Para isto temos que saber se a equação vectorial x v 1 + y v 2 + z v 3 = 0 (4214) só possui a solução trivial, ou equivalentemente, se o sistema AX = 0 só possui a solução trivial, onde A = v 1 v 2 v 3 Escalonando a matriz A 0, obtemos 1 0 1 0 R 0 = 0 1 1 0 0 0 0 0

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 103 que tem solução não trivial Logo os vectores v 1, v 2 e v 3 são LD Como a terceira coluna da matriz R é igual a soma da primeira com a segunda, pelo Teorema 45 (b) a mesma relação vale para as colunas correspondentes da matriz A, ou seja, v 3 = v 2 + v 1 Assim o vector v 3 pode ser descartado na geração de V, pois ele é combinação linear dos outros dois Logo, apenas v 1 e v 2 são suficientes para gerar V Como além disso os vectores v 1 e v 2 são tais que um não é múltiplo escalar do outro, então eles são LI (também pelo Teorema 45 (a), pois as duas primeiras colunas de R são claramente LI) e portanto { v 1, v 2 } é uma base de V Vamos mostrar a seguir que o número de vectores de uma base de um subespaço W é o maior número possível de vectores linearmente independentes em W Teorema 46 Seja W um subespaço de R n (por exemplo, o espaço solução de um sistema linear homogéneo AX = 0) Seja { v 1,, v m} uma base do W Então, um conjunto com mais de m vectores em W é LD Demonstração: Seja { w 1,, w p} um subconjunto do W, com p > m Vamos mostrar que { w 1,, w p} é LD Considere a combinação linear nula de w 1,, w p x 1 w 1 + x 2 w 2 + + x p w p = 0 (4215) Como { v 1,, v m} é uma base do W, qualquer elemento do W pode ser escrito como combinação linear de v 1,, v m Em particular, w j = b 1j v 1 + b 2j v 2 + + b mj v m = m b ij V i, para j = 1,, p (4216) Assim, substituindo (4216) em (4215) e agrupando os termos que contém v i, para i = 1,, m, obtemos i=1 (b 11 x 1 + + b 1p x p) v 1 + + (b m1 x 1 + + b mpx p) v m = 0 (4217) Como { v 1,, v m} é base do W, v 1,, v m são LI e portanto os escalares na equação (4217) são iguais a zero Isto leva ao sistema linear BX = 0, em que B = (b ij ) m p Mas, este é um sistema homogéneo que tem mais incógnitas do que equações, portanto possui solução não trivial, (Teorema 17 na página 21), como queríamos provar Segue imediatamente do Teorema 46 o seguinte resultado Corolário 461 Em R n um conjunto com mais de n vectores é LD Segue do Teorema 46 que se W é um subespaço, então qualquer base do W tem o mesmo número de elementos e este é o maior número de vectores LI que podemos ter em W O número de elementos de qualquer uma das bases do W é chamado de dimensão do W Se W = { 0 } dizemos que W tem dimensão igual a 0 Exemplo 426 A dimensão do R n é n, pois como foi mostrado no Exemplo 420 na página 100, e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1, 0,,0),, e n = (0,,0, 1) formam uma base do R n Exemplo 427 A dimensão do subespaço V = {(a + c, b + c,a + b + 2c) : a, b, c R} é 2 pois como foi mostrado no Exemplo 425, { v 1 = ( 2, 1,0), v 2 = (0; 3,2)} é uma base para V Exemplo 428 Pelo Exemplo 422 na página 101 uma recta que passa pela origem tem dimensão 1 e pelo Exemplo 423 na página 101 um plano que passa pela origem tem dimensão 2 Teorema 47 Seja W um subespaço de dimensão m > 0 Se v 1,, v m W são LI, então eles geram o subespaço W e portanto formam uma base do W

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 104 Demonstração: Sejam v 1,, v m vectores LI e seja v um vector qualquer do subespaço W Vamos mostrar que v é combinação linear de v 1,, v m Considere a equação vectorial x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x m v m + x m+1 v = 0 (4218) Pelo Teorema 46 na página 103, v 1,, v m, v são LD, pois são m + 1 vectores em um subespaço de dimensão m Então a equação (4218) admite solução não trivial, ou seja, pelo menos um x i 0 Mas, x m+1 0, pois caso contrário, v 1,, v m seriam LD Então, multiplicando-se a equação (4218) por 1/x m+1 e subtraindo (x 1 /x m+1 ) v 1 + (x 2 /x m+1 ) v 2 + + (x m/x m+1 ) v m, obtemos v = ( x1 x m+1 ) ( ) v x1 1 v m x m+1 Dos resultados anteriores, vemos que se a dimensão de um subespaço, W, é m > 0, então basta conseguirmos m vectores LI em W, que teremos uma base (Teorema 47) e não podemos conseguir mais do que m vectores LI (Teorema 46 na página 103) Exemplo 429 Do Teorema 47 segue que n vectores LI do R n formam uma base de R n Por exemplo, 3 vectores LI do R 3 formam uma base de R 3 Exemplo 430 Considere os vectores v 1 = ( 1, 1, 0, 3) e v 2 = ( 3, 3, 2, 1) linearmente independentes de R 4 Vamos encontrar vectores v 3 e v 4 tais que { v 1, v 2, v 3, v 4 } formam uma base de R 4 v 1 e v 2 são LI, pois um não é múltiplo escalar do outro Escalonando a matriz cujas linhas são os vectores v 1 e v 2, obtemos A = R = 1 1 0 3 3 3 2 1 1 1 0 3 0 0 1 4 Pelo Teorema 45 (c) o subespaço gerado pelos vectores v 1 e v 2 (as linhas de A) é igual ao subespaço gerado por w 1 = (1, 1, 0, 3) e w 2 = (0, 0,1, 4) (as linhas de R) Vamos inserir linhas na matriz R até conseguir uma matriz 4 4 de forma que ela continue escalonada reduzida Por exemplo, podemos obter a matriz R = 1 1 0 3 0 1 0 0 0 0 1 4 0 0 0 1 Sejam v 3 = (0, 1,0, 0) e v 4 = (0, 0,0, 1) Vamos verificar que v 1 = ( 1, 1,0, 3), v 2 = ( 3, 3,2, 1), v 3 = (0, 1, 0,0) e v 4 = (0, 0, 0, 1) são LI, implica que x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 + x 4 v 4 = 0 x 1 v 1 + x 2 v 2 = x 3 v 3 x 4 v 4 Como v 3 e v 4 não pertencem ao subespaço gerado por v 1 e v 2 que é o mesmo subespaço gerado por w 1 e w 2, então x 1 v 1 + x 2 v 2 = 0 e x 3 v 3 x 4 v 4 = 0 Como { v 1, v 2 } é LI assim como { v 3, v 4 } então x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0 Logo { v 1, v 2, v 3, v 4 } é LI Como a dimensão do R 4 é igual a 4, então pelo Teorema 47 v 1, v 2, v 3, v 4 formam uma base de R 4 Exercícios Numéricos 421 Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogéneo AX = 0, em que 1 0 1 0 1 1 2 1 (a) A = 1 2 3 1 (b) A = 2 3 6 2 2 1 3 1 2 1 2 2

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 105 422 Encontre os valores de λ tais que o sistema homogéneo (A λi n)x = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas: (a) A = (b) A = (c) A = 0 0 1 1 0 3 0 1 3 2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 2 1 2 1 0 1 1 (d) A = (e) A = (f) A = 1 2 2 0 1 2 1 0 1 1 2 0 0 0 0 1 2 3 0 0 1 0 0 0 2 2 3 0 0 2 0 0 0 2 423 Determine uma base para a recta intersecção dos planos x 7y + 5z = 0 e 3x y + z = 0 424 Sejam v 1 = (4, 2, 3), v 2 = (2, 1, 2) e v 3 = ( 2, 1, 0) (a) Mostre que v 1, v 2 e v 3 são LD (b) Mostre que v 1 e v 2 são LI (c) Qual a dimensão do subespaço gerado por v 1, v 2 e v 3, ou seja, do conjunto das combinações lineares de v 1, v 2 e v 3 (d) Descreva geometricamente o subespaço gerado por v 1, v 2 e v 3 425 Dados v 1 = (2, 1, 3) e v 2 = (2, 6, 4): (a) Os vectores v 1 e v 2 geram o R 3? Justifique (b) Seja v 3 um terceiro vector do R 3 Quais as condições sobre v 3, para que { v 1, v 2, v 3 } seja uma base de R 3? (c) Encontre um vector v 3 que complete junto com v 1 e v 2 uma base do R 3 426 Seja W o plano x + 2y + 4z = 0 Obtenha uma base { v 1, v 2, v 3 } de R 3 tal que v 1 e v 2 pertençam a W 427 Considere os seguintes subespaços de R 3 : V = ( 1, 2,3), (1, 3, 4) e W = (1, 2, 1), (0, 1, 1) Encontre as equações paramétricas da recta V W e uma base para o subespaço V W A notação v 1, v 2 significa o subespaço gerado por v 1 e v 2, ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares de v 1 e v 2 428 Seja V = {(3a + 4b 4c,2a 4b 6c, 2a 4b + 2c) : a, b, c R} um subespaço de R 3 (a) Determine um conjunto de geradores para V (b) Determine uma base para V 429 Dados v 1 = ( 3, 5,2, 1) e v 2 = (1, 2, 1, 2): (a) Os vectores v 1 e v 2 geram o R 4? Justifique (b) Sejam v 3 e v 4 vectores do R 4 Quais as condições sobre v 3 e v 4 para que { v 1, v 2, v 3, v 4 } seja uma base do R 4? (c) Encontre vectores v 3 e v 4 que complete junto com v 1 e v 2 uma base do R 4 Exercícios usando o Matlab R 4210 Defina a matriz aleatória A=triu(randi(4,4,3)) Encontre os valores de λ tais que o sistema homogéneo (A-λ I 4 )X=0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução Exercícios Teóricos 4211 Seja A uma matriz m n Mostre que se o conjunto solução do sistema linear AX = B é um subespaço, então B = 0, ou seja, o sistema linear é homogéneo (Sugestão: se X é solução de AX = B, então Y = 0X também o é) 4212 Determine uma base para o plano ax + by + cz = 0, se b 0 e se c 0

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 106 4213 Sejam v e w vectores do R n Mostre que o conjunto dos vectores da forma α v + β w é um subespaço do R n 4214 Mostre que se uma recta em R 2 ou em R 3 não passa pela origem, então ela não é um subespaço (Sugestão: se ela fosse um subespaço, então ) y x 4215 Sejam A uma matriz m n e b uma matriz m 1 Mostre que o conjunto dos vectores b para os quais o sistema A x = b tem solução é um subespaço do R m Ou seja, mostre que o conjunto J (A) = { b R m : b = A x, para algum x R n } é um subespaço de R m 4216 Sejam v 1,, v k+1 vectores do R n tais que { v 1,, v k } é linearmente independente Mostre que se v k+1 não pertence ao subespaço gerado por { v 1,, v k }, então { v 1,, v k+1 } é linearmente independente (Sugestão: considere a equação x 1 v 1 + + x k+1 v k+1 = 0 Se x k+1 = 0, então x 1 = = x k = 0) 4217 Sejam W 1 e W 2 dois subespaços (a) Mostre que W 1 W 2 é um subespaço (b) Mostre que W 1 W 2 é um subespaço se, e somente se, W 1 W 2 ou W 2 W 1 (c) Definimos a soma dos subespaços W 1 e W 2 por W 1 + W 2 = { v 1 + v 2 : v 1 W 1 e v 2 W 2 } Mostre que W 1 + W 2 é um subespaço que contém W 1 e W 2 4218 Seja W um subespaço de R n Seja { w 1,, w k } uma base do W Seja B = w 1 w k T, com w 1,, w k escritos como matrizes colunas Seja W o espaço solução do sistema homogéneo B x = 0, ou seja, W = { x R k : B x = 0 } Seja { v 1,, v p} uma base de W Seja A = v 1 v p T, com v 1,, v p escritos como matrizes colunas Mostre que W é o espaço solução do sistema homogéneo A x = 0, ou seja, W = { x R p : A x = 0 } Apêndice III: Outros Resultados Teorema 48 Um subconjunto { v 1, v 2,, v m} de um subespaço W é uma base para W se, e somente se, todo vector x do W é escrito de maneira única como combinação linear de v 1, v 2,, v m Demonstração: Em primeiro lugar, suponha que todo vector x do W é escrito de maneira única como combinação linear de v 1,, v m Vamos mostrar que { v 1, v 2,, v m} é uma base do W Como todo vector é escrito como combinação linear de v 1,, v m, basta mostrarmos que v 1,, v m são LI Considere a equação x 1 v 1 + + x m v m = 0 Como todo vector é escrito de maneira única como combinação linear de v 1,, v m, em particular temos que para x = 0, x 1 v 1 + + x m v m = 0 = 0 v 1 + + 0 v m,

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 107 o que implica que x 1 = 0,, x m = 0, ou seja, v 1,, v m são linearmente independentes Portanto, { v 1, v 2,, v m} é base do W Suponha, agora, que { v 1, v 2,, v m} é base do W Seja x um vector qualquer do W Se então x 1 v 1 + + x m v m = x = y 1 v 1 + + y m v m, (x 1 y 1 ) v 1 + + (x m y m) v m = 0 Como v 1,, v m formam uma base do W, então eles são LI, o que implica que x 1 = = y 1,, x m = y m Portanto, todo vector x do W é escrito de maneira única como combinação linear de v 1,, v m Teorema 49 Se S = { v 1,, v k } é um conjunto de vectores que gera um subespaço W, ou seja, W = S = v 1,, v k, então existe um subconjunto de S que é base do W Demonstração: Se S é LI, então S é uma base do W Caso contrário, S é LD e pelo Teorema 44 na página 97 um dos vectores do S é combinação linear dos outros Assim, o subconjunto de S obtido retirando-se este vector continua gerando W Se esse subconjunto for LI, temos uma base para W, caso contrário, continuamos retirando vectores do subconjunto até obtermos um subconjunto LI e aí neste caso temos uma base para W Vamos mostrar que se a dimensão de um subespaço W é m, então m vectores que geram o subespaço, W, formam uma base (Corolário 491) e que não podemos ter menos que m vectores gerando o subespaço (Corolário 492) São simples as demonstrações dos seguintes corolários, as quais deixamos como exercício Corolário 491 Em um subespaço, W, de dimensão m > 0, m vectores que geram o subespaço, são LI e portanto formam uma base Corolário 492 Em um subespaço, W, de dimensão m > 0, um conjunto com menos de m vectores não gera o subespaço Teorema 410 Se R = { v 1,, v k } é um conjunto de vectores LI em um subespaço W do R n, então o conjunto R pode ser completado até formar uma base do W, ou seja, existe um conjunto S = { v 1,, v k, v k+1,, v m} (R S), que é uma base do W Demonstração: Se { v 1,, v k } gera W, então { v 1,, v k } é uma base do W Caso contrário, seja v k+1 um vector que pertence a W, mas não pertence ao subespaço gerado por { v 1,, v k } Então, o conjunto { v 1,, v k, v k+1 } é LI, pois caso contrário x 1 v 1 + + x k+1 v k+1 = 0, implicaria que x k+1 0 (por quê?) e assim, v k+1 seria combinação linear de v 1,, v k, ou seja, v k+1 pertenceria ao subespaço W Se { v 1,, v k+1 } gera W, então { v 1,, v k+1 } é uma base do W Caso contrário, o mesmo argumento é repetido para o subespaço gerado por { v 1,, v k, v k+1 } Pelo Corolário 461 na página 103 este processo tem que parar, ou seja, existe um inteiro positivo m n tal que { v 1,, v k, v k+1,, v m} é LI, mas { v 1,, v k, v k+1,, v m, v } é LD para qualquer vector v do W O que implica que v é combinação linear de { v 1,, v k, v k+1,, v m} (por quê?) Portanto, { v 1,, v k, v k+1,, v m} é uma base do W Corolário 4101 Todo subespaço de R n diferente do subespaço trivial { 0 } tem uma base e a sua dimensão é menor ou igual a n Teorema 411 Se R = (r ij ) m n e S = (s ij ) m n são matrizes escalonadas reduzidas equivalentes por linhas a uma matriz A = (a ij ) m n, então R = S Demonstração: Sejam S e R matrizes escalonadas reduzidas equivalentes a A Sejam R 1,, R n as colunas de R e S 1,, S n as colunas de S Seja r o número de linhas não nulas de R Sejam j 1,, j r as colunas onde ocorrem os pivots das linhas 1,, r, respectivamente, da matriz R Pelo Teorema 16 na página 21, R e S são equivalentes por linha, ou seja, existe uma sequência de operações elementares que podemos aplicar em R para chegar a S e uma outra sequência de operações elementares que podemos aplicar a S e chegar a R Assim, como as colunas 1,, j 1 1 de R são nulas o mesmo vale para as colunas 1,, j 1 1 de S Logo o pivot da 1 a linha de S ocorre numa coluna maior ou igual a j 1 Trocando-se R por S e usando este argumento chegamos a conclusão que R j1 = S j1 e assim R 1 = S 1,, R j1 = S j1 Vamos supor que R 1 = S 1,, R jk = S jk e vamos mostrar que R jk +1 = S jk +1,, R jk +1 = S jk +1, se k < r ou

