Uiversidade Federal de Mias Gerais Istituto de Ciêcias Exatas Departameto de Matemática Demostração de Idetidades Combiatórias com Teoria de Cotagem Virgíia Barbosa de Lima Professor orietador: Alberto Sarmieto Belo Horizote, de abril de 009
Agradecimetos À Deus, por me coceder força para vecer mais esta etapa da miha vida À Romeu, pelo apoio, cariho, compreesão e amor Em especial ao Professor Alberto Sarmieto, meu orietador, pela cofiaça em mim depositada, respeito, dedicação, paciêcia e pela imesa cotribuição a realização desse trabalho Aos professores participates da baca examiadora, Professor Marcos, meu etrevistador e aos colegas do curso de Especialização em Matemática para Professores do Esio Básico À miha irmã Virgiae e Miha Mãe Doa Ziha pelo apoio e icetivo Efim, a todos aqueles que cotribuíram para a realização deste trabalho Muito Obrigado Meu Deus
Ídice Itrodução iii Capítulo Coceitos básicos - Cojuto - Relações - Operações - Combiatória - Pricípios básicos de Cotagem - Permutação 5 - Arrajo 5 - Combiação 6 5- Somatório Capítulo Aplicações da Teoria de Cotagem 8 Idetidade, Relação de Stifel 8 Idetidade Idetidade
Idetidade 5 Idetidade 5 Idetidade 6 9 Idetidade Idetidade 8 Coclusão 6 Bibliografia
5 Itrodução Segudo Tales de Mileto, A questão primordial, ão é o que sabemos, mas como sabemos Através desse trabalho, o aluo é capaz de perceber que a aálise cuidadosa de cada problema deixa de lado o fato de que a aálise combiatória é somete um jogo de fórmulas complicadas A apredizagem da matemática passa ecessariamete pela resolução de problemas e desevolvimetos algébricos Não se aprede matemática sem a resolução de um grade úmero de problemas e sem demostrações dos fatos Algumas idetidades algébricas evolvedo úmeros combiatórios são quase impossíveis, algumas até impossíveis de provar por meio de maipulações algébricas O objetivo desta moografia é dar uma idéia de como usar a teoria de cotagem para demostrar algumas destas idetidades A estratégia é a seguite: dada à idetidade a ser demostrada, colocamos uma situação problema de modo que ao resolvermos esta, por dois raciocíios distitos, cada solução correspode a um dos lados da idetidade, tratado-se de soluções do mesmo problema, as soluções têm que ser igual o que prova a Idetidade A moografia foi dividida em dois capítulos; o primeiro foram feitos um apahado de coceitos básicos, sobre cojutos, pricípios aditivo e multiplicativo, combiações, arrajos, permutações e somatório, que são ferrametas usadas o desevolvimeto do trabalho O segudo capítulo é dedicado ao estudo de oito Idetidades combiatórias; cada Idetidade é testada para algus valores uméricos, isto para familiarizarmos com a Idetidade; seguidamete, as três primeiras idetidades fazemos a demostração algébrica seguida da demostração combiatória, as demais fazemos apeas a demostração por teoria de cotagem
6 Coceitos básicos - Cojuto Toda coleção de objetos, podedo ser coleção de pessoas, feômeos, aimais, coisas, etc, costitui um cojuto Os objetos que formam um cojuto são chamados de elemetos Os elemetos de um cojuto são idicados por letras miúsculas a, b, c, α, β, γ Os cojutos são idicados por letras maiúsculas A, B, C, Um cojuto sem elemeto é chamado de cojuto vazio e deotamos por {} ou Ø Cardialidade de um cojuto A, é o úmero de elemetos do cojuto A, e é deotado por # A (lê-se cardialidade de A) Exemplo: A {a, e, i, o, u} {vogais do alfabeto} # A 5 - Relações Relações de pertiêcia: É uma relação etre elemetos e cojutos Serve para idicar se um elemeto pertece ou ão pertece a um cojuto e deotamos esta relação pelo símbolo (lê-se pertece) e o símbolo (lê-se ão pertece) Exemplo: A {a, e, i, o, u} {vogais do alfabeto}, temos que: i A (o elemeto i pertece ao cojuto A) e o f Α (o elemeto f ão pertece ao cojuto A)
