Principais conceitos de Matemática Financeira

Principais conceitos de Matemática Financeira A aula 1 destina-se a discutir de forma sucinta os conceitos básicos da matemática financeira. O estudo desta seção é de fundamental importância como preparação para as discussões que se seguirão ao longo do curso. Conceitos básicos Juros: remuneração pelo uso do dinheiro. Taxa de Juros (i): razão entre os juros recebidos/pagos ao final do período da operação e o valor originalmente aplicado. Fluxo de Caixa: conjunto de entradas e saídas de dinheiro, ao longo do tempo, para um indivíduo ou empresa. As entradas de um fluxo de caixa corresponderão aos recebimentos e as saídas corresponderão aos pagamentos ou desembolsos. Valor Presente (PV) ou Principal: corresponde ao valor do dinheiro hoje, ou seja, na data-zero do fluxo de caixa. Valor Futuro (FV) ou Montante: corresponde ao valor do dinheiro em uma data futura, posterior a data-zero do fluxo de caixa. Regime de Capitalização: é o nome dado ao processo de formação de capital ao longo do tempo. Juros compostos: capitalização No regime de juros compostos, o rendimento gerado pela aplicação será incorporado ao capital, passando a participar da geração do rendimento do período seguinte. Observação: No regime de juros simples, apenas o capital inicial rende juros. Fórmula do valor futuro no regime de juros compostos: FV = PV (1 + i) n 1/13

FV = valor futuro; PV = valor presente; i = taxa de juros; n = número de períodos (podendo ser expresso em meses, anos, semestres etc.) O fator (1 + i) n é chamado fator de capitalização para aplicação única. Observação: Tendo em vista que estaremos lidando com funções exponenciais, a solução dos problemas demandará a aplicação de funções logarítmicas, a consulta a tabelas financeiras ou a utilização de máquinas financeiras. Exemplo: Se um banco oferece uma taxa de 2,50% ao mês no regime de juros compostos, qual o valor resgatado a partir da aplicação de R$1.500,00 por 2 meses? Solução: PV = R$1.500,00; i = 2,50% a.m. ; n = 2 meses ; FV =? FV = PV (1 + i) n FV = 1.500 (1 + 0,025) 2 FV = 1.575,94 Resolvendo pela calculadora financeira: Digite 1.500 presente) Digite 2,5 Digite 2 Tecle FV => tecle fin (para limpar a memória financeira) => tecle reg (para limpar a memória dos registros) => tecle CHS (para inverter o sinal*) e PV (valor => tecle i (juros) => tecle n (número de períodos) => A máquina fornecerá a resposta R$1.575,94 2/3

*Coloca-se com sinal negativo considerando que está saindo dinheiro do bolso do investidor. Caso você não inverta o sinal para negativo, a resposta será os mesmos R$ 1.575,94, porém com sinal negativo. Atenção! A taxa de juros (i) da operação deverá, necessariamente, estar expressa na mesma unidade de tempo que o prazo (n). Para tornar prazo e taxa compatíveis, divida ou multiplique o prazo adequadamente; NUNCA DIVIDA OU MULTIPLIQUE A TAXA. Fórmula do valor presente no regime de juros compostos: PV = FV / (1 + i) n Exemplo: Um título de crédito deverá ser resgatado por R$30.000,00 no seu vencimento que ocorrerá daqui a 5 meses. Admitindo que o custo de capital é de 8,00% ao mês, determinar seu valor atual para liquidação antecipada, no regime de juros compostos. Solução: FV = R$ 30.000,00; i = 8,00% a.m.; n = 5 meses; PV =? PV = FV / (1 + i) n PV = 30.000 / (1 + 0,08) 5 PV = 20.417,50 Resolvendo pela calculadora financeira: Digite 30.000 Digite 8 Digite 5 Tecle PV => tecle fin (para limpar a memória financeira) => tecle reg (para limpar a memória dos registros) => tecle FV (valor futuro) => tecle i (juros) => tecle n (número de períodos) => A máquina fornecerá a resposta R$20.417,50 3/3

Séries (ou anuidades) uniformes, variáveis e perpétuas Todas as corporações se defrontam com oportunidades de vendas, compras ou investimentos que somente são viabilizadas pelo parcelamento dos pagamentos. O estudo das anuidades fornece o referencial teórico para o estabelecimento de planos de poupança, de financiamento, de recomposição de dívidas e avaliação de alternativas de investimento. Define-se série ou anuidade, a uma sucessão de pagamentos ou recebimentos exigíveis em épocas pré-determinadas, destinada a extinguir uma dívida ou construir um capital. Exemplo de anuidade postecipada: R R R R 0 1 2 n - 1 n Onde: R é o valor da anuidade e n os períodos Características das anuidades: Cada um dos pagamentos que compõem uma série denomina-se termo da anuidade. Os termos podem ser uniformes ou variáveis. Uma anuidade pode ser temporária ou perpétua, conforme seja, respectivamente, finito ou infinito o número de seus termos. As anuidades podem ser postecipadas, quando os pagamentos ou recebimentos forem efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa considerada (representada na ilustração acima), antecipadas, quando os pagamentos ou recebimentos ocorrerem no início do período (ilustração abaixo) ou diferidas, quando a primeira prestação 4/3