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 108 R jr+1 = S jr+1,, R n = S n, se k = r Observe que para j = j k + 1,, j k+1 1, se k < r, ou para j = j r + 1,, n, se k = r, temos que o que implica pelo Teorema 45 (b) na página 102 que Mas por hipótese R j1 = S j1,, R jk = S jk, então, R j = (r 1j,, r kj,0,,0) = r 1j R j1 + + r kj R jk, S j = r 1j S j1 + + r kj S jk S j = r 1j R j1 + + r kj R jk = R j, para j = j k + 1,, j k+1 1, se k < r ou para j = j r + 1,, n, se k = r Logo, se k < r, o pivot da (k + 1)-ésima linha de S ocorre numa coluna maior ou igual a j k + 1 Trocando-se R por S e usando o argumento anterior chegamos a conclusão que R jk +1 = S jk +1 e assim R 1 = S 1,, R jr = S jr E se k = r, então R 1 = S 1,, R n = S n Portanto R = S 43 Espaço Linha e Espaço Coluna Definição 47 Seja A uma matriz m n (a) O subespaço de R n gerado pelas linhas de A é chamado espaço linha de A, ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares das linhas de A (b) O subespaço de R m gerado pelas colunas de A é chamado espaço coluna de A, ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A Os espaços linha e coluna de uma matriz são diferentes, em geral, mesmo se a matriz é quadrada, como mostra o próximo exemplo Exemplo 431 Considere a matriz A = 1 1 0 0 O espaço linha de A é o subespaço gerado pelo vector (1, 1), enquanto o espaço coluna de A é o subespaço gerado pelo vector (1, 0) Apesar dos espaços linha e coluna de uma matriz serem diferentes, em geral, eles possuem sempre a mesma dimensão Teorema 412 Seja A uma matriz m n O espaço linha e o espaço coluna de A possuem a mesma dimensão Demonstração: Seja R uma matriz escalonada reduzida equivalente a matriz A (a) Pelo Teorema 45 (c) na página 102 os espaços linha de A e de R são iguais (b) Pelo Teorema 45 (a) na página 102 as colunas j 1,, j k da matriz R são LI se, somente se, as colunas j 1,, j k da matriz A também o são Pelo item (a) a dimensão do espaço linha de A é igual a dimensão do espaço linha de R e pelo item (b) a dimensão do espaço coluna de A é igual a dimensão do espaço coluna de R Portanto, basta provarmos o teorema para a matriz escalonada reduzida R Agora, a dimensão do espaço linha de R é igual ao número de linhas não nulas, pois estas são linearmente independentes (verifique!) A dimensão do espaço coluna de R é igual ao número de pivots, pois as outras colunas são combinação linear das colunas dos pivots e podem, portanto, ser descartadas para gerar o espaço coluna de R Portanto, a dimensão dos dois espaços são iguais

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 109 431 Característica e Nulidade Definição 48 Seja A uma matriz m n (a) A característica de A é a dimensão do espaço linha ou do espaço coluna de A, ou seja, é o número máximo de linhas e colunas LI da matriz A (b) A nulidade de A é a dimensão do espaço solução de AX = 0 Exemplo 432 Considere a matriz A = 1 2 1 1 2 4 3 0 1 2 1 5 1 2 0 3 A forma escalonada reduzida da matriz A é a matriz R = 0 0 1 2 As linhas não nulas de R, 0 0 0 0 v 1 = (1, 2, 0, 3) e v 2 = (0, 0, 1,2), formam uma base para o espaço linha de A Portanto, a característica de A é igual a 2 Quanto ao espaço coluna, sejam w 1, w 2, w 3 e w 4 as colunas de A Sejam u 1, u 2, u 3 e u 4 as colunas de R As colunas sem pivots podem ser descartadas na geração do espaço coluna de R, pois elas são combinação linear das colunas dos pivots As colunas correspondentes de A podem, também, ser descartadas na geração do espaço coluna de A, pois os mesmos escalares que fazem a combinação linear nula de w 1, w 2, w 3 e w 4, fazem a combinação linear nula de u 1, u 2, u 3 e u 4 Assim, w 1 = (1, 2, 1) e w 3 = ( 1, 3,1) formam uma base para o espaço coluna de A Vamos apresentar a seguir uma outra forma de calcular a característica de uma matriz Uma submatriz de uma matriz A é a própria matriz A ou qualquer matriz obtida de A retirando-se linha(s) e/ou coluna(s) Teorema 413 Seja A uma matriz m n (a) A característica de A é igual a p = min{m, n} se, e somente se, o determinante de uma submatriz p p é diferente de zero (b) A característica de A é igual ao maior inteiro positivo r tal que alguma submatriz r r de A possui determinante não nulo Demonstração: (a) Podemos supor que m n, já que a característica de A é igual à característica de A T Neste caso, p = m e a característica de A é m se, e somente se, existem m colunas linearmente independentes Mas existem m colunas linearmente independentes se, e somente se, existe uma submatriz m m cujas colunas são linearmente independentes, ou seja, com o seu determinante diferente de zero (b) Se as colunas de A são LI, então Car(A) = min{m, n} e o resultado decorre do item anterior Caso contrário, existe uma coluna de A que é combinação linear das outras e a característica de A é igual à característica da submatriz obtida de A retirando-se esta coluna Este processo pode ser continuado até se obter uma submatriz cujas colunas são linearmente independentes e cuja característica é igual ao de A A característica desta submatriz é igual ao mínimo entre o seu número de linhas e o seu número de colunas e é também igual à característica de A Aplicando-se o item anterior a esta submatriz obtemos o resultado a 3 a a 3 Exemplo 433 Considere a seguinte matriz A = Se det = a 2 9 = (a 3)(a +3) = 0, 3 a a 3 a a a det = a 2 3 a 3a = a(a + 3) = 0 e det = a 2 + 3a = a(a + 3) = 0, então a característica de 3 a a a A é igual a 1 Assim, Car(A) = 1 se, e somente se, a = 3 Caso contrário, a característica de A é igual a 2

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 110 432 Aplicação a Sistemas Lineares Os conceitos de espaço linha e espaço coluna são úteis no estudo de sistemas lineares O sistema AX = B é equivalente à equação a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 x 1 + x 2 + + x n = a m1 a m2 a mn b m Assim, o sistema AX = B tem solução se, e somente se, B é uma combinação linear das colunas de A, ou seja, se, e somente se, B pertence ao espaço coluna de A Teorema 414 Sejam A uma matriz m n e B uma matriz m 1 O sistema linear AX = B tem solução se, e somente se, B pertence ao espaço coluna de A O espaço solução do sistema AX = 0 é chamado de núcleo de A e é denotado por N(A) Teorema 415 Seja A uma matriz m n O sistema linear AX = B, para todo B R m, (a) tem solução se, e somente se, as colunas de A geram o R m (Car(A) = m), (b) tem no máximo uma solução se, e somente se, as colunas de A são linearmente independentes (N(A) = {0}) Demonstração: (a) Pelo Teorema 414, o sistema tem solução para todo B R m se, e somente se, o espaço coluna de A é igual ao R m, daí decorre o resultado (b) Se o sistema AX = B tem no máximo uma solução para todo B R m, então o sistema homogéneo AX = 0 tem somente a solução trivial, daí segue que as colunas de A são linearmente independentes e N(A) = {0} Se por outro lado, N(A) = {0}, ou seja, a única solução do sistema homogéneo AX = 0 é a solução trivial, e X 1 e X 2 são soluções de AX = B, então X 1 X 2 é solução de AX = 0 (verifique!) Assim, X 1 X 2 = 0, ou seja, X 1 = X 2 Segue do item (a) do teorema anterior que um sistema linear AX = B com mais incógnitas do que equações não pode ter solução para todo B Segue também do teorema anterior, que o sistema AX = B tem exactamente uma solução para todo B R m se, e somente se, as colunas de A formam uma base do R m E isto ocorre se, e somente se, m = n e uma das duas condições ocorre: ou N(A) = {0} ou Car(A) = n = m Teorema 416 Sejam A uma matriz m n e B uma matriz m 1 O sistema linear AX = B, (a) tem solução se, e somente se, Car(A B) = Car(A), (b) tem solução única se, e somente se, Car(A B) = Car(A) = n Demonstração: (a) Suponha, em primeiro lugar, que o sistema AX = B tem solução Então, B é combinação linear das colunas de A Portanto, o espaço coluna de A B é igual ao espaço coluna de A, ou seja, Car(A B) = Car(A) Por outro lado, se Car(A B) = Car(A), então B pertence ao espaço coluna de A, ou seja, B é combinação linear das colunas de A Portanto, o sistema AX = B tem solução (b) Do item anterior podemos assumir que AX = B tem solução Seja X 0 uma solução particular de AX = B Então, Y = X + X 0 é solução de AX = B se, e somente se, X é solução do sistema homogéneo AX = 0 Assim, AX = B tem solução única se, e somente se, o sistema homogéneo AX = 0, tem somente a solução trivial E isto acontece se, e somente se, as colunas de A são linearmente independentes, ou seja, as colunas de A formam uma base para o seu espaço coluna ou equivalentemente Car(A) = n

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 111 { ax + 3y = a Exemplo 434 Considere o sistema 3x + ay = a a 3 a Para este sistema, A = e B = 3 a a O sistema tem solução única se, e somente se, Car(A) = 2 (neste caso, Car(A) = 2 implica que Car(A B) = 2) Agora, Car(A) = 2 se, e somente se, det(a) 0 Como det(a) = a 2 9, então o sistema tem solução única se, e somente se, a ±3 O sistema tem infinitas soluções se, e somente se, Car(A B) = 1 (neste caso, Car(A B) = 1 implica que Car(A) = 1) Agora, Car(A B) = 1 se, e somente se, det(a) = 0, det(a 1 ) = 0 e det(a 2 ) = 0, em que A 1 = a 3 a a e A 2 = Como det(a 1 ) = a 2 + 3a = a(a + 3) e det(a 2 ) = a 2 3a = a(a + 3), então o a a 3 a sistema tem infinitas soluções se, e somente se, a=-3 O sistema não tem solução se, e somente se, Car(A) = 1 e Car(A B) = 2 Agora, Car(A) = 1 se, e somente se, det(a) = 0 E Car(A B) = 2 se, e somente se, det(a) 0, ou det(a 1 ) 0 ou det(a 2 ) 0 Assim o sistema não tem solução se, e somente se, a = 3 Teorema 417 Sejam A uma matriz m n e B uma matriz m 1 Seja X 0 uma solução (particular) do sistema linear AX = B Se X 1,, X k formam uma base para o núcleo de A, então toda solução de AX = B pode ser escrita na forma X = X 0 + α 1 X 1 + + α k X k, (4319) em que α 1,, α k são escalares Reciprocamente, para todos os escalares α 1,, α k a expressão (4319) é solução do sistema AX = B Demonstração: Seja X uma solução qualquer do sistema AX = B Então, X X 0 é solução do sistema homogéneo, pois A(X X 0 ) = AX AX 0 = B B = 0 Como X 1,, X k formam uma base para o núcleo de A, existem escalares α 1,, α k tais que X X 0 = α 1 X 1 + + α k X k Daí segue a equação (4319) Por outro lado, se α 1,, α k são escalares, então A(X 0 + α 1 X 1 + + α k X k ) = AX 0 + α 1 AX 1 + + α k AX k = B + 0 + + 0 = B, ou seja, a expressão (4319) é solução de AX = B 433 A Imagem de uma Matriz Seja A uma matriz m n Pelo Teorema 414 na página 110, o espaço coluna de A é igual ao conjunto dos vectores B R m tais que o sistema linear AX = B tem solução, ou seja, é igual ao conjunto J (A) = {B R m : AX = B para algum X R n }, chamado de imagem de A, porque é a imagem da função f : R n R m que associa a cada vector X R n o vector AX R m, f(x) = AX De forma análoga, se vê que o espaço linha de A é igual à imagem de A T A função f : R n R m definida por f(x) = AX, para uma matriz m n é chamada transformação linear associada à matriz A Teorema 418 Seja A uma matriz m n O espaço coluna de A é igual a J (A) e o espaço linha é igual a J (A T ) A dimensão do núcleo de A (nulidade), e a dimensão da imagem de A (característica) não são independentes um do outro, como mostra o próximo resultado Teorema 419 (da Dimensão do Núcleo e da Imagem) Seja A uma matriz m n A soma da dimensão do núcleo de A (nulidade) com a dimensão da imagem de A (característica) é igual ao número de colunas da matriz A, ou seja, dim(n(a)) + dim(j (A)) = n ou nulidade(a) + Car(A) = n

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 112 Demonstração: Seja V = R n Sejam v 1,, v p vectores do V, que formam uma base para o núcleo de A Vamos estendê-la a uma base de V Sejam v p+1,, v n vectores do V tais que v 1,, v n formam uma base de V Vamos mostrar que A v p+1,, A v n formam uma base da imagem de A Para isso, precisamos mostrar que eles geram a imagem de A e que eles são LI Vamos mostrar, em primeiro lugar, que A v p+1,, A v n geram a imagem de A Seja y J (A) Então existe x V tal que A x = y Como v 1,, v n é base de V, existem escalares α 1,, α n tais que x = α 1 v 1 + + α n v n Multiplicando à esquerda por A e usando que A v 1 = = A v p = 0, obtemos que α p + 1A v p+1 + + α na v n = y, ou seja, A v p+1,, A v n geram a imagem de A Vamos mostrar, agora, que A v p+1,, A v n são linearmente independentes Se x p+1 A v p+1 + +x na v n = 0, então A(xp+1 v p+1 + + x n v n) = 0 Mas, isto implica que x p+1 v p+1 + + x n v n pertence ao núcleo de A, ou seja, existem escalares x 1,, x p tais que x p+1 v p+1 + + x n v n = x 1 v 1 + + x p v p Daí segue que x 1 v 1 + + x p v p x p+1 v p+1 x n v n = 0 Como v 1,, v n é base, então x 1 = = x p = x p+1 = = x n = 0, ou seja, A v p+1,, A v n são LI Portanto, a dimensão da imagem de A é igual a diferença entre n e a dimensão do núcleo de A Daí segue o resultado Segue do Teorema da Dimensão do Núcleo e da Imagem que o número de variáveis livres na solução geral de um sistema linear AX = B é igual a dimensão do núcleo de A Exercícios Numéricos 431 Para cada uma das seguintes matrizes, encontre uma base para o espaço linha e para o espaço coluna 1 4 5 2 1 4 5 4 (a) 2 1 3 0 (b) 1 4 4 5 1 3 2 2 0 0 2 0 432 Determine a dimensão do subespaço de R 3 gerado pelos vectores: (a) (1, 2, 2), (2, 2, 4), ( 3, 3,6) (b) (1, 3, 4), (6, 2, 1), (2, 2,3), ( 4, 8, 9) 1 2 2 3 1 4 433 Seja A = 2 4 5 5 4 9 3 6 7 8 5 9 (a) Determine a forma escalonada reduzida U da matriz A Quais as colunas de U que correspondem às variáveis livres Escreva cada uma destas colunas como uma combinação linear das colunas correspondentes aos pivots (b) Quais as colunas de A que correspondem aos pivots de U? Estas colunas formam uma base para o espaço coluna de A Escreva cada uma das colunas restantes como combinação linear das colunas da base 434 Determine a característica e a nulidade das seguintes matrizes: (a) (c) 1 2 0 2 4 1 1 0 1 2 1 3 3 1 4 (b) (d) 1 2 3 2 4 6 435 Discuta como a característica de A varia com t 1 1 t (a) A = 1 t 1 (b) A = t 1 1 1 1 2 0 3 1 0 0 1 2 4 0 t 3 1 3 6 2 1 3 t 436 Encontre o maior valor possível para Car(A) e o menor valor possível para nulidade(a) (a) A é 2 3 (b) A é 3 2 (c) A é 3 3 (d) A é m n 437 Seja A uma matriz não nula Encontre os valores de Car(A) e de Car(A B) para os quais o sistema linear AX = B tem solução única, não tem solução e tem infinitas soluções (a) A é 2 3 (b) A é 3 2 (c) A é 3 3 (d) A é m n