Relação de iclusão: É uma relação etre cojutos Serve para idicar se um cojuto está cotido ou ão está cotido um outro cojuto Deotamos esta relação pelo símbolo (lê-se está cotido) e o símbolo (lê-se ão está cotido) Se tivermos que A B, sigifica que todo elemeto de A (x A) também está em B Dizemos esse caso que o cojuto A é um subcojuto do cojuto B ou que o cojuto A está cotido do cojuto B Se existe um elemeto x A e x B, etão, este caso temos que A ão está cotido em B e deotamos isto por A B (lê-se A ão está cotido em B) Dizemos que dois cojutos A e B são iguais e deotamos A B, se temos que A B Se dois cojutos A e B ão são iguais, deotamos por A B (lê-se A é diferete de B) Exemplo: seja A {a, e, i, o, u} {vogais do osso alfabeto} e B {a, b, c, x, y, z} {alfabeto}, temos que A B (o cojuto A está cotido o cojuto B) Operações Dados dois cojutos A e B, a reuião ou uião de A e B é o cojuto formado por todos os elemetos de A mais todos os elemetos de B e deotamos por A B (lê-se A reuião B ou A uião B) A B {x x A ou x B} Assim se um elemeto x A B, sigifica que x A ou x B ou x pertece a ambos os cojutos Exemplo: A {x x é um úmero atural par} e B {y y é um úmero atural impar} Etão, A B N {z z é um úmero atural} Dados dois cojutos A e B, a itersecção de A e B é o cojuto formado pelos elemetos que pertecem simultaeamete ao cojuto A e ao cojuto B e deotamos por A B: (lê-se A itersecção B ou A iter B) A B {x x A e x B} Assim se um elemeto x A B sigifica que x A e x B simultaeamete
8 Exemplo: C {x x é múltiplo de } e D {y y é múltiplo de } Etão, C D {z z é múltiplo de 6} Cojutos Disjutos Quado dois cojutos ão têm elemetos em comum, A B dizemos que eles são cojutos disjutos Dados dois cojutos A e B, a difereça de A e B é o cojuto formado pelos elemetos que pertecem ao cojuto A, mas que ão pertecem ao cojuto B e deotamos por: A B (lê-se A meos B) A B {x x A e x B} Assim, se um elemeto x A B sigifica que x A e x B Exemplo: E {x x é úmero primo meor que 0} F {y y é úmero atural ímpar meor que 0} Etão, E F {} Combiatória As primeiras atividades matemáticas da humaidade estavam ligadas à cotagem de objetos de um cojuto, eumerado seus elemetos Vejamos algumas técicas de orgaização e cotagem que permitem calcular o úmero de elemetos de cojutos, sem que seja ecessário eumerar seus elemetos - Pricípios Básicos de Cotagem Pricípio Aditivo Seja S o cojuto solução de um problema de cotagem Um pricípio usado corretamete para ecotrar a cardialidade de S (# S) é particioar S em subcojutos A e B de modo que A B S, e A B, cardialidade de A (# A) e cardialidade de B (# B) sejam factíveis de ecotrar Assim temos que # S # (A B) # A # B Isto é cohecido como Pricípio Aditivo
9 Exemplo: Numa cofeitaria, há cico sabores de picolés e três sabores de salgados Supoha que Maria só teha permissão para tomar um picolé ou comer um salgado Quatos são os possíveis pedidos que Maria possa fazer? Podemos idetificar os cojutos: A {x x é um picolé} {P, P, P, P, P 5 } # A 5 B {x x é um salgado} {S, S, S } # B Dode S A B {x x é um picolé ou um salgado}, ote etão: # A B # S # A # B 5 8 Portato, Maria pode fazer oito pedidos diferetes Geeralizado, se S A A A, ode A i Aj, com i, j e i j etão, # S # A # A # A Dizemos que S está particioado os cojutos A, A, A Pricípio Multiplicativo ou Pricípio fudametal da cotagem Seja A um cojuto com m elemetos e B é um cojuto com elemetos Etão o cojuto A x B (lê-se A cartesiao B) é formado pelos pares ordeados (x, y), tais que x A e y B, ode temos o primeiro termo em A e o segudo termo em B Assim, observamos que a cardialidade de A (# A m) sedo de m elemetos e a (# B ) sedo de elemetos; cocluímos