só é efetuada após um certo número de períodos de tempo, contados a partir da data zero. Exemplo de anuidade antecipada: R R R R 0 1 2 n - 1 n Onde: R é o valor da anuidade e n os períodos Séries Uniformes Uma série uniforme é uma sequência de pagamentos ou recebimentos iguais efetuados a intervalos de tempo iguais. Considere o exemplo abaixo de uma série postecipada: 1000 1000 1000 1000 1000 0 1 2 3 4 5 Qual o saldo (valor futuro) que teremos ao final do 5 o. ano, se efetuarmos um depósito anual de R$ 1.000 (ao final de cada ano), aplicando-se uma taxa de juros de 10% ao ano? Para encontrar o valor futuro de uma série uniforme, basta levar todos os fluxos financeiros para uma data focal no futuro. FV = R(1 + i) n-1 + R(1 + i) n-2 + R(1 + i) n-3 +... + R 5/3

Da teoria das progressões chegamos à seguinte fórmula do valor futuro para uma série postecipada: Fórmula => FV = PMT * (1 + i) n 1 i FV = 1.000 * [(1 + 0,1) 5 1/0,1] FV = 1.000 * (1,6105/0,1 1/0,1) FV = 1.000 * (16,1051 10) FV = R$ 6.105,10 Outra maneira de se resolver o problema é através da calculadora financeira, da seguinte forma: Tecle g Digite 5 Digite 10 Digite 1.000 Tecle FV => tecle fin (para limpar a memória financeira) => tecle reg (para limpar a memória dos registros) => tecle end (define uma série postecipada) => tecle n (equivale ao número de períodos) => tecle i (taxa de juros por período) => tecle CHS (para inverter o sinal) e PMT (valor das prestações) => A máquina fornecerá a resposta R$6.105,10 O mesmo exemplo transformado em uma série antecipada: Neste caso, o resultado é simplesmente o da série postecipada, ajustado por 1 período. Fórmula => FV = PMT * (1 + i) n 1 * (1 + i) i FV = 1.000 * (((1,1) 5 1)/0,1) * (1,1) 6/3

FV = 1.000 * ((1,6105 1)/0,1) * 1,1 FV = 1.000 * (6,1051) * 1,1 FV = R$ 6.715,61 Resolvendo o problema na HP 12C: => tecle fin (para limpar a memória financeira) => tecle reg (para limpar a memória dos registros) Tecle g => tecle beg (define uma série antecipada) Digite 5 => tecle n (equivale ao número de períodos) Digite 10 => tecle i (taxa de juros por período) Digite 1.000 => tecle CHS (para inverter o sinal) e PMT (valor das prestações) Tecle FV => A máquina fornecerá a resposta R$6.715,61 Nos dois exemplos até aqui demonstrados tivemos a apuração do valor futuro de uma anuidade com 5 termos uniformes. Podemos também ter uma situação onde seja necessário apurar o valor atual, correspondente a um determinado número de prestações. Exemplo: Suponha que você está comprando hoje um VGBL (plano de aposentadoria) para garantir uma renda fixa mensal uniforme no valor de R$ 5.000/mês, pelo período de 5 anos (60 meses). Você começará a receber a renda no final do primeiro mês após a compra do título. Qual o montante que você terá que desembolsar para adquirir o título, considerando uma taxa de juros de 1% ao mês? Para encontrar o valor presente de uma série uniforme, basta trazer todos os fluxos financeiros para a data zero. PV = R + R + R +... + R _ (1 + i) (1 + i) 2 (1 + i) 3 (1 + i) n 7/3

Da teoria das progressões chegamos à seguinte fórmula do valor presente para uma série postecipada: Fórmula => PV = PMT * (1 + i) n 1 i * (1 + i) n PV = 5.000 * (((1,01) 60 1) / (0,1 * (1,01) 60 )) PV = 5.000 * (0,8167 / 0,018167) PV = 5.000 * 44,9551 PV = R$224.775,19 Resolvendo o problema na HP 12C: Tecle g Digite 60 Digite 1 Digite 5.000 Tecle PV => tecle fin (para limpar a memória financeira) => tecle reg (para limpar a memória dos registros) => tecle end (define uma série postecipada) => tecle n (equivale ao número de períodos) => tecle i (taxa de juros por período) => tecle CHS (para inverter o sinal) e PMT (valor das prestações) => A máquina fornecerá a resposta R$224.775,19 Assim como demonstrado na apuração do valor futuro, no cálculo do valor presente de séries antecipadas, teremos apenas que proceder ao ajuste de 1 período: Assumindo o exemplo acima, mas com o recebimento da primeira retirada do benefício no ato da compra do título, teríamos: PV série antecipada = PV série postecipada * (1 + i) PV série antecipada = 224.775,19 * (1,01) 8/3