Capítulo 4 Espaços e SubespaçosR n 113 Exercícios Teóricos 438 Seja A uma matriz n n (a) A matriz A é invertível se, e somente se, N(A) = {0} (b) Mostre que Car(A) = n se, e somente se, as colunas de A são linearmente independentes (c) Mostre que o sistema homogéneo AX = 0 tem solução não trivial se, e somente se, o Car(A) < n (d) Mostre que a característica de A é n se, e somente se, det(a) 0 439 Sejam X = x 1 x m e Y = y 1 y n matrizes 1 m e 1 n, respectivamente Seja A = X T Y Mostre que {X} é uma base para o espaço coluna de A e que {Y } é uma base para o espaço linha Qual é a dimensão do N(A)? 4310 Mostre que se A é uma matriz, m n, de característica igual a 1, então existem matrizes X = x 1 x m e Y = y 1 y n, 1 m e 1 n, respectivamente, tais que A = X T Y (Sugestão: Tome X tal que {X} é uma base para o espaço coluna de A) 4311 Sejam A e B matrizes m p e p n, respectivamente Mostre que AB pode ser escrita como uma soma de p matrizes de característica igual a 1 4312 Sejam A e B matrizes m p e p n, respectivamente Seja C = AB Mostre que: (a) O espaço coluna de C está contido no espaço coluna de A (b) O espaço linha de C está contido no espaço linha de B (c) Car(C) min(car(a), Car(B)) (d) Se as colunas de A e B são linearmente independentes, então as colunas de C também são linearmente independentes (e) Se as linhas de A e B são linearmente independentes, então as linhas de C também são linearmente independentes (f) Se as colunas de B são linearmente dependentes, então as colunas de C também são linearmente dependentes (g) Se as linhas de A são linearmente dependentes, então as linhas de C também são linearmente dependentes (h) O núcleo de B está contido no núcleo de C 4313 Seja A uma matriz m n Se P e Q são matrizes invertíveis m m e n n, respectivamente, então A, P A e AQ possuem a mesma característica 4314 Sejam A e B matrizes n n Mostre que AB = 0 se, e somente se, o espaço coluna de B está contido no núcleo de A 4315 Seja A uma matriz n n e B uma matriz n 1 Para cada i, defina a matriz A i como sendo a matriz que se obtém de A substituindo-se a i-ésima coluna por B (a) Mostre que se para algum i, det(a i ) 0, então Car(A B) = n (b) Suponha que o det(a) = 0 Mostre que se para algum i, det(a i ) 0, então o sistema AX = B não tem solução (c) Mostre que se det(a i ) = 0 para i = 1,, n e det(a) = 0, então tanto pode ocorrer que o sistema AX = B tenha infinitas soluções, como pode ocorrer que ele não tenha solução Teste do Capítulo Considere a matriz A = 0 0 0 0 2 1 0 4 2 1 Encontre os valores de λ tais que o sistema homogéneo (A λi 3 )X = 0 tem solução não trivial 2 Para os valores de λ encontrados no item anterior, encontre uma base para o espaço solução de (A λi 3 )X = 0 3 Determine o espaço linha, o espaço coluna e a característica de A

Capítulo 5 Transformações Lineares 51 Definição, Exemplos e Propriedades 511 Definição e Exemplos Lembramos que uma função f de um conjunto A em um conjunto B, f : A B, é uma regra que associa a cada elemento do conjunto A, um único elemento do conjunto B O conjunto A é chamado domínio e o conjunto B é chamado contradomínio O subconjunto de B formado pelos elementos b B tais que f(a) = b, para algum a A é chamado (conjunto) imagem de f Para todo elemento a A, f(a) é chamado a imagem de a por f Dizemos também que f leva a em f(a) Definição 51 Uma função T : R n R m é uma transformação linear se para todos x, y R n e todos os escalares α T(α x ) = αt( x ) e T( x + y ) = T( x ) + T( y ) (511) Exemplo 51 A função O, que leva todo vector de R n no vector nulo de R m, ou seja, O( x ) = 0, para todo x R n, é claramente uma transformação linear e é chamada a transformação linear nula Também a transformação identidade, I, de R n em R n que leva todo vector de R n nele mesmo, ou seja, I( x ) = x, para todo x R n, é claramente uma transformação linear Exemplo 52 Sejam P x, P y : R 2 R 2 as funções que levam todo vector nas suas projecções em relação aos eixos x e y, respectivamente, ou seja, P x(x, y) = (x, 0) e P y(x, y) = (0, y), para todo par (x, y) R 2 Deixamos para o leitor a verificação de que P x e P y são transformações lineares Exemplo 53 Sejam R x, R y : R 2 R 2 as funções que levam todo vector nas suas reflexões em relação aos eixos x e y, respectivamente, ou seja, R x(x, y) = (x, y) e R y(x, y) = ( x, y), para todo par (x, y) R 2 Deixamos para o leitor a verificação de que R x e R y são transformações lineares Exemplo 54 Considere a função, P r, que faz a projecção ortogonal de todo vector do plano numa recta que passa pela origem r : (x, y) = t(a, b), ou seja, P r : R 2 R 2 dada por P r(x, y) = proj (a,b) (x, y) = (a, b) (x, y) (a, b) 2 (a, b) Ou seja, ( a 2 P r(x, y) = a 2 + b 2 x + ab ) a 2 + b 2 y, ab a 2 + b 2 x + b2 a 2 + b 2 y Esta transformação é um caso particular daquela que é tratada no Exemplo 56 Exemplo 55 Considere a função, R r, que faz a reflexão de todo vector do plano numa recta que passa pela origem r : (x, y) = t(a, b), ou seja, R r(x, y) é tal que 2P r(x, y) = (x, y) + R r(x, y) Assim, ( a 2 b 2 R r(x, y) = 2P r(x, y) (x, y) = a 2 + b 2 x + 2ab a 2 + b 2 y, 2ab a 2 + b 2 x + b2 a 2 ) a 2 + b 2 y Esta transformação é um caso particular daquela que é tratada no Exemplo 56 114

Capítulo 5 Transformações Lineares 115 Os quatro últimos exemplos são um caso particular do que é apresentado no próximo exemplo Exemplo 56 Considere a transformação T : R n R m, dada por x 1 a 11 x 1 + + a 1n x n T( x 2 a 21 x 1 + + a 2n x n x ) = T =, para todo x n a m1 x 1 + + a mnx n que pode ser escrita como T( x ) = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn x 1 x 2 = A x, x n x R n, em que A = (a ij ) m n Segue das propriedades da álgebra matricial, Teorema 11 na página 3, que T é uma transformação linear Pois, T( x + y ) = A( x + y ) = A x + A y = T( x ) + T( y ), T(α x ) = A(α x ) = αa x = αt( x ), para todos x, y R n e escalares α Em termos de matrizes, as projecções nos eixos x e y podem ser escritas como x 1 0 x x 0 0 x P x =, P y = y 0 0 y y 0 1 y as reflexões em relação aos eixos x e y, como x 1 0 R x = y 0 1 x y, R y x y = 1 0 0 1 a projecção ortogonal e a reflexão em relação a uma recta r : (x, y) = t(a, b), como a x 2 ab a P r = a 2 +b 2 a 2 +b 2 x x 2 b 2, R r = a 2 +b 2 y y y ab b 2 a 2 +b 2 a 2 +b 2 x y, 2ab a 2 +b 2 2ab b 2 a 2 a 2 +b 2 a 2 +b 2, x y 512 Propriedades Segue da Definição 51 que toda transformação linear T : R n R m leva o vector nulo de R n no vector nulo de R m Pois, se x é um vector qualquer de R n, então T( 0 ) = T(0 x ) = 0T( x ) = 0 Segue também da Definição 51 que uma função T : R n R m é uma transformação linear se, e somente se, T(α x + β y ) = αt(x) + βt( y ), para todos os vectores x, y R n e todos os escalares α e β Pois, se T é linear, então T(α x + β y ) = T(α x ) + T(β y ) = αt( x ) + βt( y ) Por outro lado, se T é uma função tal que T(α x + β y ) = αt( x ) + βt( y ), para todos os vectores x, y R n e todos os escalares α e β, então fazendo α = 1, β = 1 e depois β = 0 segue que T é uma transformação linear Se T : R n R m é uma transformação linear e B é uma base de R n, então todo vector v R n pode ser escrito como combinação linear de vectores de B, ou seja, existem vectores v 1,, v n B e escalares α 1,, α n tais que n v = α1 v 1 + + α n v n = α i v i Então i=1 i=1 i=1 Por outro lado, se U : R n R m é outra transformação linear tal que U( v i ) = T( v i ) para i = 1,, n, então aplicando-se o raciocínio acima, temos que U( v ) = T( v ), para todo v R n Ou seja, U = T Isto prova o seguinte teorema i=1 ( n ) T( n n v ) = T α i v i = T(α i v i ) = α i T( v i )

Capítulo 5 Transformações Lineares 116 Teorema 51 Uma transformação linear T : R n R m é totalmente caracterizada pelos seus valores em uma base de R n Ou seja, se B = { v 1,, v n} é uma base de R n e uma função T está definida para valores em B, T( v i ) = w i, para i = 1,, n Então, existe um única transformação linear definida em todo espaço R n, T : R n R m, tal que T( v i ) = w i, para i = 1,, n Exemplo 57 Seja R θ : R 2 R 2 a transformação linear definida na base canónica por (Figura 61) R θ ( e 1 ) = cos θ e 1 + sinθ e 2 = (cos θ,sinθ) R θ ( e 2 ) = sin θ e 1 + cos θ e 2 = ( sin θ,cos θ) Assim, como (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x e 1 + y e 2, então x R θ = xr θ ( e 1 ) + yr θ ( e 2 ) = x y cos θ sin θ x = sin θ cos θ y Se escrevemos x = (x, y) = (r cos α, r sin α), então cos θ sinθ R θ ( x ) = R θ (r cos α, r sinα) = rr θ (cos α, sinα) + y = r(cos α cos θ sinαsin θ,cos αsin θ + sinαcos θ) sin θ cos θ = r(cos(α + θ),sin(α + θ)) = (r cos(α + θ), r sin(α + θ)) Assim, segue da linearidade, que R θ faz uma rotação de um ângulo θ em todo vector x = (x, y) R 2 R θ ( e 2 ) e 2 θ R θ ( e 1 ) θ e 1 Figura 61: Transformação rotação sobre os vectores e 1 e e 2 Seja T : R n R m uma transformação linear tal que 1 a 11 0 a 12 0 0 T = a 21, T 1 = a 22,, T 0 = 0 a m1 0 a m2 1 a 1n a 2n a mn Sejam x = (x 1,, x n) um vector qualquer do R n e e 1 = (1, 0,,0), e 2 = (0, 1, 0,, 0),, e n = (0,,0, 1) Como x = x 1 e 1 + + x n e n, então a 11 a 1n T( x ) = x 1 T( e 1 ) + + x nt( a 21 e n) = x 1 + + a 2n xn a m1 a mn a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n x 2 = = A x, a m1 a m2 a mn x n

Capítulo 5 Transformações Lineares 117 em que as colunas de A são T( e 1 ),, T( e n), ou seja, A = T( e 1 ) T( e n), com T( e i ), para i = 1,, n escritos como matrizes colunas Isto prova o seguinte resultado Teorema 52 Seja T : R n R m uma transformação linear Então, T é dada por T( x ) = A x, para todo x R n, em que A = (a ij ) m n = T( e 1 ) T( e n), com T( e i ), para i = 1,, n, escritos como matrizes colunas e e 1 = (1, 0,,0), e 2 = (0, 1,0,,0),, e n = (0,,0, 1) A matriz A é chamada matriz da transformação T (em relação às bases canónicas) Exemplo 58 A matriz de uma transformação linear pode ser obtida rapidamente aplicando-se a transformação nos vectores da base canónica Por exemplo, as matrizes das projecções nos eixos x e y podem ser obtidas Px( e 1 ) P x( e 2 ) 1 0 =, Py( e 1 ) P y( e 2 ) 0 0 = ; 0 0 0 1 as matrizes das reflexões em relação aos eixos x e y, Rx( e 1 ) R x( e 2 ) 1 0 =, 0 1 Ry( e 1 ) R y( e 2 ) = 1 0 0 1 ; as matrizes da projecção ortogonal e da reflexão em relação a uma recta r : (x, y) = t(a, b), como Pr( e 1 ) P r( e 2 ) a 2 ab = a 2 +b 2 a 2 +b 2, Rr( e 1 ) R r( e 2 ) a 2 b 2 = a 2 +b 2 e a matriz da rotação de um ângulo θ, ab b 2 a 2 +b 2 a 2 +b 2 Rθ ( e 1 ) R θ ( e 2 ) = cos θ sinθ sinθ cos θ 2ab a 2 +b 2 2ab b 2 a 2 a 2 +b 2 a 2 +b 2 ; Exercícios Numéricos 511 Seja T : R 2 R 2 uma transformação linear para a qual sabemos que T(1, 1) = (2, 3) e T(0, 1) = (1, 2) (a) Determine T(3, 2) (b) Determine T(a,b) 512 Determine a transformação T : R 2 R 3 tal que T(1, 1) = (3, 2, 1) e T(0, 2) = (0, 1,0) Encontre T(1, 0) e T(0, 1) 513 Determine expressões para as transformações lineares P xy, P yz, P xz : R 3 R 3, que são projecções nos planos xy, yz e xz, respectivamente 514 Considere o plano π : x + 2y + 3z = 0 Encontre expressões para as seguintes transformações lineares: (a) A projecção ortogonal no plano π, P π : R 3 R 3 (b) A reflexão em relação ao plano π, R π : R 3 R 3 515 Determine expressões para as transformações lineares R π/3,x, R π/3,y e R π/3,z que são rotações de π/3 em relação aos eixos x, y e z, respectivamente 516 Considere a recta r : (x, y, z) = t(1, 1, 1) (a) Seja P r : R 3 R 3 a projecção ortogonal na recta r Encontre uma expressão para P r(x, y, z) (b) Seja R r : R 3 R 3 a reflexão em relação à recta r Encontre uma expressão para R r(x, y, z) 517 Existe uma única reflexão S do plano que transforma o ponto (5, 0) no ponto (3, 4) Determine a equação para o eixo da reflexão S Verifique que ele passa pela origem Calcule a matriz (em relação à base canónica de R 2 ) da reflexão S

Capítulo 5 Transformações Lineares 118 Exercícios Teóricos 518 Considere o plano π : ax + by + cz = 0 Encontre expressões para as seguintes transformações lineares: (a) A projecção ortogonal no plano π, P π : R 3 R 3 (b) A reflexão em relação ao plano π, R π : R 3 R 3 519 Determine expressões para as transformações lineares R θ,x, R θ,y, R θ,z : R 3 R 3, que são rotações de θ em relação aos eixos x, y e z, respectivamente 5110 Considere a recta r : (x, y, z) = t(a, b, c) Encontre expressões para as seguintes transformações lineares: (a) A projecção ortogonal na recta r, P r : R 3 R 3 (b) A reflexão em relação à recta r, R r : R 3 R 3 5111 Seja y = (a, b, c) R 3 Determine a matriz do operador linear T : R 3 R 3, definido por ( ) T( x ) = T(x, y, z) = x y z x z x y y = det, det,det, b c a c a b em relação à base canónica 5112 Seja c uma constante diferente de zero Uma transformação linear T : R 2 R 2 dada por T(x, y) = (cx, y), para todo (x, y) R 2 é chamada expansão ao longo do eixo x se c > 1 e contracção ao longo do eixo x se 0 < c < 1 Uma transformação linear T : R 2 R 2 dada por T(x, y) = (x, cy), para todo (x, y) R 2 é chamada expansão ao longo do eixo y se c > 1 e contracção ao longo do eixo y se 0 < c < 1 Uma transformação linear T : R 2 R 2 dada por T(x, y) = (x + cy, y), para todo (x, y) R 2 é chamada cisalhamento ao longo do eixo x Uma transformação linear T : R 2 R 2 dada por T(x, y) = (x, y + cx), é chamada cisalhamento ao longo do eixo y (a) Mostre que a matriz elementar que corresponde a trocar duas linhas é a matriz de uma reflexão em relação à recta y = x (b) Mostre que a matriz elementar que corresponde a multiplicar uma linha por um escalar não nulo é a matriz de uma expansão, ou a matriz de uma contracção, ou a matriz de uma reflexão em relação a um dos eixos coordenados, ou um produto de uma matriz de uma reflexão em relação a um dos eixos coordenados por uma matriz de uma expansão ou contracção (c) Mostre que a matriz elementar que corresponde a somar a uma linha um múltiplo escalar de outra é a matriz de um cisalhamento ao longo de um dos eixos coordenados 52 A Imagem e o Núcleo Definição 52 Seja T : R n R m uma transformação linear (a) O núcleo de T é definido pelo conjunto N(T) = { x R n : T( x ) = 0 }, (b) A imagem de T é definida pelo conjunto J (T) = { y R m : y = T( x ), para algum x R n }, (c) A dimensão do núcleo de T é chamada de nulidade de T e a dimensão da imagem de T é chamada característica de T Exemplo 59 Sejam O : R n R m a transformação linear nula e I : R n R n a transformação identidade Então N(O) = R n, J (O) = { 0 }, N(I) = { 0 } e J (I) = R n Teorema 53 Sejam R n e R m espaços vectoriais Seja T : R n R m uma transformação linear O núcleo, N(T), e a imagem, J (T) são subespaços de R n e de R m, respectivamente

