CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA Coceito de taxa de juros Taxa de juro é a relação etre o valor dos juros pagos (ou recebidos) o fial de um determiado período de tempo e o valor do capital iicialmete emprestado (ou aplicado). Represetado a taxa de juro pela letra i, o valor dos juros pela letra J e o valor do capital iicial (também cohecido por pricipal, valor presete ou valor atual) pela letra P, tem-se que: J i = P O juro, como foi euciado, é um valor pago (ou recebido) o fial de um certo período de tempo, e o capital iicial, um valor colocado à disposição a data do cotrato (ou da operação). Assim sedo, é importate efatizar que, do poto de vista coceitual, juro atecipado ão existe. Ou seja, o juro é sempre postecipado. Para maior clareza, vamos exemplificar: Uma pessoa pede um empréstimo de R$.000,00 pelo prazo de mês. O gerete do baco mada creditar R$ 950,00 a cota do cliete sob a alegação de que os juros de R$ 50,00 foram descotados o ato, isto é, pagos atecipadamete. De acordo com o coceito de taxa de juros, temos que: 50, 00 Taxa de juro cobrada pelo baco: i = = 526, % 950, 00 No caso deste exemplo, ão houve pagameto atecipado de juros. Apeas o baco emprestou R$ 950,00 para receber R$.000,00 o fial de um mês. Portato, o valor dos juros efetivamete foi recebido pelo baco o fial, isto é, o vecimeto. Observação importate: A divisão dos juros de R$ 50,00 pelo valor R$.000,00, igual a 5%, correspode à chamada taxa de descoto, calculada de acordo com o critério de descoto simples (ou bacário ou comercial), cujo coceito ão será abordado este trabalho.
2 Coceito de juros simples (ou capitalização simples) Capitalizar em matemática fiaceira sigifica adicioar juros ao capital. E essa adição pode ser feita de forma liear ou expoecial. Quado feita de forma liear dizemos que a capitalização é simples, e quado feita expoecialmete dizemos que ela é composta. Assim, podemos coceituar juros simples como sedo o processo de obteção juros (ou do motate) em que a taxa de juro defiida para o período uitário (dia, mês ou ao) icide sempre sobre o capital iicial, ão icidido pois, sobre os juros que vão se acumulado. Observação: Na maioria dos exemplos apresetados este trabalho estamos utilizado uma taxa de juros de 0% ao mês. Embora seja irreal para a maior parte das operações realizadas em osso mercado, vamos utilizá-la por razões de ordem didática, a saber: porque é mais fácil fazer o cálculo, mesmo sem calculadora; porque as difereças etre os resultados obtidos pelos critérios de juros simples e compostos ficam mais visíveis. Exemplo: calcular o valor dos juros e do motate correspodete a um empréstimo de R$.000,00, cotratado a uma taxa de juro de 0% ao mês, pelo prazo de meses. MÊS JUROS MENSAIS JUROS ACUM. MONTANTE 00,00 00,00.00,00 2 00,00 200,00.200,00 3 00,00 300,00.300,00 00,00 00,00.00,00 O valor dos juros é determiado com base a fórmula: J = P x i x, em que P é o capital iicial, i a taxa de juros e o prazo. No caso do osso exemplo, tem-se que: J =.000,00 x 0,0 x = 00,00 Como o motate, que represetamos pela letra S, é igual ao capital mais juros, temos que: S =.000,00 + 00,00 =.00,00 2
3 Coceito de juros compostos (ou capitalização composta) Podemos coceituar juros compostos como sedo o processo de obteção juros (ou do motate) em que a taxa de juro defiida para o período uitário (dia, mês ou ao) icide sobre o capital iicial e também sobre os juros que vão se acumulado periodicamete. Exemplo: calcular o valor dos juros e do motate correspodete a um empréstimo de R$.000,00, cotratado a uma taxa de juro de 0% ao mês, pelo prazo de meses. MÊS JUROS MENSAIS JUROS ACUM. MONTANTE 00,00 00,00.00,00 2 0,00 20,00.20,00 3 2,00 33,00.33,00 33,0 6,0.6,0 O motate é determiado com base a fórmula: S = P(+ No caso do osso exemplo, tem-se que: S =.000,00 x (,0) =.6,0 Como o valor dos juros é igual ao motate meos o capital, temos que: J =.6,0 000,00 = 6,0 Coceito de séries de pagametos iguais Trata-se de uma série de pagametos iguais, periódicos (mesais, bimestrais, trimestrais ou auais) e sucessivos. Esse sistema de pagametos é o mais utilizado o mudo, tato para amortizar dívidas ou empréstimos, quato para formar uma poupaça. Em relação a este sistema é importate saber que: o motate total formado o fial das aplicações é o resultado da soma dos motates de cada uma das prestações cosideradas idividualmete; 3