que a cardialidade de A x B, (# (A x B) m ) Supohamos que certo eveto A pode acotecer de m modos distito (# A m), e fixado qualquer um eveto em A, para este, podemos escolher um segudo eveto B de modos (# B ) Etão o úmero de escolhas possíveis para um eveto A seguido de um eveto B é m Isto é cohecido como pricipio multiplicativo Exemplo: Para fazer uma viagem - Belo Horizote Vitória Belo Horizote, Mara pode usar como trasporte o trem, o ôibus ou o avião De quatos modos Mara pode escolher os trasportes se ão deseja usar a volta o mesmo meio de trasporte usado a ida? Podemos idetificar os cojutos: A {x x é trasporte de ida} # A m e B {x x é trasporte de volta} # B,
0 Dode A x B {(a,b) a Α e b Β} Note que os cojutos A e B são ão vazios Etão, # A x B # A # B m 6 Portato, Mara pode escolher seis modos diferetes Geeralizado, se # A i m i, para i,,,,, etão o produto cartesiao A x A x x A {(a, a, a ) a i Α i para i {,,, } tem # (A x A x x A ) m m m elemetos Permutação Dados objetos dois a dois distitos, podem-se ordear todos etre si em diferetes modos Cada uma dessas listas é chamada permutação de objetos Para cotar o úmero total de maeiras de ordear, procedemos da seguite forma: o primeiro elemeto pode ser escolhido de modos, isto é, pode ser qualquer um dos objetos; fixado uma escolha para o primeiro elemeto, o segudo elemeto pode ser qualquer um dos elemetos que ão foram usados o primeiro lugar; assim tem ( - ) formas de escolher os dois primeiros elemetos Para escolher o terceiro elemeto, pode ser qualquer um dos - elemetos que ão foram usados o primeiro e segudo lugares, até que para o último elemeto sobre apeas um modo Pelo pricipio multiplicativo, o úmero total de permutações dos elemetos será ( - ) ( - ) Este produto de úmeros aturais cosecutivos de até é deotado (lê-se fatorial de ou fatorial) Cocluímos que o úmero de permutações de objetos distitos é igual a ( - ) ( - ) Arrajo Temos elemetos dois a dois distitos dos quais queremos tomar p e ordeá-los Poderíamos também pesar em objetos com os quais queremos preecher p lugares O primeiro lugar (L ) pode ser preechido de maeiras diferetes Tedo preechido L, restam ( - ) objetos e, portato, o segudo lugar L pode ser preechido de ( - ) maeiras
diferetes Após o preechimeto de L, há ( - ) maeiras de se preecher L e, assim sucessivamete, vamos preechedo as posições de forma que L p terá ( - (p - )) maeiras diferetes de ser preechido Pelo pricipio multiplicativo, podemos dizer que as p posições podem ser preechidas sucessivamete de ( - ) ( - ) (- (p - )) maeiras diferetes A p ( -) ( -) (-(p -)) Multiplicado esse úmero por ( p ), temos: ( p) A [ p ( )( ) ( ( ))] ( p p ) ( p) ( )( ) ( p )( p) ( p) ( p) p A p ( ) O úmero de arrajos de elemetos tomados p a p é igual ao úmero de maeiras de preecher p lugares com elemetos dispoíveis Importa quem participa e o lugar que ocupa Combiação Dado o cojuto {a, a, a,, a }, com objetos distitos, podemos formar subcojutos com p elemetos (p ) Cada subcojuto com p elemetos é chamado de uma combiação Deotamos por que represeta o úmero total de subcojutos de um p cojuto de objetos com p elemetos, lê-se também úmeros de elemetos tomados p a p Vimos que as listas formadas o arrajo diferem etre si pelo elemeto e o lugar que ocupa isto é, são listas ordeadas Etretato, quado cosideramos combiações tomamos listas que diferem etre si apeas pelo elemeto, isto é, ão importado a posição ocupada A p p Etão, por ão importar a ordem dos elemetos as listas, p ( )( ) ( p ) [ ( p ) ( p ) ] p ( p) p ( p) p p ( p)