Capítulo 5 Transformações Lineares 119 Demonstração: Para mostrar que um conjunto é um subespaço precisamos mostrar as propriedades (a) e (b) da página 99, ou seja, que com relação às operações de soma de vectores e multiplicação por escalar podemos viver nele sem termos que sair Vamos mostrar em primeiro lugar que o núcleo de T é um subespaço (a) Se x 1, x 2 N(T), então T( x 1 ) = T( x 2 ) = 0 Logo, T( x 1 + x 2 ) = T( x 1 ) + T( x 2 ) = 0 + 0 = 0, ou seja, x 1 + x 2 N(T) (b) Se x N(T) e α é um escalar, então T(α x ) = αt( x ) = α 0 Logo, α x N(T) Vamos mostrar, agora, que a imagem de T é um subespaço (a) Se y 1, y 2 J (T), então existem x 1, x 2 R n tais que T( x 1 ) = y 1 e T( x 2 ) = y 2 Seja x = x 1 + x 2 Então, T( x ) = T( x 1 + x 2 ) = T( x 1 ) + T( x 2 ) = y 1 + y 2 Logo, y 1 + y 2 J (T) (b) Se y J (T) e α é um escalar, então existe x R n tal que T( x ) = y Como T é linear, então T(α x ) = αt( x ) = α y Logo, α y J (T) Exemplo 510 A imagem de uma transformação linear de R n em R não nula, f : R n R, é o conjunto R, pois { 0 } e R são os únicos subespaços do espaço vectorial R Teorema 54 Seja T : R n R m uma transformação linear Se { v 1,, v n} é uma base do R n, então a imagem de T é gerada por T( v 1 ),, T( v n) Demonstração: Seja w J (T) Então, existe v R n tal que T( v ) = w Como { v 1,, v n} é uma base do R n, existem escalares α 1,, α n tais que v = α 1 v 1 + + α n v n Assim, ( n ) n w = T( v ) = T α i v i = α i T( v i ) Ou seja, T( v 1 ),, T( v n) geram J (T) i=1 i=1 Exemplo 511 Vamos considerar as projecções nos eixos x e y (Figuras 62 e 63) x 1 0 x x 0 0 x P x =, P y = y 0 0 y y 0 1 y Geometricamente vemos que o núcleo de P x é o eixo y, o núcleo de P y é o eixo x, que são os pontos que são levados pelas transformações para a origem Vemos também que a imagem de P x é o eixo x, pois todos os pontos são levados por P x no eixo x Analogamente, a imagem de P y é o eixo y y y v v P y( v ) P x( v ) x x Figura 62: Projecção no eixo x Figura 63: Projecção no eixo y Exemplo 512 Vamos considerar as reflexões em relação aos eixos x e y (Figuras 64 e 65) x 1 0 x x 1 0 x R x =, R y = y 0 1 y y 0 1 y Geometricamente vemos que o núcleo de R x e o núcleo de R y são iguais à origem, pois é o único ponto que é levado para a origem pelas transformações Vemos também que as imagens de R x e de R y são iguais a R 2, pois todo ponto (x, y) é imagem do ponto (x, y) reflectido pelas respectivas transformações

Capítulo 5 Transformações Lineares 120 y y R y( v ) v v x x R x( v ) Figura 62: Reflexão em relação ao eixo x Figura 63: Reflexão em relação ao eixo y Exemplo 513 Consideremos a projecção ortogonal e a reflexão em relação a uma recta r : (x, y) = t(a, b) (Figuras 66 e 67) a x 2 ab a P r = a 2 +b 2 a 2 +b 2 x x 2 b 2 2ab, R r = a 2 +b 2 a 2 +b 2 x y y y y ab b 2 a 2 +b 2 a 2 +b 2 2ab b 2 a 2 a 2 +b 2 a 2 +b 2 Geometricamente vemos que o núcleo de P r é a recta s : (x, y) = t( b, a), perpendicular à recta r que passa pela origem, pois os pontos sobre a recta s são exactamente os pontos que são levados por P r para a origem Vemos também que a imagem de P r é a própria recta r, pois todos os pontos do R 2 são levados para a recta r Geometricamente vemos que o núcleo de R r é a origem, pois é o único ponto do R 2 que é levado para a origem Vemos também que a imagem de R r é o R 2, pois todo ponto (x, y) é a imagem do ponto (x, y) reflectido por r y y 2P r( v ) = v + R r( v ) v v P r( v ) r x r R r( v ) x Figura 62: Projecção na recta r Figura 63: Reflexão em relação à recta r Exemplo 514 Geometricamente vemos que a rotação de um ângulo θ (Figura 68 na página 373) x cos θ sinθ x R θ = y sinθ cos θ y tem núcleo igual à origem, pois é o único ponto que é levado para a origem por R θ Vemos também que a imagem de R θ é igual ao R 2, pois todo ponto (x, y) é a imagem do ponto (x, y) girado de θ Seja T : R n R m uma transformação linear Pelo Teorema 52 na página 117 a transformação T é dada por T( x ) = A x, para todo x R n, onde A = (a ij ) m n = T( e 1 ) T( e n), com T( e i ), para i = 1,, n escritos como matrizes colunas e e 1 = (1, 0,,0), e 2 = (0, 1,0,,0),, e n = (0,,0, 1) Assim, o núcleo de T é o espaço solução do sistema homogéneo A x = 0 e a imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas de A, ou seja, é o espaço coluna de A 521 Injectividade e Sobrejectividade Dizemos que uma função f : A B é sobrejectiva se, para todo b B existe a A tal que f(a) = b, ou seja, se a imagem de f é igual a B No caso em que f é uma transformação linear, obtemos como consequência do Teorema 54 o seguinte resultado

Capítulo 5 Transformações Lineares 121 Corolário 541 Seja T : R n R m uma transformação linear Seja { v 1,, v n} uma base de R n T é sobrejectiva se, e somente se, T( v 1 ),, T( v n) geram o R m Exemplo 515 Toda transformação linear do R n em R não nula, f : R n R é sobrejectiva, pois { 0 } e R são os únicos subespaços do espaço vectorial R Exemplo 516 As reflexão em relação a uma recta que passa pela origem e a rotação são sobrejectivas enquanto que a projecção ortogonal em uma recta que passa pela origem não é sobrejectiva (Exemplos 613 e 614 na página 378) Dizemos que uma função f : A B é injectiva, se f(x) = f(y) implica que x = y Teorema 55 Seja T : R n R m uma transformação linear Então, T é injectiva se, e somente se, N(T) = { 0 } Demonstração: Suponha que T é injectiva Seja x N(T) Então, como T é injectiva, T( x ) = T( 0 ) implica que x = 0 Agora, suponha que N(T) = { 0 } Se T( x ) = T( y ), então T( x y ) = 0, ou seja, x y N(T) Como, N(T) = { 0 }, então x y = 0, ou seja, x = y Exemplo 517 A reflexão em relação a uma recta que passa pela origem e a rotação são injectivas, enquanto que a projecção ortogonal em uma recta que passa pela origem não é injectiva (Exemplos 613 e 614 na página 378) Teorema 56 ((da Dimensão do Núcleo e da Imagem)) Seja T : R n R m uma transformação linear Se R n tem dimensão finita, então a soma da dimensão do núcleo de T com a dimensão da imagem de T é igual a dimensão do R n, ou seja, dim(n(t)) + dim(j (T)) = dim(r n ) Demonstração: Vamos supor que 1 dim(n(t)) < n Sejam v 1,, v p vectores do R n, que formam uma base para o núcleo de T Vamos estendê-la a uma base do R n Sejam v p+1,, v n vectores do R n tais que v 1,, v p, v p+1,, v n formam uma base do R n Vamos mostrar que T( v p+1 ),, T( v n) formam uma base da imagem de T Para isso, precisamos mostrar que eles geram a imagem de T e que são LI Pelo Teorema 54 na página 119, T( v p+1 ),, T( v n) geram a imagem de T, pois T( v 1 ) = = = T( v p) = 0 Vamos mostrar que T( v p+1 ),, T( v n) são linearmente independentes Considere a combinação linear nula Pela linearidade de T segue que x p+1 T( v p+1 ) + + x nt( v n) = 0 T(x p+1 v p+1 + + x n v n) = 0 Mas isto implica que x p+1 v p+1 + +x n v n N(T) Assim, existem escalares y 1,, y p tais que x p+1 v p+1 + + x n v n = y 1 v 1 + + y p v p De onde segue que y 1 v 1 + + y p v p x p+1 v p+1 x n v n = 0 Como v 1,, v n é uma base do R n, então y 1 = = y p = x p+1 = = x n = 0, ou seja, T( v p+1 ),, T( v n) são LI Portanto, a dimensão da imagem de T é igual a diferença entre a dimensão do R n e a dimensão do núcleo de T, de onde segue o resultado Em geral, uma transformação linear pode ser injectiva sem ser sobrejectiva e sobrejectiva sem ser injectiva Entretanto, se a dimensão do domínio for igual a dimensão do contradomínio temos o seguinte resultado, que é uma consequência imediata do Teorema 56 da Dimensão do Núcleo e da Imagem

Capítulo 5 Transformações Lineares 122 Corolário 561 Seja T : R n R m uma transformação linear entre espaços de dimensão finita Suponha que dim(r n ) = dim(r m ) (a) Se T é sobrejectiva, então T é injectiva (b) Se T é injectiva, então T é sobrejectiva Se uma transformação linear T : R n R m é injectiva e sobrejectiva, então T é chamada isomorfismo Exercícios Numéricos 521 Seja P a transformação do R 3 em R 3, definida por P(x, y, z) = (x, y, 0) Se a imagem de uma recta r, por P, é um ponto, então quais são as equações paramétricas da recta r? 522 Seja T : R 3 R 3 uma transformação linear dada por T(x, y, z) = (z, x y, z) (a) Encontre uma base para o núcleo de T (b) Encontre uma base para a imagem de T (c) Descreva geometricamente o núcleo e a imagem de T 523 Seja T : R n R 5 uma transformação linear (a) Se T é sobrejectiva e dim(n(t)) = 2, qual o valor de n? (b) Se T é sobrejectiva e injectiva, qual o valor de n? 524 Dê exemplos de transformações lineares T : R 3 R 3 tais que (a) N(T) = {(x, y, z) R 3 : z = x}, (b) J (T) = {(x, y, z) R 3 : x = y} 525 Dê um exemplo de uma transformação linear T : R 2 R 2 tal que N(T) = J (T) Exercícios Teóricos 526 Determine o núcleo e a imagem do operador linear definido no Exercício 11 na página 118 527 Considere o plano π : ax + by + cz = 0 (a) Determine o núcleo e a imagem da projecção ortogonal no plano π, P π Responda se P π é sobrejectiva e se é injectiva (b) Determine o núcleo e a imagem da reflexão em relação ao plano π, R π Responda se R π é sobrejectiva e se é injectiva 528 Considere a recta r : (x, y, z) = t(a, b, c) (a) Determine o núcleo e a imagem da projecção ortogonal na recta r, P r Responda se P r é sobrejectiva e se é injectiva (b) Determine o núcleo e a imagem da reflexão em relação à recta r, R r Responda se R r é sobrejectiva e se é injectiva 529 Seja f : R 3 R uma transformação linear (a) Mostre que existem escalares a, b, c tais que f(x, y, z) = ax + by + cz (b) Descreva geometricamente todas as possibilidades para o núcleo de f 5210 Sejam T : R n R m uma transformação linear e B = { v 1,, v n} um conjunto de vectores de R n Mostre que se C = {T( v 1 ),, T( v n)} é LI, então B também o é 5211 Seja R n um espaço vectorial de dimensão finita Seja T : R n R m uma transformação linear Mostre que T é injectiva se, e somente se, dim(j (T)) = n 5212 Seja T : R n R m uma transformação linear Mostre que T é injectiva se, e somente se, a imagem de todo conjunto de vectores linearmente independente é um conjunto de vectores linearmente independente 5213 Sejam T : R n R n uma transformação linear Mostre que T é injectiva se, e somente se, a imagem por T de uma base de R n é uma base de R n

Capítulo 5 Transformações Lineares 123 53 Composição de Transformações Lineares Sejam T : R n R p e S : R p R m transformações lineares A composição de S com T, denotada por ST é a função do R n em R m definida por (ST)( x ) = S(T( x )), para todo x R n Teorema 57 Se T : R n R p e S : R p R m são transformações lineares, então a composição ST : R n R m é uma transformação linear Demonstração: Sejam x 1, x 2 R n e α, β escalares (ST)(α x 1 + β x 2 ) = S(T(α x 1 + β x 2 )) = S(αT( x 1) + βt( x 2 )) = αs(t( x 1 )) + βs(t( x 2 )) = α(st)( x 1 ) + β(st)( x 2 ) 531 Matriz de uma Transformação Linear Definição 53 Seja B = { v 1,, v n} uma base do R n Todo vector v R n se escreve de maneira única como combinação linear de v 1,, v n (Teorema 48 na página 106), ou seja, existem escalares α 1,, α n tais que v = α 1 v 1 + + α n v n Definimos o vector de coordenadas de v em relação à base (ordenada) B = { v 1,, v n}, por α 1 α 2 v B = α n As coordenadas de um vector v em relação à base B são os escalares que aparecem quando escrevemos v como combinação linear dos vectores da base B Assim, v 1 B = e 1, v 2 B = = e 2,, v n B = e n, em que e 1,, e n são os vectores da base canónica do R n Pois, v i = 0 v 1 + + 1 v i + + 0 v n, para i = 1,, n Sejam B = { v 1,, v n} e C = { w 1,, w m} bases do R n e R m, respectivamente Seja T : R n R m uma transformação linear Sejam x 1 a 11 a 12 a 1n x 2 v B =, T( a 21 v 1 ) C =, T( a 22 v 2 ) C =,, T( a 2n v n) C = x n a m1 a m2 a mn Então, T( v ) = T(x 1 v 1 + + x n v n) = x 1 T( v 1 ) + + x nt( v n) = x 1 (a 11 w 1 + + a m1 w m) + + x n(a 1n w 1 + + a mn w m) = (x 1 a 11 + + x na 1n ) w 1 + + (x 1 a m1 + + x na mn) w m Como escrevemos o vector T( v ) como combinação linear dos vectores da base C, então os escalares são as coordenadas de T( v ) em relação à base C, ou seja, T( v ) C = a 11 x 1 + + a 1n x n a 21 x 1 + + a 2n x n a m1 x 1 + + a mnx n = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn x 1 x 2 = A v B, x n em que A = T( v 1 ) C T( v n) C Esta matriz é chamada matriz da transformação linear T em relação às bases B e C e é denotada por T C B, ou seja, T C B = T( v 1 ) C T( v n) C Isto prova o seguinte resultado, que é uma generalização do Teorema 52 na página 117 Teorema 58 Sejam B = { v 1,, v n} e C = { w 1,, w m} bases do R n e R m, respectivamente Seja T : R n R m uma transformação linear Então, a matriz m n T C B = T( v 1 ) C T( v n) C,