de forma idêtica, o valor do empréstimo (que é capital iicial ou valor presete a data do cotrato) é o resultado da soma dos valores presetes de cada uma das prestações cosideradas idividualmete; para o cálculo desses dois modelos utiliza-se juros compostos; ão se tem cohecimeto de um úico país o mudo que faça diferete; também ão coheço um úico livro de matemática fiaceira, editado os últimos 0 aos, de autor acioal ou estrageiro, que apresete esses modelos desevolvidos com base em juros simples.. Motate de uma série de pagametos iguais Exemplo: calcular o motate correspodete a aplicação de prestações mesais iguais de R$.000,00 cada, à taxa de juros de 0% ao mês, coforme fluxo abaixo. S =? 0 2 3.000.000.000.000 O motate total, de acordo com o fluxo acima, correspode à soma dos motates de cada uma das parcelas, como segue: Motate da primeira parcela: S = 000 x,0 3 =.33,00 Motate da seguda parcela: S2 = 000 x,0 2 =.20,00 Motate da terceira parcela: S3 = 000 x,0 =.00,00 Motate da quarta parcela: S = 000 x,0 0 =.000,00 MONTANTE TOTAL: ST = =.6,00 ou escrito de outra forma: S T 3 2 = 000 0, + 000 0, + 000 0, + 000 0, 0
Colocado-se 000 em evidêcia, tem-se que: S T 3 2 0 = 000 ( 0, + 0, + 0, + 0, ) A partir desta última equação, e utilizado a fórmula da soma de uma PG (Progressão Geométrica), deduz-se que: S T 0, = 000 =. 600, 00, Geeralizado-se a expressão acima, e fazedo ST = S, chega-se à fórmula para o cálculo do motate de uma série de pagametos iguais postecipados, de uso geeralizado o mudo, a saber: ( + S = R i em que R represeta o valor das prestações (ou parcelas ) iguais e o úmero de prestações..2 Valor presete de uma série de pagametos iguais Exemplo: um empréstimo deverá ser liquidado em prestações mesais iguais de R$.000,00 cada, à taxa de juros de 0% ao mês, coforme fluxo abaixo. Calcular o valor emprestado, ou seja, o valor presete a data do cotrato. P =? 0 2 3.000.000.000.000 O valor presete total, como mecioado, correspode à soma dos valores presetes de cada uma das parcelas, como segue: 5
Valor presete da primeira parcela: P = 000 /,0 = 909,09 Valor presete da seguda parcela: P2 = 000 /,0 2 = 826,5 Valor presete da terceira parcela: P3 = 000 /,0 3 = 75,3 Valor presete da quarta parcela: P = 000 /,0 = 683,0 VALOR PRESENTE TOTAL: PT = = 3.69,86 Assim, sabedo que: P T 000 000 000 000 = + + + 2 3 0, 0, 0, 0, Colocado-se 000 em evidêcia, tem-se que: P T = 000 0, + 0, 2 + 0, 3 + 0, Utilizado a fórmula da soma de uma PG (Progressão Geométrica), deduz-se que: P T 0, = 000 0, 00, Geeralizado-se a expressão acima, e fazedo-se PT = P, chega-se a fórmula para o cálculo do valor presete de uma série de pagametos iguais postecipados, de uso geeralizado o mudo, a saber: ( + P = R ( + i A partir dessa expressão, deduz-se facilmete a fórmula que calcula diretamete o valor das prestações, como segue: 6
R ( + P ( + i = Essa fórmula serve para determiar o valor das prestações iguais, sedo, o Brasil, cohecida por TABELA PRICE. E como ficou evideciado através da dedução que fizemos, ela é calculada com base o critério de juros compostos. Primeiro exemplo: Calcular o valor das prestações mesais iguais correspodetes a um empréstimo de R$ 0.000,00, cotratado a uma taxa de juro de 3% ao mês, para ser pago em 2 prestações mesais. ( 03, ) 0, 03 R = 0. 000, 00 = 590, 7 2 ( 03, ) 2 Segudo exemplo: Um veículo o valor de R$ 2.000,00 está sedo vedido com 20% de etrada e o restate fiaciado em 60 prestações iguais, mesais e cosecutivas. Sabedo-se que a taxa de juros cobrada é de,85% ao mês, calcular o valor das prestações mesais. Etrada: 20% x 2.000,00 = 8.00,00 Valor fiaciado: 2.000,00 8.00,00 = 33.600,00 085, 0, 085 R = 33. 600, 00 = 9382, 60 085, 60 7