PV série antecipada = R$ 227.022,94 Da mesma forma que apuramos os valores futuro e presente da anuidade, podemos calcular o valor da prestação de uma série (uniforme). Mantendo o mesmo exemplo acima, teríamos: Valor inicial da série postecipada => R$ 224.775,19 Prazo (em meses) => 60 meses Taxa de juros mensal => 1% PMT =? Fórmula => PMT = PV * i * (1 + i) n (1 + i) n - 1 PMT = 224.775,19 * {[0,01 * (1,01) 60 ] / [(1,01) 60 1)]} PMT = 224.775,19 * (0,01817 / 0,8167) PMT = 224.775,19 * 0,02225 PMT = 5.000,00 Resolvendo o problema na HP 12C: => tecle fin (para limpar a memória financeira) => tecle reg (para limpar a memória dos registros) Tecle g => tecle end (define uma série postecipada) Digite 60 => tecle n (equivale ao número de períodos) Digite 1 => tecle i (taxa de juros por período) Digite 224.775,19 => tecle CHS (para inverter o sinal) e PV (valor presente) Tecle PMT => A máquina fornecerá a resposta R$5.000,00 9/3

Séries Variáveis (não uniforme) Existirão situações onde os valores dos termos da série não serão uniformes (conforme ilustração a seguir). Tais situações são muito comuns em projetos de investimentos, onde as saídas e entradas de caixa se dão de forma variável, inviabilizando a aplicação das fórmulas anteriores. 150 150 150 50 100 50 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-50 -100-100 A solução desses problemas demandará que cada termo da série seja tratado como uma série única. Prazo Valor Taxa de Juros Fórmula Valor presente 0-100 1% - 100 (100,0) 1-50 1% - 50 / (1 + 0,01) 1 (49,5) 2 50 1% 50 / (1 + 0,01) 2 49,0 3 100 1% 100 / (1 + 0,01) 3 97,1 4 150 1% 150 / (1 + 0,01) 4 144,1 5 150 1% 150 / (1 + 0,01) 5 142,7 6-100 1% - 100 / (1 + 0,01) 6 (94,2) 7 50 1% 50 / (1 + 0,01) 7 46,6 8 100 1% 100 / (1 + 0,01) 8 92,3 9 150 1% 150 / (1 + 0,01) 9 137,2 Valor presente total 465,4 10/3

Resolvendo problemas de série variável na HP 12 C: Digite f fin reg Digite 100 CHS Tecle g cfo Digite 50 CHS Digite 50 Digite 100 Digite 150 Digite 150 Digite 100 CHS Digite 50 Digite 100 Digite 150 Digite 1 Tecle i NPV => A máquina fornecerá a resposta R$ 465,37 11/3

Séries Perpétuas Em algumas situações o número de pagamentos da série uniforme pode ser considerado infinito. Temos, então, uma série perpétua, também conhecida por perpetuidade. São bastante utilizadas em cálculos de aposentadoria e de precificação de empresas (valuation). O valor presente de uma série uniforme postecipada perpétua é igual ao valor do pagamento (PMT) dividido pela taxa de juros (i). PV = PMT / i O valor presente de uma série uniforme antecipada perpétua é igual ao valor presente do pagamento (PMT) dividido pela taxa de juros (i), multiplicado pelo fator (1+i) PV = (PMT / i) * (1 + i) Formulário Séries uniformes anuidades postecipadas FV = PMT * (1 + i) n 1 i onde: PMT = o valor das prestações PMT = FV * i (1 + i) n 1 PV = PMT * (1 + i) n 1 i * (1 + i) n PMT = PV * i * (1 + i) n (1 + i) n - 1 12/3

Séries uniformes anuidades antecipadas FV = PMT * (1 + i) n 1 * (1 + i) i PMT = FV * i / (1 + i) (1 + i) n 1 PV = PMT * (1 + i) n 1 * (1 + i) i * (1 + i) n PMT = PV * i * (1 + i) n / (1 + i) (1 + i) n - 1 Séries variáveis Não permite a aplicação direta de fórmulas. É necessário tratar cada termo da série como uma série única. Séries perpétuas postecipadas PV = PMT / i Séries perpétuas antecipadas PV = (PMT / i) * (1 + i) 13/3