Capítulo 5 Transformações Lineares 124 é tal que T( v ) C = T C B v B, para todo vector v R n Aqui v B é o vector v de coordenadas relativas à base B, T( v ) C é o vector T( v ) de coordenadas relativas à base C e a matriz T C B = T( v 1 ) C T( v n) C é a matriz da transformação linear T em relação às bases B e C Quando a transformação linear é a transformação identidade I : R n R n, definida por I( x ) = x, para todo x R n, então aplicando o resultado anterior (Teorema 58) a esta transformação, obtemos uma relação entre as coordenadas de um vector x relativamente às duas bases x C = I( x ) C = I C B x B = P x B, em que P = v 1 C v n C é chamada matriz mudança de base de B para C Corolário 581 Sejam B = { v 1,, v n} e C = { w 1,, w n} bases do R n Então, para todo x R n, x C = I C B x B, em que P = I C B = v 1 C v n C é a matriz da transformação linear identidade I : R n R n em relação às bases C e B Exemplo 518 Sejam B = { e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1)} e C = { v 1 = (1, 1), v 2 = (1, 1)} bases do R 2 Como B é x a base canónica, temos que (x, y) B = Vamos encontrar (x, y) C y (x, y) C = I R 2 C B (x, y) B Para determinarmos I R 2 C B = e 1 C e 2 C directamente precisamos saber escrever e 1 e e 2 em termos da base C Para isto precisamos resolver as equações: e 1 = x 1 v 1 + y 1 v 2 e e 2 = x 2 v 1 + y 2 v 2 Temos que resolver dois sistemas lineares que têm a mesma matriz A = v 1 v 2 Como a matriz A é invertível e é fácil encontrar a inversa de uma matriz 2 2 (ver por exemplo Exemplo 219 na página 45), podemos obter as soluções dos sistemas como A 1 e 1 e A 1 e 2 Como então Portanto A 1 = ( 1 1 1 1 ) 1 = I C B = e 1 C e 2 C = A 1 e 1 A 1 e 2 = (x, y) C = I C B (x, y) B = 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 x y, 1/2 1/2 1/2 1/2 = (x + y)/2 (x y)/2 Teorema 59 Sejam T : R n R p e S : R p R m transformações lineares Sejam B = { v 1,, v n}, C = { u 1,, u p} e D = { w 1,, w m} bases do R n, R p e R m, respectivamente Então, ST D B = SD C TC B Ou seja, a matriz da composição de duas transformações lineares é o produto das matrizes das transformações lineares Demonstração: Sejam A = S D C, B = TC B e C = STD B Vamos mostrar que C = AB ( p ) (ST)( v j ) = S(T( p v j )) = S b kj u k = b kj S( u k ) k=1 k=1 p m ( p m m p ) = b kj a ik w i = a ik b kj w i = a ik b kj w i k=1 i=1 k=1 i=1 i=1 k=1 Mas, por definição da matriz de uma transformação linear (ST)( m v j ) = c ij w i i=1 Como os vectores w 1,, p w m são LI, então c ij = a ik b kj, ou seja, C = AB, como queríamos provar k=1

Capítulo 5 Transformações Lineares 125 532 Invertibilidade Dizemos que uma transformação linear T : R n R m é invertível se, existe uma função U : R m R n tal que TU = I R m e UT = I R n A função U é única (verifique!) e denotada por T 1 Teorema 510 Seja T : R n R m uma transformação linear invertível Então, T 1 : R m R n é também uma transformação linear Demonstração: Sejam y 1, y 2 R m e α, β escalares Sejam x 1 = T 1 ( y 1 ) e x 2 = T 1 ( y 2 ) Então, T 1 (α y 1 + β y 2 ) = T 1 (αt( x 1 ) + βt( x 2 ) = T 1 (T(α x 1 + β x 2 )) o que prova que T 1 é uma transformação linear = α x 1 + β x 2 = αt 1 ( y 1 ) + βt 1 ( y 2 ), Lembramos que uma função f : A B é invertível se, e somente se, é injectiva e sobrejectiva Teorema 511 Sejam B = { v 1,, v n} e C = { w 1,, w m} bases dos espaços vectoriais R n e R m, respectivamente Uma transformação linear T : R n R m é invertível se, e somente se, T C B é invertível Além disso, se T é invertível, então T 1 B C = (TC B ) 1 Demonstração: Suponha, em primeiro lugar, que T é invertível Então T é injectiva e sobrejectiva, o que implica, pelo Teorema da Dimensão do Núcleo e da Imagem 56 na página 121, que n = dim(r n ) = dim(r m ) = m Além disso, existe uma transformação linear, T 1, tal que TT 1 = I R m e T 1 T = I R n Assim, I n = I R n B B = T 1 T B B = T 1 B C TC B Portanto, a matriz T C B é invertível e ( T C 1 B) = T 1 B C Suponha, agora, que A = T C B é uma matriz invertível Então, A é uma matriz quadrada e dim(rn ) = n = m = dim(r m ) Vamos mostrar que N(T) = { 0 } Seja v N(T) Então, T( v ) C = A v B = 0 Como A é invertível, então v B = 0 O que implica que v = 0 Assim T é injectiva (Teorema 55 na página 121) e como dim(r n ) = dim(r m ), então pelo Corolário 561 na página 122 segue que T é também sobrejectiva e portanto invertível Exemplo 519 Seja T : R 3 R 3 definida por T(x, y, z) = (x + y + 2z, y + 2z, z), para todo (x, y, z) R 3 Vamos verificar se T é invertível Seja B = { e 1, e 2, e 3 } Vamos determinar a matriz de T em relação a B Para isto, vamos escrever o resultado da aplicação T em cada elemento de B como combinação linear dos elementos de B Assim, a matriz de T em relação a B é T( e 1 ) = e 1 = 1 e 1 + 0 e 2 + 0 e 3 T( e 2 ) = e 1 + e 2 = 1 e 1 + 1 e 2 + 0 e 3 T( e 3 ) = 2 e 1 + 2 e 2 + e 3 = 2 e 1 + 2 e 2 + 1 e 3 T B B = T( e 1 ) B T( e 2 ) B T( e 3 ) B = 1 1 2 0 1 2 0 0 1 Esta matriz é invertível e assim pelo Teorema 511 a transformação linear T é invertível e 1 1 0 T 1 B B = (TB B ) 1 = 0 1 2 0 0 1 Vamos determinar uma expressão para T 1 Pelo Teorema 58 na página 123, temos que 1 1 0 x x y T 1 (x, y, z) B = T 1 B B (x, y, z) B = 0 1 2 y = y 2z 0 0 1 z z Portanto, T 1 (x, y, z) = (x y, y 2z, z) Quando a transformação linear é a transformação identidade I : R n R n, definida por I( x ) = x, para todo x R n, então aplicando o resultado anterior (Teorema 511) a esta transformação, obtemos o seguinte resultado

Capítulo 5 Transformações Lineares 126 Corolário 5111 Sejam B = { v 1,, v n} e C = { w 1,, w n} bases do R n A matriz mudança de base P = I C B é invertível e P 1 = (I C B ) 1 = I B C Exemplo 520 Vamos determinar a expressão da transformação linear que faz uma rotação de um ângulo θ no sentido anti-horário em torno de um eixo que passa pela origem e tem a direcção e o sentido dados por um vector unitário u = (a, b, c) Seja C = { u 1, u 2, u 3 }, em que u 1 = u = (a, b, c) u 2 = b ( a 2 + b, a 2 a 2 + b, 0) 2 ac u 3 = ( a 2 + b, bc 2 a 2 + b, a 2 + b 2 ) 2 É fácil verificar que esta é uma base ortonormal, ou seja, uma base em que os seus vectores são unitários mutuamente ortogonais Além disso, temos que e R θ ( u 1 ) = u 1 = (a, b, c) R θ ( u 2 ) = cos θ u 2 + sinθ u 3 = ( R θ ( u 3 ) = sinθ u 2 + cos θ u 3 = ( Se B = { e 1, e 2, e 3 } é a base canónica do R 3, então Podemos escrever R θ, u = R θ, u I e assim Agora, b cos θ ac sinθ acos θ bcsin θ,, a 2 + b 2 sin θ) a 2 + b 2 a 2 + b 2 b sin θ ac cos θ, a 2 + b 2 R θ, u ( x ) = R θ, u ( x ) B = R θ, u B B x B R θ, u B B = R θ, u IB B = R θ, u B C IC B R θ, u B C = R θ, u ( u 1 ) B R θ, u ( u 2 ) B R θ, u ( u 3) B = asinθ bccos θ, a 2 + b 2 cos θ) a 2 + b 2 R θ, u ( u 1 ) R θ, u ( u 2 ) R θ, u ( u 3 ), I C B = (I B C ) 1 = u 1 B u 2 B u 3 B 1 = u 1 u 2 u 3 T, pois B é a base canónica e os vectores u 1, u 2 e u 3 são unitários mutuamente ortogonais Assim, Mas, a = b c R θ, u ( x ) = R θ, u B C x C = R θ, u ( u 1 ) R θ, u ( u 2 ) R θ, u ( u 3 ) u 1 u 2 u 3 T x R θ, u ( u 1 ) R θ, u ( u 2 ) R θ, u ( u 3 ) u 1 u 2 u 3 T = bcos θ ac sinθ b sin θ ac cos θ a b c a 2 + b 2 a 2 + b 2 b a acos θ bcsin θ asinθ bc cos θ 0 a a 2 + b 2 a 2 + b 2 2 + b 2 a 2 + b 2 ac bc a 2 + b 2 sin θ a 2 + b 2 a cos θ 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 (1 cos θ) + cos θ ab(1 cos θ) csin θ ac(1 cos θ) + b sinθ = ab(1 cos θ) + csin θ b 2 (1 cos θ) + cos θ bc(1 cos θ) a sinθ ac(1 cos θ) b sin θ bc(1 cos θ) + asin θ c 2 (1 cos θ) + cos θ que é a matriz de R θ, u em relação à base canónica Finalmente, x a 2 (1 cos θ) + cos θ ab(1 cos θ) csinθ ac(1 cos θ) + b sinθ R θ, u y = ab(1 cos θ) + c sinθ b 2 (1 cos θ) + cos θ bc(1 cos θ) asinθ z ac(1 cos θ) b sinθ bc(1 cos θ) + asinθ c 2 (1 cos θ) + cos θ x y z 533 Semelhança Corolário 5112 Sejam B = { v 1,, v n} e C = { w 1,, w n} bases de um espaço vectorial R n Se T : R n R n é uma transformação linear, então T C C = P 1 T B B P

Capítulo 5 Transformações Lineares 127 Demonstração: Pelo Teorema 59 na página 124 temos que T C C = IC B TB B IB C Mas pelo Corolário 5111 na página 126 a matriz P = I B C é invertível e P 1 = I C B De onde segue o resultado Uma transformação linear de um espaço vectorial R n nele mesmo é chamada um operador linear Sejam A e B matrizes n n Dizemos que B é semelhante a A se existe uma matriz invertível P tal que B = P 1 AP Observe que com esta terminologia o Corolário 5112 pode ser estabelecido da seguinte forma: Se T : R n R n é uma transformação linear, B = { v 1,, v n} e C = { w 1,, w n} são bases do R n, então T C C é semelhante a TB B O traço de uma matriz quadrada A, denotado por tr(a), é definido como sendo a soma dos elementos da sua diagonal principal Como tr(ab) = tr(ba) (Exercício 26 na página 10), então tr(p 1 AP) = tr(a) Assim, em virtude do Corolário 5112, se R n é um espaço vectorial de dimensão finita, podemos definir o traço de um operador linear T : R n R n como sendo tr(t) = tr(t B B ), onde B é uma base do R n De forma análoga, como det(ab) = det(a) det(b) = det(ba) (Teorema 210 na página 43), então det(p 1 AP) = det(a) Assim, em virtude do Corolário 5112, se R n é um espaço vectorial de dimensão finita, podemos definir o determinante de um operador linear T : R n R n como sendo onde B é uma base do R n det(t) = det(t B B ), Exemplo 521 Vamos obter uma expressão para a reflexão na recta r : y = 2x, R r : R 2 R 2, usando o Corolário 5112 Vamos escolher uma base do R 2, tal que a avaliação de R r nos elementos desta base seja fácil de se obter Por exemplo, C = { v 1 = (1, 2), v 2 = ( 2, 1)} Assim, R r( v 1 ) = R r(1, 2) = (1, 2) = 1 v 1 + 0 v 2 R r( v 2 ) = Rr( 2, 1) = (2, 1) = 0 v 1 1 v 2 B = R r C C = 1 0 0 1 A matriz mudança de base, da base C para a base canónica B = {(1, 0), (0, 1)} é dada por P = I R 2 B C = 1 2 2 1 Pelo Corolário 5112, a matriz A = R r B B é obtida através da equação matricial A = R r B B = I R 2B C RrC C I R 2C B = PBP 1 Vamos enunciar uma versão mais geral do Corolário 5112, cuja demonstração é inteiramente análoga e deixamos como exercício para o leitor Corolário 5113 Seja T : R n R m uma transformação linear Sejam B = { v 1,, v n} e B = { v 1,, v n} bases do R n e C = { w 1,, w m} e C = { w 1,, w m } bases do Rm Então, T C B = P 1 T C B Q, onde P é a matriz mudança de base de C para C e Q, de B para B

Capítulo 5 Transformações Lineares 128 Exercícios Numéricos 531 Seja T : R 2 R 2 a transformação linear dada por T(x, y) = (2x + y, x 3y), para todo (x, y) R 2 Seja C = {(1, 1), (1, 2)} Determine T C C 532 Seja T : R 3 R 3 definida por T( x ) = A x, para todo x R 3, onde 3 1 2 A = 0 0 2 0 0 1 Sejam v 1 = (1, 0,0), v 2 = (1, 2,0) e v 3 = (0, 2,1) (a) Encontre a matriz mudança de base de C = { v 1, v 2, v 3 } para a base canónica B = { e 1, e 2, e 3 } (b) Use a matriz obtida no item anterior para determinar a matriz B que representa T com relação à base { v 1, v 2, v 3 } 533 Considere a recta r : (x, y, z) = t(1, 1, 1) Sejam B = { c 1, e 2, e 3 } a base canónica do R 3 e C = { u 1, u 2, u 3 } uma base ortonormal do R 3 definida por u 1 = 1/ 3(1, 1, 1), u 2 = 1/ 2( 1, 1, 0) e u 3 = 1/ 6( 1, 1, 2) (a) Seja P r : R 3 R 3 a projecção ortogonal na recta r Encontre P r C C e PrB B (b) Seja R r : R 3 R 3 a reflexão em relação à recta r Encontre R r C C e RrB B 534 Considere a recta r : (x, y, z) = t(1, 1, 0) Sejam B = { e 1, e 2, e 3 } a base canónica do R 3 e C = { u 1, u 2, u 3 } uma base ortonormal do R 3 definida por u 1 = 1/ 2(1, 1, 0), u 2 = (0, 0, 1) e u 3 = 1/ 2(1, 1, 0) Seja R π/2,r ) : R 3 R 3 a transformação linear, que é uma rotação de um ângulo de π/2 em torno da recta r Determine R π/2,r C C e R π/2,r B B 535 Para cada uma das transformações lineares T verifique se T é invertível e calcule a inversa, T 1, se ela existe (a) T : R 3 R 3 definida por T(x, y, z) = (x + 2y + z, y + 2z, z) (b) T : R 3 R 3 definida por T(a, b, c) = (a, 2a + b, 2a 4b + c) (c) T : R 3 R 3 definida por T(a, b, c) = (a + b + c, a + 2b + c, a + 2c) (d) T : R 3 R 3 definida por T(a, b, c) = (a + b + c, a + c, a + c) Exercícios Teóricos 536 Mostre que se T : R 2 R 2 é uma transformação linear invertível, então T é uma composição de expansões, compressões, cisalhamentos e reflexões 537 Seja A uma matriz triangular superior n n com todos os elementos da diagonal iguais a zero Mostre que A n = 0 (Sugestão: considere o operador T : R n R n cuja matriz na base canónica é igual a A e determine a matriz de T n ) 538 Seja T : R n R m uma transformação linear Sejam B = { v 1,, v n} e B = { v 1,, v n} bases do R n e C = { w 1,, w m} e C = { w 1,, w m } bases do Rm Mostre que T C B = P 1 T C B Q, onde P é a matriz mudança de base de C para C e Q, de B para B (Sugestão: siga a demonstração do Corolário 5112 na página 126) 539 Seja B = { v 1,, v n} uma base do espaço vectorial R n Seja P uma matriz n n invertível Mostre que C = { w 1,, w n} é uma base do R n, onde w j = n p ij v i, para j = 1,, n Assim, P é a matriz mudança i=1 de base de B para C 5310 Um operador T : R n R n é chamado nilpotente se T n = O, a transformação linear nula, para algum n N Seja T um operador nilpotente Mostre que existe um vector v 0 tal que T( v ) = 0

Capítulo 6 Diagonalização 61 Diagonalização de Matrizes 611 Motivação Certos processos são descritos em cada estágio por uma matriz A quadrada e em k estágios pela potência k da matriz A, A k, em que k é um número inteiro positivo Suponha que desejamos saber a matriz que corresponde a k estágios, para k um inteiro positivo qualquer Se a matriz A é diagonal, λ 1 0 0 0 λ 2 0 A = 0 0 λ n então λ k 1 0 0 A k 0 λ k 2 0 = 0 0 λ k n Se a matriz A não é diagonal, mas existe uma matriz P tal que λ 1 0 0 A = PDP 1 0 λ 2 0, em que D =, 0 0 λ n então, A 2 = (PDP 1 )(PDP 1 ) = PD(P 1 P)DP 1 = PD 2 P 1 Agora, supondo que A k 1 = PD k 1 P 1, temos que A k = A k 1 A = (PDP 1 ) k 1 (PDP 1 ) = (PD k 1 P 1 )(PDP 1 ) = PD k 1 (P 1 P)DP 1 λ k 1 0 0 = PD k P 1 0 λ k 2 0 = P P 1 0 0 λ k n Assim, podemos facilmente encontrar a k-ésima potência de A Exemplo 61 Seja A = Mostraremos no Exemplo 66 na página 135 que 1 1 P = 2 2 1 1 4 1 e D = 129 3 0 0 1