5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Um sistema de amortização ada mais é do que um plao de pagametos para quitação de uma dívida. Ora, de quatas maeiras uma dívida pode ser quitada? Resposta: ifiitas! Etretato, dois são casos mais comus o mudo, a saber: ) devolução do capital mais juros de uma só vez o fial período cotratado; 2) devolução do capital mais juros em prestações mesais e cosecutivas. No caso de devolução itegral do capital o fial do cotrato, também é comum o pagameto periódico (mesal, trimestral ou semestral) dos juros. Quato aos casos de pagametos mesais evolvedo parcelas de capital e de juros, os dois plaos mais cohecidos e utilizados o mudo são os seguites: Sistema de prestações iguais ou uiformes; Sistema de prestações decrescetes em progressão aritmética (PA). Etre esses dois plaos, o sistema de prestações mesais iguais é seguramete o mais utilizado as operações de empréstimos e de fiaciametos. No Brasil, e apeas o Brasil, esse plao é cohecido por Sistema PRICE, ou simplesmete Tabela PRICE. Também é cohecido por Sistema Fracês de Amortização. Quato ao sistema de prestações decrescetes em progressão aritmética, cohecido uiversalmete por SAC Sistema de Amortização Costate, é muito utilizado em osso país para fiaciametos imobiliários; sua adoção o Brasil tem crescido substacialmete os últimos aos em fução do meor risco de crédito para o agete fiaceiro, e pricipalmete pelas restrições legais ao uso da Tabela PRICE. Fora o setor habitacioal, o SAC é bastate utilizado as operações com recursos do BNDES (Baco Nacioal de Desevolvimeto Ecoômico e Social), em que o FINAME (Fiaciameto de Máquias e Equipametos) é a modalidade mais cohecida. Etre outros ifiitos plaos que podem ser adotados para a amortização de uma dívida, podemos citar mais dois: o SAM (Sistema de Amortização Misto) e o SACRE (Sistema de Amortização Crescete). O primeiro, o SAM, é um misto do PRICE com o SAC, ou seja, cada prestação correspode à média aritmética das prestações calculadas com base esses dois sistemas; foi muito utilizado pelo extito BNH (Baco Nacioal da Habitação) para fiaciameto de uidades habitacioais; quato ao SACRE, criado pela Caixa Ecoômica Federal e utilizado também pelo Baco Nossa Caixa, está caido em desuso. Neste trabalho ão vamos trata desses dois sistemas. 8
5. Sistema de prestações iguais ou uiformes (PRICE) Esse sistema, também cohecido por Sistema Fracês de Amortização, é o mais utilizado os casos de pagametos mesais de parcelas de capital e de juros; deve represetar cerca de 80 a 90% dos plaos de pagametos utilizados o mudo, servido de base para o cálculo de prestações os casos de fiaciameto de veículos, imóveis, eletrodomésticos, roupas, móveis, empréstimos pessoais, capital de giro e de operações de leasig. Para melhor etedimeto e caracterização desse sistema, vamos resolver o seguite exemplo: Calcular os valores das prestações correspodetes a um empréstimo de R$.000,00 a ser quitado em parcelas mesais, cosiderado-se uma taxa de juro de 0% ao mês. Mostrar também a decomposição de cada prestação em parcelas de amortização e de juros. Como se trata de uma série de pagametos iguais, o valor das prestações é obtido com base a fórmula já cohecida, ou seja: ( + i R = P ( + Substituido-se as variáveis da fórmula especificada pelos dados do problema, obtém-se o valor das prestações, como segue: ( 0, ) 00, R = 000 = 35, 7 ( 0, ) Decomposição das prestações em parcelas de amortização e juros: MÊS SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 0.000,00 0,00 0,00 0,00 78,53 25,7 00,00 35,7 2 57,5 237,02 78,5 35,7 3 286,79 260,72 5,75 35,7 0,00 286,79 28,68 35,7 TOTAL -.000,00 26,88.26,88 9