p é chamado úmero biomial 5 Somatório Dados iteiros r e s tais que r s e a fução a: Ν R, tal que a (i) a i, deotamos por: s a i, a represetação da soma a r a r a s i r Assim: s a i a r a r a s, i r ode r e s são chamados limite iferior e superior, respectivamete, e i é chamado ídice ou cotador somatório que varia etre os úmeros aturais de i r até i s Exemplos: (I) i i lê-se (soma de i para i variado de até ) i i (II) i (i ) lê-se (soma do produto de i por (i ) para i variado de a ) i i (i ) ( ) i
Capítulo Aplicação da Teoria de cotagem A apredizagem da matemática se cocretiza quado são trabalhados a resolução de problemas e os desevolvimetos algébricos Este capítulo foi dedicado ao estudo de oito idetidades combiatórias; cada uma das oito idetidades é testada para algus valores uméricos, isto para se familiarizar com a idetidade; seguidamete as três primeiras idetidades fazemos a demostração algébrica seguida da demostração combiatória, as demais fazemos apeas a demostração por teoria de cotagem Para cada idetidade foi apresetada uma situação problema e a resolução por dois raciocíios distitos, cada solução correspode a um dos lados da idetidade, tratado-se de soluções do mesmo problema; as soluções iguais provam a idetidade Idetidade, para 0 Esta relação é cohecida como relação de Stifel Testemos a idetidade para algus valores uméricos: Cosideremos 5 e os valores de, :
Primeiro membro Segudo membro 5 5 5 5 5 ( ) ( ( 0 ) 5 ( 5 ) 0) 5 0 5 5 5 5 5 ( ) 0 K ( 5 ) 0 ( ) Como podemos costatar, a idetidade vale para 5, e Prova algébrica da idetidade : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ( ) ( )( ) ( ) )] ( ) Prova da idetidade por argumetos combiatórios: Situação problema: A turma 008 do curso de matemática da Uiversidade Federal tem estudates De quatas maeiras podemos formar uma comissão com membros para represetar a turma em um semiário sobre cálculo?
5 Solução : Pela defiição de combiação, seja Ѕ o cojuto das comissões com represetates As maeiras de se formar essas comissões é: # S (i) Solução : Fixamos um membro da turma, digamos João Dividimos o processo de escolha das comissões em dois cojutos: A{ Comissões com o João} B{ Comissões que excluem o João} Observemos que podemos formar A B Ø e S A B são todas as comissões com represetates que Números de comissões em A; escolhemos João para a comissão, logo resta completar a comissão com ( - ) membros escolhidos de ( - ) estudates Assim é o úmero de comissões Número de comissões em B; retiramos João da turma, assim teremos ( ) estudates, destes escolhemos as comissões com membros Logo o úmero de comissões em B será Pelo pricípio aditivo, # S # ( A B ) # A # B (ii) Coclusão: Como (i) e (ii) são soluções por raciocíios distitos do mesmo problema, etão (i) e (ii) são iguais, o que mostra a idetidade
6 Idetidade, para 0, Testemos a idetidade para algus valores uméricos: Cosiderado 5 e 0 temos: 5 Primeiro membro 5 5 5 0 ( 5 ) 5 5 5 0 ( 5 ) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ( 5 5) Segudo membro 5 5 5 5 0 ( ) 5 5 5 5 0 ( ) 5 5 5 5 5 5 ( ) Como podemos costatar, a idetidade vale para 5,, e 5 Prova algébrica da idetidade : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ]
Prova da idetidade por argumetos combiatórios: Situação problema A diretoria de um grêmio estudatil é formada por represetates sedo us deles o presidete Se a escola Nota Cem tem estudates e qualquer um deles pode fazer parte do grêmio, de quatos modos pode-se formar a diretoria do grêmio? Solução : Com estudates, podemos escolher comissões com represetates de modos Fixadas uma destas comissões, passamos a escolher o presidete Isto pode ser feito assim: Assim, pelo pricipio multiplicativo, temos que o úmero de diretorias do grêmio é: (i) Solução : Primeiramete, etre os estudates da escola; escolhemos o presidete, isto se faz de modos Completamos a diretoria com ( ) membros escolhidos de ( ) estudates restates O úmero de diretorias do grêmio é: (ii)