Capítulo 6 Diagonalização 130 são tais que Assim, A = PDP 1 A k = PD k P 1 1 1 3 k 0 = 2 2 0 ( 1) k 3 k ( 1) k 1 2 1 = 2 3 k 2( 1) k 4 2 1 = 1 2(3 k + ( 1) k ) ( 1) k 3 k 4 4(( 1) k 3 k ) 2(3 k + ( 1) k ) 1 1 2 2 1 Vamos descobrir, a seguir, como podemos determinar matrizes P e D, quando elas existem, tais que A = PDP 1, ou multiplicando à esquerda por P 1 e à direita por P, D = P 1 AP, com D sendo uma matriz diagonal Chamamos diagonalização ao processo de encontrar as matrizes P e D 612 Valores Próprios e Vectores Próprios Definição 61 Dizemos que uma matriz A, n n, é diagonalizável, se existem matrizes P e D tais que A = PDP 1, ou equivalentemente, D = P 1 AP, em que D é uma matriz diagonal Exemplo 62 Toda matriz diagonal é diagonalizável, pois λ 1 0 0 0 λ 2 0 A = 0 0 λ n A = (I n) 1 AI n Vamos supor inicialmente que a matriz A seja diagonalizável Então existe uma matriz P tal que P 1 AP = D, (611) em que D é uma matriz diagonal Vamos procurar tirar conclusões sobre as matrizes P e D Multiplicando à esquerda por P ambos os membros da equação anterior, obtemos Sejam λ 1 0 0 0 λ 2 0 D = 0 0 λ n em que v j é a coluna j de P Por um lado AP = PD (612) e P = v 1 v 2 v n, AP = A v 1 v 2 v n = A v 1 A v 2 A v n (Exercício 1118 na página 9) e por outro lado λ 1 0 0 PD = v 1 v 2 0 λ 2 0 v n = λ 1 v 1 λ 2 v 2 λ n v n 0 0 λ n (Exercício 1117 na página 8) Assim, (612) pode ser reescrita como, A v 1 A v 2 A v n == λ1 v 1 λ 2 v 2 λ n v n Logo, A v j = λ j v j,

Capítulo 6 Diagonalização 131 para j = 1,, n Ou seja, as colunas de P, v j, e os elementos da diagonal de D, λ j, satisfazem a equação A v = λ v, em que λ e v são incógnitas Isto motiva a seguinte definição Definição 62 Seja A uma matriz n n Um número real λ é chamado valor próprio (real) de A, se existe um v 1 vector não nulo v = do Rn, tal que v n ou A v = λ v (613) Um vector não nulo que satisfaça (613), é chamado de vector próprio de A Observe que a equação (613) pode ser escrita como A x = λi n x (A λi n) x = 0 (614) Como os vectores próprios são vectores não nulos, os valores próprios são os valores de λ, para os quais o sistema (A λi n) x = 0 tem solução não trivial Mas, este sistema homogéneo tem solução não trivial se, e somente se, det(a λi n) = 0 (Teorema 211 na página 44) Assim temos um método para encontrar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz A Teorema 61 Seja A uma matriz n n (a) Os valores próprios (reais) de A são as raízes reais do polinómio p(t) = det(a ti n) (615) (b) Para cada valor próprio λ, os vectores próprios associados a λ são os vectores não nulos da solução do sistema (A λi n) x = 0 (616) Definição 63 Seja A uma matriz n n O polinómio é chamado polinómio característico de A p(t) = det(a ti n) (617) Assim, para determinarmos os valores próprios de uma matriz A precisamos determinar as raízes reais do seu polinómio característico, que tem a forma p(t) = ( 1) n t n +a n 1 t n 1 + +a 1 t+a 0 Um resultado sobre polinómios que muitas vezes é útil, é o que diz que se a 0, a 1,, a n 1 são inteiros, então as suas raízes racionais (se existirem) são números inteiros e divisores do coeficiente do termo de grau zero a 0 Por exemplo, se p(t) = t 3 + 6t 2 11t + 6, então as possíveis raízes racionais são ±1, ±2, ±3 e ±6 Substituindo estes valores em p, vemos que p(1) = 0, ou seja, 1 é uma raiz de p Finalmente, dividindo p por t 1, obtemos que p(t) = (t 1)( t 2 + 5t 6) Como as raízes de t 2 + 5t 6 são 2 e 3, então as raízes de p, são 1,2 e 3 Exemplo 63 Vamos determinar os valores próprios e vectores próprios da matriz 1 1 A = 4 1 Para esta matriz o polinómio característico é p(t) = det(a ti 2 ) = det 1 t 1 4 1 t = (1 t) 2 4 = t 2 2t 3 Como os valores próprios de A são as raízes de p(t), temos que os valores próprios de A são λ 1 = 3 e λ 2 = 1 Agora, vamos determinar os vectores próprios associados aos valores próprios λ 1 = 3 e λ 2 = 1 Para isto vamos resolver os sistemas (A λ 1 I 2 ) v = 0 e (A λ 2 I 2 ) v = 0 Como 2 1 A λ 1 I 2 =, 4 2

Capítulo 6 Diagonalização 132 então é ou { cuja solução geral é 2 4 (A λ 1 I 2 ) v = 0 1 2 x y = 0 0 2x y = 0 4x 2y = 0 W 1 = {(α, 2α) : α R}, que é o conjunto de todos os vectores próprios associados a λ 1 = 3 acrescentado o vector nulo Agora, é cuja solução geral é (A λ 2 I 2 ) v = 0 2 1 4 2 x y = 0 0 W 2 = {(α, 2α) : α R}, que é o conjunto de todos os vectores próprios associados a λ 2 = 1 acrescentado o vector nulo Exemplo 64 Vamos determinar os valores próprios e vectores próprios da matriz 4 2 2 A = 2 4 2 2 2 4, Para esta matriz o polinómio característico é 4 t 2 2 p(t) = det(a ti 3 ) = det 2 4 t 2 2 2 4 t 4 t 2 2 2 = (4 t) det 2det 2 4 t 2 4 t = (4 t) det 4 t 2 2 4 t = (4 t) (4 t)2 4 8(2 t) = t 3 + 12t 2 36t + 32 4det 2 2 2 4 t + 2det 2 4 t 2 2 Substituindo-se t = ±1 obtemos p(1) = 1 + 12 36 + 32 > 0, p( 1) = 1 + 12 + 36 + 32 > 0 Substituindo-se t = 2 obtemos p(2) = 0 Dividindo-se p por t 2 obtemos que p(t) = (t 2)( t 2 + 10t 16) = (t 2) 2 (8 t) Portanto os valores próprios de A são λ 1 = 2 e λ 2 = 8 Agora, vamos determinar os vectores próprios associados aos valores próprios λ 1 e λ 2 Para isto vamos resolver os sistemas (A λ 1 I 3 ) v = 0 e (A λ 2 I 3 ) v = 0 Como (A λ 1 I 3 ) v = 0 é 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z = A forma escalonada reduzida da matriz ampliada do sistema é 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Assim, a solução geral do sistema (A λ 1 I 3 ) v = 0 é W 1 = {( α β, β, α) : α, β R}, que é o conjunto de todos os vectores próprios associados a λ 1 = 2 acrescentado o vector nulo

Capítulo 6 Diagonalização 133 Com relação ao valor próprio λ 2 = 8, o sistema (A λ 2 I 3 ) v = 0 é 4 2 2 x 0 2 4 2 y = 0 2 2 4 z 0 A forma escalonada reduzida da matriz ampliada do sistema é 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 Assim, a solução geral do sistema (A λ 2 I 3 ) v = 0 é W 2 = {(α, α, α) : α R} Nos exemplos anteriores, para cada valor próprio encontrámos todos os vectores próprios associados a ele Podemos observar que para cada valor próprio λ, o conjunto dos vectores próprios associados a ele acrescentado o vector nulo é um subespaço, já que é o conjunto solução de um sistema linear homogéneo (A λi n) v = 0 Este subespaço recebe o nome de espaço próprio associado ao valor próprio λ 613 Diagonalização Vamos enunciar e demonstrar o resultado principal deste capítulo Já vimos que se uma matriz A é diagonalizável, então as colunas da matriz P, que faz a diagonalização, são vectores próprios associados a valores próprios, que por sua vez são elementos da matriz diagonal D Como a matriz P é invertível, estes n vectores próprios são LI Vamos mostrar, a seguir, que se a matriz A tem n vectores próprios LI, então ela é diagonalizável Teorema 62 Seja A uma matriz n n que tem n vectores próprios LI v 1,, v n associados a λ 1,, λ n, respectivamente Então as matrizes λ 1 0 0 P = v 1 v 2 0 λ 2 0 v n e D =, 0 0 λ n são tais que D = P 1 AP, ou seja A é diagonalizável Reciprocamente, se A é diagonalizável, então ela possui n vectores próprios linearmente independentes Demonstração: Suponha que v 1,, v n são n vectores próprios linearmente independentes associados a λ 1,, λ n, respectivamente Vamos definir as matrizes λ 1 0 0 P = v 1 v 2 v n e D = 0 λ 2 0 0 0 λ n Como A v j = λ j v j, para j = 1,, n, então AP = A v 1 v 2 v n = A v 1 A v 2 A v n = λ 1 v 1 λ 2 v 2 λ n v n = v 1 v 2 v n λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ n = PD Como v 1,, v n são LI, a matriz P é invertível Assim, multiplicando a equação anterior por P 1 à esquerda obtemos D = P 1 AP Ou seja, a matriz A é diagonalizável

Capítulo 6 Diagonalização 134 Vamos agora provar que, se A é diagonalizável, então ela possui n vectores próprios LI Se a matriz A é diagonalizável, então existe uma matriz P tal que P 1 AP = D, (618) em que D é uma matriz diagonal Multiplicando à esquerda por P ambos os membros da equação anterior, obtemos Sejam AP = PD (619) λ 1 0 0 0 λ 2 0 D = e P = v 1 v 2 0 0 λ n v n, em que v j é a coluna j de P Usando as definições de P e D temos que AP = A v 1 v 2 v n = A v 1 A v 2 A v n PD = v 1 v 2 Assim, de (619) segue que λ 1 0 0 0 λ 2 0 v n = λ 1 v 1 λ 2 v 2 λ n v n 0 0 λ n A v j = λ j v j, para j = 1,, n Como a matriz P é invertível, pelo Teorema 43 na página 96, os vectores próprios v 1,, v n são LI Assim, se uma matriz A é diagonalizável e D = P 1 AP, então os valores próprios de A formam a diagonal de D e n vectores próprios linearmente independentes associados aos valores próprios formam as colunas de P O resultado que vem a seguir, garante que se conseguirmos para cada valor próprio, vectores próprios LI, então ao juntarmos todos os vectores próprios obtidos, eles continuarão sendo LI Teorema 63 Seja A uma matriz n n Se v (1) 1,, v (1) n 1 são vectores próprios LI associados a λ 1, v (2) 1,, v (2) n 2 são vectores próprios LI associados a λ 2,, v (k) 1,, v (k) n k são vectores próprios LI associados a λ k, com λ 1 λ k distintos, então { v (1) 1,, v (1) n 1,, v (k) 1,, v (k) n k } é um conjunto LI Demonstração: Vamos demonstrar apenas para o caso em que temos dois valores próprios diferentes O caso geral é inteiramente análogo Sejam v (1) 1,, v (1) n 1 vectores próprios LI associados a λ 1 e v (2) 1,, v (2) n 2 vectores próprios LI associados a λ 2 Precisamos mostrar que a única solução da equação x (1) (1) 1 v 1 + + x (1) (1) k 1 v n 1 + x (2) (2) 1 v 1 + + x (2) (2) k 2 v n 2 = 0 (6110) é a solução trivial Multiplicando a equação (6110) por A e usando o facto de que os v ( j) i são vectores próprios, obtemos x (1) 1 λ 1 v (1) 1 + + x (1) k 1 λ 1 v (1) n 1 + x (2) 1 λ 2 v (2) 1 + + x (2) k 2 λ 2 v (2) n 2 = 0 (6111) Multiplicando a equação (6110) por λ 1, obtemos x (1) 1 λ 1 v (1) 1 + + x (1) k 1 λ 1 v (1) n 1 + x (2) 1 λ 1 v (2) 1 + + x (2) k 2 λ 1 v (2) n 2 = 0 (6112) Subtraindo a equação (6111) da equação (6112), obtemos x (2) 1 (λ 2 λ 1 ) v (2) 1 + + x (2) n 2 (λ 2 λ 1 ) v (2) n 2 = 0 Como v (2) 1,, v (2) n 2 são LI, temos que x (2) 1 = = x (2) n 2 = 0 Agora, multiplicando a equação (6110) por λ 2 e subtraindo da equação (6112) obtemos x (1) 1 (λ 2 λ 1 ) v (1) 1 + + x (1) n 1 (λ 2 λ 1 ) v (1) n 1 = 0 Como v (1) 1,, v (1) n 1 são LI, temos que x (1) 1 = = x (1) n 1 = 0 O que prova que todos os vectores próprios juntos são LI

Capítulo 6 Diagonalização 135 Exemplo 65 Considere a matriz A = 4 2 2 2 4 2 2 2 4 Já vimos no Exemplo 64 na página 132 que seu polinómio característico é p(t) = (t 2)( t 2 + 10t 16) = (t 2) 2 (8 t), os seus valores próprios são λ 1 = 2 e λ 2 = 8 e os espaços próprios correspondentes são W 1 = {( α β, β, α) : α, β R}, W 2 = {(α, α, α) : α R}, respectivamente Vamos encontrar, para cada espaço próprio, o maior número possível de vectores próprios LI, ou seja, vamos encontrar uma base para cada espaço próprio E o teorema anterior garante que se juntarmos todos estes vectores próprios eles vão continuar sendo LI Para W 1, temos que ( α β, β, α) = α( 1, 0,1) + β( 1, 1, 0) Assim, os vectores v 1 = ( 1, 0, 1) e v 2 = ( 1, 1,0) geram W 1 Como além disso, eles são LI (um não é múltiplo escalar do outro), então eles formam uma base para W 1 Assim, não podemos ter um número maior de vectores próprios LI associados a λ 1 = 0 (Teorema 46 na página 103) Para W 2, temos que o conjunto { v 3 = (1, 1, 1)} é uma base para W 2, pois como (α, α, α) = α(1, 1, 1), v 3 gera W 2 e um vector não nulo é LI Assim, não podemos ter um número maior de vectores próprios LI associados a λ 2 = 8 (Teorema 46 na página 103) Como v 1 e v 2 são vectores próprios LI associados a λ 1 e v 3 é um vector próprio LI associado a λ 2, então pelo Teorema 63 na página 134 os vectores próprios juntos v 1, v 2 e v 3 são LI Assim, a matriz A é diagonalizável e as matrizes λ 1 0 0 2 0 0 1 1 1 D = 0 λ 1 0 = 0 2 0 e P = v 1 v 2 v 3 = 0 1 1 0 0 λ 2 0 0 8 0 1 1 são tais que Exemplo 66 Considere a matriz A = D = P 1 AP 1 1 4 1 Já vimos no Exemplo 63 na página 131 que o seu polinómio característico é p(t) = det(a ti 2 ) = t 2 2t 3, que os seus valores próprios são λ 1 = 3 e λ 2 = 1 e que os espaços próprios correspondentes são W 1 = {(α, 2α) : α R} e W 2 = {(α, 2α) : α R}, respectivamente Para λ 1 = 3, temos que { v 1 = (1, 2)} é uma base de W 1 Assim, não podemos ter mais vectores próprios LI associados a λ 1 De forma análoga para λ 2 = 1, { v 2 = (1, 2)} é um conjunto com o maior número possível de vectores próprios LI associados a λ 2 Assim, a matriz A é diagonalizável e as matrizes são tais que P = v 1 v 2 = Exemplo 67 Considere a matriz 1 1 2 2 e D = D = P 1 AP A = 0 1 0 0 λ 1 0 0 λ 2 = 3 0 0 1 O seu polinómio característico é p(t) = det(a ti 2 ) = t 2, assim A possui um único valor próprio: λ 1 = 0 Agora, vamos determinar os vectores próprios associados ao valor próprio λ 1 = 0 Para isto vamos resolver o sistema (A λ 1 I 2 ) v = 0 Como 0 1 A λ 1 I 2 = A =, 0 0 então é (A λ 1 I 2 ) v = 0 0 1 0 0 x y = 0 0,