Os valores cotidos a colua JUROS foram obtidos através da multiplicação da taxa de juros de 0% pelos valores discrimiados a colua SALDO DEVEDOR, correspodetes aos meses imediatamete ateriores; os valores da colua AMORTIZAÇÃO resultam da subtração das parcelas de juros dos valores das prestações; e os valores discrimiados a colua SALDO DEVEDOR são obtidos pela dedução das parcelas de amortização dos saldos devedores existetes os meses imediatamete ateriores. 5.2 Sistema de amortização costate (SAC) No SAC, como o próprio ome já diz, as amortizações mesais são costates, ou seja, de mesmo valor. Assim, para se obter o valor da amortização costate basta dividir o valor fiaciado pelo úmero de parcelas, como segue: P. 000, 00 Valor da amortização costate = A = = = 250, 00 Decomposição das prestações em parcelas de amortização e juros: MÊS SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 0.000,00 0,00 0,00 0,00 750,00 250,00 00,00 350,00 2 500,00 250,00 75,00 325,00 3 250,00 250,00 50,00 300,00 0,00 250,00 25,00 275,00 TOTAL -.000,00 250,00.250,00 Como se pode observar, a decomposição das prestações o caso do SAC é bem mais simples. A partir das parcelas de amortização, que são iguais, e seguido-se a mesma rotia de cálculo mostrada a tabela aterior, obtém-se facilmete os valores cotidos as coluas SALDO DEVEDOR e JUROS ; os valores das prestações cotidos a última colua resultam da soma das parcelas de amortização e de juros. Como se observa a tabela apresetada, os valores das prestações decrescem mesalmete à razão costate de 25,00, costituido-se, pois, uma progressão aritmética. E sedo assim, os valores de todas as prestações podem ser facilmete obtidos a partir do cohecimeto de apeas dois elemetos: o valor da primeira prestação e o valor do decréscimo mesal, calculados como segue: 0
Valor da primeira prestação = A + i x P Valor do decréscimo mesal = razão = i x A No caso do osso exemplo, temos: Valor da primeira prestação = 250,00 + 0,0 x 000,00 = 350,00 Valor do decréscimo mesal = razão = 0,0 x 250,00 = 25,00. O valor da última prestação também é facilmete obtido: ele é dado pela soma da parcela de amortização com a parcela de juros calculada sobre o saldo devedor do mês imediatamete aterior, ou seja: Última prestação = A + i x A = A x ( + Assim, o caso do osso exemplo, temos: Última prestação = 250,00 x,0 = 275,00 Em uma progressão aritmética, quado se cohece o valor da primeira e da última parcela, é possível obter a soma de todas. Para tato, basta utilizar a fórmula que calcula a soma dos termos de uma PA (progressão aritmética), dada pela seguite equação: ( a + a ) S PA = 2 em que: SPA = soma dos termos de uma progressão aritmética; a = valor do primeiro termo; a = valor do último termo; = úmero de termos Aplicado-se essa fórmula o caso do osso exemplo, temos: S PA ( 35000, + 27500, ) = 2 =. 25000, 5.3 Exemplo de utilização dos sistemas PRICE e SAC Um fiaciameto o valor de R$ 20.000,00 deverá ser amortizado em 20 prestações (20 aos). Sabedo-se que a taxa de juros é de % ao mês, calcular o valor das prestações mesais de acordo com os sistemas PRICE e SAC, bem como a soma das prestações dos respectivos plaos.
Sistema PRICE: ( 0, ) 0, 0 Valor das prestações: R = 20. 000, 00 =. 32, 30 20 ( 0, ) Valor da primeira prestação = valor da última =,32,30 Soma das prestações = 20 x.32,30 = 37.2,00 Sistema SAC: Valor da parcela de amortização = 20.000,00 / 20 = 500,00 Valor da primeira prestação = 500,00 + 0,0 x 20.000,00 =.700,00 Valor da última prestação = 500,00 + 0,0 x 500,00 = 505,00 (. 700, 00 + 505, 00) Soma da prestações: S = 20 = 26. 600, 00 PA 2 20 Prof. José Dutra Vieira Sobriho 2