8 Coclusão: Como (i) e (ii) são soluções por raciocíios distitos do mesmo problema, etão (i) e (ii) são iguais, o que mostra a idetidade Idetidade ( ) ( ), para Testemos a idetidade para algus valores uméricos: Cosideremos: ; e 6 Primeiro membro Segudo membro ( ) ( ) 0 5 6 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 6 5 6 5 6 6 ( ) ( ) 0 6 6 5 6 6 6 5 6 6 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 0 6 5 6 6 5 6 6 6 6 6 Prova algébrica da idetidade : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
9 Prova da Idetidade por argumetos combiatórios Situação problema: Os proprietários da fábrica de sapatos Pé Cofortável querem formar uma comissão para represetá-la em uma feira de calçados que ocorrerá em Nova Serraa De quatas maeiras eles podem formar uma comissão com membros, detre eles um diretor e um vice-diretor, escolhidos detre os fucioários? Solução : Iiciemos escolhedo a comissão pela defiição; há maeiras de fazer a escolha Dos fucioários escolhidos, passemos agora a escolha do diretor que pode ser feito de e por fim, dos - restates, a escolha do vice-diretor que será Assim, temos ( ) maeiras (i) Solução : Agora, comecemos por escolher o diretor e o vice-diretor Pela defiição, podemos escolher o diretor de maeiras Após a escolha do diretor, restaram ( ) fucioários; determiemos o vice-diretor de maeiras Em seguida, vamos completar a ossa comissão detre os - fucioários restates; pela defiição, maeiras Logo, temos como resposta ( ) (ii)
0 Coclusão: Como (i) e (ii) são soluções por raciocíios distitos do mesmo problema, etão (i) e (ii) são iguais, o que mostra a idetidade Idetidade para, Testemos a idetidade para algus valores uméricos, e Primeiro membro Segudo membro - 0 ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) - Como podemos costatar, a idetidade vale para, e A prova algébrica este caso ão é tão simples, porém a prova por argumetos combiatórios é simples De agora em diate dispesamos a prova algébrica
Prova da idetidade por argumetos combiatórios: Situação problema: Quatas são as comissões, de qualquer tamaho, com membros escolhidos de uma classe com estudates, sedo que um dos membros é desigado como presidete? Solução : Sabemos do problema aterior que há maeiras de motarmos uma comissão de tamaho Uma vez motada a comissão, temos modos para a escolha do presidete Sedo assim, são todos os tamahos possíveis, temos: comissões distitas Como estamos iteressados as comissões de (i) Solução : Começamos pela escolha do presidete, isto pode ser feito de modos Uma vez escolhido o presidete, devemos completar a comissão com os ( ) estudates Isto é feito da seguite forma: cada estudate faz parte da comissão ou ão faz parte dela, assim temos possibilidades para cada um deles Logo o úmero de modos de completar comissões com qualquer tamaho será Assim o total temos: (ii) Coclusão: Como (i) e (ii) são soluções por raciocíios distitos, do mesmo problema, etão (i) e (ii) são iguais, o que mostra a idetidade
Idetidade 5 h m c h 0 h m,para c h 0, m Coveção: x 0, p quado p > x Testemos a idetidade 5 para algus valores uméricos: 0 Cosideremos: h, m e c: Primeiro membro Segudo membro 5 ( ) ( ) 5 ( 5 ) 5 ( ) ( ) h5, m e c: Primeiro membro Segudo membro 5 5 5 0 0 5 5 5 8 ( 5 0) 0 ( ) ( 5 ) ( ) 8 ( 8 ) 5 8 ( 5 ) ( 0) 0 Como podemos costatar, a idetidade vale para h, m e c Prova da idetidade 5 por argumetos combiatórios: Situação problema: A ossa turma de 008 de matemática da Uiversidade Federal possui h homes e m mulheres; e deverá represetar o curso em um cogresso sobre geometria e álgebra De quatos modos pode ser formada uma comissão com c membros?