Capítulo 6 Diagonalização 136 ou { cuja solução geral é y = 0 0 = 0 W 1 = {(α, 0) : α R}, que é o espaço próprio correspondente a λ 1 = 0 Assim, para λ 1 = 0, temos que { v 1 = (1, 0)} é uma base de W 1 Portanto, não podemos ter mais vectores próprios LI associados a λ 1 e como só temos um valor próprio não podemos ter mais vectores próprios LI Portanto, pelo Teorema 62 na página 133, a matriz A não é diagonalizável, ou seja, não existem matrizes P e D tais que D = P 1 AP Exercícios Numéricos 611 Ache o polinómio característico, os valores próprios e os vectores próprios de cada matriz: (a) (c) (e) 1 1 1 1 0 1 2 0 0 3 0 0 0 2 2 3 0 3 2 0 1 2 (b) (d) (f) 1 1 2 4 612 Ache bases para os espaços-próprios associados a cada valor próprio (a) (c) 2 0 0 3 1 0 0 4 3 1 2 3 4 0 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 613 Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis: (a) (c) 1 4 1 2 1 1 2 4 0 4 1 1 4 (b) (d) (b) (d) 1 0 0 1 3 0 3 2 2 2 2 3 1 2 1 2 2 1 2 3 0 0 1 0 0 0 2 2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 2 1 1 2 3 0 1 2 0 0 2 614 Ache para cada matriz A, se possível, uma matriz não-singular P tal que P 1 AP seja diagonal: (a) (c) 1 1 2 0 1 0 0 1 3 1 2 3 0 1 0 2 1 2 4 2 3 2 1 2 (b) 1 2 0 3 2 1 (d) 0 2 0 0 0 0 Exercícios usando o Matlab R >> syms x y z diz ao Matlab R que as variáveis x, y e z são simbólicas, >> A=a11,a12,,a1n,a21,a22,,,amn cria uma matriz, m por n, usando os elementos a11, a12,, amn e a armazena numa variável A, >> A=A1,,An cria uma matriz A formada pelas matrizes, definidas anteriormente, A1,, An colocadas uma ao lado da outra, >> solve(expr) determina a solução da equação expr=0 Por exemplo, >> solve(xˆ2-4) determina as soluções da equação x 2-4=0, >> subs(expr,x,num) substitui na expressão expr a variável x por num

Capítulo 6 Diagonalização 137 >> P,D=eig(A) determina matrizes P e D (diagonal) tais que AP=PD >> inv(a) calcula a inversa da matriz A >> A=sym(A) converte a matriz A numa matriz em que os elementos são armazenados no formato simbólico A função numeric faz o processo inverso Comandos do Matlab R : >> A=randi(n) ou >> A=randi(m,n) cria uma matriz n por n ou m por n, respectivamente, com elementos inteiros aleatórios >> escalona(a) calcula passo a passo a forma reduzida escalonada da matriz A 615 Defina as matrizes B=sym(randi(2)) e A=B-B,zeros(2,1),zeros(1,2),randi A matriz A é diagonalizável? Por quê? 616 Defina as matrizes L=eye(2),zeros(2,1),randi(1,2),0 e A=sym(L*L ) Determine o polinómio característico de A, os valores próprios e um conjunto de vectores próprios linearmente independentes com o maior número possível de vectores Encontre matrizes P e D (diagonal) tais que inv(p)*a*p=d, se possível Verifique o resultado Use o comando P,D=eig(A) e compare com as matrizes que você encontrou 617 Defina a=randi,b=randi e A=sym(2*a,a-b,a-b,0,a+b,b-a,0,b-a,a+b) Determine o polinómio característico de A, os valores próprios e um conjunto de vectores próprios linearmente independentes com o maior número possível de vectores Encontre matrizes P e D (diagonal) tais que inv(p)*a*p=d, se possível Verifique o resultado Use o comando P,D=eig(A) e compare com as matrizes que você encontrou 618 Defina a=randi,b=randi e A=sym(a,0,b,2*b,a-b,2*b,b,0,a) Determine o polinómio característico de A, os valores próprios e um conjunto de vectores próprios linearmente independentes com o maior número possível de vectores Encontre matrizes P e D (diagonal) tais que inv(p)*a*p=d, se possível Verifique o resultado Use o comando P,D=eig(A) e compare com as matrizes que você encontrou 619 Use o Matlab R para resolver os Exercícios Numéricos Exercícios Teóricos 6110 Dizemos que uma matriz B, n n, é semelhante a uma matriz A, n n, se existir uma matriz P não singular tal que B = P 1 AP Demonstre: (a) A é semelhante a A, (b) Se A é semelhante a B, então B é semelhante a A, (c) Se A é semelhante a B e B é semelhante a C, então A é semelhante a C 6111 Seja λ um valor próprio (fixo) de A Demonstre que o conjunto formado por todos os vectores próprios de A associados a λ, juntamente com o vector nulo, é um subespaço do R n Este subespaço é chamado de espaço próprio associado a λ 6112 Demonstre que se A e B são semelhantes, então possuem os mesmos polinómios característicos e portanto os mesmos valores próprios 6113 Demonstre que se A é uma matriz triangular superior, então os valores próprios de A são os elementos da diagonal principal de A 6114 Demonstre que A e A T possuem os mesmos valores próprios O que podemos dizer sobre os vectores próprios de A e A T? 6115 Seja λ um valor próprio de A com vector próprio associado x Demonstre que λ k é um valor próprio de A k = A A associado a x, em que k é um inteiro positivo 6116 Uma matriz A é chamada nilpotente se A k = 0, para algum inteiro positivo k Demonstre que se A é nilpotente, então o único valor próprio de A é 0 (Sugestão: use o exercício anterior) 6117 Seja A uma matriz n n (a) Mostre que o determinante de A é o produto de todas as raízes do polinómio característico de A, (Sugestão: p(t) = det(a ti n) = ( 1) n (t λ 1 ) (t λ n)) (b) Mostre que A é singular se, e somente se, 0 for um valor próprio de A 6118 Seja λ um valor próprio da matriz não-singular A com vector próprio associado x Mostre que 1/λ é um valor próprio de A 1 com vector próprio associado x

Capítulo 6 Diagonalização 138 6119 Seja A = a c b Ache as condições necessárias e suficientes para que A seja diagonalizável d 6120 Se v e w são vectores próprios associados a um valor próprio λ, então w proj v w é também um vector próprio associado a λ? E se v e w forem vectores próprios associados a valores próprios diferentes? 6121 Sejam A e B matrizes n n Mostre que AB e BA possuem os mesmos valores próprios (Sugestão: Separe em dois casos: λ = 0 e λ 0 No segundo caso, mostre que se v é vector próprio de AB, então B v é vector próprio de BA) 6122 Seja A uma matriz n n diagonalizável Mostre que o traço de A é igual a soma das raízes do seu polinómio característico, incluindo as multiplicidades (Sugestão: use o facto de que tr(ab) = tr(ba)) 6123 Suponha que duas matrizes n n, A e B, são tais que B = αa, para um escalar α 0 Mostre que se λ é valor próprio de uma matriz A, então αλ é valor próprio de B 62 Diagonalização de Matrizes Simétricas 621 Motivação O problema da identificação de uma cónica (curva no plano descrita por uma equação de 2 o grau em x e y) através da sua equação é facilmente resolvido se a equação não possui um termo em que aparece o produto xy Mas, ao contrário, se aparece este termo misto, temos que fazer uma mudança de coordenadas de forma que nas novas coordenadas ele não apareça Vejamos o exemplo seguinte Exemplo 68 Considere o problema de identificar uma cónica representada pela equação ou Usando matrizes, esta equação pode ser escrita como ou ainda, em que A = 3x 2 + 2xy + 3y 2 = 4 (6213) 3x + y x y x + 3y 3 1 1 3 x y x y = 4 = 4 x T A x = 4, (6214) 3 1 1 3 e x = Como veremos adiante (Exemplo 610 na página 141), podemos escrever A = PDP T x y em que 1 2 1 P = 2 1 2 1 2 Assim, a equação (6214) pode ser escrita como e D = 2 0 0 4 ( x T P)D(P T x ) = (P T x ) T D(P T x ) = 4 Se fazemos a mudança de variáveis (ou de coordenadas) x = P x, então como P T P = I 2, a equação (6214) se transforma em x T D x = 4 ou que pode ser reescrita como, x y 2 0 0 4 2x 2 + 4y 2 = 4, ou dividindo por 4, como x 2 2 + y 2 1 = 1 que é a equação da elipse mostrada na Figura 72 Veremos na próxima secção como traçar esta elipse x y = 4

Capítulo 6 Diagonalização 139 A matriz P, tem a propriedade de que a sua inversa é simplesmente a sua transposta, P 1 = P T Uma matriz que satisfaz esta propriedade é chamada de matriz ortogonal O que possibilitou a identificação da cónica, no exemplo anterior, foi o facto de que a matriz A é diagonalizável através de uma matriz ortogonal P Ou seja, existe uma matriz P tal que A = PDP 1 e P 1 = P T Já vimos que nem toda matriz é diagonalizável (Exemplo 67 na página 135) Vamos ver que se uma matriz A é simétrica, então ela é diagonalizável, isto é, existe uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tal que D = P 1 AP Além disso, para matrizes simétricas, existe uma matriz P tal que D = P T AP Isto porque existe uma matriz ortogonal P que faz a diagonalização, ou seja, que tem a propriedade P 1 = P T Em algumas aplicações a diagonalização com uma tal matriz é necessária, como por exemplo na identificação de cónicas Vamos em primeiro lugar, caracterizar as matrizes ortogonais 622 Matrizes Ortogonais Uma matriz P tal que P 1 = P T é chamada de matriz ortogonal Teorema 64 Uma matriz P é ortogonal se, e somente se, as suas colunas formam um conjunto ortonormal de vectores Demonstração: Vamos escrever P = u 1 somente se, P T P = I n Mas, u T 1 P T P = u T n u n Ou seja, u 1,, u n são as colunas de P A inversa de P é P T se, e u 1 u n = u T 1 u 1 u T 1 u 2 u T 2 u 1 u T 2 u 2 u T n u 1 u T n u 2 u T 1 u n u T 2 u n u T n u n Logo, P T P = I n se, e somente se, u T i u j = u i u j = 0 para i j e u T i u i = u i u i = 1 para i = 1,, n Ou seja, P T P = I n se, e somente se, u 1,, u n são ortonormais Vamos supor que uma matriz A é diagonalizável através de uma matriz ortogonal, ou seja, que existe uma matriz P tal que D = P T AP é uma matriz diagonal Como a matriz P é uma matriz cujas colunas são vectores próprios de A, deduzimos do teorema anterior que uma matriz A é diagonalizável através de uma matriz ortogonal se, e somente se, ela possui um conjunto ortonormal de vectores próprios Como veremos, as matrizes simétricas possuem esta característica Teorema 65 Para uma matriz A simétrica, os vectores próprios associados a valores próprios diferentes são ortogonais Demonstração: Sejam v 1 e v 2 vectores próprios de A associados aos valores próprios λ 1 e λ 2, respectivamente, com λ 1 λ 2 Então, A v 1 = λ 1 v 1 e A v 2 = λ 2 v 2 Agora, se escrevemos os vectores como matrizes colunas, o produto escalar é simplesmente o produto matricial da transposta da primeira matriz pela segunda Assim, A v 1 v 2 = (A v 1 ) T v 2 = v T 1 AT v 2 = v 1 A T v 2 (6215) Como A é simétrica A T = A e como v 1 e v 2 são vectores próprios de A, temos de (6215) que λ 1 v 1 v 2 = λ 2 v 1 v 2 ou (λ 1 λ 2 ) v 1 v 2 = 0 Como λ 1 λ 2, concluímos que v 1 v 2 = 0, ou seja, v 1, v 2 são ortogonais Como vectores próprios associados a valores próprios diferentes já são ortogonais, para diagonalizarmos uma matriz simétrica A através de uma matriz P ortogonal, precisamos encontrar, para cada valor próprio, vectores próprios ortonormais associados a eles Para isso, podemos aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt a cada conjunto de vectores próprios LI associados a cada um dos valores próprios

Capítulo 6 Diagonalização 140 Exemplo 69 Considere a matriz A = 4 2 2 2 4 2 2 2 4 Esta é a matriz do Exemplo 65 na página 135 Para esta matriz o polinómio característico é p(t) = det(a ti 3 ) = (t 2) 2 (8 t) Portanto os valores próprios de A (raízes reais do polinómio característico) são λ 1 = 2 e λ 2 = 8 Os vectores próprios associados aos valores próprios λ 1 = 2 e λ 2 = 8 são as soluções de (A λ 1 I 3 ) v = 0 e (A λ 2 I 3 ) v = 0, respectivamente A forma escalonada reduzida de é A 2I 3 = Portanto, o espaço próprio associado a λ 1 = 2 é 1 1 1 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W 1 = {( α β, β, α) : α, β R} Agora, ( α β, β, α) = α( 1, 0, 1) + β( 1, 1, 0) Assim, os vectores v 1 = ( 1, 0, 1) e v 2 = ( 1, 1, 0) geram W 1 Como além disso, eles são LI (um não é múltiplo escalar do outro), então eles formam uma base para W 1 Para encontrar dois vectores próprios ortonormais associados a λ 1 = 2 vamos aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt aos vectores v 1 e v 2 w 1 = v 1 = ( 1, 0, 1), w 2 = v 2 proj w1 v 2 = ( 1 2, 1, 1 2 ) é ( 1 u 1 = w 1 u 2 = ( 1 w 2 ) w 1 = ( 1 2, 0, ) w 2 = ( 1 6, 1 2 ) 2, 1 ) 6 6 Com relação ao valor próprio λ 2 = 8, temos que a forma escalonada reduzida da matriz 4 2 2 A 8I 3 = 2 4 2 2 2 4 Assim, o espaço próprio associado a λ 2 = 8 é 1 0 1 0 1 1 0 0 0 W 2 = {(α, α, α) : α R} O conjunto { v 3 = (1, 1, 1)} é uma base para W 2, pois como (α, α, α) = α(1, 1, 1), v 3 gera W 2 e um vector não nulo é LI Assim, o vector ( ) 1 u 3 = v 3 = ( 1 1 1,, ) v 3 3 3 3 forma uma base ortonormal para W 2 Como a matriz A é simétrica, vectores próprios associados a valores próprios diferentes são ortogonais Portanto, u 1, u 2 e u 3 são ortonormais e assim a matriz P = u 1 u 2 u 3 = 1 2 1 6 1 3 0 2 6 1 3 1 1 3 1 2 6 satisfaz D = P T AP, em que D = 2 0 0 0 2 0 0 0 8

Capítulo 6 Diagonalização 141 Exemplo 610 Considere a matriz O seu polinómio característico é A = 3 1 1 3 p(t) = det(a ti 2 ) = t 2 6t + 8 = (t 2)(t 4) Portanto os valores próprios de A são λ 1 = 2 e λ 2 = 4 Os vectores próprios associados aos valores próprios λ 1 = 2 e λ 2 = 4 são as soluções de (A λ 1 I 2 ) v = 0 e (A λ 2 I 2 ) v = 0, respectivamente A solução geral do sistema (A 2I 2 ) x = 0 é o espaço próprio W 1 = {(α, α) : α R} Como (α, α) = α(1, 1), então v 1 = (1, 1) gera W 1 e como um vector não nulo é LI, { v 1 } é uma base de W 1 Assim, ( ) ( 1 u 1 = v 1 1 = v 1 2, 1 ) 2 é uma base ortonormal de W 1 A solução geral do sistema (A 4I 2 ) v = 0 é o espaço próprio W 2 = {(α, α) : α R} Como (α, α) = α(1, 1), então v 2 = (1, 1) gera W 2 e como um vector não nulo é LI, { v 2 } é uma base de W 2 Assim, ( ) ( ) 1 u 2 = v 1 1 2 = 2, v 2 2 é uma base ortonormal de W 2 Como a matriz A é simétrica, vectores próprios associados a valores próprios diferentes são ortogonais Portanto, são tais que D = P T AP P = 1 2 1 2 1 2 1 2 e D = 2 0 0 4, O próximo resultado, que não será demonstrado no momento (Apêndice IV, na página 142), garante que o procedimento seguido nos dois exemplos anteriores sempre funciona, ou seja, que toda matriz simétrica é diagonalizável através de uma matriz ortogonal Teorema 66 Se A é uma matriz simétrica, então existe uma matriz P ortogonal e uma matriz diagonal D tal que Assim, se A é simétrica, então ela é diagonalizável D = P T AP Exercícios Numéricos 621 Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P T AP seja diagonal: (a) (c) (e) (g) 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 1 (b) (d) (f) (h) 2 1 1 2 0 0 0 0 2 2 0 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