Solução : Podemos escolher os c membros detre h m estudates Isto pode ser feito de c m h modos (i) Solução : Deotamos por o úmero de homes que participam das comissões e 0 sigifica comissões sem homes Fixado o úmero (homes a comissão); primeiro escolhemos homes para a comissão detre os h homes da turma, isto é feito de h modos; completamos a comissão escolhedo (c ) mulheres das m mulheres da turma, isto é feito de c m modos Desse jeito temos o total: h o c m h o m c h c m h c m 0 h (ii) Coclusão: Como (i) e (ii) são soluções por raciocíios distitos do mesmo problema, etão (i) e (ii) são iguais, o que mostra a idetidade 5
Idetidade 6 x x y 0, x e y ϵ N ( y) Testemos a idetidade 6: 0 0 y 0 Provar que ( ) Primeiro membro Segudo membro 0 0 0 0 0 0 0 0 00 000 0000 ( ) ( ) 0 600 000 0000 6 ( 0 ) 6 ( 0) 0 ( ) ( ) Prova da Idetidade 6 por argumetas combiatórios: Situação problema: A professora de matemática de uma turma de aluos deu a seus aluos uma lista de x questões de combiatória e y questões de geometria, e pediu que cada aluo escolhesse uma questão para resolver Quatas são as diferetes formas dos aluos escolherem a sua questão?
5 Solução : Cosiderado o baco de questões, cada aluo tem ( x y) escolhas (i) Solução : Cosiderado os aluos da turma, x aluos que resolvem questões de combiatória e y aluos que resolvem questões de geometria, escolhemos aluos e fixamos : se 0, sigifica que ão temos aluos resolvedo questões de combiatória, todos resolvem somete questões de geometria (y), isto pode ser feito de x 0 há, modos de escolher o aluo que resolve uma questão de combiatória Fixado o aluo escolhido, resta decidir a questão de combiatória (x); agora, detre os - aluos restates, escolhe o aluo que resolverá questão de combiatória (x) e a questão de geometria (y), isto da um total de x y Se há, resolve questão de combiatória e este aluo terá x 0 y y Se modos de escolher o aluo que modos de escolher a questão de combiatória; e para a escolha do aluo e a escolha da questão de geometria (y) pelo aluo, temos y, um total de x y E assim para um arbitrário ( 0 ), escolhe a lista de aluos que resolvem questões de combiatória, fixado uma lista de aluos e temos x modos de escolha da questão de combiatória e para escolha do aluo e a questão de geometria (y), temos y -, pelo pricipio da multiplicação temos x y Se, temos aluos resolvedo somete questões de combiatória e ehum resolvedo questão de geometria, isto pode ser feito de x y 0 questão de combiatória ou de geometria são: modos Todos os modos possíveis de escolher a h y x y x y x y x x y o (ii)
6 Vale observar em particular: ( ) 0 0 Coclusão: Como (i) e (ii) são soluções por raciocíios distitos do mesmo problema, etão (i) e (ii) são iguais, o que mostra a idetidade 6 Idetidade m para m m m 0 m Testemos a idetidade : Cosiderado 6, e m Primeiro membro 6 6 65 5 60 ( 6 ) ( ) Segudo membro 6 6 6 65 0 60 ( 6 ) ( ) Cosiderado 5, e m Primeiro membro 5 5 ( 5 ) ( ) 5 5 0 Segudo membro 5 5 5 ( 5 ) ( ) 5 5 0 Como podemos costatar, a idetidade vale para 6, e m, e 5, e m
Prova da idetidade por argumetos Combiatórios: Situação problema: O SENAC Mias quer selecioar cadidatos para seu curso de iformática Para tato, cadidatos se iscreveram o processo Ele adotará um processo seletivo que cosiste em duas fases: a primeira, serão selecioados ( ) cadidatos mediate uma prova escrita, a seguda, cada um destes cadidatos aprovados a primeira fase será etrevistado, sedo apeas m detre estes admitidos o curso De quatos modos escolhemse os aluos que passam a primeira fase, para logo escolher os aluos que igressam o curso? Solução : Escolhemos os cadidatos aprovados a primeira fase que pode ser feito de modos Em seguida, fixado uma lista de escolhidos a primeira fase, destes escolhemos m cadidatos para fazer o curso Isto pode ser feito de multiplicação temos: m modos; logo, pelo pricipio da (i) m Solução : feito de Primeiramete, selecioamos os aluos que passarão a primeira fase Isto pode ser m modos Fixado uma lista de m aluos; passamos a escolher os aluos que completarão a lista de aluos que passaram a primeira fase, sabedo que m aluos já igressaram o curso, pode ser feito de m modos m