Capítulo 6 Diagonalização 142 Exercícios Teóricos 622 Mostre que se A é uma matriz ortogonal, então det(a) = ±1 623 Mostre que se A e B são matrizes ortogonais, então AB é ortogonal cos θ sinθ 624 (a) Verifique se a matriz é ortogonal, sinθ cos θ (b) Mostre que x = (x, y) é ortogonal a v = (a, b) 0 com x = v se, e somente se, x = ( b, a) ou x = (b, a) (c) Mostre que se A é uma matriz ortogonal 2 2, então existe um número real θ tal que cos θ sin θ cos θ sinθ A = ou A = sin θ cos θ sin θ cos θ A primeira matriz tem determinante igual a 1 e é chamada matriz de rotação (Sugestão: Comece com uma matriz (a ij ) 2 2 e use o facto de que as colunas são ortonormais Uma das equações será a 2 11 +a2 21 = 1 Faça a 11 = cos θ e a 21 = sinθ Use o item anterior) 625 Mostre que se uma matriz A é diagonalizável por uma matriz ortogonal (isto é, existem P e D, com P 1 = P T e D diagonal, tais que D = P T AP), então A é uma matriz simétrica 626 Dizemos que uma matriz simétrica A, n n, é (definida) positiva se x T A x > 0, para todo x R n, x 0, x escrito como matriz coluna Mostre que são equivalentes as seguintes afirmações: (a) A matriz A é definida positiva (b) A é simétrica e todos os valores próprios de A são positivos (c) Existe uma matriz definida positiva B tal que A = B 2 A matriz B é chamada a raiz quadrada de A (Sugestão: Mostre que (a) (b) (c) (a) Na parte (b) (c) faça primeiro o caso em que A é uma matriz diagonal) 627 Seja A uma matriz invertível n n Mostre que existe uma matriz simétrica definida positiva P e uma matriz ortogonal U, tal que A = PU Esta decomposição é única chamada de decomposição polar de A (Sugestão: Sejam P = (AA T ) 1 2 e U = P 1 A Mostre que UU T = I n) 628 Seja A uma matriz n n Para k = 1,, n, seja A k a submatriz obtida de A eliminando-se as últimas n k linhas e colunas A k é chamada submatriz principal de A de ordem k Mostre que se A é uma matriz simétrica definida positiva n n, então (a) A é não singular, (b) det(a) > 0, (c) as submatrizes principais A 1,, A n são todas definidas positivas (Sugestão: considere vectores x k tais que os últimos n k elementos são nulos) Apêndice IV: Valores Próprios Complexos Vamos provar que toda matriz simétrica é diagonalizável através de uma matriz ortogonal Para isto, precisamos trabalhar com matrizes cujas entradas são números complexos Vamos chamar o conjunto das matrizes m n cujas entradas são números complexos de M mn(c) Para uma matriz A = (a ij ) M mn(c), definimos o conjugado da matriz A, denotado por A como sendo a matriz B = (b ij ) M mn(c) dada por b ij = a ij, em que, se a ij = α ij + iβ ij, então a ij = α ij iβ ij Para as matrizes de M mn(c) além das propriedades que já foram demonstradas no Teorema 11 na página 3 são válidas as seguintes propriedades, cuja demonstração deixamos a cargo do leitor: (p) Se A M mp(c) e B M pn(c), então AB = A B (q) Se A M mn(c) e α C, então αa = α B Teorema 67 Seja A uma matriz n n com entradas reais Se z M n1 (C), é um vector próprio de A associado a um valor próprio complexo λ = α + iβ com β 0, ou seja, se A z = λ z, então z também é um vector próprio de A associado a λ = α iβ

Capítulo 6 Diagonalização 143 Demonstração: A z = A z = (A z ) = λ z = λ z Teorema 68 Toda matriz simétrica, cujas entradas são números reais, possui valor próprio real Demonstração: Seja A uma matriz simétrica, cujas entradas são números reais Vamos mostrar que as raízes do seu polinómio característico são reais Seja λ uma raiz do polinómio característico de A Então o sistema linear (A λi n) z = 0 tem solução não trivial z 2M n1 (C) O que implica que A z = λ z Como A é uma matriz cujas entradas são números reais, pelo Teorema 67 temos que A z = λ z Por um lado, Por outro lado Logo, λ = λ, ou seja, λ é um número real T z A z = T z λ z = λ z T n z = λ z i 2 i=1 T z A z = T z A T z = (A z ) T z = λ z T n z = λ z i 2 i=1 Demonstração do Teorema 66 na página 141 O resultado é obvio se n = 1 Vamos supor que o resultado seja verdadeiro para matrizes (n 1) (n 1) e vamos provar que ele é verdadeiro para matrizes n n Pelo Teorema 68 a matriz A tem um valor próprio λ 1 Isto significa que existe vectores próprios associados a λ 1 Seja v 1 um vector próprio de norma igual a 1 associado a λ 1 Sejam v 2,, v n vectores tais que { v 1,, v n} é uma base ortonormal do R n (isto pode ser conseguido aplicando-se o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt a uma base do R n que contenha v 1 ) Seja P 1 = v 1 v n Como A v 1 = λ 1 v 1 e A v 2,, A v n são combinações lineares de v 1,, v n, temos que AP 1 = A v 1 A v n = v 1 v n M = P 1 M, (6216) λ 1 0 em que M = B Multiplicando à esquerda (6216) por P 1 T obtemos M = P1 T AP 1 Mas, 0 M T = (P1 T AP 1) T = P1 T AT P 1 = P1 T AP 1 = M, ou seja, a matriz M é simétrica Portanto, λ 1 0 0 0 M =, B 0 com B uma matriz simétrica (n 1) (n 1) Como estamos supondo o resultado verdadeiro para matrizes (n 1) (n 1), então existe uma matriz ortogonal P2, (n 1) (n 1), tal que D 2 = P 2 T B P 2 é diagonal Sejam λ 1 0 0 0 P 2 = P2 e P = P 1P 2 P é ortogonal (verifique!) e pela equação (6216) 0 λ 1 0 0 0 AP = (AP 1 )P 2 = P 1 MP 2 = P 1 B P 2 0 Mas, B P 2 = P 2 D 2 e assim, AP = P 1 P 2 λ 1 0 0 0 D 2 0 = PD,

Capítulo 6 Diagonalização 144 em que D = λ 1 0 0 0 D 2 0 Multiplicando à esquerda por P T obtemos o resultado 63 Aplicação na Identificação de Cónicas Uma equação quadrática nas variáveis x e y tem a forma ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, em que a, b, c,d, e e f são números reais, com a, b e c não simultaneamente nulos Esta equação representa uma (secção) cónica, por poder ser obtida da intersecção de um cone circular com um plano As cónicas mais importantes são as elipses, as hipérboles e as parábolas, que são chamadas de cónicas não degeneradas As outras que incluem um único ponto, um par de rectas, são chamadas cónicas degeneradas Dizemos que a equação de uma cónica não degenerada está na forma padrão se ela tem uma das formas dadas na Figura 63 na página 147 Nesta secção veremos como a diagonalização de matrizes simétricas pode ser usada na identificação das cónicas cujas equações não estão na forma padrão Vamos estudar alguns exemplos Exemplo 611 Considere a cónica C cuja equação é em que Esta equação pode ser escrita como O polinómio característico de A é 5x 2 4xy + 8y 2 36 = 0 x T A x 36 = 0, (6317) A = p(λ) = det(a λi 2 ) = det 5 2 2 8 5 λ 2 2 8 λ = λ 2 13λ + 36 Logo, os valores próprios de A são λ 1 = 4 e λ 2 = 9 Os vectores próprios associados a λ 1 = 4 são as soluções não nulas do sistema (A 4I 2 ) v = 0 ou cuja solução é 1 2 2 4 x y = 0 0 W 1 = {(2α, α) : α R} Assim, v 1 = (2, 1) é uma base para W 1, pois gera W 1 e é LI E u 1 = v 1 v 1 = ( 2, 1 ) é uma base ortonormal 5 5 para W 1 Os vectores próprios associados a λ 2 = 9 são as soluções não nulas do sistema ou cuja solução é 4 2 (A 9I 2 ) v = 0 2 1 x y = 0 0 W 2 = {( α, 2α) : α R} Assim, v 2 = ( 1, 2) é uma base para W 2, pois gera W 2 e é LI E u 2 = v 2 v 2 = ( 1, 2 ) é uma base 5 5 ortonormal para W 2 Portanto, D = P T AP em que, D = 4 0 0 9 e P = u 1 u 2 =,, 1 5 2 5 1 5 2 5

Capítulo 6 Diagonalização 145 Vamos fazer a mudança de variáveis x = P x, em que x = Substituindo x = P x na equação (6317), obtemos x T (P T AP) x 36 = 0, x y na equação (6317) ou x T D x 36 = 0, ou ou ainda 4x 2 + 9y 2 36 = 0, x 2 9 + y 2 4 = 1, (6318) que é a equação de uma elipse cujo esboço é mostrado na Figura 61 Para fazer o esboço do gráfico, em primeiro lugar temos que traçar os eixos x e y O eixo x passa pela origem, é paralelo e possui o mesmo sentido do vector 1 u 1, que tem coordenadas em relação ao sistema de coordenadas x y Assim, 1 u 1 = P, que é a 0 0 primeira coluna de P O eixo y passa pela origem, é paralelo e possui o mesmo sentido de u 2 que tem coordenadas 0 em relação ao sistema de coordenadas x y Assim, 0 u 2 = P, que é a segunda coluna de P Depois, a 1 1 partir da equação (6318), verificamos na Figura 73 na página 456 a forma da curva em relação aos eixos x e y y y x x Figura 61: Elipse do Exemplo 611 Exemplo 612 Considere a cónica cuja equação é dada por em que em que, Esta equação pode ser escrita como A = 5x 2 4xy + 8y 2 + 20 5 x 80 5 y + 4 = 0 x T A x + K x + 4 = 0, (6319) 5 2 2 8 A matriz A é a mesma do exemplo anterior Assim, temos que D = 4 0 0 9 e K = 20 80 5 5 D = P T AP, e P = u 1 u 2 = Vamos fazer a mudança de variáveis x = P x, em que x = (6319), obtemos x y x T (P T AP) x + KP x + 4 = 0 1 5 2 5 1 5 2 5 Substituindo x = P x na equação ou ou x T D x + KP x + 4 = 0, 4x 2 + 9y 2 8x 36y + 4 = 0,

Capítulo 6 Diagonalização 146 ou ainda, 4(x 2 2x ) + 9(y 2 4y ) + 4 = 0 Completando os quadrados, obtemos 4(x 2 2x + 1) 1 + 9(y 2 4y + 4) 4 + 4 = 0 ou Fazendo mais uma mudança de variáveis 4(x 1) 2 + 9(y 2) 2 36 = 0 x = x 1 (6320) e obtemos ou y = y 2, (6321) 4x 2 + 9y 2 36 = 0 x 2 9 + y 2 4 = 1 (6322) que é a equação de uma elipse cujo esboço é mostrado na Figura 62 Para fazer o esboço do gráfico, em primeiro lugar temos que traçar os eixos x e y, que por sua vez são translações dos eixos x e y O eixo x tem a direcção e o sentido do vector 1 u 1 = P (a primeira coluna de P) O eixo y tem a direcção e o sentido do vector 0 0 u 2 = P (a segunda coluna de P) O eixo x tem equação y = 0 Usando a equação (6320) obtemos 1 y = 2 O eixo y tem equação x = 0 Usando a equação (6321) obtemos x = 1 Depois, a partir da equação (6322), verificamos na Figura 73 na página 456 a forma da curva em relação aos eixos x e y y y y x 2 x 1 x Figura 62: Elipse do Exemplo 612 Os exemplos anteriores são casos particulares do próximo teorema, cuja demonstração é feita da mesma forma que fizemos com os exemplos e por isso deixamos para o leitor a tarefa de escrevê-la

Capítulo 6 Diagonalização 147 x 2 = 4py, p > 0 Parábola y 2 = 4px, p > 0 y x = p y x x y = p x 2 a 2 y2 b 2 = 1 y Hipérbole 2 a 2 x2 b 2 = 1 y = b a x y y = b a x y = a b x y y = a b x x x x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, a > b y Elipse 2 a 2 + x2 b 2 = 1, a > b y y x x Figura 63: Cónicas não degeneradas Teorema 69 Considere a equação ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, (6323) com a, b, c, d, e, f R, sendo a, b e c não simultaneamente nulos Então existe um sistema de coordenadas ortogonal x y, em que a equação (6323) tem a forma em que λ 1, λ 2 são os valores próprios de Mais ainda, em que x = x y, x = x y λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + d x + e y + f = 0, A = a b/2 b/2 c x = P x, e P é uma matriz ortogonal (P 1 = P T )

Capítulo 6 Diagonalização 148 Exercícios Numéricos Identificar a cónica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do gráfico 631 9x 2 4xy + 6y 2 = 30, 632 3x 2 8xy 12y 2 + 81 = 0, 633 2x 2 4xy y 2 = 24, 634 21x 2 + 6xy + 13y 2 132 = 0, 635 4x 2 20xy + 25y 2 15x 6y = 0, 636 9x 2 + y 2 + 6xy 10 10x + 10 10y + 90 = 0, 637 5x 2 + 5y 2 6xy 30 2x + 18 2y + 82 = 0, 638 5x 2 + 12xy 12 13x = 36, 639 6x 2 + 9y 2 4xy 4 5x 18 5y = 5, 6310 x 2 y 2 + 2 3xy + 6x = 0, 6311 8x 2 + 8y 2 16xy + 33 2x 31 2y + 70 = 0, 6312 x 2 6xy 7y 2 + 10x + 2y + 9 = 0, Exercícios usando o Matlab R Comandos do pacote GAAL: >> P,D=diagonal(A) diagonaliza a matriz A, de forma que AP=PD, em que D é uma matriz diagonal e P é uma matriz ortogonal >> subst(expr,x,y,a,b) substitui na expressão expr as variáveis x,y por a,b, respectivamente >> elipse(a,b) desenha a elipse x2 a 2 + y2 b 2 = 1 >> elipse(a,b,u1 U2) desenha a elipse x 2 ortonormal U1 e U2 a 2 + y 2 b 2 = 1, em que x e y são as coordenadas em relação à base >> elipse(a,b,u1 U2,X0) desenha a elipse x 2 b 2 = 1, em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0 a 2 + y 2 >> hiperbx(a,b) desenha a hipérbole x2 a 2 y2 b 2 = 1 >> hiperbx(a,b,u1 U2) desenha a hipérbole x 2 à base ortonormal U1 e U2 a 2 y 2 b 2 = 1, em que x e y são as coordenadas em relação >> hiperbx(a,b,u1 U2,X0) desenha a hipérbole x 2 b 2 = 1, em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0 >> hiperby(a,b) desenha a hipérbole y2 a 2 x2 b 2 = 1 >> hiperby(a,b,u1 U2) desenha a hipérbole y 2 à base ortonormal U1 e U2 a 2 y 2 a 2 x 2 b 2 = 1, em que x e y são as coordenadas em relação >> hiperby(a,b,u1 U2,X0) desenha a hipérbole y 2 a 2 x 2 b 2 = 1, em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0 >> parabx(p) desenha a parábola y 2 = 4px >> parabx(p,u1 U2) desenha a parábola y 2 = 4px, em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 >> parabx(p,u1 U2,X0) desenha a parábola y = 4px, em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e por X0 >> paraby(p) desenha a parábola x 2 = 4py >> paraby(p,u1 U2) desenha a parábola x 2 = 4py, em que x e y são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2 >> paraby(p,u1 U2,X0) desenha a parábola x 2 = 4py, em que x e y são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e por X0 6313 Use o Matlab R para resolver os Exercícios Numéricos Exercícios Teóricos 6314 Demonstre o Teorema 69 na página 147

Capítulo 6 Diagonalização 149 6315 Seja C o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equação ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 a b/2 Consideremos a matriz A = Sejam λ e µ os valores próprios de A b/2 c (a) Mostre que λµ = ac b 2 /4 (b) Mostre que se λµ > 0, então C é uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio (c) Mostre que se λµ < 0, então C é uma hipérbole, ou um par de rectas concorrentes (d) Mostre que se λµ = 0, então temos duas possibilidades: i Se λ 0 ou µ 0, então C é uma parábola, um par de rectas paralelas, uma recta ou o conjunto vazio ii Se λ = µ = 0, então C é uma recta Observe que neste caso C não é uma cónica (Por quê?) Teste do Capítulo 1 (a) Encontre matrizes P e D tais que em que A = D = P T AP, 8 8 8 8 (b) Identificar a cónica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do gráfico 8x 2 + 8y 2 16xy + 33 2x 31 2y + 70 = 0 Verifique quais das matrizes seguintes são diagonalizáveis: a b (a) 3b c a b (b) b a 1 0 2 (a) Seja D = Calcule D 10 0 1 (b) Sabendo-se que A = P 1 DP, calcule A 10 3 Diga se é verdadeiro ou falso cada item abaixo, justificando (a) Se A é uma matriz 2 2 com somente 1 valor próprio, então A não é diagonalizável (b) Se v e w são vectores próprios associados a um valor próprio λ, então w proj v w é também um vector próprio associado a λ (c) Se A não é singular, então 0 não é valor próprio de A (d) As matrizes A e A 2 possuem os mesmos vectores próprios