8 Assim temos: m modos m m Ou primeiramete dividimos os cadidatos que passarão para a seguda fase em duas etapas; a primeira etapa selecioamos os aluos que serão admitidos o curso, isto pode ser feito de fase de m modos Na seguda etapa retiramos os aluos que serão reprovados a seguda m modos m (ii) Assim temos ovamete: m (ii) m m Coclusão: Como (i) e (ii) são soluções por raciocíios distitos do mesmo problema, etão (i) e (ii) são iguais, o que mostra a idetidade
9 Idetidade 8 l l Testemos a Idetidade 8 para algus valores uméricos: Cosideremos ) e K Primeiro membro 0 ( ) ( ) Segudo membro ( ) ) e Primeiro membro 5 6 5 6 ( 5) ( 6) ( ) ( ) ( ) 5 65 65 0 8 Segudo membro ( 8 ) 8 865 0 5 5 5 0 0 5 0 Como podemos costatar, a idetidade vale para, ;, Prova da Idetidade 8 por argumetos combiatórios Situação problema: até () A maratoa da Pampulha de 008 tem () pessoas eumeradas por etiqueta de um De quatos modos podemos escolher (K) comissões de corredores?
0 Solução : Pela defiição de combiatória, temos que o total de comissões S é: # S Solução : (i) Deotamos por C(m) o cojuto de todas as comissões possíveis com (K) membros sedo que o corredor cujo úmero a etiqueta é maior etre todos os membros da comissão é m Como cada comissão possui (K) membros, isto implica que m K Caso cotrário temos que C(m) Ø Por exemplo, para m K, C(K) tem apeas uma úica comissão, a saber, {,,,K, K} cuja # C(K) Para m, isto é C(K) são todas as comissões com K membros sedo que a etiqueta de maior úmero destas comissões é Para cotá-las procedemos da seguite forma: fixamos o corredor com etiqueta como membro de todas as comissões de C( ), para completar as comissões basta escolher membros etre os corredores com etiqueta,,,,, Logo, # C ( ) Geeralizado, C( l) com l, primeiro fixa o corredor com etiqueta l, para completar as comissões basta escolher membros etre os corredores,,, l Assim # C ( l) l etão # S # C ( ) # C ( ) # C( l) # C ( ) l l (ii) l Coclusão: Como (i) e (ii) são soluções por raciocíios do mesmo problema, etão (i) e (ii) são iguais, o que mostra a idetidade 8
Coclusão O mauseio de cojutos e aálise combiatória tora iteressate o processo de cotagem de elemetos Através dos testes com as idetidades usado valores uméricos, podemos observar o importate desevolvimeto com fatorial As provas algébricas apresetadas mostram os camihos para se chegar a outro membro da idetidade Com as situações problema podemos observar a ligação etre os argumetos combiatórios e as idetidades algébricas Com elas colocamos como o idivíduo que realiza a ação É uma maeira de apresetar o coteúdo sem o uso exaustivo de fórmulas complicadas
Bibliografia ) SANTOS, José Plíio O e ESTRADA, Eduardo Luis Problemas Resolvidos de Combiatória Rio de Jaeiro: Editora Ciêcia Modera Ltda 00 ) SANTOS, José Plíio O, MELO, Margarida P e MURARI, Idai T C Itrodução à Aálise Combiatória Rio de Jaeiro: Editora Ciêcia Modera Ltda 00 ) NORGADO, A C O, CARVALHO, J B P, CARVALHO, P C P, FERNANDEZ, P Aálise Combiatória e Probabilidade Rio de Jaeiro: Istituto de Matemática Pura e Aplicada 006 ) DANTE, Luiz Roberto Matemática Volume úico, ª Ed São Paulo: Ática 005 5) PAIVA, Maoel Coleção base: matemática Volume úico / Maoel Paiva ª Ed São Paulo: Modera 999 6) SILVA, Cláudio Xavier da Matemática aula por aula: esio médio / Cláudio Xavier da Silva, Beigo Barreto Filho São Paulo: FTD 005 ) MACHADO, Atôio dos Satos Matemática, Temas e metas São Paulo: Atual, 986